בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה , התפלגות גמא (Gamma Distribution ) הוא שמה של התפלגות השייכת למשפחה דו-פרמטרית של התפלגויות רציפות על המספרים האי-שליליים, שאותן מסמנים
Γ
(
α
,
λ
)
{\displaystyle \Gamma (\alpha ,\lambda )}
. המשפחה כוללת את ההתפלגות המעריכית ואת התפלגות כי בריבוע .
התפלגות גמא
מאפיינים
פרמטרים
λ
>
0
,
α
>
0
{\displaystyle \lambda >0,\ \alpha >0}
תומך
x
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle x\in [0,\infty )\,\!}
פונקציית צפיפות הסתברות (pdf)
λ
α
e
−
λ
x
x
α
−
1
Γ
(
α
)
{\displaystyle {\frac {\lambda ^{\alpha }e^{-\lambda x}x^{\alpha -1}}{\Gamma (\alpha )}}}
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)
γ
(
α
,
λ
x
)
Γ
(
α
)
{\displaystyle {\frac {\gamma (\alpha ,\lambda x)}{\Gamma (\alpha )}}\!}
תוחלת
α
/
λ
{\displaystyle \alpha /\lambda \,\!}
סטיית תקן
α
/
λ
{\displaystyle {\sqrt {\alpha }}/\lambda \,\!}
חציון
אין ביטוי פשוט
ערך שכיח
(
α
−
1
)
/
λ
{\displaystyle (\alpha -1)/\lambda \,\!}
עבור
α
≥
1
{\displaystyle \alpha \geq 1\,\!}
שונות
α
/
λ
2
{\displaystyle \alpha /\lambda ^{2}\,\!}
אנטרופיה
α
−
ln
λ
+
ln
Γ
(
α
)
{\displaystyle \alpha -\ln \lambda +\ln \Gamma (\alpha )\!}
+
(
1
−
α
)
ψ
(
α
)
{\displaystyle +(1-\alpha )\psi (\alpha )\,\!}
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)
(
1
−
t
λ
)
−
α
{\displaystyle \left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-\alpha }\,}
צידוד
2
α
{\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {\alpha }}}\,\!}
גבנוניות
6
α
{\displaystyle {\frac {6}{\alpha }}\,\!}
התפלגות גמא משמשת לעיתים קרובות כמודל לתיאור זמן ההמתנה עד לאירוע מסוים, כגון קלקול במערכת אלקטרונית או מוות ממחלה. הסיבה לכך היא שההתפלגות
Γ
(
1
,
λ
)
{\displaystyle \Gamma (1,\lambda )}
היא ההתפלגות המעריכית חסרת הזיכרון (שמסומנת גם
e
x
p
(
λ
)
{\displaystyle \mathrm {exp} (\lambda )}
), והמשפחה אדיטיבית ברכיב הראשון. לכן, אם משך החיים של נורה בודדת מתפלג מעריכית עם הפרמטר
λ
{\displaystyle \lambda }
, אז משך החיים של מערכת שבה נכנסות לפעולה
n
{\displaystyle n}
נורות כאלו בזו אחר זו, מתפלג
Γ
(
n
,
λ
)
{\displaystyle \Gamma (n,\lambda )}
. ערכים לא שלמים של
α
{\displaystyle \ \alpha }
מאפשרים לקרב גם מודלים מורכבים יותר.
התפלגות גמא היא התפלגות רציפה , שפונקציית הצפיפות שלה היא
f
(
x
)
=
{
λ
α
e
−
λ
x
x
α
−
1
Γ
(
α
)
x
≥
0
0
x
<
0
{\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}\displaystyle {\frac {\lambda ^{\alpha }e^{-\lambda x}x^{\alpha -1}}{\Gamma (\alpha )}}&\;x\geq 0\\\\0&\;x<0\end{matrix}}\right.}
כאשר
λ
>
0
{\displaystyle \,\!\lambda >0}
הוא פרמטר הנקרא פרמטר קצב ,
α
>
0
{\displaystyle \,\!\alpha >0}
הוא פרמטר הנקרא פרמטר צורה , ו-
Γ
(
α
)
{\displaystyle \Gamma (\alpha )\!}
היא פונקציית גמא , המוגדרת על ידי
Γ
(
α
)
=
∫
0
∞
t
α
−
1
e
−
t
d
t
{\displaystyle \Gamma (\alpha )=\int _{0}^{\infty }\!t^{\alpha -1}\,e^{-t}\,dt}
.
כשהפרמטר
α
{\displaystyle \,\!\alpha }
הוא מספר שלם , התפלגות גמא נקראת לעיתים התפלגות ארלנג .
ההתפלגות מתוארת לעיתים באמצעות ההופכי של פרמטר הקצב, כלומר באמצעות פרמטר
θ
=
1
/
λ
>
0
{\displaystyle \,\!\theta =1/\lambda >0}
, הנקרא פרמטר סקאלה . במקרה זה, פונקציית הצפיפות היא
f
(
x
)
=
{
e
−
x
/
θ
x
α
−
1
θ
α
Γ
(
α
)
x
≥
0
0
x
<
0
{\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}\displaystyle {\frac {e^{-x/\theta }x^{\alpha -1}}{\theta ^{\alpha }\Gamma (\alpha )}}&\;x\geq 0\\\\0&\;x<0\end{matrix}}\right.}
משתנה מקרי
X
{\displaystyle \,\!X}
המתפלג התפלגות גמא עם פרמטרים
λ
{\displaystyle \,\!\lambda }
ו-
α
{\displaystyle \,\!\alpha }
מסומן בדרך כלל
X
∼
Gamma
(
λ
,
α
)
{\displaystyle \,\!X\sim {\textrm {Gamma}}(\lambda ,\alpha )}
. הערכים שמשתנה מקרי שכזה יכול לקבל הם המספרים האי-שליליים, כלומר התומך של התפלגות גמא הוא הקטע
[
0
,
∞
)
{\displaystyle \,\![0,\infty )}
.
פונקציית התפלגות מצטברת
עריכה
פונקציית ההתפלגות המצטברת של התפלגות גמא היא
F
(
x
)
=
∫
0
x
f
(
s
)
d
s
=
{
γ
(
α
,
λ
x
)
Γ
(
α
)
x
≥
0
0
x
<
0
{\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}f(s)\,\mathrm {d} s=\left\{{\begin{matrix}\displaystyle {\frac {\gamma (\alpha ,\lambda x)}{\Gamma (\alpha )}}&\;x\geq 0\\\\0&\;x<0\end{matrix}}\right.}
כאשר
γ
(
α
,
λ
x
)
{\displaystyle \gamma (\alpha ,\lambda x)\!}
היא פונקציית גמא הלא שלמה התחתונה:
γ
(
α
,
λ
x
)
=
∫
0
λ
x
t
α
−
1
e
−
t
d
t
{\displaystyle \gamma (\alpha ,\lambda x)=\int _{0}^{\lambda x}t^{\alpha -1}\,e^{-t}\,{\rm {d}}t\,\!}
.
כשהפרמטר
α
{\displaystyle \,\!\alpha }
הוא מספר שלם (כלומר ההתפלגות היא התפלגות ארלנג), ניתן לכתוב את פונקציית ההתפלגות המצטברת בצורה יותר מפורשת,
F
(
x
)
=
{
1
−
∑
i
=
0
α
−
1
(
λ
x
)
i
i
!
e
−
λ
x
x
≥
0
0
x
<
0
{\displaystyle F(x)=\left\{{\begin{matrix}\displaystyle 1-\sum _{i=0}^{\alpha -1}{\frac {(\lambda x)^{i}}{i!}}e^{-\lambda x}&\;x\geq 0\\\\0&\;x<0\end{matrix}}\right.}
קשר להתפלגויות אחרות
עריכה
ההתפלגות המעריכית היא מקרה פרטי של התפלגות גמא: משתנה מקרי
Γ
(
1
,
λ
)
{\displaystyle \Gamma (1,\lambda )}
(כלומר עם פרמטר צורה 1) הוא משתנה מקרי
e
x
p
(
λ
)
{\displaystyle \mathrm {exp} (\lambda )}
.
הסכום של
n
{\displaystyle n}
משתנים מקריים בלתי תלויים
e
x
p
(
λ
)
{\displaystyle \mathrm {exp} (\lambda )}
מתפלג
Γ
(
n
,
λ
)
{\displaystyle \Gamma (n,\lambda )}
.
אם תופעה מסוימת מתרחשת מפעם לפעם, כך שפרקי הזמן בין התרחשות להתרחשות הם משתנים מקריים מעריכיים בלתי תלויים
e
x
p
(
λ
)
{\displaystyle \mathrm {exp} (\lambda )}
, אז מספר ההתרחשויות בפרק זמן שאורכו
t
{\displaystyle t}
מתפלג פואסונית עם פרמטר
λ
t
{\displaystyle \lambda t}
. תהליך שכזה נקרא תהליך פואסון (הומוגני בזמן), ומתקיים בו שהזמן מתחילת התהליך עד להתרחשות מספר
n
{\displaystyle n}
מתפלג
Γ
(
n
,
λ
)
{\displaystyle \Gamma (n,\lambda )}
.
כדוגמה קונקרטית, נניח שבידנו מספר נורות שזמן החיים של כל אחת מהן מתפלג
e
x
p
(
λ
)
{\displaystyle \mathrm {exp} (\lambda )}
, ונחשוב על המערכת הבאה: מחברים את הנורות לחשמל ומדליקים את הנורה הראשונה בלבד; ברגע שהיא נשרפת, מדליקים את הנורה השנייה; ברגע שגם היא נשרפת, מדליקים את הנורה השלישית; וכן הלאה. אזי מספר הנורות שנשרפות עד זמן
t
{\displaystyle t}
מתפלג פואסונית עם פרמטר
λ
t
{\displaystyle \lambda t}
, והזמן מתחילת התהליך עד שריפת נורה מספר
n
{\displaystyle n}
מתפלג
Γ
(
n
,
λ
)
{\displaystyle \Gamma (n,\lambda )}
.
התפלגות כי בריבוע היא מקרה פרטי של התפלגות גמא: משתנה מקרי
χ
n
2
{\displaystyle \,\!\chi _{n}^{2}}
(כלומר עם
n
{\displaystyle n}
דרגות חופש ) הוא משתנה מקרי
Γ
(
n
/
2
,
1
/
2
)
{\displaystyle \,\!\Gamma (n/2,1/2)}
.