תורת ההסתברות התפלגות מולטינומית היא הכללה של ההתפלגות הבינומית וניתן לקבלה באופן הבא: נתון ניסוי מסוים, עם
k
{\displaystyle k}
A
1
,
A
2
,
.
.
.
,
A
k
{\displaystyle A_{1},A_{2},...,A_{k}}
מאורעות זרים או קטגוריות) כאשר ההסתברות לקבל תוצאה
A
i
{\displaystyle A_{i}}
p
i
{\displaystyle p_{i}}
n
{\displaystyle n}
בלתי תלויות ומסכמים את התוצאות באמצעות משתנים מקריים בינומיים
X
i
∼
B
i
n
(
n
,
p
i
)
{\displaystyle X_{i}\sim Bin(n,p_{i})}
X
i
{\displaystyle X_{i}}
A
i
{\displaystyle A_{i}}
n
{\displaystyle n}
וקטור המקרי
X
=
(
X
1
,
X
2
,
.
.
.
,
X
k
)
{\displaystyle X=(X_{1},X_{2},...,X_{k})}
k
=
1
{\displaystyle k=1}
התפלגות קטגוריאלית .
התפלגות מולטינומית
מאפיינים
פרמטרים
n
>
0
{\displaystyle n>0}
קטגוריאלים (מספר שלם )
k
>
0
{\displaystyle k>0}
p
1
,
…
,
p
k
{\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k}}
p
1
+
⋯
+
p
k
=
1
{\displaystyle p_{1}+\dots +p_{k}=1}
תומך
{
(
x
1
,
…
,
x
k
)
|
∑
i
=
1
k
x
i
=
n
,
x
i
≥
0
(
i
=
1
,
…
,
k
)
}
{\displaystyle \left\lbrace (x_{1},\dots ,x_{k})\,{\Big \vert }\,\sum _{i=1}^{k}x_{i}=n,x_{i}\geq 0\ (i=1,\dots ,k)\right\rbrace }
פונקציית הסתברות
n
!
x
1
!
⋯
x
k
!
p
1
x
1
⋯
p
k
x
k
{\displaystyle {\frac {n!}{x_{1}!\cdots x_{k}!}}p_{1}^{x_{1}}\cdots p_{k}^{x_{k}}}
תוחלת
E
(
X
i
)
=
n
p
i
{\displaystyle \operatorname {E} (X_{i})=np_{i}}
שונות
Var
(
X
i
)
=
n
p
i
(
1
−
p
i
)
{\displaystyle \operatorname {Var} (X_{i})=np_{i}(1-p_{i})}
Cov
(
X
i
,
X
j
)
=
−
n
p
i
p
j
(
i
≠
j
)
{\displaystyle \operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=-np_{i}p_{j}~~(i\neq j)}
אנטרופיה
−
log
(
n
!
)
−
n
∑
i
=
1
k
p
i
log
(
p
i
)
+
∑
i
=
1
k
∑
x
i
=
0
n
(
n
x
i
)
p
i
x
i
(
1
−
p
i
)
n
−
x
i
log
(
x
i
!
)
{\displaystyle -\log(n!)-n\sum _{i=1}^{k}p_{i}\log(p_{i})+\sum _{i=1}^{k}\sum _{x_{i}=0}^{n}{\binom {n}{x_{i}}}p_{i}^{x_{i}}(1-p_{i})^{n-x_{i}}\log(x_{i}!)}
פונקציה יוצרת מומנטים
(
∑
i
=
1
k
p
i
e
t
i
)
n
{\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=1}^{k}p_{i}e^{t_{i}}{\biggr )}^{n}}
פונקציה אופיינית
(
∑
j
=
1
k
p
j
e
i
t
j
)
n
{\displaystyle \left(\sum _{j=1}^{k}p_{j}e^{it_{j}}\right)^{n}}
i
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=-1}
פונקציית ההסתברות של הווקטור המקרי
X
{\displaystyle X}
P
(
X
=
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
)
=
P
(
X
1
=
x
1
,
…
,
X
k
=
x
k
)
=
{
n
!
x
1
!
⋯
x
k
!
p
1
x
1
⋯
p
k
x
k
,
∑
i
=
1
k
x
i
=
n
םא
0
תרחא
{\displaystyle {\begin{aligned}P(X=(x_{1},x_{2},...,x_{n}))&{}=P(X_{1}=x_{1},\dots ,X_{k}=x_{k})\\\\&{}={\begin{cases}{\displaystyle {n! \over x_{1}!\cdots x_{k}!}p_{1}^{x_{1}}\cdots p_{k}^{x_{k}}}\quad &,\sum _{i=1}^{k}x_{i}=n&{\mbox{םא }}\\\\0&&{\mbox{תרחא }}\end{cases}}\end{aligned}}}
מאחר שהחזרות בלתי תלויות, ההסתברות ל-
n
{\displaystyle n}
A
1
{\displaystyle A_{1}}
x
1
{\displaystyle x_{1}}
A
2
{\displaystyle A_{2}}
x
2
{\displaystyle x_{2}}
A
k
{\displaystyle A_{k}}
x
k
{\displaystyle x_{k}}
p
1
x
1
⋯
p
k
x
k
{\displaystyle p_{1}^{x_{1}}\cdots p_{k}^{x_{k}}}
n
{\displaystyle n}
x
1
{\displaystyle x_{1}}
A
1
{\displaystyle A_{1}}
n
{\displaystyle n}
(
n
x
1
)
=
n
!
x
1
!
(
n
−
x
1
!
)
{\displaystyle {\tbinom {n}{x_{1}}}={\tfrac {n!}{x_{1}!(n-x_{1}!)}}}
x
2
{\displaystyle x_{2}}
A
2
{\displaystyle A_{2}}
n
−
x
1
{\displaystyle n-x_{1}}
(
n
−
x
1
x
2
)
=
(
n
−
x
1
)
!
x
2
!
(
n
−
x
1
−
x
2
!
)
{\displaystyle {\tbinom {n-x_{1}}{x_{2}}}={\tfrac {(n-x_{1})!}{x_{2}!(n-x_{1}-x_{2}!)}}}
A
k
−
1
{\displaystyle A_{k-1}}
n
−
x
1
−
.
.
.
−
x
k
−
2
{\displaystyle n-x_{1}-...-x_{k-2}}
(
n
−
x
1
−
.
.
.
−
x
k
−
2
x
k
−
1
)
=
(
n
−
x
1
−
.
.
.
−
x
k
−
2
)
!
x
k
−
1
!
(
n
−
x
1
−
.
.
.
−
x
k
−
1
)
!
=
(
n
−
x
1
−
.
.
.
−
x
k
−
2
)
!
x
k
−
1
!
x
k
!
{\displaystyle {\tbinom {n-x_{1}-...-x_{k-2}}{x_{k-1}}}={\tfrac {(n-x_{1}-...-x_{k-2})!}{x_{k-1}!(n-x_{1}-...-x_{k-1})!}}={\tfrac {(n-x_{1}-...-x_{k-2})!}{x_{k-1}!x_{k}!}}}
x
k
{\displaystyle x_{k}}
A
k
{\displaystyle A_{k}}
x
k
{\displaystyle x_{k}}
(
n
x
1
)
(
n
−
x
1
x
2
)
⋯
(
n
−
x
1
−
.
.
.
−
x
k
−
2
x
k
−
1
)
=
n
!
x
1
!
(
n
−
x
1
!
)
(
n
−
x
1
)
!
x
2
!
(
n
−
x
1
−
x
2
!
)
⋯
(
n
−
x
1
−
.
.
.
−
x
k
−
2
)
!
x
k
−
1
!
(
n
−
x
1
−
.
.
.
−
x
k
−
1
)
!
=
n
!
x
1
!
⋯
x
k
!
{\displaystyle {\tbinom {n}{x_{1}}}{\tbinom {n-x_{1}}{x_{2}}}\cdots {\tbinom {n-x_{1}-...-x_{k-2}}{x_{k-1}}}={\tfrac {n!}{x_{1}!(n-x_{1}!)}}{\tfrac {(n-x_{1})!}{x_{2}!(n-x_{1}-x_{2}!)}}\cdots {\tfrac {(n-x_{1}-...-x_{k-2})!}{x_{k-1}!(n-x_{1}-...-x_{k-1})!}}={\tfrac {n!}{x_{1}!\cdots x_{k}!}}}
התוצאה הסופית של הכפל, המתקבלת כתוצאה של צמצומים, שווה למספר ה-
n
{\displaystyle n}
מקדם המולטינומי שמופיע כחלק מהנוסחה.
נתון כד ובו 10 כדורים. חמישה מהכדורים בכד כחולים, שלושה אדומים ושניים ירוקים. בכל פעם מוציאים כדור מהכד ומחזירים אותו. חוזרים על הפעולה 8 פעמים. מהי ההסתברות שמתוך 8 הפעמים ב-3 פעמים הוצא כדור כחול, ב-4 הוצא כדור ירוק ופעם אחת הוצא כדור אדום?
במקרה כזה, הניסוי שחוזר על עצמו הוא הוצאה והחזרה של הכדור. יש לניסוי הזה שלוש תוצאות אפשריות
(
k
=
3
)
{\displaystyle (k=3)}
A
1
{\displaystyle A_{1}}
A
2
{\displaystyle A_{2}}
A
3
{\displaystyle A_{3}}
p
1
=
5
10
=
0.5
{\displaystyle p_{1}={\frac {5}{10}}=0.5}
p
2
=
3
10
=
0.3
{\displaystyle p_{2}={\frac {3}{10}}=0.3}
p
3
=
2
10
=
0.2
{\displaystyle p_{3}={\frac {2}{10}}=0.2}
(
n
=
8
)
{\displaystyle (n=8)}
(
x
1
=
3
)
{\displaystyle (x_{1}=3)}
(
x
2
=
4
)
{\displaystyle (x_{2}=4)}
(
x
3
=
1
)
{\displaystyle (x_{3}=1)}
Pr
(
X
=
(
3
,
4
,
1
)
)
=
Pr
(
X
1
=
3
,
X
2
=
4
,
X
3
=
1
)
=
8
!
3
!
4
!
1
!
0.5
3
0.3
4
0.2
1
=
5.67
%
{\displaystyle \Pr(X=(3,4,1))=\Pr(X_{1}=3,X_{2}=4,X_{3}=1)=\displaystyle {8! \over 3!4!1!}0.5^{3}0.3^{4}0.2^{1}=5.67\%}
