בסטטיסטיקה , הטווח של המדגם הוא ההפרש בין הערך הגדול במדגם לערך הקטן. הוא מבוטא באותן יחידות כמו הנתונים.
בסטטיסטיקה תיאורית , טווח המדגם הוא גודל המרווח הקטן ביותר המכיל את כל הנתונים ומספק אינדיקציה לפיזור סטטיסטי.
עריכה
עבור
n
{\displaystyle n}
X
1
,
X
2
,
.
.
.
,
X
n
{\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n}}
T
{\displaystyle T}
T
=
M
a
x
(
X
1
,
X
2
,
.
.
.
,
X
n
)
−
M
i
n
(
X
1
,
X
2
,
.
.
.
,
X
n
)
{\displaystyle T=Max(X_{1},X_{2},...,X_{n})-Min(X_{1},X_{2},...,X_{n})}
מאחר שהמקסימום הוא סטטיסטי הסדר ה-
n
{\displaystyle n}
T
=
X
(
n
)
−
X
(
1
)
{\textstyle T=X_{(n)}-X_{(1)}}
עבור
n
{\displaystyle n}
X
1
,
X
2
,
.
.
.
,
X
n
{\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n}}
פונקציית התפלגות רציפה בהחלט
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
צפיפות
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
לטווח
T
{\displaystyle T}
F
T
(
t
)
=
n
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
[
F
(
x
+
t
)
−
F
(
x
)
]
n
−
1
d
x
{\textstyle F_{T}(t)=n\int _{-\infty }^{\infty }f(x)[F(x+t)-F(x)]^{n-1}{\text{d}}x}
אם נגזור את פונקציית ההתפלגות נקבל את פונקציית הצפיפות,
f
T
(
t
)
=
n
(
n
−
1
)
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
f
(
x
+
t
)
[
F
(
x
+
t
)
−
F
(
x
)
]
n
−
2
d
x
{\displaystyle f_{T}(t)=n(n-1)\int _{-\infty }^{\infty }f(x)f(x+t)[F(x+t)-F(x)]^{n-2}\,{\text{d}}x}
תוחלת הטווח ניתנת על ידי על ידי
E
[
T
]
=
n
∫
−
∞
∞
x
[
F
(
x
)
n
−
1
−
(
1
−
F
(
x
)
)
n
−
1
]
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle E[T]=n\int _{-\infty }^{\infty }x[F(x)^{n-1}-(1-F(x))^{n-1}]\,f(x){\text{d}}x}
נובע מכך שהטווח הוא ההפרש בין המקסימום (סטטיסטי הסדר ה-
n
{\displaystyle n}
E
[
T
]
=
E
[
X
(
n
)
−
X
(
1
)
]
=
E
[
X
(
n
)
]
−
E
[
X
(
1
)
]
{\displaystyle E[T]=E[X_{(n)}-X_{(1)}]=E[X_{(n)}]-E[X_{(1)}]}
=
n
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
F
(
x
)
n
−
1
d
x
−
n
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
(
1
−
F
(
x
)
)
n
−
1
d
x
{\displaystyle =n\int _{-\infty }^{\infty }f(x)F(x)^{n-1}dx-n\int _{-\infty }^{\infty }f(x)(1-F(x))^{n-1}dx}
מכאן התוצאה מתקבלת ממיזוג האנטגרלים.
כאשר פונקציית הצפיפות
f
{\displaystyle f}
lim
x
→
∞
x
2
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }x^{2}f(x)=0}
lim
x
→
∞
x
2
f
(
−
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }x^{2}f(-x)=0}
E
[
T
]
=
∫
−
∞
∞
[
1
−
F
(
x
)
n
−
(
1
−
F
(
x
)
)
n
]
d
x
{\displaystyle E[T]=\int _{-\infty }^{\infty }\left[1-F(x)^{n}-(1-F(x))^{n}\right]{\text{d}}x}
הראינו כי
E
[
T
]
=
n
∫
−
∞
∞
x
[
F
(
x
)
n
−
1
−
(
1
−
F
(
x
)
)
n
−
1
]
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle E[T]=n\int _{-\infty }^{\infty }x[F(x)^{n-1}-(1-F(x))^{n-1}]\,f(x){\text{d}}x}
מההגדרה של אינטגרל לא אמיתי ,
=
lim
u
→
∞
n
∫
−
u
u
x
[
F
(
x
)
n
−
1
−
(
1
−
F
(
x
)
)
n
−
1
]
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle =\lim _{u\rightarrow \infty }n\int _{-u}^{u}x[F(x)^{n-1}-(1-F(x))^{n-1}]\,f(x){\text{d}}x}
אינטגרציה בחלקים ,
=
lim
u
→
∞
[
x
[
F
(
x
)
n
+
(
1
−
F
(
x
)
)
n
−
1
]
]
−
u
u
−
lim
u
→
∞
∫
−
u
u
[
F
(
x
)
n
+
(
1
−
F
(
x
)
)
n
−
1
]
d
x
{\displaystyle =\lim _{u\rightarrow \infty }\left[x[F(x)^{n}+(1-F(x))^{n}-1]\right]_{-u}^{u}-\lim _{u\rightarrow \infty }\int _{-u}^{u}[F(x)^{n}+(1-F(x))^{n}-1]{\text{d}}x}
נראה שהחלק השמאלי של הביטוי מתאפס ואז החלק הימני נותן את התוצאה המבוקשת,
lim
u
→
∞
[
x
[
F
(
x
)
n
+
(
1
−
F
(
x
)
)
n
−
1
]
]
−
u
u
{\displaystyle \lim _{u\rightarrow \infty }\left[x[F(x)^{n}+(1-F(x))^{n}-1]\right]_{-u}^{u}}
=
lim
u
→
∞
u
[
F
(
u
)
n
+
(
1
−
F
(
u
)
)
n
−
1
]
+
u
[
F
(
−
u
)
n
+
(
1
−
F
(
−
u
)
)
n
−
1
]
{\displaystyle =\lim _{u\rightarrow \infty }u[F(u)^{n}+(1-F(u))^{n}-1]+u[F(-u)^{n}+(1-F(-u))^{n}-1]}
=
lim
u
→
∞
u
(
F
(
u
)
n
+
(
1
−
F
(
u
)
)
n
+
F
(
−
u
)
n
+
(
1
−
F
(
−
u
)
)
n
)
{\displaystyle =\lim _{u\rightarrow \infty }u\left(F(u)^{n}+(1-F(u))^{n}+F(-u)^{n}+(1-F(-u))^{n}\right)}
=
lim
u
→
∞
F
(
u
)
n
+
(
1
−
F
(
u
)
)
n
+
F
(
−
u
)
n
+
(
1
−
F
(
−
u
)
)
n
1
/
u
{\displaystyle =\lim _{u\rightarrow \infty }{\frac {F(u)^{n}+(1-F(u))^{n}+F(-u)^{n}+(1-F(-u))^{n}}{1/u}}}
נפעיל את כלל לופיטל ,
=
lim
u
→
∞
n
f
(
u
)
[
F
(
u
)
n
−
1
−
(
1
−
F
(
u
)
)
n
−
1
]
+
f
(
−
u
)
[
F
(
−
u
)
n
−
1
−
(
1
−
F
(
−
u
)
)
n
−
1
]
−
1
/
u
2
{\displaystyle =\lim _{u\rightarrow \infty }n{\frac {f(u)\left[F(u)^{n-1}-(1-F(u))^{n-1}\right]+f(-u)\left[F(-u)^{n-1}-(1-F(-u))^{n-1}\right]}{-1/u^{2}}}}
על סמך תכונות פונקציית ההתפלגות,
lim
u
→
∞
F
(
u
)
=
1
{\displaystyle \lim _{u\rightarrow \infty }F(u)=1}
lim
u
→
∞
F
(
−
u
)
=
0
{\displaystyle \lim _{u\rightarrow \infty }F(-u)=0}
lim
u
→
∞
u
2
f
(
u
)
=
0
{\displaystyle \lim _{u\rightarrow \infty }u^{2}f(u)=0}
lim
u
→
∞
u
2
f
(
−
u
)
=
0
{\displaystyle \lim _{u\rightarrow \infty }u^{2}f(-u)=0}
=
lim
u
→
∞
n
u
2
f
(
u
)
[
(
1
−
F
(
u
)
)
n
−
1
−
F
(
u
)
n
−
1
]
+
lim
u
→
∞
n
u
2
f
(
−
u
)
[
(
1
−
F
(
−
u
)
)
n
−
1
−
F
(
−
u
)
n
−
1
]
=
0
{\displaystyle =\lim _{u\rightarrow \infty }nu^{2}f(u)\left[(1-F(u))^{n-1}-F(u)^{n-1}\right]+\lim _{u\rightarrow \infty }nu^{2}f(-u)\left[(1-F(-u))^{n-1}-F(-u)^{n-1}\right]=0}
עריכה
עבור
n
{\displaystyle n}
X
1
,
X
2
,
.
.
.
,
X
n
{\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n}}
F
1
(
x
)
,
F
2
(
X
)
,
.
.
.
,
F
n
(
X
)
{\displaystyle F_{1}(x),F_{2}(X),...,F_{n}(X)}
ופונקציות צפיפות
f
1
(
x
)
,
f
2
(
x
)
,
.
.
.
,
f
n
(
x
)
{\displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x),...,f_{n}(x)}
T
{\displaystyle T}
F
T
(
t
)
=
∑
i
=
1
n
∫
−
∞
∞
f
i
(
x
)
∏
j
=
1
,
j
≠
i
n
[
F
j
(
x
+
t
)
−
F
j
(
x
)
]
d
x
{\displaystyle F_{T}(t)=\sum _{i=1}^{n}\int _{-\infty }^{\infty }f_{i}(x)\prod _{j=1,j\neq i}^{n}[F_{j}(x+t)-F_{j}(x)]\,{\text{d}}x}
עריכה
אם המדגם לקוח מההתפלגות האחידה הבדידה ,
X
1
,
X
2
,
.
.
.
,
X
n
∼
U
(
1
,
N
)
{\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n}\sim U(1,N)}
P
(
T
=
t
)
=
{
1
N
n
−
1
t
=
0
(
N
−
t
)
(
[
t
+
1
N
]
n
−
2
[
t
N
]
n
+
[
t
−
1
N
]
n
)
t
=
1
,
2
,
3
…
,
N
−
1
{\displaystyle P(T=t)={\begin{cases}{\frac {1}{N^{n-1}}}&t=0\\[4pt](N-t)\left(\left[{\frac {t+1}{N}}\right]^{n}-2\left[{\frac {t}{N}}\right]^{n}+\left[{\frac {t-1}{N}}\right]^{n}\right)&t=1,2,3\ldots ,N-1\end{cases}}}
L
{\displaystyle L}
עריכה
![{\textstyle F_{T}(t)=n\int _{-\infty }^{\infty }f(x)[F(x+t)-F(x)]^{n-1}{\text{d}}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aadcb8cf4065761164f07cc6e73b4deff396f94b)
![{\displaystyle f_{T}(t)=n(n-1)\int _{-\infty }^{\infty }f(x)f(x+t)[F(x+t)-F(x)]^{n-2}\,{\text{d}}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25926335b0d6b0148a5ca81fab2cac9405e7e567)
![{\displaystyle E[T]=n\int _{-\infty }^{\infty }x[F(x)^{n-1}-(1-F(x))^{n-1}]\,f(x){\text{d}}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ecefe41c7e79fbe316ac159b85ec33f6ddb6313)
![{\displaystyle E[T]=E[X_{(n)}-X_{(1)}]=E[X_{(n)}]-E[X_{(1)}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3450a702bab8d7a0c8a8f64e9ecf181f9da26cb)
![{\displaystyle E[T]=\int _{-\infty }^{\infty }\left[1-F(x)^{n}-(1-F(x))^{n}\right]{\text{d}}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/856be9120e0660e6e7485c2484c86560c8a28aff)
![{\displaystyle =\lim _{u\rightarrow \infty }n\int _{-u}^{u}x[F(x)^{n-1}-(1-F(x))^{n-1}]\,f(x){\text{d}}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e57cd9c478d27e91f9a3d057c0ac5fc589b9d741)
![{\displaystyle =\lim _{u\rightarrow \infty }\left[x[F(x)^{n}+(1-F(x))^{n}-1]\right]_{-u}^{u}-\lim _{u\rightarrow \infty }\int _{-u}^{u}[F(x)^{n}+(1-F(x))^{n}-1]{\text{d}}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8ca02fb56891be3fc29aee8fd07af7b049c413a)
![{\displaystyle \lim _{u\rightarrow \infty }\left[x[F(x)^{n}+(1-F(x))^{n}-1]\right]_{-u}^{u}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb80d5fff25c7e7da563653a71c5f9f03525f51c)
![{\displaystyle =\lim _{u\rightarrow \infty }u[F(u)^{n}+(1-F(u))^{n}-1]+u[F(-u)^{n}+(1-F(-u))^{n}-1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52c1fd747032ff0772cbb417eb5e4365af2b22f3)
![{\displaystyle =\lim _{u\rightarrow \infty }n{\frac {f(u)\left[F(u)^{n-1}-(1-F(u))^{n-1}\right]+f(-u)\left[F(-u)^{n-1}-(1-F(-u))^{n-1}\right]}{-1/u^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/796f60a5525c05a7f6b46034f4f4a74faf0cada8)
![{\displaystyle =\lim _{u\rightarrow \infty }nu^{2}f(u)\left[(1-F(u))^{n-1}-F(u)^{n-1}\right]+\lim _{u\rightarrow \infty }nu^{2}f(-u)\left[(1-F(-u))^{n-1}-F(-u)^{n-1}\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f5d1ddd99a6b03615eedea6452ede112b35ed77)
![{\displaystyle F_{T}(t)=\sum _{i=1}^{n}\int _{-\infty }^{\infty }f_{i}(x)\prod _{j=1,j\neq i}^{n}[F_{j}(x+t)-F_{j}(x)]\,{\text{d}}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29a643637245311ca6e58573a6d4957bfaf7db41)
\left(\left[{\frac {t+1}{N}}\right]^{n}-2\left[{\frac {t}{N}}\right]^{n}+\left[{\frac {t-1}{N}}\right]^{n}\right)&t=1,2,3\ldots ,N-1\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/997045faf96c7305b09a4d52c527cb469c4e6798)
