מבנה אלגברי
באלגברה מופשטת, מבנה אלגברי הוא מבנה מתמטי המורכב מקבוצה לא ריקה של אברי השדה, בתוספת של פעולה, או מספר פעולות, המוגדרות על איברים אלו, המקיימות אקסיומות מסוימות.
מבנים אלגבריים מדגימים את ההפשטה וההכללה שהם נשמת אפה של המתמטיקה. במסגרת הדיון במבנים אלגבריים נלקחים עצמים מתמטיים קונקרטיים, כגון המספרים השלמים או המספרים הממשיים, נבחנות תכונותיהם המופשטות ביותר, ותכונות אלה עוברות הכללה, כך שניתן לבחון באמצעותן מגוון רחב של עצמים מתמטיים שאף להם תכונות אלה. בדרך זו אפשר למקד את תשומת הלב בתכונות המהותיות של העצם שאותו חוקרים, ולקבל תוצאות כלליות שיהיו ישימות גם במקרים אחרים.
כאשר אין חשש לבלבול, המבנה האלגברי מזוהה עם הקבוצה. כך למשל, החבורה (1,*,G) קרויה בפשטות החבורה G. לפעולות המוגדרות במבנה האלגברי קוראים בדרך כלל "כפל" או "חיבור", משום שהאקסיומות כופות עליהן תכונות דומות לאלו של החיבור והכפל הרגילים. עם זאת, לעיתים קרובות האיברים במבנה האלגברי אינם מספרים, וממילא הפעולות אינן אלו המוכרות מחיי היום-יום.
להלן מספר מבנים אלגבריים ידועים[1]:
- מאגמה: קבוצה עם פעולה בינארית יחידה.
- קוואזי-חבורה: מאגמה עם חילוק.
- חבורה למחצה (או אגודה): מאגמה אסוציאטיבית.
- מונואיד: חבורה למחצה עם איבר אדיש לפעולה.
- חבורה: מונואיד שבו לכל איבר יש איבר הופכי.
- חבורה אַבּלִית: חבורה חילופית, כלומר, פעולת הכפל מקיימת ab=ba.
| שם | סגירות | אסוציאטיבייות | איבר יחידה | איבר הופכי | קומוטטביות |
|---|---|---|---|---|---|
| מאגמה | כן | לא | לא | לא | לא |
| קוואזי-חבורה | כן | לא | לא | כן | לא |
| לולאה | כן | לא | כן | כן | לא |
| חבורה למחצה | כן | כן | לא | לא | לא |
| חבורה למחצה הפיכה | כן | כן | לא | כן | לא |
| מונואיד | כן | כן | כן | לא | לא |
| חבורה | כן | כן | כן | כן | לא |
| חבורה אבלית | כן | כן | כן | כן | כן |
- חוג: מבנה, שבו מוגדרות שתי פעולות: "חיבור" ו"כפל" (המתפלג ביחס לחיבור), שהוא חבורה אַבּלִית ביחס לחיבור ומונואיד ביחס לכפל.
- שדה: חוג שבו האיברים השונים מהאפס (דהיינו מהאבר האדיש לחיבור) יוצרים חבורה אַבּלִית ביחס לכפל.
מבנים אחרים כוללים שני מרכיבים:
- מודול מעל חוג - חבורה אבלית עם פעולת כפל ('כפל בסקלר') של אברי החוג באברי המודול.
- מרחב וקטורי מעל שדה - מודול שהחוג מעליו הוא מוגדר הוא שדה.
- אלגברה מעל חוג חלופי - מודול בעל מכפלה ביליניארית.
- אלגברה בוליאנית - קבוצה עם שתי פעולות בינאריות.
לקריאה נוספת
עריכה- אברהם אורנשטיין, מבנים אלגבריים, האוניברסיטה הפתוחה, 1987.
קישורים חיצוניים
עריכה
- מבנה אלגברי, באתר MathWorld (באנגלית)
הערות שוליים
עריכה- ^ אחדים מהמושגים המופיעים להלן מוגדרים בערך פעולה בינארית
