מודל דביי

מודל דביי פותח על ידי הפיזיקאי והכימאי פטר דביי בשנת 1912. המודל פותח על מנת להעריך את קיבול החום כתלות בטמפרטורה במוצקים. המודל מהווה תיקון למודל המוצק של איינשטיין בכך שהוא מצליח לקבל בטמפרטורות נמוכות כי קיבול החום פרופורציוני ל-$T^{3}$ ובנוסף לקבל כי עבור טמפרטורות גבוהות קיבול החום הוא $C_{\rm {V}}=3Nk_{\rm {B}}$ כאשר $T$ הוא הטמפרטורה, $N$ הוא מספר המולוקולות במוצק ו- $k_{\rm {B}}$ הוא קבוע בולצמן. עקב מספר הנחות פשטניות במודל מקבלים חוסר דיוק עבור טמפרטורות שאינן גבוהות או נמוכות מאוד.

גרף של קיבול החום כפונקציה של הטמפרטורה המשווה בין מודל המוצק של איינשטיין למודל דביי.

פיתוח המודל

הרעיון שעומד בבסיס הפיתוח של המודל הוא התייחסות לתנודות המולקולות שבמוצק כאל גלים עם אנרגיה מקוונטטת - פונונים. לגלים אלו יש שלוש דרגות חופש: שתי דרגות חופש של תנודות רוחביות ודרגת חופש אחת של תנודות אורכיות.

האנרגיה שתורמים כלל הפונונים בעלי תדירות $\omega _{\rm {s}}$ היא: $\varepsilon _{\rm {s}}=\hbar \omega _{\rm {s}}{\bigg (}n_{\rm {s}}(\omega _{\rm {s}},\beta )+{\frac {1}{2}}{\bigg )}$ כאשר $n_{\rm {s}}(\omega _{\rm {s}},\beta )={\frac {1}{e^{\hbar \beta \omega _{\rm {s}}}-1}}$ הוא פונקציית האכלוס של פלאנק, המתאר את מספר הפונונים בעלי תדירות $\omega _{\rm {s}}$ ו-$\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}$ . אם כן, האנרגיה הכוללת במוצק היא: $U=\sum _{\rm {s}}\varepsilon _{\rm {s}}=\sum _{\rm {s}}\hbar \omega _{\rm {s}}{\bigg (}n_{\rm {s}}(\omega _{\rm {s}},\beta )+{\frac {1}{2}}{\bigg )}$ כאשר s מייצג את המצבים המיקרוסקופיים השונים האפשריים במוצק.

הנחות המודל:

יחס נפיצה ליניארי: $\omega =v_{\rm {sound}}|{\vec {k}}|$ כאשר מניחים שמהירות הקול בחומר $v_{\rm {sound}}$ אינה תלויה אם מדובר בתנודות אורכיות או רוחביות, בקיטוב בכיוון התקדמות הגל או בגודל של וקטור הגל $|{\vec {k}}|$.

מספר המצבים האפשריים:

עבור מוצק עם $N$ מולקולות יש $3N$ מצבים אפשריים מאחר שלכל פונון יש שלוש דרגות חופש (שתיים של התנודות הרוחביות ואחת של תנודה אורכית).

מציאת תדירות הקטעון - תדירות דביי:

תדירות הקיטעון היא התדירות המקסימלית האפשרית במוצק נתון. תדירות זו מתקבלת מתוך ההנחה שיש מספר סופי של תנודות אפשריות מאחר שלמוצק יש מימד סופי ולכן מספר סופי של מולקולות. ניתן לחשב ולמצוא את תדירות הקטעון באופן הבא:

מניחים כי תנאי השפה של הבעיה לא משפיעים הרבה על פתרון הבעיה ולכן ניתן להניח כי המוצק הוא קובייה בעל נפח $V$ ואורך כל אחת מצלעותיו $L$ כך ש- $V=L^{3}$. פתרון משוואת הגלים עם תנאי שפה של קובייה תלת־ממדית ( - פונקציית הגל צריכה להתאפס על צלעות הקוביה) נותנת את מספרי הגל $k_{\rm {n}}={\frac {\pi n}{L}}$ כאשר n הוא מספר טבעי.

מספר המצבים האפשריים = $\sum _{\rm {s}}1=3\sum _{\rm {n}}1=3N$ כאשר הפקטור 3 נובע משלוש דרגות החופש שיש לתנודות בחומר.

מניחים כי ניתן לקרב את הסכום על $n$ לאינטגרל תלת־ממדי על $n$ באופן הבא: $3N=3\sum _{\rm {n}}1\approx {\frac {3}{8}}\int _{0}^{n_{\rm {max}}}\,{4\pi n^{2}}\,dn={\frac {1}{2}}\pi n_{\rm {max}}^{3}$. (האינטגרל הוא אינטגרל בקואורדינטות כדוריות כאשר התחום הרלוונטי הוא האזור בו x>0 ,y>0 ,z>0. כלומר, מתעניינים רק בשמינית מהמרחב ולכן החלוקה ב-8).

כלומר: $n_{\rm {max}}={\bigg (}{\frac {6N}{\pi }}{\bigg )}^{\frac {1}{3}}$.

מיחס הנפיצה מקבלים את תדירות הקיטעון: $\omega _{\rm {max}}=v_{\rm {sound}}k_{\rm {max}}=v_{\rm {sound}}{\frac {\pi n_{\rm {max}}}{L}}=v_{\rm {sound}}{\bigg (}6{\pi }^{2}{\frac {N}{V}}{\bigg )}^{\frac {1}{3}}\equiv \omega _{\rm {D}}$.

חישוב קיבול החום מתוך האנרגיה הכוללת:

כפי שצוין בתחילת הפיתוח, האנגיה הכוללת ניתנת לחישוב באופן הבא:$U=\sum _{\rm {s}}\varepsilon _{\rm {s}}=\sum _{\rm {s}}\hbar \omega _{\rm {s}}{\bigg (}n_{\rm {s}}(\omega _{\rm {s}},\beta )+{\frac {1}{2}}{\bigg )}=3\sum _{\rm {n}}\hbar \omega (k_{\rm {n}}){\bigg (}{\frac {1}{e^{\hbar \beta \omega (k_{\rm {n}})}-1}}+{\frac {1}{2}}{\bigg )}$ כאשר הסכום הומר מלהיות סכום על המצבים המיקרוסקופיים s ללהיות סכום על n.

מאחר שמתעניינים בחישוב קיבול החום ניתן להתעלם מהתרומה של האיבר ${\frac {1}{2}}$ לסכום מאחר שאיבר זה אינו תלוי בטמפרטורה. בנוסף, מקרבים את הסכום על $n$ לאינטגרל באותו אופן שנעשה לחישוב תדירות הקיטעון ומקבלים: $U=3\sum _{\rm {n}}{\frac {\hbar \omega (k_{\rm {n}})}{e^{\hbar \beta \omega (k_{\rm {n}})}-1}}=3\sum _{\rm {n}}{\frac {\hbar k_{\rm {n}}v_{\rm {sound}}}{e^{\hbar \beta k_{\rm {n}}v_{\rm {sound}}}-1}}\approx {\frac {3}{8}}\int _{0}^{n_{\rm {max}}}\,{4\pi k^{2}{\frac {\hbar k_{\rm {n}}v_{\rm {sound}}}{e^{\hbar \beta k_{\rm {n}}v_{\rm {sound}}}-1}}}\,dn$ .

מחליפים את משתנה האינטגרציה למשתנה חסר ממדים (חסר יחידות) - $x={\frac {\pi \hbar v_{\rm {sound}}}{Lk_{\rm {B}}T}}n$, ומקבלים: $U\approx {\frac {3}{8}}\int _{0}^{n_{\rm {max}}}\,{4\pi k^{2}{\frac {\hbar k_{\rm {n}}v_{\rm {sound}}}{e^{\hbar \beta k_{\rm {n}}v_{\rm {sound}}}-1}}}\,dn={\frac {3{\pi }^{2}\hbar v_{\rm {sound}}}{2L}}{\bigg (}{\frac {Lk_{\rm {B}}T}{\pi \hbar v_{\rm {sound}}}}{\bigg )}^{4}\int _{0}^{x_{\rm {D}}}\,{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {3V(k_{\rm {B}}T)^{4}}{2{\pi }^{2}{\hbar }^{3}{v_{\rm {sound}}}^{3}}}\int _{0}^{x_{\rm {D}}}\,{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx$

כאשר $x_{\rm {D}}={\frac {\pi \hbar v_{\rm {sound}}n_{\rm {max}}}{Lk_{\rm {B}}T}}={\frac {\hbar v_{\rm {sound}}}{k_{\rm {B}}T}}{\bigg (}6{\pi }^{2}{\frac {N}{V}}{\bigg )}^{\frac {1}{3}}$.

מהאנרגיה הכוללת ניתן לחשב את קיבול החום על ידי ביצוע נגזרת חלקית לפי הטמפרטורה: $\ C_{V}=\left.{\frac {\partial U}{\partial T}}\right|_{V}$.

טמפרטורת דביי

מהגודל $x_{\rm {D}}$ מגדירים את טמפרטורת דביי: $x_{\rm {D}}={\frac {{\theta }_{\rm {D}}}{T}}\implies {\theta }_{\rm {D}}={\frac {\hbar v_{\rm {sound}}}{k_{\rm {B}}}}{\bigg (}6{\pi }^{2}{\frac {N}{V}}{\bigg )}^{\frac {1}{3}}$. לגודל זה יחידות טמפרטורה ולכן מגדיר סקלת טמפרטורה למערכת. ניתן להסתכל על טמפרטורות ביחס לטמפרטורת דביי, בהתאם ליחס זה נקבעת הפיזיקה של המערכת. כלומר עבור טמפרטורות נמוכות ביחס לטמפרטורת דביי המוצק יהיה במצב שונה בהשוואה לטמפרטורות גבוהות ביחס לטמפרטורת דביי. בין היתר, השוני בא לידי ביטוי בקיבול החום.

קיבול החום בגבול של טמפרטורות גבוהות

עבור טמפרטורות גבוהות, כלומר: $T>>{\theta }_{\rm {D}}\implies x_{\rm {D}}<<1$. במקרה זה בחישוב האנרגיה הכוללת ניתן להשתמש בטור טיילור של אקספוננט עד לסדר ראשון: $e^{x}\approx 1+x$, כך שמתקבל האינטגרל הבא:

$U\approx {\frac {3V(k_{\rm {B}}T)^{4}}{2{\pi }^{2}{\hbar }^{3}{v_{\rm {sound}}}^{3}}}\int _{0}^{x_{\rm {D}}}\,{\frac {x^{3}}{x+1-1}}\,dx={\frac {3V(k_{\rm {B}}T)^{4}}{2{\pi }^{2}{\hbar }^{3}{v_{\rm {sound}}}^{3}}}\int _{0}^{\frac {{\theta }_{\rm {D}}}{T}}\,{x^{2}}\,dx={\frac {V(k_{\rm {B}}T)^{4}}{2{\pi }^{2}{\hbar }^{3}{v_{\rm {sound}}}^{3}}}{\bigg (}{\frac {{\theta }_{\rm {D}}}{T}}{\bigg )}^{3}=3Nk_{\rm {B}}T$.

מכאן שקיבול החום בטמפרטורות גבוהות הוא: $C_{\rm {V}}=3Nk_{\rm {B}}$.

תוצאה זו עולה בקנה אחד עם התוצאה שקיבל איינשטיין ועם מדידות שערכו במעבדה.

קיבול החום בגבול של טמפרטורות נמוכות

עבור טמפרטורות נמוכות, כלומר: $T<<{\theta }_{\rm {D}}\implies x_{\rm {D}}>>1$. במקרה זה בחישוב האנרגיה הכוללת ניתן לקרב את האינטגרל ללהיות אינטגרל מאפס עד אינסוף, כך ש- $\int _{0}^{x_{\rm {D}}}\,{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx\approx \int _{0}^{\infty }\,{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {{\pi }^{4}}{15}}$.

אם כן, האנרגיה הכוללת עבור טמפרטורות נמוכות היא $U\approx {\frac {3V(k_{\rm {B}}T)^{4}}{2{\pi }^{2}{\hbar }^{3}{v_{\rm {sound}}}^{3}}}\int _{0}^{x_{\rm {D}}}\,{\frac {x^{3}}{x+1-1}}\,dx\approx {\frac {V{\pi }^{2}(k_{\rm {B}}T)^{4}}{10{\hbar }^{3}{v_{\rm {sound}}}^{3}}}={\frac {3{\pi }^{4}Nk_{\rm {B}}T^{4}}{5{{\theta }_{\rm {D}}}^{3}}}$.

מכאן שקיבול החום בטמפרטורות נמוכות הוא: $C_{\rm {V}}={\frac {12{\pi }^{4}Nk_{\rm {B}}}{5}}{\bigg (}{\frac {T}{{\theta }_{\rm {D}}}}{\bigg )}^{3}$.

תוצאה זו מראה כי עבור טמפרטורות נמוכות קיבול החום הולך כמו הטמפרטורה בשלישית, תוצאה שעולה בקנה אחד עם מדידות שנערכו במעבדה.

הצלחות המודל

מצליח לקבל את קיבול החום הנמדד בטמפרטורות גבוהות - $C_{\rm {V}}=3Nk_{\rm {B}}$ ובטמפרטורות נמוכות - $C_{\rm {V}}\sim T^{3}$.

הבעיות במודל

• השימוש ביחס נפיצה ליניארי: $\omega =v_{\rm {sound}}|{\vec {k}}|$, עבור ערכים גדולים של $|{\vec {k}}|$. הבעיה היא כי עבור ערכים גבוהים של $|{\vec {k}}|$ יחס הנפיצה אינו ליניארי.
• המודל אינו מדויק עבור אף חומר.
• מודל דביי לא מתאר טוב את קיבול החום במתכות. קיבול החום במתכות: $C_{\rm {_{V}}}\sim \alpha T^{3}+\gamma T$. מודל דביי נותן הסבר לאיבר שהולך כמו $T^{3}$, אך אינו מסביר את האיבר עם התלות הליניארית בטמפרטורה.

ראו גם

• מודל המוצק של איינשטיין
• חוק דולון-פטי

קישורים חיצוניים

• הרצאה על מודל דביי, באתר אוניברסיטת אוקספורד (באנגלית)
• ספר בפיזיקה תרמית(הקישור אינו פעיל) (באנגלית)
• באתר thphys, תדריך מעבדה בנושא מודל דביי (באנגלית)
• באתר Zenodo, המאמר של פטר דביי (בגרמנית)
• באתר של Dr Rudolf Winter, הסבר על מודל דביי (באנגלית)