התפלגות F

בהסתברות וסטטיסטיקה, התפלגות F, ידועה גם כהתפלגות פישר-סנדקור היא התפלגות רציפה. התפלגות F מופיעה פעמים רבות כהשערת האפס להתפלגות לסטטיסטי המבחן במבחנים סטטיסטים, ובפרט בניתוח שונות (ראו מבחן F).

התפלגות F

פונקציית צפיפות ההסתברות
פונקציית ההסתברות המצטברת
מאפיינים
פרמטרים	$\ d_{1},d_{2}$ דרגות חופש
תומך	$x\in [0,+\infty )$
פונקציית צפיפות הסתברות (pdf)	${\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\!$
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	$I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)$
תוחלת	${\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\!$ for d2 > 2
ערך שכיח	${\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}$ for d1 > 2
שונות	${\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}\!$ for d2 > 4
צידוד	${\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}}\!$ for d2 > 6

הגדרה וסימון

כאשר משתנה מקרי $X$ מקבל ערכים לפי התפלגות F עם פרמטרים $d_{1}$ ו-$d_{2}$, נהוג לסמן זאת כך: $X\sim F(d_{1},d_{2})$, ופונקציית צפיפות ההסתברות שלו מוגדרת:

$${\begin{aligned}f(x;d_{1},d_{2})&={\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\\&={\frac {1}{\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}}{d_{2}}}\right)^{\frac {d_{1}}{2}}x^{{\frac {d_{1}}{2}}-1}\left(1+{\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,x\right)^{-{\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}}\end{aligned}}$$

עבור $x\geq 0$, כאשר $\mathrm {B}$ היא פונקציית בטא. בשימושים רבים נהוג שהמשתנים $d_{1}$ ו-$d_{2}$ מקבלים מספרים שלמים חיוביים, אך הפונקציה מוגדרת היטב לערכים ממשיים חיוביים.

תכונות

משתנה מקרי עם התפלגות F ופרמטרים $d_{1}$ ו-$d_{2}$ עשוי להיות יחס של שני משתנים המתפלגים לפי כי בריבוע:

$$X={\frac {U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2}}}$$

כאשר:

• $U_{1}$ ו-$U_{2}$ מתפלגים לפי כי בריבוע עם $d_{1}$ ו-$d_{2}$ דרגות חופש בהתאמה
• $U_{1}$ ו-$U_{2}$ הם בלתי תלויים

ביישומים שבהם משתמשים בהתפלגות F, למשל באנליזת שונות, משתמשים לעתים במשפט קוצ'רן כדי להראות אי תלות של $U_{1}$ ו-$U_{2}$.