משוואת לפלס

משוואת לפלס היא משוואה דיפרנציאלית חלקית מהצורה כאשר הוא אופרטור הלפלסיאן.

המשוואה קרויה על שם המתמטיקאי הצרפתי פייר-סימון לפלס ויש לה שימושים רבים בפיזיקה. מהווה מקרה פרטי של משוואת פואסון.

פונקציה המקיימת את משוואת לפלס נקראת פונקציה הרמונית. משוואת לפלס היא משוואה דיפרנציאלית אליפטית, ולכן פונקציות הרמוניות, שהן פתרונותיה, הן אנליטיות.

תכונות של משוואת לפלס בשני ממדים עריכה

משוואת לפלס בשני ממדים בקואורדינטות קרטזיות היא:

 

משוואת לפלס סימטרית במקרים הבאים:

  • ביחס להזזה של הצירים, כלומר אם   הרמונית, גם   הרמונית;
  • ביחס לסיבוב של הצירים, כלומר אם   הרמונית, גם   הרמונית;
  • ביחס לנירמול המשתנים, כלומר אם   הרמונית, גם   הרמונית.

כאשר   כולם קבועים.

שימושים בפיזיקה עריכה

משוואת לפלס מופיעה בתחומים שונים בפיזיקה, לדוגמה:

משוואת לפלס באנליזה מרוכבת עריכה

באנליזה מרוכבת, הרכיבים הממשי והמדומה של כל פונקציה אנליטית מקיימים את משוואת לפלס. תוצאה זו נובעת ממשוואות קושי-רימן ומכך שגזירות פונקציה אנליטית פעם אחת מספיקה כדי להסיק גזירותה אינסוף פעמים (כדי שהנגזרות החלקיות השניות המעורבות יהיו שוות).

בנוסף, לפונקציה   המקיימת את משוואת לפלס (הנקראת גם פונקציה הרמונית) ניתן לעיתים למצוא פונקציה הרמונית צמודה  , כלומר כך שהפונקציה המרוכבת   תהיה אנליטית. פונקציה כזו קיימת באופן נקודתי בתחום פתוח, אך קיומה באופן גלובלי לא מובטח. משפט מאנליזה מרוכבת קובע כי תחום הוא תחום פשוט קשר אם ורק אם לכל פונקציה הרמונית יש הרמונית צמודה לה בכל התחום.

ראו גם עריכה

קישורים חיצוניים עריכה

  מדיה וקבצים בנושא משוואת לפלס בוויקישיתוף
  ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה ובנושא פיזיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.