משפטי האיזומורפיזם

באלגברה, משפטי האיזומורפיזם הם שם שכיח לשלושה משפטים יסודיים שלפיהם חבורות מנה מסוימות הן איזומורפיות זו לזו. משפטים דומים תקפים גם עבור חוגי מנה ומודולי מנה. המשפטים מיוחסים לאמי נתר, ולפעמים הם נקראים "משפטי נתר", הראשון, השני והשלישי.

מן המשפטים האלה נובעת התאמה בין סריג תת-החבורות של חבורה המכילות תת-חבורה , לבין סריג תת-החבורות של חבורת המנה . משפט ההתאמה הזה נקרא לפעמים "משפט האיזומורפיזם הרביעי".

משפט האיזומורפיזם הראשוןעריכה

תיאורעריכה

בהינתן הומומורפיזם כלשהו, חבורת המנה המתקבלת מתחום ההומומורפיזם מודולו גרעין ההומומורפיזם איזומורפית לתמונת ההומומורפיזם. משפט זה מראה על הקשר ההדוק בין גרעין של הומומורפיזם ובין תמונתו, ולמעשה אומר שאם נתונה לנו חבורה, וידוע מה הגרעין של הומומורפיזם כלשהו ממנה, יש לנו את כל המידע על תמונת ההומומורפיזם. למעשה, פירוש הדבר הוא שתמונות של הומומורפיזמים בעלי גרעין זהה הן איזומורפיות.

ניסוחעריכה

משפט: תהיינה   חבורות, ויהא   הומומורפיזם. אז מתקיים  .

הערה: חבורת המנה מוגדרת היטב כי גרעין של הומומורפיזם הוא תמיד תת חבורה נורמלית.

הוכחהעריכה

נבנה את האיזומורפיזם הדרוש. נסמן   ונגדיר פונקציה   כך:  .

כעת נראה כי הפונקציה היא איזומורפיזם.

  • הפונקציה מוגדרת היטב (כלומר, אם ניקח נציגים שונים עבור אותה מחלקת שקילות, נקבל אותה תוצאה): נניח כי   (נשים לב כי אלו מחלקות (קוסטים)). אז  .
כעת,   וקיבלנו שהפונקציה מוגדרת היטב
  • הפונקציה היא הומומורפיזם:  .
  • הפונקציה היא על: יהי   כלשהו. על-פי הגדרת התמונה, קיים   כך ש- . לכן,   והראינו שהפונקציה על.
  • הפונקציה היא חד-חד-ערכית: נניח כי  , אז  , כלומר  , כלומר  , כלומר  , כלומר  .

הראינו שהפונקציה מוגדרת היטב, והיא הומומורפיזם חד-חד-ערכי ועל, כלומר היא איזומורפיזם. בכך הושלמה הוכחת המשפט.

דוגמהעריכה

ניתן לפרש את משפט הממדים עבור העתקות ליניאריות כהדגמה של משפט האיזומורפיזם הראשון, שכן מרחבים וקטוריים הם סוג של חבורות אבליות. במקרה זה ההעתקה הליניארית   היא הומומורפיזם בין החבורות   ו- . בעוד שהגרעין   והתמונה   של הומומורפיזם זה מקבלים את המשמעות שלהם בהשאלה ממשמעותם באלגברה ליניארית. בהינתן תת-מרחב  , האיברים של חבורת המנה   (כלומר הקוסטים של   ב- ) הם בעצם כל המרחבים מממד זהה ש"מקבילים" ביחס אליו. לדוגמה, בהינתן מישור   וכיוון בתוכו, הקוסטים המתאימים לו הם כל הישרים המקבילים לכיוון זה. כלומר, איברי חבורת המנה פועלים על קוסט הזהות   באותו אופן כמו הזזות (translations), ולפיכך מספר איברי חבורת המנה   הוא כמספר ההזזות בכיוונים שאינם מוכלים ב- . עבור מרחבים וקטוריים מעל שדות סופיים ניתן לספור ישירות את מספר הכיוונים הללו, אולם במקרה האינסופי יש לדבר על ממדי המרחבים הללו. לפיכך:  , בעוד שלפי משפט האיזומורפיזם הראשון מתקיים גם  , ולכן  .

משפט האיזומורפיזם השניעריכה

בחבורות, המשפט קובע שאם   תת-חבורה נורמלית ו-  תת-חבורה, אז  ,  , ומתקיים  .

מכאן ש-  איזומורפי לתת-חבורה של  , ובפרט  , כאשר   מסמן את האינדקס של   ב- . מכאן נובע אי-השוויון השימושי  .

משפט האיזומורפיזם השלישי (כלל הצמצום)עריכה

משפט: אם   וגם  , וכמו כן  , אז  ,  , ומתקיים  .

משפט ההתאמה (הסריג)עריכה

בהינתן חבורה   ותת חבורה נורמלית  , יש התאמה חח"ע ועל בין תת-החבורות של   שמכילות את  , לבין תת-החבורות של חבורת המנה  . כלומר, אם נסמן   ו- , אז יש התאמה חח"ע ועל  , והיא נתונה על ידי   לכל  .