משתמש:Yoelpiccolo31/מתמטיקה/אלגברה אבסטרקטית

רשימת מושגים חיוניים, והסבר של כל אחד מהם

${\displaystyle }$

עבור כל אחד מהמושגים הבאים, יובא:

• הסבר אינטואיטיבי.
• דוגמה או דוגמאות להמחשה.
• במידת הצורך: הוכחת המשפט.

קטגוריה

.

An Introduction to n-Categories.

הסבר כללי

A MERE SET.

מהי n-category ?

n-category הנו סוג של מבנה אלגברי, המורכב מ:

• עצמים (אובייקטים) (ככל הנראה אבני הבסיס^{[דרושה הבהרה]}). . אובייקט יכול להיות זהה לעצמו, תוך הצגתו בדרכים שונות. מכאן ניתן להסיק, כי יש לאובייקט חבורה סימטרית^{[דרושה הבהרה]}- חבורת האוטומורפיזמים שלו^{[דרושה הבהרה]}.
• מורפיזמים בין עצמים (אובייקטים)- פעולות שונות שניתן לבצע בין אובייקטים שונים, והקשר בין אובייקטים אלו.
• מורפיזמים בין שני מורפיזמים ("2-morphisms")- פעולות שונות שניתן לבצע בין שני מבנים שונים, המכונים "מורפיזמים"- והקשר בין שני מבנים אלו.
• מורפיזמים בין n-morphisms - פעולות שונות שניתן לבצע בין n מבנים שונים, המכונים "מורפיזמים"- והקשר בין n מבנים אלו.

כל שלב מהווה "קופסה שחורה" של הסעיף הקודם, ומורכב מאברי הסעיף הקודם.

• 0-category הנו קבוצה.
• 1-category הנה קטגוריה. בקטגוריה מורפיזמים בקטגוריה עשויים להיות זהים זה לזה או שונים זה מזה. אין מושג המכונה: "מורפיזמים איזומורפיים".

ב- 2-category לא ניתן לדבר אודות 2-morphisms איזומורפיים. לשם כך, אנו צריכים לדעת פרטים אודות 3-category , וכן הלאה.

מושגים שונים של n-Category

על מנת להסביר את המושג של n-categories , נוח להשתמש באיורים.

• אנו מתייחסים לאובייקטים כ- 0-dimensional (בעלי ממד אפס), כלומר: נקודות.
• אנו מתייחסים למורפיזמים כ- 1-dimensional (בעלי ממד אחד), כלומר: אינטרוולים, או במדויק יותר: חיצים המקשרים בין נקודה אחת לרעותה.

באיור הבא, אנו מצרפים שתי העתקות שונות יחדיו- ליצירת העתקה חדשה:

הרכבה של שני מורפיזמים
(במקרה זה - צירוף שתי העתקות,
המתבצעות על ידי שתי פונקציות: $f$ ו- $g$)

דיאגרמה קומוטטיבית 2

כל השרטוטים במקור זה נמצאים בדף: משתמש:Yoelpiccolo31/Yoelpiccolo31/מתמטיקה/שרטוטים ב- LATEX.

להסביר: isomorphism for equality, עבור n-categories, כאשר n הנו מספר גדול באופן שרירותי (גדול כרצוננו)^{[דרושה הבהרה]}.

כרגע, נסתפק בהבנה כללית (ה"מאקרו") של המושג, ללא פירוט מעמיק (ה"מיקרו") כיצד בנויים המורפיזמים, וכיצד הם מקושרים זה לזה.

כמו כן, נסקור מספר מושגים של n-category , בדגש על n-category "חלשות".

n-morphism מהווה יחס שקילות ("equivalence") אם הוא הפיך (" invertible"), בעוד ש j-morphism עבור j<n מהווה יחס שקילות, אם הוא הפיך עד j + 1)-morphism) המהווה יחס שקילות.

• נתחיל מהמקרה הפשוט: .

דיאגרמה (תורת הקטגוריות)

דיאגרמה (תורת הקטגוריות), .

הערה: לא כל דיאגרמה היא קומוטטיבית, כפי שמצוין בערך העברי.

מפה (מתמטיקה)

.

העתקה ליניארית

העתקה ליניארית, .

משוואת "החלום של פרשמן"

הערך: "החלום של פרשמן (מתמטיקה)" ("Freshman's dream") .

קריטריון איזנשטיין

מה זה? למה צריך את זה? ובמה זה עוזר לנו/מקדם אותנו?

קריטריון אייזנשטיין מספק תנאי מספיק עבור פולינום בעל מקדמים, שהם מספרים שלמים- לכך שיהיה אי פריק מעל שדה המספרים הרציונליים.

פולינום אי פריק הנו פולינום אשר לא ניתן לכתבו כמכפלה של שני פולינומים כלשהם, שאינם קבועים, והם בעלי מקדמים רציונליים.

קריטריון זה אינו בר השמה עבור כל הפולינומים

הקריטריון

נניח שברשותנו הפולינום הבא, בעל מקדמים שהם מספרים שלמים:

$Q\left(x\right)=a_{n}\cdot x^{n}+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\cdots +a_{1}\cdot x+a_{0}$ .

אם קיים מספר ראשוני $p$ , המקיים את שלושת התנאים הבאים:

• $p$ מחלק כל $a_{i}$ , כך ש: $i\neq n$ , או, למעשה: $i<n$ .
  משמעות הדבר היא, שעל $p$ לחלק את כל מקדמי הפולינום, מלבד המקדם של החזקה הגבוהה ביותר בו (או, במילים פשוטות: מלבד המקדם של סדר הפולינום).
  
  
• $p$ לא מחלק את $a_{n}$ (כלומר, אינו מחלק את מקדם החזקה הגבוהה ביותר של הפולינום, או בפשטות: אינו מחלק את המקדם של סדר הפולינום).
  
  
• $p^{2}$ לא מחלק את $a_{0}$ .

אזי הפולינום ${\mathit {Q}}$ הנו אי פריק מעל שדה המספרים הרציונליים.

דוגמאות

ניתן להחיל את קריטריון אייזנשטיין באופן ישיר (כלומר, שימוש בפולינום המקורי), או לאחר טרנספורמציה (העתקה) של הפולינום המקורי.

• החלת קריטריון אייזנשטיין באופן ישיר (ללא טרנספורמציה (העתקה)):

נתון לנו הפולינום הבא:

${\mathit {Q\left(x\right)=3x^{4}+15x^{2}+10}}$ .

על מנת להחיל את קריטריון אייזנשטיין על הפולינום הזה, עלינו לבחור מספר ראשוני $p$ , כך שיקיים שלושה תנאים:

• יחלק, ללא שארית, את שני המקדמים הלא מובילים שלו,
  דהיינו: אנו צריכים למצוא מספר ראשוני, כך שיחלק הן את $15$ והן את $10$ - ללא שארית.
  
  המספר הראשוני היחיד, אשר עונה לדרישה הזו, הוא: $p=5$ .
  
  כלומר, מצאנו מספר ראשוני $p$ , אשר עונה על הדרישה הראשונה (מתוך שלוש). בוצע

• לא מחלק את מקדם האיבר המוביל ללא שארית:
  
  ${\frac {3}{p}}={\frac {3}{5}}=0{\text{ }}\mathbf {mod} {\text{ }}\mathbf {5}$ .
  
  כלומר, לאחר החילוק נותרה שארית. בוצע

• ריבוע המספר הראשוני, $p^{2}=5^{2}=25$ , אינו מחלק את מקדם האיבר האחרון, $10$ , ללא שארית:
  
  ${\frac {10}{p^{2}}}={\frac {10}{25}}=0{\text{ }}\mathbf {mod} {\text{ }}\mathbf {25}$ .
  
  כלומר, לאחר החילוק נותרה שארית. בוצע

• החלת קריטריון אייזנשטיין באופן עקיף (לאחר טרנספורמציה (העתקה)):

לעתים קרובות, קריטריון אייזנשטיין אינו מתאים עבור כל מספר ראשוני $p$ . אולם, הוא כן עשוי להתאים עבור מספר ראשוני כלשהו, באם נבצע החלפה (או, ליתר דיוק, העתקה) של הפולינום המקורי, כך שנציב בו $x+a$ במקום כל $x$ אשר קיים בו. כך יתקבל פולינום חדש, אשר ניתן להחיל עליו את קריטריון אייזנשטיין (כלומר, הפולינום לאחר ביצוע ההעתקה הנו אי פריק).
כמו כן, העובדה שהפולינום החדש, לאחר ההעתקה, הנו אי פריק- מאפשרת לנו להסיק, שהפולינום המקורי אף הוא אי פריק.

דוגמה:

נתון לנו הפולינום הבא:

${\mathit {H_{1}=x^{2}+x+2}}$ , אשר מקדם ה- ${\mathit {x}}$ שלו שווה ${\mathit {1}}$ ; לפיכך, מקדם זה אינו ניתן לחלוקה על ידי אף מספר ראשוני (${\mathit {1}}$ איננו מספר ראשוני, רק מספרים השווים או הגדולים מ- ${\mathit {2}}$).
(תזכורת: על פי הקריטריון, על המספר הראשוני לחלק, ללא שארית, את שני המקדמים הלא מובילים שלו).
מכאן נסיק, שלא ניתן להחיל על הפולינום ${\mathit {H_{1}}}$ את קריטריון אייזנשטיין.
אבל, נוכל לעשות זאת באמצעות החלפת כל ה- ${\mathit {x}}$ ים בפולינום ${\mathit {H_{1}}}$ ב- ${\mathit {x+3}}$ - לקבלת פולינום חדש: ${\mathit {H_{2}=x^{2}+7x+14}}$ .

${\mathit {H_{1}=x^{2}+x+2}}{\text{ }}{\xrightarrow[{\text{in (x+3) , and we get: }}]{\text{we replace all the (x)}}}{\mathit {H_{2}=x^{2}+7x+14}}$

כעת, קריטריון אייזנשטיין מתקיים, עבור: $p=7$ .

עצם העובדה שאנו מקבלים פולינום אי פריק לאחר ביצוע ההחלפה (${\mathit {H_{2}}}$) - מעיד על כך שגם הפולינום המקורי, ${\mathit {H_{1}}}$ - הנו בלתי פריק.
מסקנה זו נכונה, מאחר שההחלפה שביצענו מהווה אוטומורפיזם של החוג $\mathbf {Q} \left[{\mathit {x}}\right]$ (למה?^{[דרושה הבהרה]}).

${\displaystyle }$

קריטריון האי פריקות של קון

.

משפט דיריכלה

משפט דיריכלה, .

משפט השאריות הסיני

.

המכנה המשותף המקסימלי ((Greatest common divisor (GCD)

.

אלגוריתם אוקלידס

.

נוסחת ההיפוך של מביוס

נוסחת ההיפוך של מביוס, .

קונבולוציה

קונבולוציה, .

יריעה

יריעה, .

המשפט הקטן של פרמה

המשפט הקטן של פרמה, .

הומומורפיזם פרובניוס

הומומורפיזם פרובניוס, .

האוטומורפיזם של פרובניוס

הוכחת משפטים הקשורים לפרובניוס, כולל האוטומורפיזם של פרובניוס.

תמורה (פרמוטציה)

תמורה (מתמטיקה), .

שדה פיצול

שדה פיצול, .

הרחבת שדות

הרחבת שדות, .

נילפוטנטיות

איבר נילפוטנטי, .

מושגים אחרים

.

דרישות קדם לצורך הוכחת המשפט בפסקה:

הוכחה מתמטית פורמלית של המשפט: סדר השדה הוא מספר ראשוני (מקרה מספר 1).

• לשם הוכחת המשפט, דרושה הבנה של המושגים הבאים:

1. הומומורפיזם .
2. דומיין וקו-דומיין , .
3. תת חוג .
4. חוג קומוטטיבי .
5. מפה (מתמטיקה) .
6. החץ, המסומן ב-LaTeX כ- $\mapsto$, למשל: $x\mapsto x^{2}$ .
   הסבר נוסף למושג זה, מצוי כאן (מתוך סטאק אקסצ'יינג').
7. שיכון (מתמטיקה) .

<math></math>

חוגים (Rings)

מאפיין של חוג

במתמטיקה, המאפיין (או המציין) של חוג $R$, אשר מסומן לעתים קרובות כ- $char(R)$, מוגדר כמספר הפעמים הקטן ביותר, המהווה מספר טבעי, בו משתמשים באיבר היחידה הכפלי ($1$) של החוג, כך שסכום כל האיברים הללו (סכום ה- $1$-ים) - יהיה שווה לאיבר היחידה החיבורי ($0$).

אם סכום ה- $1$-ים המחוברים אינו שווה לעולם ל- $0$, נאמר שהשדה בעל מאפיין אפס.

כלומר:
נגדיר: $n$ - מספר טבעי, המציין את המספר הקטן ביותר של פעולות חיבור של איבר היחידה הכפלי ($1$). כלומר: (מספר ה- $1$-ים הקטן ביותר (המינימלי)).
עבור פעולת החיבור הבאה, מאפיין השדה, $char(R)$, הוא מספר הפעמים $n$ (המספר המינימלי של $1$-ים) שיש לחבר, כך שסכום זה (סכום ה- $1$-ים) - יהיה שווה לאפס ($0$).

$\underbrace {1+\cdots +1} _{char(R){\text{ =n=minimal times of 1}}}=0$

מקרה זה תקף, אם קיים מספר טבעי $n$ כלשהו, המקיים את המשוואה לעיל. במקרה שלא קיים $n$ כזה, אזי $char(R)=0$ (מאפיין החוג, $char(R)$, שווה אפס ($0$)).

כמו כן, מאפיין של חוג כלשהו יכול להוות את האקספוננט של החבורה החיבורית (אדיטיבית) שלו. כלומר: המספר הטבעי $n$ הקטן ביותר (המינימלי), המקיים את פעולת החיבור הבאה:

$\underbrace {a+\cdots +a} _{char(R){\text{ =n=minimal times of a}}}=0$

עבור כל איבר $a$ השייך לחוג.

גם מקרה זה תקף, אם קיים מספר טבעי $n$ כלשהו, המקיים את המשוואה לעיל. במקרה שלא קיים $n$ כזה, אזי $char(R)=0$ (מאפיין החוג, $char(R)$, שווה אפס ($0$)).

שדות (Fields)

• הגדרה של שדה:

שדות סופיים

• הגדרה של שדה סופי:

שדה סופי, המכונה גם שדה גלואה (על שמו של אווריסט גלואה), הנו קבוצה, המכילה בתוכה מספר איברים סופי (בעלת תכונות נוספות, מסוימות). זאת, בניגוד לשדה אינסופי, המכיל אינסוף איברים.

באופן מתמטי, ניתן לסמן שדה סופי במספר אופנים:

1. $GF()$ . (ראשי תיבות של הביטוי האנגלי: "Galois Field").
2. $F$ .

שדות אינסופיים

מאפיין של שדה אינסופי

הגדרה של שדה אינסופי:

• שדה אינסופי מכיל מספר אינסופי של איברים. בהנחה שכולם שונים זה מזה, הרי שמאפיין השדה יהיה אינסופי.

• שדה אינסופי הנו בעל מאפיין אפס או בעל מאפיין $p$ .‏($p$ מספר האיברים בשדה. מספר זה חייב להיות ראשוני).

• השדות הבאים הנם בעלי מאפיין $0$, משום שהם מכילים אינסוף איברים, השונים זה מזה:

$\mathbb {Q}$‏ (שדה המספרים הרציונליים), $\mathbb {R}$‏ (שדה המספרים הממשיים), $\mathbb {C}$‏ (שדה המספרים המרוכבים (קומפלקסיים)), $\mathbb {Q} _{p}$‏ (מספר p-אדי).

<math></math>

מספר האיברים בשדה סופי

מספר האיברים בשדה מכונה גם: "סדר השדה" או "דרגת השדה", ומסומן: $ord\left(\right)$ .

מאפיין של שדה

כדי למצוא את מאפיין השדה, עלינו לספור כמה איברים בשדה (במקרים רבים, מספרים)- שונים זה מזה.

אלגוריתם:

• אם מצאנו איבר חדש בשדה, השונה מכל אלו שקדמו לו בשדה - נוסיף $1$ למאפיין השדה.
• אם האיבר החדש בשדה זהה לאחד או יותר מהאיברים אשר מצאנו קודם לכן בשדה - לא נוסיף $1$, ונתקדם לאיבר הבא בשדה.

מספר האיברים השונים זה מזה בשדה- מכונה "מאפיין השדה".

מאפיין של שדה סופי

• דוגמה:

נתונה לנו קבוצה סופית כלשהי, בעלת מספר איברים $n$ , אשר מהווה שדה. שדה זה הנו סופי מפני ש $n$ סופי:

$F_{n}=\left\{0,1,\cdots \left(n-1\right)\right\}$ .

שני המספרים הראשונים, השייכים לשדה, יהיו: $0\in F$ ו- $1\in F$ .

בהנחה ש $F$ הוא שדה סופי כלשהו, נתחיל כעת לספור את מספר האיברים בשדה, בהנחה שכולם שונים זה מזה:
נתחיל מהאיבר: $0\in F$, ונוסיף לו את האיבר: $1\in F$ באופן החוזר על עצמו (רפטטיבי):

• נקבל את סדרת האיברים (מספרים) הבאה:

$\underbrace {\left(\underbrace {0} _{\text{1st element}}{\text{, }}\underbrace {1} _{\text{2nd element}}{\text{, }}\underbrace {1+1} _{\text{3rd element}}{\text{, }}\underbrace {1+1+1} _{\text{4th element}}{\text{ , }}\underbrace {1+1+1+1} _{\text{5th element}}{\text{ , }}\cdots {\text{,}}\underbrace {n-1} _{\text{n element}}\right)} _{\text{All the elements of the string are distinct from each other}}$

• שני האיברים הראשונים בשדה שונים זה מזה, בגלל קיום האקסיומה: $0\neq 1$ עבור שדות.
• מכיוון שהשדה הנו סופי, השדה חייב להיות גם מחזורי (רפטטיבי), עבור שדות המקיימים: $n>1$ (כלומר, החל מהשדה הזה, בעל מספר האיברים המינימלי: $\left\{0,1\right\}$), או שדה בעל מספר איברים רב יותר. על כן, כאשר נגיע לאיבר האחרון, האיבר הבא אחריו יהיה בפשטות $0\in F$ , וספירת מאפיין השדה תחזור על עצמה (מחדש).
  
  

• דוגמה:
  
  נתבונן פעם נוספת בשדה:
  
  $F_{n}=\left\{0,1,\cdots \left(n-1\right)\right\}$ .
  
  $n$ האיברים הראשונים בשדה שונים זה מזה, אך אם נתקדם לאיבר הבא- איבר זה יהיה $0\in F$ , והוא שונה מהאיבר האחרון של הסדרה (תזכורת: כל אברי הסדרה שונים זה מזה).
  על כן, באופן מתמטי, מאפיין השדה יהיה: $Char{\text{ }}F=\left(n-1\right)+1=n=0$ .

• דוגמאות מעשיות:

דוגמה מספר 1:

מהו מאפיין השדה: $F_{2}=\left\{0,1\right\}$ ? ‏ ($2$ מציין את מספר האיברים בשדה (הסופי)).

• בתחילה, מאפיין השדה, $Char{\text{ }}F=0$ .

• נתחיל לספור:

האם $0\neq 0$ ? ‏ לא. על כן, לא נוסיף $1$ למאפיין השדה, ועדיין מתקיים: $Char{\text{ }}F=0$ .
נתקדם לאיבר הבא, $1$ . האם $1\neq 0$ ? כן. על כן, כעת: $Char{\text{ }}F=1$ .
נתקדם לאיבר הבא, שהוא שוב $0$ (השדה רפטטיבי, חוזר על עצמו). האם $0\neq 1$ ? כן, על כן: $Char{\text{ }}F=2$ .

השלמנו מחזור שלם של השדה, וקיבלנו שעבור האיבר הראשון בו: $0\in F$ , מאפיין השדה הנו: $Char{\text{ }}F=2$ .
על כן, נכתוב: $2=0$ .

$\underbrace {2} _{\text{Number of distinct elements}}=\underbrace {0} _{\text{Until we get back to the first element again}}$

דוגמה מספר 2:

הכללה לדוגמאות 1 ו-2:

• משפט:

יהי $F$ שדה סופי. על כן, מאפיין השדה אינו אפס.

קבוצות סופיות שאינן שדות (קריטריון הכרחי (אך כנראה אינו מספיק) לכך, שקבוצה מסוימת הנה שדה)

דוגמה לקבוצה בעל מספר איברים סופי; ראוי להדגיש כי קבוצה זו איננה מהווה שדה, והסיבה לכך תוסבר לאחר הצגתה:

$\mathbb {Z} /10\mathbb {Z} ={\begin{Bmatrix}0{\text{, }}1{\text{, }}\cdots ,9\end{Bmatrix}}$

הסבר:

בצירוף הבא: $\mathbb {Z} /10\mathbb {Z}$ :

• $\mathbb {Z}$ מציין את שדה המספרים השלמים.

• $10\mathbb {Z}$ מציין את הבסיס ("מודולו") של הקבוצה אותה בחרנו.

בדוגמה זו, הבסיס הנו $10$, על כן המספרים הנמצאים בה יהיו $0-9$.

הסבר מדוע קבוצה זו אינה מהווה שדה:

בכל שדה חייב להתקיים התנאי הבא:

• $\left(1\right)$ $a\cdot b=0$ , כאשר מתנאי זה נובע, כי חייב להתקיים בהכרח: או $a=0$ , או $b=0$ .

על פי תנאי זה, אחד האיברים חייב להיות המספר $0$, על פי התנאי לעיל.

אם תנאי זה מתקיים, הרי שזהו שדה; אם לא, הרי שזהו איננו שדה.

• ממבט ראשון, ניתן לקבוע כי קבוצה זו היא אכן שדה, שהרי מתקיים:

$\left(9\cdot 0=0\right)$ , $\cdots$ , $\left(2\cdot 0=0\right)$ , $\left(1\cdot 0=0\right)$ .

אבל, יש כאן נקודה עדינה יותר:

• $\left(2\right)$ אם נמצא בקבוצה מסוימת $a{\text{ }}{\text{mod}}{\text{ }}10\neq 0$ ו- $b{\text{ }}{\text{mod}}{\text{ }}10\neq 0$, המקיימים אף הם את התנאי: $a\cdot b=0$ , הרי שהקבוצה שבחרנו איננה שדה.

• נביט בקבוצה. האם כל מספר בקבוצה, בטווח של: $1\leq a\leq 9$ , ($a$ מספר כלשהו בקבוצה, בין $1$ ו-$9$), ו- $b=0$ ${\text{ }}$ [או להפך: $1\leq b\leq 9$ , ($b$ מספר כלשהו בקבוצה, בין $1$ ו-$9$), ו- $a=0$] ${\text{ }}$ מקיים $a\cdot b=0$ ? התשובה היא כן.

אבל: האם אנו יכולים למצוא בקבוצה צמד מספרים, ששניהם אינם אפס, אך מכפלתם תניב מספר, שאם נחלק אותו ב- $10$, השארית תהיה שווה בכל זאת לאפס?
התשובה היא כן.

• למשל: $5\cdot 2=10$ , ו- $10{\text{ mod }}10=0$.

מצאנו שני מספרים בקבוצה, שאינם אפס, אך המודולו שלהם עודנו שווה אפס, בניגוד למשפט (1), המהווה תנאי הכרחי לקיומו (או אי קיומו, במקרה זה) של שדה. על כן, זהו איננו שדה.

• דוגמה זו מאפשרת לבצע הכללה: אם $a\cdot b=0$ , אבל מתקיים גם: $a{\text{ }}{\text{mod}}{\text{ base }}\neq 0$ וגם $b{\text{ }}{\text{mod}}{\text{ base }}\neq 0$ - הרי שזהו איננו שדה.

נשאלת השאלה, מה יגרום ל: $\left(a\cdot b\right){\text{ mod }}{\text{base}}\neq 0$ ? או, במילים אחרות, מתי $a\cdot b\neq {\text{base}}$ ?

• באופן כללי, עבור כל בסיס (ולמעשה עבור כל מספר), מתקיים: ${\text{base}}{\text{ mod }}{\text{base}}=0$ .

• ידוע כי: אם $a{\text{ }}{\text{mod}}{\text{ base }}\neq 0$ וגם $b{\text{ }}{\text{mod}}{\text{ base }}\neq 0$ , הרי ש: $\left(a\cdot b\right){\text{ }}{\text{mod}}{\text{ base }}\neq 0$ . הדבר הזה מתרחש אך ורק כאשר הבסיס הנו מספר ראשוני.

הסיבה לכך: $a$ וגם $b$ לעולם לא יתחלקו בבסיס הראשוני- ללא שארית. לכן גם: $a\cdot b$ לא יתחלק לעולם בבסיס הראשוני- ללא שארית.

מסקנה

משפט: שדה יכול להיווצר אך ורק אם בסיסו (=מספר איבריו) הוא ראשוני, או חזקה של מספר ראשוני.

גישה אינטואיטיבית, לצורך הבנת המסקנה

נסמן את הבסיס הראשוני באות $p$ , רמז למילה: "Primary".

• באופן כללי, השדה ייכתב כך: $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} ={\begin{Bmatrix}0{\text{, }}1{\text{, }}\cdots ,{\text{(p-1)}}\end{Bmatrix}}$ .

• דוגמה לשדה כזה:

נבחר $p=7$, כאשר ידוע כי $7$ הנו מספר ראשוני.

השדה ייראה כך: $\mathbb {Z} /7\mathbb {Z} ={\begin{Bmatrix}0{\text{ , }}1{\text{ , }}2{\text{ , }}3{\text{ , }}4{\text{ , }}5{\text{ , }}6\end{Bmatrix}}$

כעת, נבדוק שני תנאים:

• האם כל $1\leq a\leq 6$ , המוכפל ב- $b=0$ - תוצאתו היא $a\cdot b=0$ ? התשובה היא כן.
• האם ישנו מספר כלשהו $a$ בקבוצה, המתחלק ב- $p=base=7$ ללא שארית? התשובה היא לא.
  

אם אף מספר אינו מקיים דרישה כזו, הרי שמכפלה של שני מספרים כלשהם בקבוצה- אף היא אינה מתחלקת ב- $p=base=7$ ללא שארית!

זוהי ההוכחה (האינטואיטיבית) לכך, שקבוצה בעלת בסיס שהוא מספר ראשוני- הנה שדה.

• השדה $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ מכונה: $\mathbb {F} _{p}$ .

הוכחה מתמטית פורמלית של המשפט: סדר השדה הוא מספר ראשוני (מקרה מספר 1)

• משפט: כל שדה סופי הנו בעל סדר ראשוני, או בעל סדר, שהוא חזקה של מספר ראשוני.

זוהי ההוכחה, שעליי להבין ולהסביר: (כתיבה ואחר כך הבנה, בשיטת "נעשה ונשמע")

עבור כל חוג קומוטטיבי $R$ , קיים הומומורפיזם חוגי (הומומורפיזם של חוג) ייחודי: $Z\rightarrow R$ , המתואר על ידי:

$m\mapsto {\begin{cases}\underbrace {1+1+\cdots +1} _{\text{m times}}&{\mbox{if }}m\geq 0{\mbox{ }}\\\\\underbrace {-\left(1+1+\cdots +1\right)} _{\text{(absolute value of m) times}}&{\mbox{if }}m<0{\mbox{ }}\end{cases}}$

ניישם הומומורפיזם חוגי זה למקרה: $R=F$ , כאשר $F$ הנו שדה סופי.

הגרעין של $Z\rightarrow F$ איננו אפס, מאחר ש: $Z$ הנו אינסופי, בעוד ש $F$ הנו סופי.

נכתוב את הגרעין כ: $\left(m\right)=mZ$ עבור מספר שלם $m>0$ ,

כך ש: $Z/\left(m\right)$ מהווה שיכון. שיכון זה הנו (או: המשמש כ) תת חוג של $F$ (או: מהווה שיכון לתת חוג של $F$) (באנגלית: Z/(m) embeds as a subring of F).

ידוע כי: כל תת חוג של שדה הנו שיכון (domain).

מכאן נובע, כי $m$ חייב להיות, בהכרח, מספר ראשוני.

נקרא למספר הראשוני הזה, שרירותית, בשם: $m=p$ .

מכאן נובע, כי קיים שיכון $Z/\left(p\right)\hookrightarrow F$ .

אם נסתכל על $F$ כמרחב וקטורי מעל $Z/\left(p\right)$ ,

אזי מרחב זה הנו בעל ממד סופי, מאחר ש: $F$ הנו שדה סופי.

יהי $n=dim_{z/\left(p\right)}\left(F\right)$ .

נבחר בסיס שרירותי: $\left\{e_{1},\cdots ,e_{n}\right\}$ עבור השדה $F$ , מעל $Z/\left(p\right)$ ,

איברי $F$ יכולים להיכתב באופן ייחודי כ:

$c_{1}\cdot e_{1}+\cdots +c_{n}\cdot e_{n}{\text{ ,}}\quad {}c_{i}\in Z/\left(p\right)$

לכל מקדם $C_{i}$ קיימות $p$ בחירות/אופציות (choices),

על כן: $\left|F\right|=p^{n}$ .

מ.ש.ל.

חזרה לפסקה: דרישות קדם לצורך הוכחת המשפט בפסקה:.

הוכחת המשפט, שסדר של שדה עשוי להיות חזקה של מספר ראשוני (מקרה מספר 2)

• משפט: נניח $p$ מספר ראשוני, $m$ הוא מספר שלם (טבעי?^{[דרושה הבהרה]}) חיובי, ו- $q=p^{m}$ . אז קיים (עד איזומורפיזם) שדה אחד בדיוק, $\mathbb {F} _{q}=\mathbb {F} _{p^{m}}=GF(p^{m})$, בו קיימים $p^{m}$ איברים.

בניית שדות סופיים

• האם סדר השדה שווה בהכרח למאפיין השדה?^{[דרושה הבהרה]}

בניית שדות סופיים באמצעות פולינומים

משפט (מקרה פרטי של המשפט בפסקה הקודמת. מקרה פרטי זה מתייחס לפולינומים, בפרט עבור פולינומים אי פריקים מתוקנים)^{[דרוש מקור]}:

• סדר של שדה סופי $F$ , הוא $p^{m}$ (מכיל $p^{m}$ איברים), כאשר $m$ היא החזקה הגבוהה ביותר בפולינום אי פריק מתוקן, אשר מהווה איבר בתוך שדה סופי זה. (ראה דוגמאות בסעיף הבא).

הוכחה:

${\displaystyle }$

פולינומים אי פריקים, פולינומים מתוקנים ופולינומים פרימיטיביים- דוגמאות לשם המחשה

• משפט:

עבור מספר ראשוני $p$, ופולינום אי פריק מתוקן $\pi \left(x\right)$, הנמצא בתוך שדה סופי (או: השייך לשדה) שנסמנו: $F_{p}[x]$, בעל דרגה (או סדר) $n$ - מהווה החוג: $F_{p}[x]/\left(\pi \left(x\right)\right)$ שדה בעל דרגה (או סדר) $p^{n}$ .

• בתחילה, נציג מספר דוגמאות לשדות כאלו, לשם הבנה אינטואיטיבית של המושגים:

דוגמה ראשונה:

שני שדות מסדר $8$ הם:

• $\underbrace {F_{2}\left[x\right]} _{\text{p=2}}/\underbrace {\left(x^{3}+x+1\right)} _{\text{n=ord(polynomial)=3}}$ ,
  
  
• $\underbrace {F_{2}\left[x\right]} _{\text{p=2}}/\underbrace {\left(x^{3}+x^{2}+1\right)} _{\text{n=ord(polynomial)=3}}$ .
  
  
• הסיבה לכך שסדר השדות הנו $8$ היא:
  $p=2{\text{ , }}n=3\Rightarrow ord\left(F\right)=p^{n}=2^{3}=8$ .

דוגמה שנייה:

שני שדות מסדר $9$ הם:

• $\underbrace {F_{3}\left[x\right]} _{\text{p=3}}/\underbrace {\left(x^{2}+1\right)} _{\text{n=ord(polynomial)=2}}$ ,
  
  
• $\underbrace {F_{3}\left[x\right]} _{\text{p=3}}/\underbrace {\left(x^{2}+x+2\right)} _{\text{n=ord(polynomial)=2}}$ .
  
  
• הסיבה לכך שסדר השדות הנו $9$ היא:
  $p=3{\text{ , }}n=2\Rightarrow ord\left(F\right)=p^{n}=3^{2}=9$ .

דוגמה שלישית:

הפולינום: $x^{3}-2$ הוא אי פריק ב- $F_{7}\left[x\right]$ , על כן $F_{7}\left[x\right]/\left(x^{3}-2\right)$ הוא שדה בעל סדר: $7^{3}=343$ .

הערות:

1. מבנים אלו הם שדות, למרות שהסדר שלהם איננו ראשוני. המבנים נוצרים בדרך שונה מהדרך המקובלת, הגורסת שאם סדר של קבוצה כלשהי איננו ראשוני- זהו אינו שדה, כפי שנכתב לעיל.
2. דוגמאות אלו יכולות להוות תרגילים:
   • בשתי הדוגמאות הראשונות אנו מקבלים את סדר השדה, ואנו צריכים למצוא את הפולינומים האי פריקים המתוקנים שלהם.
   • הדוגמה השלישית הפוכה לשתי הדוגמאות הראשונות: אנו מקבלים פולינום אי פריק מתוקן, ואנו צריכים למצוא את סדר השדה.
     
     

• כיצד נמצא פולינומים כאלו, אשר יבנו לנו את השדות הסופיים הרצויים לנו?
  

לשם כך, עלינו להבין שלושה מושגים:

• פולינומים אי פריקים.
• פולינומים מתוקנים.
• פולינומים פרימיטיביים.

פולינומים אי פריקים, פולינומים מתוקנים ופולינומים פרימיטיביים- הסברים

פולינומים מעל שדה גלואה.

פולינומים אי פריקים- הסבר

.

פולינום מוגדר כאי פריק, אם הוא לא יכול להיות מפושט לפולינומים לא טריוויאליים- מעל אותו השדה.

• דוגמה:

בשדה הפולינומים הרציונליים $\mathbb {Q} \left[x\right]$ (כלומר, פולינומים $f\left(x\right)$ , בעלי מקדמים רציונליים (בכל איבריהם? או רק חלק?^{[דרושה הבהרה]})), נאמר שהפולינום $f\left(x\right)$ הנו אי פריק, אם לא קיימים שני פולינומים, שאינם קבועים, $g\left(x\right)$ ו- $h\left(x\right)$ ב- $x$ , שהם בעלי מקדמים רציונליים, כך שמתקיים: $f\left(x\right)=g\left(x\right)\cdot h\left(x\right)$ .

במילים פשוטות, פולינום אי פריק הנו פולינום, שלא ניתן לכתבו כמכפלה של שני פולינומים (לאו דווקא שונים, למרות שניסוח המשפט אכן מעיד, כביכול, על שני פולינומים שונים: $g\left(x\right)$ ו- $h\left(x\right)$ .
במילים אחרות, פולינום הנו אי פריק, אם הוא לא "מתפרק" למכפלה של שני פולינומים (זהים זה לזה או שונים זה מזה).

• דוגמה מוחשית, הכוללת את משוואת "החלום של פרשמן", המוסברת בפסקה זו:

לשדה הסופי $GF\left(2\right)$ , שייכים (בין היתר, קיימים בו פולינומים נוספים מעבר למוצג בדוגמה) הפולינומים הבאים:

• $x^{2}+x+1$ : זהו פולינום אי פריק מעל שדה זה, כיוון שלא ניתן לכתבו כמכפלה של שני פולינומים. מדוע?^{[דרושה הבהרה]}
  
  
• $x^{2}+1$ : זהו פולינום פריק מעל שדה זה, כיוון שמתקיימת בו משוואת "החלום של פרשמן":
  
  $x^{2}+x+1\underbrace {\equiv } _{\text{Freshman's Dream equation}}x^{2}+1{\text{ }}\left(mod{\text{ 2}}\right)$ .

מספר הפולינומים האי פריקים בשדה

באופן כללי, מספר הפולינומים האי פריקים, בעלי סדר $n$ (כלומר, שהחזקה הגבוהה ביותר בפולינום הנה $n$), מעל שדה $GF\left(q\right)$ , נתונה על ידי הנוסחה הבאה:

Necklace Polynomial (פולינום השרשרת?^{[דרושה הבהרה]})

$L_{q}\left(n\right)={\frac {1}{n}}\sum _{d|n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)\cdot q^{d}$ ,

כאשר $\mu \left(n\right)$ היא פונקציית מוביוס.

מספר הפולינומים האי פריקים מסדר $n$ , מעל השדה הסופי: $GF\left(2\right)$ , שווה ל:

• מספר השרשראות הא-פריודיות המקובעות (האם זהו התרגום הנכון ל- fixed aperiodic necklaces ?^{[דרושה הבהרה]}), בעלות $n$ חרוזים (האם זהו התרגום הנכון למילה bead ?^{[דרושה הבהרה]}), בשני צבעים שונים.

• מספר מילות לינדון בינאריות, בעלות אורך $n$ .

הטבלה הבאה מציגה את הפולינומים האי פריקים ($mod{\text{ 2}}$) , החל מסדר $n=1$ ועד $n=5$ :.

הפולינומים האי פריקים מסדר $n$ מעל השדה הסופי: $GF\left(2\right)$ (עד סדר חמישי)

$n$	פולינומים אי פריקים	מספר הפולינומים האי פריקים עבור סדר זה
$1$	$x$ $1+x$	$2$
$2$	$1+x+x^{2}$	$1$
$3$	$1+x+x^{3}$ $1+x^{2}+x^{3}$	$2$
$4$	$1+x+x^{4}$ $1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}$ $1+x^{3}+x^{4}$	$3$
$5$	$1+x^{2}+x^{5}$ $1+x+x^{2}+x^{3}+x^{5}$ $1+x^{3}+x^{5}$ $1+x+x^{3}+x^{4}+x^{5}$ $1+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}$ $1+x+x^{2}+x^{4}+x^{5}$	$6$

סדרי הפולינומים האפשריים של פולינומים אי פריקים ממעלה $n$ , מעל השדה: $GF\left(2\right)$ רשומים להלן, בסדר עולה:

וולפרם מתמטיקה ->

סדר הפולינומים- משולש להבין ולהסביר את המשולש הזה^{[דרושה הבהרה]} -> אותו הדבר, רק בטור (חד ממד ולא דו ממד).

מקור נוסף.

${\displaystyle }$

פולינומים פרימיטיביים- הסבר

פולינומים מעל שדה גלואה.

• פולינומים פרימיטיביים ושדות גלואה בעלי סדר $p^{m}$

<math></math>

מושגים הדורשים הבהרה

• quotient map
• linear map
• האם סדר השדה שווה בהכרח למאפיין השדה?
• מהו ההבדל בין $F$ ובין $\mathbb {F} _{p}$?

רשימת מקורות

• מקור ראשון.
• מקור שני.
• מקור שלישי.
• מקור רביעי.
• מקור חמישי.
• מקור שישי.
• מקור שביעי.
• מקור שמיני. מציאת פולינומים אי פריקים מתוקנים מעל שדה סופי F.
• מקור תשיעי.
• מקור 10.
• מקור 11.
• מקור 12.
• מקור 13.
• מקור 14.
• מקור 15: ויקיפדיה האנגלית, הערך: "שדה סופי" ("Finite field").
• שדות סופיים.
• הרצאה של אוניברסיטת סטנפורד בנושא שדות סופיים.
• The Use of Finite Polynomial Rings in the Factorization of the General Polynomial

---

המאפיין (או המציין) של שדה הוא המספר הטבעי הקטן ביותר השווה לאפס בשדה. ביתר פירוט, המספרים $\ 1,1+1,1+1+1,1+1+1+1,...$ הם איברים של השדה, ויש שתי אפשרויות: או שכולם שונים זה מזה, ואז אומרים שהשדה בעל מאפיין אפס, או שלא, ואז המאפיין הוא המספר הקטן ביותר של 1-ים שיש לחבר כדי לקבל 0. במקרה זה המאפיין הוא מספר ראשוני (משום שאין מחלקי אפס בשדה).

דוגמאות

שדה המספרים הרציונליים וכל ההרחבות שלו, כמו המספרים הממשיים והמספרים המרוכבים הם בעלי מאפיין אפס. שדה סופי אינו יכול להיות בעל מאפיין אפס.

בשדה ממאפיין $\ 0<p$ מתקיים השוויון $\ (a+b)^{p}=a^{p}+b^{p}$, כלומר שהעלאה בחזקת p היא איזומורפיזם מהשדה אל עצמו. הומומורפיזם זה הוא תמיד חד-חד-ערכי, ומגדיר שיכון של השדה לתוך עצמו (שהוא על אם השדה סופי, ראו האוטומורפיזם של פרובניוס).

הכללות

אפשר להגדיר מאפיין של חוג עם יחידה R באותה דרך בה מגדירים מאפיין של שדה. ההעתקה מ-$\ n$ לסכום של $\ n$ פעמים 1, מהווה הומומורפיזם מחוג השלמים ל- R, שהגרעין שלו הוא האידאל הנוצר על ידי המאפיין. לדוגמה, לכל מערכות המספרים יש מאפיין אפס.

המאפיין של תחום שלמות הוא תמיד אפס או מספר ראשוני, אבל לכל מספר טבעי n קיים חוג בעל מאפיין n: חוג המנה $\ \mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$.

אפשר להגדיר מאפיין גם עבור חוג בלי יחידה: המאפיין של R הוא המספר המינימלי n כך שסכום n פעמים $\ a+a+a+...+a$ שווה לאפס עבור כל איבר בחוג. המאפיין שווה לאקספוננט של החוג כחבורה קומוטטיבית.

ראו גם

במקרים רבים מפתחים תאוריות מתמטיות תוך כדי הנחות על המאפיין של השדה. למשל, בגאומטריה אלגברית ובתחומים רבים באנליזה מקובל לעבוד מעל שדה סגור אלגברית ממאפיין אפס. התאוריה של תבניות ריבועיות מסתבכת מעט במאפיין 2. בתורת גלואה הרחבות של שדות ממאפיין אפס הן תמיד ספרביליות, בעוד שהרחבות של שדות ממאפיין חיובי אינן בהכרח כאלה (ראו הרחבות ציקליות של שדות).

הערות שוליים

קטגוריה:אלגברה