נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה

בתורת המספרים נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה היא נוסחה המקשרת בין מספר מחלקה של מספר שלם $d$ והערך של פונקציית $L$ של דיריכלה המתאימה לקרקטר דיריכלה ממשי המתאים ל - $d$ ב -1. את הנוסחה הוכיח דיריכלה בשנת 1839 כחלק מהוכחתו של משפט דיריכלה על ראשוניים בסדרות חשבוניות.

רקע ומוטיבציה

ערכים מורחבים – קרקטר דיריכלה, פונקציית L של דיריכלה, תבנית ריבועית בינארית, דיסקרימיננטה (תבנית ריבועית), מספר מחלקה

• עבור מספר טבעי $m$, קרקטר דיריכלה עם מנחה (condactor) $m$ הוא פונקציה $\chi :\mathbb {N} \to \mathbb {C}$ המקיימת:

1. לכל $n\in \mathbb {N}$ מתקיים: $\chi (n+m)=\chi (n)$
2. לכל $n$ זר ל-$m$ מתקיים: $\chi (n)=0$
3. לכל $n,k\in \mathbb {N}$ מתקיים: $\chi (nk)=\chi (n)\chi (k)$
4. $\chi (1)=1$

• עבור קרקטר דיריכלה $\chi$, פונקציית $L$ של דיריכלה מוגדרת כך:

$$L(s,\chi ):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}.$$

קל לראות שטור זה מתכנס (בתנאי) עבור $s=1$. דיריכלה הבין שטור זה נושא מידע רב על ההתפלגות של מספרים ראשוניים בסדרות חשבוניות.

• קרקטר דיריכלה נקרא ממשי אם כל ערכיו הם מספרים ממשיים.

דיריכלה הוכיח שערך $L(1,\chi )$ לא מתאפס עבור קרקטרים שאינם ממשיים. דיריכלה רצה להוכיח שזה נכון גם עבור קרקטר ממשי. לשם כך הוא מיין תחילה את הקרקטרים הממשיים.

• עבור כל מספר טבעי $a$ ומספר ראשוני אי־זוגי $p$ סימן לז'נדר מוגדר על ידי:

$a$ מתחלק ב־$p$ ללא שארית. $a$ זר ל־$p$ והוא שארית ריבועית מודולו $p$. $a$ זר ל־$p$ ואינו שארית ריבועית מודולו $p$.

$\left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}0&:a\equiv 0{\pmod {p}}&\\1&:a\not \equiv 0{\pmod {p}},&a\equiv x^{2}{\pmod {p}}\\-1&:a\not \equiv 0{\pmod {p}},&a\not \equiv x^{2}{\pmod {p}}\end{cases}}$

• סימן קרונקר הוא הרחבה של סימן לז'נדר שמוגדר באופן הבא:

• עבור $p=2$ מגדירים:

$$\left({\frac {a}{2}}\right):={\begin{cases}0&{\mbox{if }}a{\mbox{ is even,}}\\1&{\mbox{if }}a\equiv \pm 1{\pmod {8}},\\-1&{\mbox{if }}a\equiv \pm 3{\pmod {8}}.\end{cases}}$$

• עבור $p=-1$ מגדירים:

$$\left({\frac {a}{-1}}\right):={\begin{cases}-1&{\mbox{if }}a<0,\\1&{\mbox{if }}a\geq 0.\end{cases}}$$

• $d$ שלם (שונה מ - 0) כלשהו מפרקים את $d$ לגורמים ראשוניים (לאו דווקא שונים) $d=up_{1}\cdots p_{n}$ כאשר $u=\pm 1$ ומגדירים:

$$\left({\frac {a}{d}}\right):=\left({\frac {a}{u}}\right)\prod _{i=1}^{n}\left({\frac {a}{p_{i}}}\right)$$

ניתן להראות שכל קרקטר דיריכלה ממשי ניתן לכתוב כ:

$$\chi (n)=\left({\frac {d}{n}}\right)$$

עבוד $d$ מתאים. דיריכלה קישר את הערך של פונקציית L עבור קרקטר זה לעבודותיו של גאוס על תבניות ריבועיות בינאריות:

• תבנית ריבועית בינארית היא פונקציה $f:\mathbb {Z} ^{2}\to \mathbb {Z}$ מהצורה $f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}$.
• דיסקרימיננטה של תבנית רבועית $f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}$ מוגדרת להיות $\Delta =b^{2}-4ac$
• מספר המחלקה $h(\Delta )$ של מספר שלם $\Delta$ הוא מספר התבניות הבינריות בעלות דיסקרימיננטה $\Delta$ עד כדי שקילות.

נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה קושרת בין הערך $L(1,\chi )$ ובין מספר המחלקה $h(d)$.

הנוסחה

נקבע מספר שלם $d<0$. נסמן $\chi (n)=\left({\frac {d}{n}}\right)$

המקרה השלילי

כאשר $d<0$ קל יותר לנסח את נוסחת מספר המחלקה. נסמן

$$w={\begin{cases}2,&d<-4;\\4,&d=-4;\\6,&d=-3.\end{cases}}$$

במקרה זה נוסחת מספר המחלקה קובעת ש:

$$h(d)={\dfrac {w{\sqrt {|d|}}}{2\pi }}L(1,\chi )$$

המקרה החיובי

כאשר $d$ חיובי, כדי לנסח את נוסחת מספר המחלקה יש להגדיר גודל שנקרא הרגולטור של $d$. גודל זה מתקבל מניתוח הפתרונות של משוואת פל: $x^{2}-y^{2}d=4$. נמצא פתרון $(x,y)$ במספרים השלמים כך ש - $x,y>0$ ו - $y$ הקטן ביותר האפשרי. נגדיר

$$\varepsilon (d)={\frac {1}{2}}(x+y{\sqrt {d}}).$$

הרגולטור של $d$ מוגדר על-ידי:

$$R(d)=ln(\varepsilon (d))$$

במקרה זה נסחת מספר המחלקה קובעת:

$$h(d)={\dfrac {\sqrt {|d|}}{R(d)}}L(1,\chi )$$

הוכחת הנוסחה

מנקודת מבט מודרנית, הדרך הפשוטה להוכיח את הנוסחה היא להסיקה מנוסחת מספר המחלקה של דדקינד. למעשה, אין צורך בנוסחת מספר המחלקה של דדקינד באופן כללי אלא רק בנוסחת מספר המחלקה של דדקינד עבור הרחבה ריבועית של $\mathbb {Q}$. מקרה זה של נוסחת מספר המחלקה של דדקינד קל משמעותית מהמקרה הכללי. בפרט הוא לא דורש את משפט היחידות של דיריכלה אלה רק את ניתוח פתרונות משוואת פל.

נראה את הקשר בין נוסחת מספר המחלקה של דדקינד ובין נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה. יהיה $\chi (n)=\left({\frac {d}{n}}\right)$ כמו קודם ותהי $\zeta (s)$ פונקציית זטא של רימן. המכפלה

$$\zeta (s)L(s,\chi )$$

שווה לפונקציית זטא של דדקינד $\zeta _{\mathbb {Q} \langle {\sqrt {d}}\rangle }(s)$עבור השדה $\mathbb {Q} \langle {\sqrt {d}}\rangle$ לכן:

$$L(1,\chi )=\lim _{s\to 1}{\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta (s)}}=\lim _{s\to 1}{\frac {(s-1)\zeta _{K}(s)}{(s-1)\zeta (s)}}={\frac {\lim _{s\to 1}(s-1)\zeta _{K}(s)}{\lim _{s\to 1}(s-1)\zeta (s)}}$$

קל להראות ש - $\lim _{s\to 1}(s-1)\zeta (s)=1$. מכאן ש:

$$L(1,\chi )=\lim _{s\to 1}(s-1)\zeta _{K}(s)$$

נוסחת מספר המחלקה של דדקינד נותנת נוסחה לאגף ימין של שיווין זה, שמתלכד במקרה זה עם אגף ימין של נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה.

נוסחה נוספת לערך של פונקציית L

בנוסף לנוסחת מספר המחלקה דיריכלה פיתח נוסחה ל - $L(1,\chi )$ עבור קרקטר דיריכלה כלשהו עם מנחה $m$ המציגה אותו כסכום סופי:

$$L(1,\chi )=-{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m-1}\ln(1-e^{2\pi ik/m})\sum _{l=1}^{m}\chi (l)e^{2\pi ikl/m}$$

פיתוח הנוסחה מתבסס על פירוק של $\chi$ לצירוף ליניארי של קרקטרים אדיטביים באמצעות התמרת פוריה אדיטיבית. זאת אומרת פירוק של $\chi$ לצירוף ליניארי של פונקציות מחזוריות $\psi _{i}$ המקיימות $\psi _{i}(k+l)=\psi _{i}(k)\psi _{i}(l)$. מקדמי פירוק זה הם סכומי גאוס סופיים. נותר לחשב את טורי דיריכלה $L(1,\psi _{i})$. קל לפתח נוסחה סגורה לטורים אלה באמצעות פונקציות יוצרות.

בשונה מנוסחת מספר המחלקה, נוסחה זאת לא מספקת הוכחה לאי־התאפסות של $L(1,\chi )$. לאומת זאת הנוסחה מספקת דרך קלה ומהירה לחשב את פונקציית L ב - 1 עבור קרקטר נתון. בשילוב עם נוסחת מספר המחלקה, נוסחה זו נותנת ביטוי סגור וסופי בשביל מספר המחלקה של כל מספר שלם.

במקרה שהמנחה $m$ ראשוני (אי־זוגי) והקרקטר $\chi$ ממשי אז ניתן לפשט נוסחה זו באמצעות נוסחאות מפורשות לסכומי גאוס ולקבל (עבור $\chi$ לא טריבוויאלי):

$$L(1,\chi )={\begin{cases}-{\dfrac {\pi }{m^{3/2}}}\sum _{k=1}^{m-1}m\left({\dfrac {k}{m}}\right),&m\equiv 3\mod 4;\\-{\dfrac {1}{2m^{1/2}}}\sum _{k=1}^{m-1}\left({\dfrac {k}{m}}\right)\ln \left(\sin {\dfrac {k\pi }{q}}\right),&m\equiv 1\mod 4.\end{cases}}$$

שימושים

השימוש הראשון בנוסחת מספר המחלקה היה הוכחת אי־התאפסות של $L(1,\chi )$ עבור כל קרקטר דיריכלה $\chi$. טענה זו גוררת את משפט דיריכלה על מספרים ראשוניים בסדרות חשבוניות, ומהווה למעשה את חלק הארי של ההוכחה.

השימושים המודרניים בנוסחה הם בכיוון ההפוך: משתמשים בהערכות של הערך $L(1,\chi )$ כדי לקבל את מספר המחלקה. כיוון שמספר המחלקה שלם, אין צורך לחשב את $L(1,\chi )$ במדויק. חישוב מספיק מדויק מספק הערכת שגיאה של פחות מ - 1 בערך של מספר המחלקה, ומכאן אפשר להסיק את המספר במדויק.

שימוש זה בנוסחה הופך יעיל יותר כאשר משלבים אותה עם הנוסחה הנוספת לערך $L(1,\chi )$. יחד הן נותנות ביטוי קל לחישוב של מספר המחלקה. בשיטה זו אפשר לחשב את מספר המחלקה למספרים גדולים למדי (באמצעות מחשב).

קשר לנוסחת מספר המחלקה של דדקינד

ערך מורחב – נוסחת מספר המחלקה של דדקינד

מספר מחלקה של מספר שלם הוא מקרה פרטי של מספר המחלקה של שדה מספרים. כמו שנוסחת מספר המחלקה של דיריכלה מספקת נוסחה למספר המחלקה של מספר שלם, נוסחת מספר המחלקה של דדקינד מספקת נוסחה למספר המחלקה של שדה מספרים. כפי שראינו מעלה, קל להסיק את נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה מנוסחת מספר המחלקה של דדקינד עבור הרחבה ריבועית של $\mathbb {Q}$.

ראו גם

• נוסחת מספר המחלקה של דדקינד
• מספר מחלקה
• פונקציית L של דיריכלה
• משפט דיריכלה

לקראה נוספת

• פרק בספר שעוסק בנושא: Wright, S. (2016). Dirichlet’s Class-Number Formula. In: Quadratic Residues and Non-Residues. Lecture Notes in Mathematics, vol 2171. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-319-45955-4_8
• Władysław Narkiewicz, The Development of Prime Number Theory From Euclid to Hardy and Littlewood

קישורים חיצוניים

• Roy Zhao, The Class Number Formula for Quadratic Fields and Related Results, January 31, 2016