עקרון הסה

במתמטיקה, העיקרון המקומי-גלובלי של הלמוט האסה, הידוע גם כעקרון האסה, הוא עקרון המבטיח בתנאים מסויימים קיום פתרונות למערכות משוואות פולינומיאליות מעל המספרים הרציונליים. כדי לקבוע קיום פתרון בראציונלים מציע העקרון להתבונן בפתרונות של המשוואה בשדות ההשלמה של המספרים הרציונליים: המספרים הממשיים והמספרים ה-$p$-אדיים. אם קיים פתרון שם, אז עשוי להיות פתרון למשוואה גם במספרים ראציונליים. גרסה פורמלית יותר של עקרון האסה קובעת שלסוגים מסוימים של משוואות יש פתרון רציונלי אם ורק אם יש להם פתרון במספרים הממשיים ובמספרים ה-p-אדיים עבור כל p ראשוני. באופן יותר כללי העיסוק בעקרון האסה מתייחס לשאלה עבור אילו משוואות שמקדמיהן בשדה גלובלי אפשר לתפור ממשפחה של פתרונות משדות מקומיים עבור המשוואה, פתרון למשוואה בשדה הגלובלי?

רעיון אינטואיטיבי

בהינתן מערכת משוואת פולינומית עם מקדמים רציונליים, אם יש לה פתרון רציונלי, אז פתרון זה מהווה גם פתרון ממשי וגם פתרון $p$-אדי. זאת מכיוון ששדה המספרים הרציונליים משוכן בשדה המספרים הממשיים וגם משוכן בשדה המספרים ה $p$-אדיים. באופן יותר כללי, פתרון בשדה גלובלי מניב פתרונות בשדות המקומיים המתאימים להשלמה של השדה בכל המקומות. עקרון האסה מתייחס למצבים שבהם קיום של פתרונות למערכת בכל ההשלמות גורר את קיומו של פתרון בשדה המספרים הנתון.

בדומה אם למערכת משוואות פולינומית עם מקדמים שלמים יש פתרונות בשלמים אזי פתרון כזה מהווה גם פתרון בממשיים ובחוג השלמים ה $p$-יאדים לכל $p$ ראשוני. במקרה זה עיקרון הסה יתייחס למצבים שבהם קיום פתרונות למערכת בכל חוגי השלמים ה $p$-אדים ובשדה הממשיים גורר את קיומו של פתרון במספרים שלמים.

הרעיון הבסיסי הוא שאם יש פתרון בחוג השלמים ה-$p$-אדים עבור כל $p$, אז ניתן לתפור מפתרונות אלו באמצעות משפט השאריות הסיני פתרון בחוג $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ (זאת אומרת, פתרון שיקיים את המשוואה מודולו $n$) עבור כל שלם $n$. לאחר מכן משתמשים בתכונות מיוחדות של המערכת כדי "להרים" פתרונות אלה לכדי פיתרון שלם.

העיקרון הוא משפט מתמטי במספר מקרים מעניינים אבל גם במקרים שהעיקרון אינו מתקיים יש לעיתים אפשרות לתאר בצורה מתמטית את הסיבה לכישלונו.

תבניות המייצגות את אפס

תבניות ריבועיות

משפט האסה-מינקובסקי קובע שהעיקרון המקומי-גלובלי תקף עבור הבעיה של ייצוג המספר אפס על ידי תבנית ריבועית המוגדרת מעל שדה מספרים. התוצאה הוכחה תחילה עבור שדה המספרים הראציונלים על ידי הרמן מינקובסקי, ובאופן כללי יותר, לשדות מספרים, על ידי הלמוט האסה. במקרה הכללי יש להניח כי התבנית מייצגת את אפס בכל השדות המקומיים המתאימים. ראוי לציין את משפט לג'נדר (1785) אודות תבניות ריבועיות בשלושה משתנים שמראה גרסה של העיקרון המקומי-גלובלי עבור יצוג אפס על ידי תבניות אלו, בשפה של קונגרואנציות. בגרסה זו אפשר להסיר את הדרישה לקיומו של פתרון בממשיים.

הרחבות שדות

משפט האסה על הרחבה ציקלית $E/F$ של שדות מספרים קובע שהעיקרון המקומי-גלובלי חל על התנאי של היותו של אבר בשדה $F$ נורמה של איבר בשדה ההרחבה $E$. נשים לב שבמקרה ש-$E/F$ היא הרחבה ריבועית אז משפט זה נובעה ממשפט הסה-מינקובסקי (למקרה הדו-ממדי).

תבניות ממעלה שלוש

דוגמה נגדית של ארנסט ס. סלמר מראה שלא ניתן להרחיב את משפט האסה-מינקובסקי לתבניות מדרגה 3: למשוואה $$3x^{3}+4y^{3}+5z^{3}=0$$ יש פתרון במספרים ממשיים, ויש פתרון בכל השדות הפיאדים, אבל אין לה פתרון לא טריוויאלי במספרים ראציונליים. דוגמא נגדית מעל השלמים (בורווי-רודניק) היא המשוואה $$-9x^{2}+2xy+7y^{2}+2z^{2}=1$$ לה יש פתרונות בכל החוגים הפיאדים ובממשיים, אבל אין לה פתרון בשלמים.

רוג'ר הית'-בראון (Roger Heath-Brown) הראה שכל תבנית מדרגה שלוש מעל המספרים השלמים בלפחות 14 משתנים מייצגת 0. תוצאה זו משפרת תוצאות קודמות של הארולד דבנפורט (Davenport). נובע כי העיקרון המקומי-גלובלי מתקיים באופן טריוויאלי עבור תבניות מדרגה שלוש מעל הרציונלים בלפחות 14 משתנים. נעיר כי כל תבנית מדרגה שלוש מעל המספרים ה-p-יאדים עם לפחות עשרה משתנים מייצגת אפס.

אם מצטמצמים לתבניות לא סינגולריות, אפשר לקבל תוצאות חזקות יותר: הית' בראון הוכיח שכל תבנית מדרגה שלוש ב-10 משתנים לפחות שאינה סינגולרית מעל המספרים הרציונליים מייצגת אפס, ובכך ביסס באופן טריוויאלי את עקרון האסה עבור מחלקה זו של תבניות.

בהקשר מסויים התוצאה של הית' בראון היא החזקה ביותר האפשרית: קיימות תבניות מדרגה שלוש לא סינגולריות מעל הרציונלים ב-9 משתנים שאינן מייצגות אפס. מאידך, Hooley הראה שעקרון האסה תקף לייצוג אפס על ידי תבניות מדרגה שלוש בתשעה משתנים לפחות ובלבד שאינן סינגולריות מעל המספרים הרציונליים. שאלה פתוחה היא האם העיקרון תקף עבור תבניות מדרגה שלוש בחמישה משתנים ומעלה. ההוכחות של תוצאות אלו של דבנפורט, הית'-בראון והולי השתמשו בשיטת המעגל של הארדי-ליטלווד.

לפי רעיון של יורי מאנין, ניתן לקשור את המכשולים להתקיימות עקרון האסה בתבניות מדרגה שלוש, לתיאוריה של חבורת בראואר (Brauer groups). באופן כללי ניתן להגדיר לכל יריעה אלגברית, איבר בחבורת בראואר הנקרא Manin-Brauer obstruction , ועבור מחלקות מסוימות של יריעות אלגבריות התקיימות עיקרון האסה עבור היריעה שקול לגמרי להתאפסות האיבר הנ"ל. עם זאת, סקרובוגטוב הראה ש Manin-Brauer obstruction אינו יכול להסביר את כל המקרים בו עקרון האסה כושל. עבודות של תומר שלנק ויונתן הרפז מבטאות את הכשלון של עיקרון האסה בשפה של תורת ההומטופיה.

תבניות מדרגה גבוהה

דוגמאות נגדיות של פוג'יווארה וסודו מראות שמשפט האסה-מינקובסקי אינו ניתן להרחבה לתבניות מדרגה $10n+5$, כאשר n הוא מספר שלם לא שלילי.

מצד שני, משפט Birch מראה שאם d הוא מספר טבעי אי-זוגי כלשהו, אז יש מספר $N(d)$ כך שכל תבנית מדרגה $d$ ביותר מ-$N(d)$ משתנים מייצגת אפס. עבור תבניות כאלו עקרון האסה מתקיים באופן טריוויאלי.

משפט אלברט-בראואר-האסה-נותר

משפט אלברט-בראואר-האסה-נותר מתייחסת לנכונותו של העיקרון המקומי-גלובלי ביחס לתכונת הפיצול של אלגברה פשוטה מרכזית $A$ מעל שדה מספרים $K$. הוא קובע שאם $A$ מתפצלת בכל השלמה $K_{v}$ אז $A$ איזומורפית לאלגברת מטריצות מעל $K$.

חבורות אלגבריות

עקרון האסה לחבורות אלגבריות קובע שאם $G$ היא חבורה אלגברית פשוטת קשר המוגדרת מעל השדה הגלובלי $K$, אז ההעתקה $H^{1}(K,G)\rightarrow \prod _{s}H^{1}(K_{s},G)$ היא חד חד ערכית. המכפלה באגף ימין נלקחת על קבוצת המקומות $s$ של השדה הגלובלי $K$. יש וריאציה קצת יותר מסובכת עבור חבורות שאינן פשוטות קשר, ועקרון האסה עבור החבורה אורתוגונלית $O(Q)$ קשור קשר הדוק לעקרון האסה עבור התבנית הריבועית $Q$.

קנסר (בשנת 1966) ואחרים אימתו את עקרון האסה על ידי הוכחות פרטניות לכל חבורה אלגברית (פשוטת קשר). המקרה האחרון, החבורה $E_{8}$, טופל על ידי צ'רנוסוב בשנת 1989.

עיקרון האסה לחבורות אלגבריות שימש בהוכחת ההשערה של אנדרה וייל אודות מספרי טמאגאווה (Tamagawa) ובהוכחת משפט הקירוב החזק.

ראו גם

• משפט האסה-מינקובסקי
• אנליזה מקומית (Local analysis)
• משפט גרונאוולד-ואנג
• השערת העקמומיות הפיאדית של גרותנדיק-קאטס

קישורים חיצוניים

• וידאו של Numberphile על עקרון הסה באתר Youtube.
• עקרון הסה בWolfram MathWorld

לקריאה נוספת

• Number Theory, מאת בורביץ' ושפרביץ'.