פתיחת התפריט הראשי

חבורה אלגברית

Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

חבורה אלגברית היא אובייקט שהוא בו זמנית גם חבורה וגם יריעה אלגברית, כך שההעתקות

  • הכפל: , המוגדרת על ידי ,
  • וההפכי: , המוגדרת על ידי ,

הן מורפיזמים (העתקות רגולריות) של יריעות אלגבריות.

יריעות אלגבריות מצוידות בטופולוגיית זריצקי, ההופכת כל חבורה אלגברית לחבורה טופולוגית. אולם טופולוגיה זו לא מבטאת את המבנה הגאומטרי של החבורה. לעומת זאת אם על השדה מעליו מוגדרת החבורה נתונה טופולוגיה (למשל כאשר ) אז אנו מקבלים טופולוגיה עדינה יותר על החבורה (או ליתר דיוק על קבוצת ה -נקודות שלה ). אם המציין של הוא 0, אז ניתן להראות ש G יריעה חלקה, ולכן, כאשר , על יש מבנה של חבורות לי.

דוגמאותעריכה

כל שיכון של חבורה אלגברית בחבורה   נקרא "הצגה ליניארית" של החבורה. חבורה אלגברית שקיימת לה הצגה נאמנה כתת-חבורה סגורה של   נקראת חבורה אלגברית ליניארית או "חבורה אלגברית אפינית".

הדרגה של חבורה אלגברית חוסמת את רמת המורכבות שלה. לפי משפט קלאסי של קמיל ז'ורדן, לכל n יש קבוע N כך שלכל תת-חבורה של   יש תת-חבורה נורמלית אבלית מאינדקס N לכל היותר.

דוגמה מפורטתעריכה

נראה דוגמה מפורטת של חבורה אלגברית:  .

  • זו חבורה עם הפעולה של כפל מטריצות.
  • זו יריעה אלגברית, שניתן להציגה כיריעה הסגורה   כאשר אנו מזהים כל מטריצה כ-  ואז  ; קיומו של מספר t כך ש-  שקול לכך ש- . הפונקציות הרגולריות הבסיסיות על יריעה זו הן   המחזירות את הקואורדינטה בשורה ה-i ובעמודה ה-j במטריצה A, וכן הפונקציה   (למעשה זו הפונקציה שמחזירה את ה"קואורדינטה" t).
  • יהיו   ו- , אז למשל   ולכן כפל מטריצות הפיכות היא העתקה רגולרית.
  •   וקל לראות שגם זו פונקציה רגולרית (השבר שכופל את המטריצה שווה לאחד חלקי הדטרמיננטה ולכן הוא פונקציה רגולרית!), ומכאן שגם פונקציית ההפכי רגולרית.

בסך בכל נובע ש-G היא חבורה שהיא גם יריעה אלגברית כך שפעולות הכפל וההפכי הן פונקציות רגולריות ולכן היא חבורה אלגברית.

קשרים בין חבורותעריכה

תת-חבורה אלגברית H של חבורה אלגברית G היא תת-חבורה מופשטת, שמהווה גם תת-יריעה של G והיא סגורה בטופולוגיית זריצקי. ניתן להגדיר גם את המנה  . אם H היא תת-חבורה אלגברית של G אז למרחב הקוסטים G/H קיים מבנה יחיד של יריעה קווזי-פרויקטיבית שעבורו הפעולה של G על G/H היא רגולרית (למעשה, ניתן לזהות את H, כמייצב של וקטור במרחב פרויקטיבי שעליו פועלת G). אם G היא אפינית ו H תת-חבורה נורמלית אז המנה G/H היא חבורת מנה אפינית - כלומר: חבורה אלגברית ויריעה אלגברית אפינית.

סוגים של חבורותעריכה

חבורה אלגברית G נקראת "אי-פריקה" אם כיריעה היא יריעה אי-פריקה בטופולוגיית זריצקי. עבור חבורה אלגברית ניתן להראות ש-G היא אי-פריקה אם ורק אם היא קשירה (בטופולוגיית זריצקי). לכן עבור חבורות אלגבריות בדרך כלל משתמשים במינוחים חבורות קשירות וחבורות אי-פריקות לחלופין. לעומת זאת, יש מתמטיקאים שמשתמשים במונח "אי-פריקות" ביחס לטופולוגיית זריצקי ואילו במונח "קשירות" ביחס לטופולוגיה המוגדרת על ידי הטופולוגיה על השדה   (בעיקר במקרים  ). [1]

חבורה נקראת אפינית, אם היא אפינית כיריעה אלגברית. ניותן להראות כי במקרה זה היא ניתנת לשיכון (כתת-חבורה) ב   (עבור איזה שהוא   טבעי). לכן קראים לחבורות כאילו גם חבורות ליניאריות.

חבורה אלגברית אפינית G היא בפרט יריעה אלגברית אפינית שהיא מרחב טופולוגי נתרי ולכן יש לה מספר סופי של מרכיבים אי-פריקים. הרכיב האי-פריק של G המכיל את איבר היחידה מסומן   ונקרא identity component. הרכיב הקשיר של איבר היחידה   הוא תת-חבורה נורמלית סגורה של G.

חבורה ליניאריות G נקראת פתירה אם קיימת סדרה יורדת של תת-חבורות נורמליות ב-G כך שהמנות העוקבות הן חבורות קומוטטיביות (בדומה למושג המקביל בתורת החבורות).

הרדיקל (הפתיר) של חבורה ליניארית היא הרכיב הקשיר של איבר היחידה של תת-החבורה הנורמלית הפתירה המקסימלית שלה. חבורה ליניארית קשירה נקראת פשוטה-למחצה אם הרדיקל הפתיר שלה טריביאלי.

הרדיקל האוניפוטנטי של חבורה ליניארית הוא תת-החבורה האוניפוטנטית הגדולה ביותר של הרדיקל הפתיר. חבורה ליניארית שהרדיקל האוניפוטנטי שלה טריוויאלי נקראת חבורה רדוקטיבית. כל חבורה פשוטה-למחצה היא רדוקטיבית.

חבורה ליניארית קשירה G נקראת פשוטה אם היא לא קומוטטיבית וגם אין לה תת-חבורות נורמליות קשירות סגורות לא טריוויאליות. היא נקראת כמעט פשוטה אם יש לה מרכז סופי Z והחבורה G/Z היא פשוטה.

ראו גםעריכה

לקריאה נוספתעריכה

חבורות ליניאריותעריכה

יריעות אבליותעריכה

קישורים חיצונייםעריכה

הערות שולייםעריכה

  1. ^ אם   אז שני מושגי הקשירות שקולים, אולם המצב שונה במקרה ש  למשל החבורה האלגברית   קשירה אולם חבורת הנקודות הממשיות שלה   איננה קשירה.