פאבל אלכסנדרוב

מתמטיקאי רוסי וסובייטי

פאבל סרגייביץ' אלכסנדרוברוסית: Па́вел Серге́евич Алекса́ндров,‏ 7 במאי 1896 בוגורודבק (כיום נוגינסק) - 16 בנובמבר 1982 מוסקבה) היה מתמטיקאי רוסי סובייטי, נציג אסכולת הטופולגיה ממוסקבה. הוא חיבר מעל שלוש מאות מאמרים ותרם תרומות חשובות בתחום תורת הקבוצות והטופולוגיה. נקראו לפי שמו הקומפקטיפיקציה על שם אלכסנדרוב והטופולוגיה על שם אלכסנדרוב. אלכסנדרוב היה החל משנת 1929 פרופסור באוניברסיטה הממלכתית של מוסקבה על שם לומונוסוב. ב-1953 נבחר כחבר באקדמיה למדעים של ברית המועצות . בשנים 1964 -1932 היה יושב ראש האיגוד המתמטי של מוסקבה ובשנים 1962-1958 כיהן כסגן יושב ראש האיחוד הבינלאומי למתמטיקה.

פאבל אלכסנדרוב
Павел Сергеевич Александров
Paul S Alexandroff 2.jpg
לידה 25 באפריל 1896 (יוליאני)
בוגורודסק, פלך מוסקבה, רוסיה, האימפריה הרוסית (כיום נוגינסק, מחוז מוסקבה, רוסיה) עריכת הנתון בוויקינתונים
פטירה 16 בנובמבר 1982 (בגיל 86)
מוסקבה, רוסיה, ברית המועצות עריכת הנתון בוויקינתונים
ענף מדעי טופולוגיה, תורת הקבוצות, גאומטריה, חשבון וריאציות, לוגיקה מתמטית, תורת הפונקציות עריכת הנתון בוויקינתונים
מקום קבורה Kavezinski cemetery עריכת הנתון בוויקינתונים
מקום לימודים
מנחה לדוקטורט דמיטרי יגורוב, ניקולאי לוזין עריכת הנתון בוויקינתונים
מוסדות
מונחה לדוקטורט ניקולאי שאנין, ודים יפרמוביץ', אלכסיי פרחומנקו, Eugine Vitalievich Shchepin, George Chogoshvili, Algirdas Matuzevicius, Vladimir Ivanovich Ponomarev, Boris Alekseevich Pasynkov, Igor Aleksandrovich Shvedov, Alexey Vladimirovich Ostrovsky, Vladimir Leonidovich Klushev, Igor Aleksandrovich Proskuryakov, Yuliya Antonovna Rozhanskaya, Isaak Genrikhovich Aramanovich, Aleksandr Iosifovich Polak, Irina Leonidovna Raukhvarger, Vladimir Evgenievich Shneider, E. E. Skurichin, Oleg Vyacheslavovich Lokutsievskii, Victor Ivanovich Zaitsev, S. V. Frolov, Isaak Aronovich Vainshtein, אלכסנדר קורוש, Lev Pontryagin, אנדריי טיכונוף, פליקס פרנקל, Kirill Aleksandrovich Sitnikov, Meer Feliksovich Bokshtein, Mikhail Aleksandrovich Kreines, Leonid Yakovlevich Neishuler, Alexander Arhangelskii, Vitaly Fedorchuk, Lev Kudryavtsev, Evgeny Mishenko, Viktor Nemytsky, Sergey Ryshkov, Mykhailo Shura-Bura, Yuri Mikhailovich Smirnov, Petru Soltan, Lev Abramovich Tumarkin, Nickolay Vedenisov עריכת הנתון בוויקינתונים
פרסים והוקרה
בן או בת זוג Ekaterina Romanovna Eiges עריכת הנתון בוויקינתונים
אנדריי קולמוגורוב עריכת הנתון בוויקינתונים
לעריכה בוויקינתונים שמשמש מקור לחלק מהמידע בתבנית OOjs UI icon info big.svg

ביוגרפיהעריכה

ילדות וצעירותעריכה

אלכסנדרוב נולד בשנת 1896 בבוגורודסק, בפלך מוסקבה, ברוסיה, אז חלק מהאימפריה הרוסית כבן של הרופא סרגיי אלכסנדרוביץ' אלכסנדרוב, הרופא הראשי של בית החולים הנפתי בבוגורודסק (מאוחר יותר, בית החולים של פלך סמולנסק). אמו, צזאריה אקימובנה לבית זדנובסקי השקיעה הרבה בחינוך של בנה, ולימדה אותו, בין היתר, צרפתית וגרמנית.[1][2]. בגיל שנה המשפחה עברה לעיר סמולנסק. בשנת 1913 סיים עם מדליית זהב את הגימנסיה הציבורית של סמולנסק, שבה מורה למתמטיקה דגול ואיש ספרות ממוצא יהודי בשם אלכסנדר אייגס טיפח בו את המשיכה למדעים. אלכסנדרוב הוקסם במיוחד על ידי יסודות הגאומטריה והגאומטריה הלא-אוקלידית. ב-1913 נרשם אלכסנדרוב באוניברסיטת מוסקבה. כבר בקורס הראשון השתתף בסמינרים של דמיטרי יגורוב והחל מהקורס השני הפך לתלמידו של ניקולאי לוזין. [3][2]

בשנת 1915 עוד כסטודנט בן 19, בהיותו מאותגר על ידי ניקולאי לוזין, פתר אלכסנדרוב שאלה על עוצמת קבוצות בורל. הוא הוכיח שכל קבוצת בורל שאינה בת מנייה מכילה תת-קבוצה מושלמת. השאלה נפתרה באופן עצמאית גם על ידי פליקס האוסדורף . לא רק פתרון השאלה היה בעל חשיבות בנוגע לתורת הקבוצות אלא גם השיטות שבהן השתמש אלכסנדרוב. הן הפכו לשיטות מן השימושיות ביותר בתורת הקבוצות התיאורית. הן נקראו על ידי מ. סוסלין, תלמיד אחר של לוזין, בשם "פעולות A" לכבוד אלכסנדרוב, אם כי הן ידועות במערב כ"פעולות סוסלין".[1][4] אלכסנדרוב הציג את ממצאיו בישיבת האגודה המתמטית במוסקבה ב-13 באוקטובר 1915. בשנת 1917 הוא סיים את לימודיו באוניברסיטה. לוזין דחף אותו לגשת גם לפתרון בעיית השערת הרצף. משלא הצליח לפתור אותה (בשנות ה-1960 הוכח שלא ניתן להוכיח ולא להפריך אותה) היה אלכסנדרוב מתוסכל מאוד והחליט לעזוב את תחום המתמטיקה בכלל.

הוא נסע לנובגורוד-סוורסקי ופנה כדי לעסוק בהפקות תיאטרון. בהמשך נסע לצ'רניגוב באוקראינה. שם לקח חלק בהקמת תיאטרון. פרט לכך הרצה ברוסית ובשפות זרות, והתוודע ל ל.וו. סובינוב, שהיה האחראי על תחום האומנות במשרד קומיסר העם לחינוך של אוקראינה. התיידד בצ'רניגוב גם עם הרבה משוררים, אמנים ומוזיקאים. בסופו של דבר בימי מלחמת האזרחים ברוסיה, בשנת 1919 הושלך לכלא למשך שבוע על ידי השלטון ה"לבן" של הגנרל אנטון דניקין וחלה בטיפוס הבהרות[5]. בשנת 1920 שב למוסקבה והצטרף לקבוצת המחקר "לוזיטניה" של לוזין ויגורוב באוניברסיטת מוסקבה, קבוצה שבה השתתפו גם פריבאלוב, סטפאנוב ואחרים.[2][1]. באותה שנה התמנה כמרצה בכיר באוניברסיטה.

יחד עם ידידו פאבל אוריסון (1924-1898), גם הוא מחלוצי הטופולוגיה, ביקר בשנים 1923-1924 באוניברסיטת גטינגן, בה למד אצל אמי נתר, וכן עם דוד הילברט וריכרד קוראנט. בהזדמנות כנסים בינלאומיים שהתקיימו אז בגטינגן אלכסנדרוב התיידד איתם, עם האוסדורף, ל. בראואר, הופף ועם מתמטיקאים נוספים מחוץ לארץ והמשיך לשתף פעולה איתם עוד זמן ארוך.

המשך הקריירה האקדמית והמחקריתעריכה

אחרי שסיים את עבודת הדוקטורט שלו ב-1927 עבד באוניברסיטת פרינסטון יחד עם היינץ הופף, אותו הכיר מקרוב עוד בגטינגן. חזר לעבוד באוניברסיטה הממלכתית של מוסקבה והצטרף גם למכון למתמטיקה על שם סטקלוב. ב-1929 התמנה לפרופסור. למעשה כבר בשנים 1923-1921 העביר אלכסנדרוב לסטודנטים קורס לאנליזה ממשית וקורס ראשון מסוגו באוניבסריטת מוסקבה לטופולוגיה כללית.

ב-1936 בימי הטיהורים הגדולים שאורגנו על ידי משטרו של סטלין השתתף אלכסנדרוב באופן פעיל ברדיפות בתירוצים הפוליטיים נגד עמיתו ומורו לשעבר, שנודעו כ"פרשת לוזין". לאלכסנדרוב היו תלמידים רבים, ביניהם אלכסנדר קורוש, לב פונטריאגין ואנדריי טיחונוב בשנת 1953 הוא נבחר כחבר באקדמיה הרוסית למדעים. בשנת 1933 הוקמה באוניברסיטת מוסקבה קתדרה לגאומטריה גבוהה ואלכסנדרוב הועמד בראשה. ב-1935 הקתדרה חולשה לקתדרה לגאומטריה ולקתדרה לטופולוגיה, כשאלכסנדרוב עמד בראש האחרונה. ב-1943 שתי הקתדרות אוחדו מחדש ועמדו תחת ניהולו עד שנת 1982.[6][7] בו זמנית בשנים 1950-1935 עמד אלכסנדרוב בראש מחלקת הטופולוגיה הכללית של המכון למתמטיקה על שם סטרלקוב של האקדמיה למדעים של ברית המועצות. בשנים -1932-1964 הוא כיהן כיושב ראש האגודה המוסקבאית למתמטיקה וב-1964 נבחר חיושב ראש לשם כבוד שלה. בשנת 1955 חתם על מכתב שלוש מאות המדענים שביקשו הפסקת המדיניות הרשמית של תמיכה בתאוריות של טרופים ליסנקו בתחום הביולוגיה והחקלאות. אלכסנדרוב היה עורך ראשי של הגאזטה "Успехи математических наук" (הישגי המדעים המתמטיים) ושל כתבי עת מתמטיים סובייטיים אחרים. בשנת 1935 נמנה עם המארגנים הראשונים של האולימפיאדה התלמידים למתמטיקה במוסקבה[2]

אלכסנדרוב היה בעל ידע רב בתחום המוזיקה. ערבי המוזיקה הקלאסית והעכשווית שארגן בימי שלישי "הערבים של אלכסנדרוב" נהנו מפופולריות רבה בקרב הסטודנטים והדוקטורנטים.

אלכסנדרוב נפטר במוסקבה בשנת 1982. הוא הובא לקבורה בבית הקברות קווזינסק בנפת פושקינו שבמחוז מוסקבה.[8]

עבודתו המדעיתעריכה

אלכסנדרוב עסק בהתחלה בעיקר בטופולוגיה כללית ובתורבת הקבוצות, אך התבלט במיוחד בעבודתו החלוצית בתחום הטופולגיה האלגברית, שבו אימץ בהשפעתה של אמי נתר גישה מופשטת המבוססת על תורת החבורות. בשנת 1915 הוכיח אלכסנדרוב הצעיר שכל קבוצת בורל שאינה בת מנייה מכילה תת-קבוצה מושלמת לא ריקה, והוכח על ידי כך שיש לה עוצמת רצף.[9] ב-1923 נמנה עם מפתחי תורת המרחבים הדיסקרטיים. יחד עם היינץ הופף כתב שנת 1935 את הספר "טופולוגיה", אחד מספרי לימוד הראשונים בתחום זה. הקומפקטיפקציה בנקודה אחת של מרחב קומפקטי מקומית נקראה לפי שמו קומקטיפיקצייה מסוג אלכסנדרוב של המרחב. אלכסנדרוב היה הראשון שהתשמש במשפט "גרעין של הומומורפיזם" ובסביבות בשנים 1941-1940 גילה את המרכיבים של סדרה מדויקת. הוא עבד גם בתחום תורת המיפויים הרצופים של המרחב הטופולוגי. ב-1965 עסק בחקר הווריאנטים של קנטור אלכסנדרוב מצא הוכחה חדשה למשפט פאנו בנוגע לתורה הכללית של העקומות האינטגרליות, המוגדרות על ידי המשוואות הדיפרנציאליות הרגילות. עם תלמידיו נמנו אלכסנדר קורוש, לב פונטריאגין, אנדריי טיחונוב

פרשת לוזיןעריכה

החל משנת 1931 הפכו ניקולאי לוזין ועמיתו דמיטרי ייגורוב, מוריהם של אלכסנדרוב, קולמוגורוב, ואחרים קרבן לרדיפות על רקע פוליטי. דמיטרי ייגורוב מת באותה שנהבעקבות שביתת רעב. ייגורוב הוחלף בראש המכון למתמטיקה על ידי ארנסט קולמן שעמד גם בהמשך בראש מסע רדיפות נגד לוזין. בשנת 1936 בעיצומם של הטיהורים הגדולים של סטלין, הוקע לוזין כאויב של המהפכה. אלכסנדרוב עם חבורת מתמטיקאים יותר צעירים שהיו תלמידיו של לוזין, קולמגורוב, שנירלסון, לזר ליוסטרניק, חינצ'ין ואחרים הצטרפו למסע נגד לוזין . הם האשימו אותו בפלגיאריזם - גניבת זכויות יוצרים - מכמה מתלמידיו, ביניהם פיוטר נוביקוב ומיכאיל סוסלין, כמו כן בנפוטיזם ובמניעת קידומם של קולומוגורוב וחינצ'ין. לוזין עבר שימוע בפני ועדה מיוחדת של האקדמיה, בסופו של דבר טוהר מההאשמות הפוליטיות, אבל הוזהר בנוגע לפלגיארזים וסולק מתפקידיו .מחלקתו במכון למתמטיקה נסגרה. החלטה זו הוכרזה בדיעבד כבלתי תקינה ובוטלה עשרות שנים אחרי מותו בשנת 2012. על אף הפרשה גורלו של לוזין שפר עליו, אולי בגלל העניין הפחות שגילה באותה תקופה סטלין לגבי המחלוקות בין המתמטיקאים. הסכסוך בין לוזין לבין אלכסנדרוב וקולמוגורוב לא שקט גם אחרי מלחמת העולם השנייה. בשנת 1946 כשלוזין הצביע נגד קבלתו של אלכסנדרוב כחבר מלא באקמדיה למדעים של ברית המועצות, בניגוד להבטחתו, סטר קולומוגורוב בפנים באמצע ישיבת מליאת האקדמיה. בעקבות מחווה זו איבד אז קולומוגורוב את משרותיו כפרופסור.

חייו הפרטיים - אשתו וידידיועריכה

בשנת 1921 התחתן אלכסנדרוב עם יקטרינה אייגס, אחותו של מורו האהוב מהגימנסיה. הנישואים לא החזיקו מעמד זמן רב, מכיוון שערב חתונתו, לרגל קונצרט עם מוזיקה של בטהובן בתיאטרון בולשוי הכיר אלכסנדרוב את עמיתו פאבל אוריסון ויצר איתו קשר של ידידות נפש שלפי לורן גרהם וז'אן-מישל קנטור לבש ככל הנראה אופי הומוסקסאולי.[10] . קשרם נמשך עד למותו של אוריסון כעבור שלוש שנים. אחרי שסיים את בחינותיו ב-1921 התמנה אלכסנדרוב כמרצה באוניברסיטת מוסקבה ולימד מגוון נושאים, כולל פונקציות של משתנה ממשי, טופולוגיה ותורת גלואה ביולי 1922 יחד עם אוריסון בילה את הקיץ ביישוב בולשב על יד מוסקבה, וחקרו ביחד מושגים בטופולוגיה. הם התעניינו בתורתו של האוסדרוף על מרחבים טופולוגיים ומטריים שפורסמה בשנת 1914 בספרו המפורסם Grundzüge der Mengenlehre (קווי יסוד של תורת הקבוצות) שקיבלה השראה גם מעבודות של מוריס פרשה ואחרים. יחד עם אוריסון פיתח אלכסנדרוב תורה זו תוך כדי עבודה על מרחבים קומפקטים בני מנייה והגיעו לממצאים חשובים מאוד. בקייצים של השנים 1924 ו-1923 ביקרו אוריסון ואלכסנדרוב בגטינגן והרשימו את אמי נתר, את ריכרד קוראנט ואת דוד הילברט עם ממצאיהם, בייחוד בנוגע למרחבים הטופולוגיים המטריים. בקיץ 1924 הם בקרו בעיר בון גם את האוסדורף שנהנה לגלות את הכיוונים החדשים שהם חקרו בתחום הטופולוגיה. עם זאת האוסדרוף היה מודאג ממנהגם המסוכן של אוריסון ואלכסנדרוב לחצות מדי יום את הריין בשחייה.[1] באוגוסט 1924 ביקרו אלכסנדרוב ואוריסון אצל לויצן בראואר בהולנד ובפריז ובילו חופשה בכפר הדייגים בא-סיר-מר (Batz-sur-mer או בור-דה-בא) בחבל ברטאן גם שם עסק בעבודה קדחתנית במתמטיקה. בבוקר היום 17 באוגוסט התחיל אוריסון לכתוב מאמר חדש . הוא טבע בעת ששחו במי ההאוקיינוס האטלנט מאוחר באותו יום. אלכסנדרוב הצטער מאוד שלא הצליח להצילו. הוא החליט להקדיש את השנים הבאות בהולנד - ב-1925 וב-1926 לפרסום עבודתו של אוריסון בעזרתו של בראואר.[1]

אחרי מותו של אוריסון המשיך אלכסנדרוב לבקר בגטינגן כל שנה עד שנת 1932. הוא התיידד מקרוב עם האנס הופף. שניהם בילו בדרום צרפת יחד עם נויגבאואר והרצו בסמינר לטופולוגיה בגטינגן. בשנים 1928-1927 נסעו ביחד לפרינסטון, שם יצרו קשרי שיתוף פעולה מדעית עם סולומון לפשץ, אוסוולד ובלן וג'יימס וודל אלכסנדר. בפרינסטון התחיל לעבוד יחד עם הופף על הכרך הראשון לספרם המתוכנן המשותף לטופולוגיה

החל משנת 1929 ולמשך עשורים רבים עד מותו היה אלכסנדרוב ידיד נפש של המתמטיקאי אנדריי קולמוגורוב[10] אלכסנדרוב וקולומוגורוב טיילו הרבה ביחד לאורך הוולגה, על הדנייפר, ונהרות אחרים, בחבל קווקז, בחצי האי קרים ובדרום צרפת. ב-1935 שהו ביאלטה. בשנת 1935 קנו בית בכפר הקטן קומרובקה על יד מוסקבה והתגוררו ביחד. הם אירחו בביתם מתמיטקאים רבים שהגיעו מחו"ל, כמו ז'אק אדמר, פרשה, סטפן באנאך, הופף, קז'ימייז' קורטובסקי ואחרים.[1]. גם לגבי הקשר של אלכסנדרוב עם קולמוגורוב נפוצו שמועות כי לבש צביון הומוסקסואלי[11].[12]

פרסים ואותות הוקרהעריכה

  • 1928 - חבר מתכתב של אקדמיית המדעים של גטינגן[13]
  • 1929 - חבר מתכתב באקדמיה למדעים של ברית המועצות.
  • 1964-1932 - יושב ראש האגודה המתמטית של מוסקבה.
  • 1943 - חתן פרס סטלין, דרגה ראשונה - (מטעם ממשלת ברית המועצות) על העבודה "התכונות ההומולוגיות של סידור הקומפלקסים ושל הקבוצות הסגורות"
  • 1946, 1953, 1961, 1966, 1969 ו-1975 - שש פעמים עיטור לנין
  • 1950 - חבר מתכתב של האקדמיה למדעים של הרפובליקה הדמוקרטית הגרמנית (גרמניה המזרחית) (כיום האקדמיה למעדים של ברלין-ברנדנבורג)
  • 1953 - חבר האקדמיה למדעים של ברית המועצות
  • 1962-1958 - סגן יושב ראש האגודה בינלאומית למתמטיקה.
  • 1959 - חבר באקדמיה לאופולדינה
  • 1969 - קיבל את תואר גיבור העמל הסוציאליסטי של ברית המועצות.
  • 1969 - מדליית קותניוס של האקדמיה לאופולדינה
  • 1972 - פרס לובצ'בסקי - על התאוריה ההומולוגית של הממדים
  • חבר האקדמיה האוסטרית למדעים, האקדמיה הפולנית למדעים, האקדמיה המלכותית ההולנדית למדעים, חבר החברה המתמטית בלונדון.
  • עיטור מהפכת אוקטובר
  • עיטור הדגל האדום של העמל
  • עיטור אותו הכבוד

הנצחהעריכה

  • 1986 - הפקולטה למכניקה ולמתמטיקה של אוניברסיטת מוסקבה התחילה להעניק מדי שנה שתי מלגות סטודנטים על שם פאבל ס.אלכסנדרוב
  • 1997 - בגוף "ל" של הבניין הראשי של אוניברסיטת מוסקבה הוצבה לוח זיכרון עם דיוקנו של פאבל ס. אלכסנדרוב
  • הפקולטה למכניקה ולמתמטיקה מארגנת כנסים בינלאומיים לטופולוגיה בשם "הרצאות על שם אלכסנדרוב".(«Александровские чтения»)
  • האסטרואיד 16810 כונה על שמו "פאבלאלכסנדרוב"

ספריםעריכה

אלכסנדרוב כתב בסביבות 300 מאמרים מדעיים שכללו תרומות חשובות לתורת הקבוצות ולטופולוגיה.

(מושגי יסוד של טופולוגיה באתר' הוצאת דובר archive 2011) (באנגלית)

  • Aleksandrov, P. S. (1998). Combinatorial topology. Mineola, N.Y: Dover Publications. ISBN 9780486401799.  (טופולוגיה קומבינטורית) (באנגלית)
  • Aleksandrov, P. S. (2012). An introduction to the theory of groups. Mineola, N.Y: Dover Publications. ISBN 9780486488134.  (מבוא לתורת הקבוצות) (באנגלית)

לקריאה נוספתעריכה

  • Боголюбов А. Н. Математики. Механики. Биографический справочник. — Киев: Наукова думка, 1983. .

(א. בוגוליובוב - מתמטיקאים. מכניקאים. לקסיקון ביוגרפי, קייב 1983) (ברוסית)

Graham, Loren R.; Kantor, Jean-Michel (2009). Naming infinity: a true story of religious mysticism and mathematical creativity. Harvard University Press. ISBN 978-0-674-03293-4.." (לשיים אינסוף:סיפור אמיתי על מיסטיציזם דתי ויצירתיות מתמטית)

  • Садовничий В. А. Павел Сергеевич Александров (1896—1982)- О людях Московского университета. Изд-во Моск. ун-та, 2015. ISBN 978-5-19-011041-8. עמ'. 94—100. (ברוסית)

(ו.א. סדובניצ'י - פאבל סרגייביץ' אלכסנדרוב בספר "על אנשי אוניברסיטת מוסקבה", הוצאת אוניברסיטת מוסקבה 2015)

  • Мехмат МГУ 80. Математика и механика в Московском университете / Гл. ред. А. Т. Фоменко, Изд-во Моск. ун-та, 2013. ISBN 978-5-19-010857-6. — С. 76.

(א.פומנקו (עורך ראשי) - מתמטיקה ומכניקה באוניברסיטת מוסקבה, הוצאת אוניברסיטת מוסקבה 2013) (ברוסית)

  • Szpiro, George (2011), Pricing the Future: Finance, Physics, and the 300-year Journey to the Black-Scholes Equation, Basic Books,, ISBN 9780465022489

(לתמחר את העתיד:פיננסים, פיזיקה ומסע בן שלוש מאות שנה אל משוואת Black-Scholes)

קישורים חיצונייםעריכה

  מדיה וקבצים בנושא פאבל אלכסנדרוב בוויקישיתוף

J J O'Connor and E F Robertson - Site MacTutor - Pavel S. Alexandrov 1999

П. С. Александров, Страницы автобиографии, УМН, 1979, № 6, с. 219—249; 1980, № 3, с. 241—278.

הערות שולייםעריכה

  1. ^ 1 2 3 4 5 6 J J O'Connor and E F Robertson
  2. ^ 1 2 3 4 אתר הקתדרה לגאומטריה גבוהה של הפקולטה למתמטיקה ומכניקה של אוניברסיטת מוסקבה
  3. ^ M.Bogoliubov 1983 עמ' 127
  4. ^ המאמר "פעולות A" מאת A. Elkin ב- Encyclopedia of Mathematics
  5. ^ ו.א.סדוביצ'ני 2015
  6. ^ א.פומנקו - 2013
  7. ^ באתר הקפולטה למתמטיקה ומכניקה במוסקבה - היסטוריה של הוראת מכניקה ומתמטיקה באוניברסיטת מוסקבה - בעריכת ו. בוגדנוב
  8. ^ בית הקברות קווזינסק באתר necropol
  9. ^ קבוצה מושלמת מכילה את כל נקודות ההצטברות שלה וכל אחת מנקודותיה היא נקודת הצטברות
  10. ^ 1 2 Loren Graham, Jean-Michel Kantor, Naming Infinity, Harvard University Press 2009 ,עמ' 174
  11. ^ L.Graham, J-M.Kantor 2009 עמ' 184
  12. ^ G.Szpiro עמ' 152
  13. ^ Holger Krahnke: Die Mitglieder der Akademie der Wissenschaften zu Göttingen 1751–2001 (= Abhandlungen der Akademie der Wissenschaften zu Göttingen, Philologisch-Historische Klasse. Folge 3, Bd. 246 = Abhandlungen der Akademie der Wissenschaften in Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. Folge 3, Bd. 50). Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 2001, ISBN 3-525-82516-1, S. 25.