פונקציה הומוגנית

במתמטיקה פונקציה הומוגנית מסדר $n$ היא פונקציה שכאשר הארגומנטים בה מוכפלים במספר קבוע $c$, ערך הפונקציה מוכפל ב־$c^{n}$.

הגדרה מפורטת

תהי $f\colon V\rightarrow W$ פונקציה בין שני מרחבים וקטורים מעל לשדה $F$, ויהי $k$ מספר שלם. אזי הפונקציה $f$ תיקרא הומוגנית מסדר $k$ אם $f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {v} )$ לכל $\alpha \in F$ שונה מאפס, ולכל $v\in V$.

כאשר המרחבים הווקטוריים הם מעל המספרים הממשיים מגדירים פונקציה הומוגנית חיובית מסדר $k$ כאשר הדרישה $f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {v} )$ צריכה להתקיים רק עבור $\alpha$ חיובי, ו-$k$ יכול להיות כל מספר מרוכב.

כמו כן, במקרה שבו $F$ הוא שדה הממשיים או המרוכבים, מגדירים פונקציה הומוגנית בהחלט מסדר $k$ אם מתקיים ש-$f(\alpha \mathbf {v} )=|\alpha |^{k}f(\mathbf {v} )$ לכל $\alpha \in F$.

דוגמאות

העתקות ליניאריות

כל העתקה ליניארית $f\colon V\rightarrow W$ היא פונקציה הומוגנית מסדר 1 שכן על פי הגדרת הליניאריות: $f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha f(\mathbf {v} )$ לכל $\alpha \in F$ ולכל $v\in V$ .

פולינומים הומוגניים

כל מונום (חד-איבר) ב-$n$ משתנים מגדיר פונקציה הומוגנית $f\colon F^{n}\to F$. לדוגמה שטח של ריבוע - $\ S\left(a\right)=a^{2}$ - הוא מונום הומוגני $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ מסדר שני, כי אם מכפילים את אורך הצלע בקבוע, מקבלים מכפלה של אותו קבוע בחזקה שנייה עם השטח הרגיל, כלומר $S\left(ca\right)=c^{2}a^{2}=c^{2}S(a)$.

סכום של מונומים הומוגניים מאותו סדר מהווה פולינום הומוגני. לדוגמה: $\ x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}$ הוא פולינום הומוגני מסדר 5.

פונקציות רציונליות

הפונקציה הרציונלית הנוצרת מחלוקה של שני פולינומים הומוגניים, היא פונקציה הומוגנית למעט בנקודות בהן הפונקציה במכנה מתאפסת. כלומר אם $f$ הוא פולינום הומוגני מסדר $m$ ו-$g$ הוא פולינום הומוגני מסדר $n$, אזי ${\frac {f}{g}}$ היא פונקציה הומוגנית מסדר $m-n$ בכל הנקודות חוץ מבשורשים של $g$.

פונקציות רציונליות הומוגניות מסדר 0, כגון: ${\frac {x^{2}+y^{2}+z^{2}}{(x+2y+3z)^{2}}}$, מוגדרות היטב על הנקודות של המישור הפרויקטיבי.

פונקציה תת-ליניארית ונורמה-למחצה

כל פונקציה תת ליניארית היא בהחלט הומוגנית חיובית מסדר 1, זאת על פי הגדרתה. לעומת זאת, כל נורמה-למחצה (ובפרט כל נורמה) היא הומוגנית בהחלט מסדר 1.

פונקציות הומגניות חלקיות

לעיתים הפונקציה היא הומוגנית מסדרים שונים עבור הפרמטרים השונים, כך למשל אנרגיה קינטית - $\ E_{k}\left(m,v\right)={\frac {1}{2}}mv^{2}$ - היא פונקציה הומוגנית מסדר שני עבור המהירות, כי אם מכפילים את המהירות בקבוע מקבלים מכפלה של אותו קבוע בחזקה השנייה עם האנרגיה הקינטית המקורית - $E_{k}\left(m,cv\right)={\frac {1}{2}}mc^{2}v^{2}$, לעומת זאת עבור המסה זוהי פונקציה הומוגנית מסדר ראשון מכיוון שמתקיים $E_{k}\left(cm,v\right)={\frac {1}{2}}cmv^{2}$ .

במקרים אחרים הפונקציה היא הומוגנית רק עבור חלק מהפרמטרים, למשל עבור התפרקות רדיואקטיבית מספר האטומים שנשארו בחומר לאחר פרק זמן $t$ נתון על ידי $\ N\left(N_{0},t,\tau \right)=N_{0}\cdot e^{-{\frac {t}{\tau }}}$, ובעוד שמתקיים $\ N\left(cN_{0},t,\tau \right)=cN\left(N_{0},t,\tau \right)$, קרי $N$ היא פונקציה הומוגנית מסדר ראשון עבור $N_{0}$, היא אינה הומוגנית במשתנים האחרים.

משפט אוילר לפונקציות הומוגניות

ניסוח המשפט

תהי $f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ פונקציה חלקה אזי $f$ הומוגנית חיובית מסדר $k$ אם ורק אם:

$\ \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}=kf(\mathbf {x} )$.

הוכחה

$\Leftarrow$: תהי $f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ פונקציה חלקה והומוגנית חיובית מסדר k אזי: $f(a\mathbf {x} )=a^{k}f(\mathbf {x} )$. נגזור את שני האגפים לפי $a$ ונקבל: ${\frac {\mathrm {d} f(a\mathbf {x} )}{\mathrm {d} a}}=\mathbf {x} \cdot \nabla f(a\mathbf {x} )=ka^{k-1}f(\mathbf {x} )$.

מכיוון שהומוגניות היא תכונה שמתקיימת עבור כל $a$, נציב $\ a=1$ ונקבל: $\mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )$.

$\Rightarrow$: תהי $f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ פונקציה חלקה המקיימת $\mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )$ לכל $\mathbf {x}$.

נבחר $\mathbf {x}$ כלשהו ונגדיר: $\ g(a)=a^{-k}f(a\mathbf {x} )$.

כעת: ${\frac {\mathrm {d} g}{\mathrm {d} a}}=-ka^{-k-1}f(a\mathbf {x} )+a^{-k}\mathbf {x} \cdot \nabla f(a\mathbf {x} )$.

נציב: $a\mathbf {x} \cdot \nabla f(a\mathbf {x} )=kf(a\mathbf {x} )$.

ונקבל: ${\frac {\mathrm {d} g}{\mathrm {d} a}}=-ka^{-k-1}f(a\mathbf {x} )+a^{-k}{\frac {kf(a\mathbf {x} )}{a}}=0$. לכן $g$ היא פונקציה קבועה.

נשים לב ש: $g(1)=f(\mathbf {x} )$ לכן לכל $a>0$ מתקיים $g(a)=f(\mathbf {x} )$. כלומר $f(a\mathbf {x} )=a^{k}f(\mathbf {x} )$

תוצאה

עבור פונקציה $f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ גזירה והומוגנית חיובית מסדר $k$ נקבל ש-${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}$ היא הומוגנית מסדר $k-1$. כלומר:

$\left.{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right|_{cx}=c^{k-1}\left.{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right|_{x}$.

תוצאה זו מתקבלת מגזירת משפט אוילר לפי $x_{i}$. שכן על פי משפט אוילר:

$\ \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )$.

נגזור לפי $\ x_{i}$ ונקבל:

${\frac {\partial (\mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} ))}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}+\mathbf {x} \cdot \nabla {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}=k{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}$.

ולכן:

$\mathbf {x} \cdot \nabla {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}=(k-1){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}$. הפעלה של הצד השני של משפט אוילר תיתן את התוצאה.

קישורים חיצוניים

• פונקציה הומוגנית, באתר MathWorld (באנגלית)