במתמטיקה , פונקציות היפרבוליות אנלוגיות לפונקציות הטריגונומטריות הרגילות: בעוד שהנקודות
(
cos
(
t
)
,
sin
(
t
)
)
{\displaystyle \ \left(\cos \left(t\right),\sin \left(t\right)\right)}
יוצרות יחדיו מעגל , הנקודות
(
cosh
(
t
)
,
sinh
(
t
)
)
{\displaystyle \ \left(\cosh \left(t\right),\sinh \left(t\right)\right)}
מגדירות את החלק הימני של ההיפרבולה
x
2
−
y
2
=
1
{\displaystyle \ x^{2}-y^{2}=1}
, ומכאן שמן. הפרמטר
t
{\displaystyle \ t}
הוא זווית היפרבולית המייצגת את כפליים השטח בין ציר ה־X, ההיפרבולה, והקו הישר שמחבר את ראשית הצירים לנקודה על העקום לעיל, כפי שמתואר באיור משמאל.
הגדרת הפונקציות ההיפרבוליות
עריכה
גרפי הפונקציות ההיפרבוליות נראות כך:
סינוס היפרבולי (sinh) , קוסינוס היפרבולי (cosh) וטנגנס היפרבולי (tanh)
קוסקאנט היפרבולי (csch) , סקאנט היפרבולי (sech) וקוטנגנס היפרבולי ( coth )
בהינתן
i
2
=
−
1
{\displaystyle \ i^{2}=-1}
(ראו מספרים מרוכבים ) הפונקציות ההיפרבוליות הן:
סינוס היפרבולי :
sinh
(
x
)
=
e
x
−
e
−
x
2
=
−
i
sin
(
i
x
)
{\displaystyle \sinh(x)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}=-i\sin(ix)}
קוסינוס היפרבולי :
cosh
(
x
)
=
e
x
+
e
−
x
2
=
cos
(
i
x
)
{\displaystyle \cosh(x)={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=\cos(ix)}
טנגנס היפרבולי :
tanh
(
x
)
=
sinh
(
x
)
cosh
(
x
)
=
e
x
−
e
−
x
e
x
+
e
−
x
=
−
i
tan
(
i
x
)
{\displaystyle \tanh(x)={\frac {\sinh(x)}{\cosh(x)}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}=-i\tan(ix)}
קוטנגנס היפרבולי :
coth
(
x
)
=
cosh
(
x
)
sinh
(
x
)
=
e
x
+
e
−
x
e
x
−
e
−
x
=
i
cot
(
i
x
)
{\displaystyle \coth(x)={\frac {\cosh(x)}{\sinh(x)}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}=i\cot(ix)}
סקאנט היפרבולי :
sech
(
x
)
=
1
cosh
(
x
)
=
2
e
x
+
e
−
x
=
sec
(
i
x
)
{\displaystyle \operatorname {sech} (x)={\frac {1}{\cosh(x)}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}=\sec(ix)}
קוסקאנט היפרבולי :
csch
(
x
)
=
1
sinh
(
x
)
=
2
e
x
−
e
−
x
=
i
csc
(
i
x
)
{\displaystyle \operatorname {csch} (x)={\frac {1}{\sinh(x)}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}=i\csc(ix)}
ניתן להביע את הפונקציות ההיפרבוליות כטורים :
sinh
x
=
x
+
x
3
3
!
+
x
5
5
!
+
x
7
7
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
{\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}
cosh
x
=
1
+
x
2
2
!
+
x
4
4
!
+
x
6
6
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
(
2
n
)
!
{\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}
tanh
x
=
x
−
x
3
3
+
2
x
5
15
−
17
x
7
315
+
⋯
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
2
2
n
(
2
2
n
−
1
)
B
n
x
2
n
−
1
(
2
n
)
!
,
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \tanh x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}
coth
x
=
1
x
+
x
3
−
x
3
45
+
2
x
5
945
+
⋯
=
1
x
+
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
2
2
n
B
n
x
2
n
−
1
(
2
n
)
!
,
0
<
|
x
|
<
π
{\displaystyle \coth x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}B_{n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi }
sech
x
=
1
−
x
2
2
+
5
x
4
24
−
61
x
6
720
+
⋯
=
1
+
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
E
n
x
2
n
(
2
n
)
!
,
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \operatorname {sech} x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{n}x^{2n}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}
csch
x
=
1
x
−
x
6
+
7
x
3
360
−
31
x
5
15120
+
⋯
=
1
x
+
∑
n
=
1
∞
2
(
1
−
2
2
n
−
1
)
B
2
n
x
2
n
−
1
(
2
n
)
!
,
0
<
|
x
|
<
π
{\displaystyle \operatorname {csch} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi }
כאשר:
B
n
{\displaystyle \ B_{n}}
, הוא מספר ברנולי ה-n־י
E
n
{\displaystyle \ E_{n}}
, הוא מספר אוילר ה-n־י.
קשרים לפונקציות טריגונומטריות
עריכה
מימין העקום הפרמטרי
(
sin
(
t
)
,
cos
(
t
)
)
{\displaystyle \ (\sin(t),\cos(t))}
ומשמאל העקום
(
sinh
(
t
)
,
cosh
(
t
)
)
{\displaystyle \ (\sinh(t),\cosh(t))}
, שניהם בטווח:
−
π
<
t
<
π
{\displaystyle \ -\pi <t<\pi }
. כפי שניתן לראות, העקומה מימין מתארת מעגל ואילו העקומה משמאל מתארת היפרבולה .
כשם שהנקודות
(
cos
t
,
sin
t
)
{\displaystyle (\cos t,\sin t)}
מגדירות מעגל , הנקודות
(
cosh
t
,
sinh
t
)
{\displaystyle (\cosh t,\sinh t)}
מגדירות את החלק הימני של ההיפרבולה
x
2
−
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}
(הקביעה מתבססת על הזהות
cosh
2
(
t
)
−
sinh
2
(
t
)
=
1
{\displaystyle \cosh ^{2}(t)-\sinh ^{2}(t)=1}
ועל כך ש-
cosh
(
t
)
>
0
{\displaystyle \cosh(t)>0}
לכל
t
{\displaystyle t}
).
הפרמטר
t
{\displaystyle t}
איננו זווית מעגלית, אלא זווית היפרבולית שמייצגת את פעמיים השטח בין ציר ה-x, ההיפרבולה, והקו הישר שמחבר את ראשית הצירים לנקודה על ההיפרבולה
(
cosh
t
,
sinh
t
)
{\displaystyle (\cosh t,\sinh t)}
.
למרות זאת, הפונקציות ההיפרבוליות אינן פונקציות מחזוריות , בניגוד לפונקציות הטריגונומטריות הרגילות, שכן בהצגתן המעריכית של הפונקציות הטריגונומטריות הרגילות ישנו חלק מעריכי מרוכב אשר תורם למחזוריות הפונקציה, אך נעדר מן הפונקציות ההיפרבוליות.
ההצגות המעריכיות של הפונקציות ההיפרבוליות והרגילות הן דומות, פרט, כאמור, לקיומו של החלק המרוכב בפונקציות הטריגונומטריות הרגילות. כך, למשל, פונקציית הסינוס מוגדרת כך:
sin
(
x
)
=
e
i
x
−
e
−
i
x
2
i
{\displaystyle \ \sin(x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}
בעוד מקבילתה ההיפרבולית מוגדרת כך, כאמור:
sinh
(
x
)
=
e
x
−
e
−
x
2
{\displaystyle \sinh(x)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}
.
בדומה לפונקציה
cos
x
{\displaystyle \ \cos x}
, הפונקציה
cosh
x
{\displaystyle \ \cosh x}
היא פונקציה זוגית (סימטרית סביב ציר Y)ו־cosh 0=1. באופן דומה, הן הפונקציה
sin
x
{\displaystyle \ \sin x}
והן הפונקציה
sinh
x
{\displaystyle \ \sinh x}
הן פונקציות אי זוגית (סימטרית סביב ראשית הצירים) ו
sinh
0
=
0
{\displaystyle \ \sinh 0=0}
. הפונקציות ההיפרבוליות מקיימות זהויות רבות, כולן דומות לזהויות טריגונומטריות . למעשה, חוק אוסבורן מראה שניתן להמיר כל זהות טריגונומטרית לזהות היפרבולית, על ידי החלפת סינוס בסינוס היפרבולי, קוסינוס בקוסינוס היפרבולי, והפיכת הסימן של כל מונום שיש בו מכפלה של שני סינוסים היפרבוליים. לדוגמה:
cosh
2
(
x
)
=
1
+
cosh
(
2
x
)
2
⇒
cos
2
(
x
)
=
1
+
cos
(
2
x
)
2
{\displaystyle \cosh ^{2}(x)={\frac {1+\cosh(2x)}{2}}\Rightarrow \cos ^{2}(x)={1+\cos(2x) \over 2}}
sinh
2
(
x
)
=
cosh
(
2
x
)
−
1
2
⇒
sin
2
(
x
)
=
1
−
cos
(
2
x
)
2
{\displaystyle \sinh ^{2}(x)={\frac {\cosh(2x)-1}{2}}\Rightarrow \sin ^{2}(x)={1-\cos(2x) \over 2}}
sinh
(
x
+
y
)
=
sinh
(
x
)
cosh
(
y
)
+
cosh
(
x
)
sinh
(
y
)
{\displaystyle \sinh(x+y)=\sinh(x)\cosh(y)+\cosh(x)\sinh(y)\,}
⇒
sin
(
x
+
y
)
=
sin
(
x
)
cos
(
y
)
+
cos
(
x
)
sin
(
y
)
{\displaystyle \Rightarrow \sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)\,}
cosh
(
x
+
y
)
=
cosh
(
x
)
cosh
(
y
)
+
sinh
(
x
)
sinh
(
y
)
{\displaystyle \cosh(x+y)=\cosh(x)\cosh(y)+\sinh(x)\sinh(y)\,}
⇒
cos
(
x
+
y
)
=
cos
(
x
)
cos
(
y
)
−
sin
(
x
)
sin
(
y
)
{\displaystyle \Rightarrow \cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)\,}
sinh
(
x
−
y
)
=
sinh
(
x
)
cosh
(
y
)
−
cosh
(
x
)
sinh
(
y
)
{\displaystyle \sinh(x-y)\ =\sinh(x)\cosh(y)\ -\cosh(x)\sinh(y)\,}
cosh
(
x
−
y
)
=
cosh
(
x
)
cosh
(
y
)
−
sinh
(
x
)
sinh
(
y
)
{\displaystyle \cosh(x-y)\ =\cosh(x)\cosh(y)\ -\sinh(x)\sinh(y)\,}
tanh
(
x
+
y
)
=
tanh
(
x
)
+
tanh
(
y
)
1
+
tanh
(
x
)
tanh
(
y
)
{\displaystyle \tanh(x+y)={\frac {\tanh(x)+\tanh(y)}{1+\tanh(x)\tanh(y)}}\,}
tanh
(
x
−
y
)
=
tanh
(
x
)
−
tanh
(
y
)
1
−
tanh
(
x
)
tanh
(
y
)
{\displaystyle \tanh(x-y)={\frac {\tanh(x)-\tanh(y)}{1-\tanh(x)\tanh(y)}}\,}
הפונקציות ההפוכות לפונקציות ההיפרבוליות
עריכה
הגדרת הפונקציות ההפוכות לפונקציות ההיפרבוליות כטורים
עריכה
ניתן להביע את הפונקציות ההפוכות לפונקציות ההיפרבוליות כטורים:
arsinh
(
x
)
=
x
−
(
1
2
)
x
3
3
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
x
5
5
−
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
x
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
,
|
x
|
<
1
{\displaystyle \operatorname {arsinh} (x)=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\left|x\right|<1}
arcosh
(
x
)
=
ln
2
−
(
(
1
2
)
x
−
2
2
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
x
−
4
4
+
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
x
−
6
6
+
⋯
)
=
ln
2
−
∑
n
=
1
∞
(
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
x
−
2
n
(
2
n
)
,
x
>
1
{\displaystyle \operatorname {arcosh} (x)=\ln 2-(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots )=\ln 2-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{(2n)}},x>1}
artanh
(
x
)
=
x
+
x
3
3
+
x
5
5
+
x
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
,
|
x
|
<
1
{\displaystyle \operatorname {artanh} (x)=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\left|x\right|<1}
arcsch
(
x
)
=
arsinh
(
x
−
1
)
=
x
−
1
−
(
1
2
)
x
−
3
3
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
x
−
5
5
−
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
x
−
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
x
−
(
2
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
,
|
x
|
<
1
{\displaystyle \operatorname {arcsch} (x)=\operatorname {arsinh} (x^{-1})=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\left|x\right|<1}
arsech
(
x
)
=
arcosh
(
x
−
1
)
=
ln
2
−
(
(
1
2
)
x
2
2
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
x
4
4
+
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
x
6
6
+
⋯
)
=
ln
2
−
∑
n
=
1
∞
(
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
x
2
n
(
2
n
)
,
0
<
x
≤
1
{\displaystyle \operatorname {arsech} (x)=\operatorname {arcosh} (x^{-1})=\ln 2-(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots )=\ln 2-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{(2n)}},0<x\leq 1}
arcoth
(
x
)
=
artanh
(
x
−
1
)
=
x
−
1
+
x
−
3
3
+
x
−
5
5
+
x
−
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
−
(
2
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
,
|
x
|
>
1
{\displaystyle \operatorname {arcoth} (x)=\operatorname {artanh} (x^{-1})=x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\left|x\right|>1}
פונקציות היפרבוליות עבור מספרים מרוכבים
עריכה
שימושים בפונקציות היפרבוליות
עריכה
הפונקציות ההיפרבוליות מופיעות בבעיות רבות בתחומי המתמטיקה והפיזיקה, בהן מעורב אינטגרל המכיל את הביטוי :
1
x
2
+
1
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}}
(זאת בעוד שהפונקציות הטריגונומטריות מופיעות בבעיות, בהן מעורב אינטגרל המכיל את הביטוי :
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
).
דוגמות:
נגזרות של פונקציות היפרבוליות
עריכה
d
d
x
sinh
x
=
cosh
x
=
e
x
+
e
−
x
2
{\displaystyle {d \over dx}\sinh x=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}
d
d
x
cosh
x
=
sinh
x
=
e
x
−
e
−
x
2
{\displaystyle {d \over dx}\cosh x=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}
d
d
x
tanh
x
=
sech
2
x
{\displaystyle {d \over dx}\tanh x=\operatorname {sech} ^{2}\,x}
d
d
x
sech
x
=
−
tanh
x
sech
x
{\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {sech} \,x=-\tanh x\,\operatorname {sech} \,x}
d
d
x
coth
x
=
−
csch
2
x
{\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {coth} \,x=-\,\operatorname {csch} ^{2}\,x}
d
d
x
csch
x
=
−
coth
x
csch
x
{\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {csch} \,x=-\,\operatorname {coth} \,x\,\operatorname {csch} \,x}
d
d
x
arsinh
x
=
1
x
2
+
1
{\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {arsinh} \,x={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}}
d
d
x
arcosh
x
=
1
x
2
−
1
{\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {arcosh} \,x={1 \over {\sqrt {x^{2}-1}}}}
d
d
x
artanh
x
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {artanh} \,x={1 \over 1-x^{2}}}
d
d
x
arsech
x
=
−
1
x
1
−
x
2
{\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {arsech} \,x=-{1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}}
d
d
x
arcoth
x
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {arcoth} \,x={1 \over 1-x^{2}}}
d
d
x
arcsch
x
=
−
1
x
1
+
x
2
{\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {arcsch} \,x=-{1 \over x{\sqrt {1+x^{2}}}}}