שדה המספרים ה-p-אדיים

במתמטיקה, שדה המספרים ה-p-אדיים הוא שדה, שאבריו הם המספרים ה-p-אדיים. יש שדה -אדי אחד לכל מספר ראשוני , ומקובל לסמן אותו באות . כל הרחבה סופית של שדה המספרים ה--אדיים נקראת "שדה -אדי".

על שדה המספרים ה--אדיים מוגדרת הערכה בדידה, ההופכת אותו לשדה מקומי, שהוא בעל עוצמת הרצף, ואינו ניתן לסידור. לפי משפט אוסטרובסקי, כל שדה מקומי ממאפיין אפס (עם ערך מוחלט לא ארכימדי) הוא -אדי לאיזשהו .

את המספרים ה--אדיים פיתח קורט הנזל בתחילת המאה העשרים, והם הפכו במהירות לאחד הכלים ומושאי המחקר הבסיסיים באריתמטיקה המודרנית ובתורת השדות.

תכונותעריכה

כל מספר  -אדי אפשר לכתוב באופן יחיד בצורה   כאשר   שלם, ו- . החיבור והכפל מוגדרים כאילו היה מדובר בטורי חזקות במשתנה אחד.

אלגברהעריכה

המספרים מהצורה   נקראים "שלמים  -אדיים"; כקבוצה, הם מרכיבים את חוג השלמים ה-p-אדיים  , שהוא תת-חוג מקומי וראשי (חוג ההערכה הדיסקרטית המתקבל מההערכה הדיסקרטית שתוצג בתת-הפסקה הבאה) של  ; כדי לקבל את השדה די להפוך את האיבר  :  . חוג השלמים ה- -אדיים הוא גבול הפוך של חוגי המנה  .

טופולוגיהעריכה

על שדה המספרים ה- -אדיים מוגדרת הערכה דיסקרטית   (בהנחה ש- ), וזו מגדירה ערך מוחלט לפי   ומטריקה ( ), המגדירה טופולוגיה. תחת הטופולוגיה הזו, חוג השלמים ה- -אדיים, שהוא כדור היחידה הסגור בשדה, הוא קבוצה קומפקטית, הומיאומורפית לקבוצת קנטור. השדה אינו קומפקטי, אבל הוא קומפקטי מקומית.

אריתמטיקהעריכה

שורשי היחידה ב-  הם אלו שסדרם מחלק את  . כאשר   אי-זוגי, לשלם רציונלי   שאינו מתחלק ב-  יש שורש  -אדי אם ורק אם יש לו שורש מודולו   (כך למשל  ); עבור   התנאי הוא שיהיה ל-  שורש מודולו 8, ולדוגמה  . הלמה של הנזל מאפשרת לפתור משוואות פולינומיות בשדה המספרים ה- -אדיים, ובאופן כללי יותר, לפרק פולינומים לגורמים, על ידי הרמה, כביכול, של הבעיה מן המנות הסופיות  .

בניגוד לשדה המספרים הממשיים, שיש לו הרחבה אלגברית אחת ויחידה - המרוכבים - לשדה המספרים ה- -אדיים יש הרחבות אלגבריות מכל מימד, ומספרן (בכל מימד) סופי. אם   אי זוגי יש בדיוק שלוש הרחבות ריבועיות, ולשדה המספרים ה-2-אדיים יש שבע הרחבות ריבועיות. מבין ההרחבות האלה, יש הרחבה לא מסועפת יחידה מכל מימד.

הסגור האלגברי   אינו שלם ביחס לטופולוגיה המושרה; את הסגור השלם מסמנים ב-  , ושדה זה הוא סגור גם אלגברית וגם מטרית. מבחינה אלגברית (וללא המבנה המטרי),   איזומורפי לשדה המספרים המרוכבים,  .

חבורת גלואה של כל הרחבה סופית של   היא פתירה, ולכן חבורת גלואה האבסולוטית   היא פרו-פתירה.

ראו גםעריכה