תת-חבורת הקומוטטורים

במתמטיקה ובמיוחד באלגברה מופשטת, תת חבורת הקומוטטורים $G'$ של חבורה $G$ היא התת-חבורה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים של איברים בחבורה. תת-חבורת הקומוטטורים מודדת עד כמה החבורה היא אבלית: היא טריוויאלית אם ורק אם החבורה אבלית, ובאופן כללי יותר, המנה $G/G'$ היא המנה האבלית הגדולה ביותר של $G$.

איבר כללי בתת-חבורת הקומוטטורים הוא מכפלה כלשהי של קומוטטורים. קיים אפיון נוסף, לפיו איבר כללי של תת-חבורת הקומוטטורים הוא מכפלה שעל ידי סידור מחודש היא היחידה. כלומר מכפלה $g_{1}\cdot g_{2}\cdot \dots \cdot g_{n}$ שכך שיש תמורה $\pi$ המקיימת $g_{\pi (1)}\cdot g_{\pi (2)}\cdot \dots \cdot g_{\pi (n)}=e$ כאשר $e$ הוא איבר היחידה בחבורה.

הגדרה

הקומוטטור של שני איברים $g,h$ בחבורה $G$ הוא האיבר $[g,h]=ghg^{-1}h^{-1}$. תת-חבורת הקומוטטורים של $G$ היא החבורה הנוצרת $\langle [h,g]|h,g\in G\rangle$. את החבורה המתקבלת מסמנים $G'$ או $[G,G]$. הסימון האחרון רומז שלחבורה יש תפקיד כפול בהגדרת הקומוטטור, מה שמאפשר הכללה: אם $A,B$ תת-חבורות נורמליות של $G$, אז $[A,B]$ היא תת-החבורה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים $[a,b]$ עבור $a\in A,b\in B$; זו תת-חבורה נורמלית גם של $A$ וגם של $B$.

תכונות

תת-חבורת הקומוטטורים היא התת-חבורה נורמלית הקטנה ביותר כך שחבורת המנה $G/G'$ היא אבלית. כלומר, לכל תת-חבורה נורמלית $N$ של $G$, המנה $G/N$ אבלית אם ורק אם $G'\subseteq N$. זהו למעשה אפיון שקול לתת-חבורת הקומוטטורים. חבורת המנה $G/G'$ נקראת האבליזציה של $G$.

מכיוון שהומומורפיזם $f:G\to H$ מעביר קומוטטור לקומוטטור, מתקיימת ההכלה $f(G')\subset H'$. בפרט עבור חבורות מנה ביחס להומומורפיזם המנה, ניתן לחשב ש-$[A/N,B/N]=[A,B]N/N$ ובפרט $(G/N)'=G'N/N$.

הכללות

פעולת הקומוטטור מאפשרת להגדיר תת-חבורות חשובות של $G$, באינדוקציה: $G^{(0)}:=G$, ולכל $n$, $G^{(n+1)}:=[G^{(n)},G^{(n)}]$. בפרט מקצרים וכותבים $G'=[G,G]$, $G''=[G',G']$ וכן הלאה. אם סדרה זו מגיעה בסופו של דבר לחבורה הטריוויאלית, אז $G$ היא חבורה פתירה. חבורה המקיימת את השוויון $G'=G$ נקראת חבורה מושלמת. לדוגמה, תת-חבורת הקומוטטורים של חבורת התמורות $S_{n}$ היא חבורת התמורות הזוגיות המתאימה, $A_{n}$, בעוד ש-$A_{n}$ מושלמת לכל $5\leq n$ (מפני שהיא פשוטה ולא אבלית).

בדומה לזה, מגדירים $G_{n+1}=[G,G_{n}]$, כאשר $G_{1}:=G$. אם הסדרה הזו מגיעה ל-1, החבורה נילפוטנטית.

נוסחת קומוטטורים מוכללת היא הנוסחה $\psi =x_{1}$, או נוסחה מהצורה $\psi =[\psi ',\psi '']$ כאשר $\psi ',\psi ''$ הן נוסחאות קומוטטורים מוכללות במשתנים שונים. פיליפ הול הבחין שכל נוסחה כזו שייכת לאחת משתי מחלקות, אלו המקיימות $[G_{n},G_{n}]\subseteq \psi (G)$ (לכל חבורה $G$), ואלו המקיימות $\psi (G)\subseteq [G,G'']$; והוכיח שבמקרה הראשון יש מספר בן-מניה של חבורות נוצרות סופית המקיימות $\psi (G)=1$, וכולן מקיימות את תנאי השרשרת העולה על תת-חבורות נורמליות; ובמקרה השני יש מספר שאינו בן-מניה של חבורות נוצרות סופית המקיימות $\psi (G)=1$, ויש ביניהן כאלה שאינן מקיימות את תנאי השרשרת העולה על תת-חבורות נורמליות.

תת-חבורות של קומוטטורים מקיימות את למת שלוש התת-חבורות: לכל שלוש תת-חבורות נורמליות $A,B,C$ של $G$, מתקיים $[A,[B,C]]\subset [B,[C,A]][C,[A,B]]$.

האורך בחבורת הקומוטטורים

בדרך כלל, אוסף הקומוטטורים עצמו אינו מהווה חבורה. האורך של איבר בתת-חבורת הקומוטטורים הוא המספר הקטן ביותר של קומוטטורים שיש להכפיל על-מנת לקבל אותו. ב-1962 הוכיח Gallagher שהאורך של איבר אינו עולה על $\lceil \log _{4}|G'|\rceil$, וידועים גם חסמים טובים יותר (למשל האורך בחבורות מסדר < 1000 אינו עולה על 2).

המתמטיקאי Oystein Ore שיער (ב-1951) שבחבורה פשוטה סופית, כל איבר הוא קומוטטור (של שני איברים כלשהם בחבורה), והוכיח טענה זו עבור חבורת התמורות הזוגיות $A_{n}$. מאוחר יותר הוכיחו את ההשערה לכל חבורת לי מטיפוס $L_{r}(q)$, עבור $q>8$. בשנת 2008 ההשערה הוכחה לכל חבורה פשוטה סופית, באמצעות שילוב חסמים תאורטיים וחישוביים על קרקטרים.

ראו גם

• חבורה נילפוטנטית

קישורים חיצוניים

• תת-חבורת הקומוטטורים, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• תת-חבורת הקומוטטורים, באתר MathWorld (באנגלית)