תת-חבורת הקומוטטורים

(הופנה מהדף אבליניזציה)

במתמטיקה ובמיוחד באלגברה מופשטת, תת חבורת הקומוטטורים של חבורה היא התת-חבורה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים של איברים בחבורה. תת-חבורת הקומוטטורים מודדת עד כמה החבורה היא אבלית: היא טריוויאלית אם ורק אם החבורה אבלית, ובאופן כללי יותר, המנה היא המנה האבלית הגדולה ביותר של .

איבר כללי בתת-חבורת הקומוטטורים הוא מכפלה כלשהי של קומוטטורים. קיים אפיון נוסף, לפיו איבר כללי של תת-חבורת הקומוטטורים הוא מכפלה שעל ידי סידור מחודש היא היחידה. כלומר מכפלה שכך שיש תמורה המקיימת כאשר הוא איבר היחידה בחבורה.

הגדרהעריכה

הקומוטטור של שני איברים   בחבורה   הוא האיבר  . תת-חבורת הקומוטטורים של   היא החבורה הנוצרת  . את החבורה המתקבלת מסמנים   או  . הסימון האחרון רומז שלחבורה יש תפקיד כפול בהגדרת הקומוטטור, מה שמאפשר הכללה: אם   תת-חבורות נורמליות של  , אז   היא תת-החבורה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים   עבור  ; זו תת-חבורה נורמלית גם של   וגם של  .

תכונותעריכה

תת-חבורת הקומוטטורים היא התת-חבורה נורמלית הקטנה ביותר כך שחבורת המנה   היא אבלית. כלומר, לכל תת-חבורה נורמלית   של  , המנה   אבלית אם ורק אם  . זהו למעשה אפיון שקול לתת-חבורת הקומוטטורים. חבורת המנה   נקראת האבליזציה של  .

מכיוון שהומומורפיזם   מעביר קומוטטור לקומוטטור, מתקיימת ההכלה  . בפרט עבור חבורות מנה ביחס להומומורפיזם המנה, ניתן לחשב ש-  ובפרט  .

הכללותעריכה

פעולת הקומוטטור מאפשרת להגדיר תת-חבורות חשובות של  , באינדוקציה:  , ולכל  ,  . בפרט מקצרים וכותבים  ,   וכן הלאה. אם סדרה זו מגיעה בסופו של דבר לחבורה הטריוויאלית, אז   היא חבורה פתירה. חבורה המקיימת את השוויון   נקראת חבורה מושלמת. לדוגמה, תת-חבורת הקומוטטורים של חבורת התמורות   היא חבורת התמורות הזוגיות המתאימה,  , בעוד ש-  מושלמת לכל   (מפני שהיא פשוטה ולא אבלית).

בדומה לזה, מגדירים  , כאשר  . אם הסדרה הזו מגיעה ל-1, החבורה נילפוטנטית.

נוסחת קומוטטורים מוכללת היא הנוסחה  , או נוסחה מהצורה   כאשר   הן נוסחאות קומוטטורים מוכללות במשתנים שונים. פיליפ הול הבחין שכל נוסחה כזו שייכת לאחת משתי מחלקות, אלו המקיימות   (לכל חבורה  ), ואלו המקיימות  ; והוכיח[1] שבמקרה הראשון יש מספר בן-מניה של חבורות נוצרות סופית המקיימות  , וכולן מקיימות את תנאי השרשרת העולה על תת-חבורות נורמליות; ובמקרה השני יש מספר שאינו בן-מניה של חבורות נוצרות סופית המקיימות  , ויש ביניהן כאלה שאינן מקיימות את תנאי השרשרת העולה על תת-חבורות נורמליות.

תת-חבורות של קומוטטורים מקיימות את למת שלוש התת-חבורות: לכל שלוש תת-חבורות נורמליות   של  , מתקיים  .

האורך בחבורת הקומוטטוריםעריכה

בדרך כלל, אוסף הקומוטטורים עצמו אינו מהווה חבורה. האורך של איבר בתת-חבורת הקומוטטורים הוא המספר הקטן ביותר של קומוטטורים שיש להכפיל על-מנת לקבל אותו. ב-1962 הוכיח Gallagher[2] שהאורך של איבר אינו עולה על  , וידועים גם חסמים טובים יותר (למשל האורך בחבורות מסדר < 1000 אינו עולה על 2).

המתמטיקאי Oystein Ore שיער (ב-1951) שבחבורה פשוטה סופית, כל איבר הוא קומוטטור (של שני איברים כלשהם בחבורה), והוכיח טענה זו עבור חבורת התמורות הזוגיות  . מאוחר יותר הוכיחו את ההשערה לכל חבורת לי מטיפוס  , עבור  . בשנת 2008 ההשערה הוכחה לכל חבורה פשוטה סופית, באמצעות שילוב חסמים תאורטיים וחישוביים על קרקטרים.[3]

ראו גםעריכה

קישורים חיצונייםעריכה

הערות שולייםעריכה

  1. ^ Hall, P. Finiteness conditions for soluble groups. Proc. London Math. Soc. (3) 4 (1954), 419–436
  2. ^ P. X. Gallagher, Group characters and commutators, Math. Z., 79 (1962), 122-6
  3. ^ Liebeck, Martin & A. O’Brien, E & Shalev, Aner & Tiep, Pham. (2010). The Ore conjecture, Journal of The European Mathematical Society - J EUR MATH SOC. 12. 939-1008. 10.4171/JEMS/220.