הערכה (אלגברה)

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, הערכה היא פונקציה המוגדרת על שדה, ומשרה עליו ועל האובייקטים המסונפים לו מבנה נוסף. להערכות יש תפקיד מרכזי בתורת המספרים האלגברית ובגאומטריה אלגברית.

הגדרה

הערכה על שדה F היא פונקציה $\ \nu :F\rightarrow \Gamma \cup \{\infty \}$, כאשר $\ \Gamma$ חבורה אבלית סדורה, המקיימת את האקסיומות הבאות:

1. $\ \nu (x)=\infty$ אם ורק אם $\ x=0$;
2. $\ \nu (xy)=\nu (x)+\nu (y)$;
3. $\ \nu (x+y)\geq \min\{\nu (x),\nu (y)\}$.

חבורת הערכים $\ \Gamma _{\nu }=\operatorname {Im} (\nu )\subseteq \Gamma$ נקראת חבורת ההערכה. אם $\ \Gamma _{\nu }$ ציקלית, ההערכה נקראת הערכה דיסקרטית (מדרגה 1).

ההערכה מגדירה בתוך השדה את חוג ההערכה $\ {\mathcal {O}}_{\nu }=\{x:\nu (x)\geq 0\}$, שהוא אכן תחום הערכה, ובפרט תחום שלמות מקומי, ואת אידיאל ההערכה $\ {\mathfrak {m}}_{\nu }=\{x:\nu (x)>0\}$, שהוא האידיאל המקסימלי של $\ {\mathcal {O}}$, וממילא גם את שדה השאריות $\ {\bar {F}}={\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}$. בנוסף לזה, טופולוגיית הסדר של $\ \Gamma$ משרה טופולוגיה על F (הקטנה ביותר שעבורה ההערכה היא פונקציה רציפה), ואיתה את מושג ההתכנסות. יתרה מזו, אם $\ \Gamma \subseteq \mathbb {R}$, ובפרט אם ההערכה דיסקרטית מדרגה 1, אז מושרית על השדה מטריקה לא ארכימדית $\ d(x,y)=e^{-\nu (x-y)}$. ממד קרול (הקטן) של חוג ההערכה שווה לדרגה של חבורת ההערכה.

דוגמאות

הדוגמה הקלאסית היא ההערכה ה-p-אדית של המספרים הרציונליים, המוליכה גם לשדה המספרים ה-p-אדיים $\ \mathbb {Q} _{p}$. אכן, $\ \mathbb {Q} _{p}$ היא ההשלמה של $\ \mathbb {Q}$ ביחס למטריקה שמשרה ההערכה ה-p-אדית. באופן כללי יותר, אם D תחום שלמות ו-p איבר ראשוני כך ש-$\ \bigcap p^{n}D=0$, אפשר להגדיר את ההערכה ה-p-אדית על שדה השברים של D, כך שלכל $\ 0\neq x\in D$ $\ \nu _{p}(x)$ היא החזקה המקסימלית של p המחלקת את x.

הפונקציה $\ f\mapsto (\nu _{x}(f),\nu _{y}({\bar {f}}))$ (כאשר $\ {\bar {f}}$ הוא המקדם של החזקה הנמוכה ביותר של x ב-f), המוגדרת על פולינומים בשני המשתנים x,y, מגדירה הערכה $\ \mathbb {C} (x,y)\rightarrow \mathbb {Z} ^{2}$. באופן כללי יותר, אפשר להרכיב הערכה $\ F\rightarrow \Gamma$ על הערכה $\ {\bar {F}}\rightarrow \Delta$ ולקבל הערכה $\ F\rightarrow \Gamma \times \Delta$, כאשר החבורה האחרונה מסודרת לקסיקוגרפית.

אפשר להכליל את ההערכה ה-p-אדית לכל חבורה אבלית, באופן הבא. תהי A חבורה אבלית המקיימת $\bigcap p^{n}A=0$. נגדיר את הגובה $ht(a)$ של איבר a להיות n המקסימלי כך ש-$a\in p^{n}A$. אז $ht(a+b)\geq \min\{ht(a),ht(b)\}$. הכללה של הגובה למספרים סודרים מובילה למשפט אולם על המיון של חבורות אבליות מפותלות בנות מניה.

הרחבות של הערכות

אם K שדה המכיל את F, הרחבה של ההערכה $\ \nu :F\rightarrow \Gamma$ מ-$F$ ל-$K$ היא הערכה $\ \nu ':K\rightarrow \Gamma '$ המסכימה עם $\nu$ על $F$, כאשר $\ \Gamma \subseteq \Gamma '$.

כל הערכה אפשר להרחיב: לכל הערכה $\ \nu :F\rightarrow \Gamma$, ולכל הרחבת שדות $K/F$, יש הרחבה של ההערכה מ-$F$ ל-$K$. אי-השוויון היסודי עבור הרחבות של הערכות קובע שאם K/F הרחבה מממד סופי, ו-$\ \nu _{1},\dots ,\nu _{g}$ הן ההרחבות השונות של $\ \nu$, אז $\ \sum _{i}[{\overline {K}}^{\nu _{i}}:{\overline {F}}]\cdot [\Gamma _{\nu _{i}}:\Gamma _{\nu }]\leq [K:F]$. כביכול, סך כל הגידול בשדות השארית ובחבורות ההערכה חסום על ידי ממד ההרחבה. בפרט, מספר ההרחבות של ההערכה הוא סופי; שדה השאריות של K הוא הרחבה אלגברית של שדה השאריות של F; וחבורת ההערכה של ההרחבה מוכלת ב"השלמה החילוקית" $\ \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\Gamma$.

תהי K/F הרחבה סופית של שדות, ותהי $\nu$ הערכה של F שיש לה הרחבה יחידה ל-K. במקרה זה, $\ [{\overline {K}}:{\overline {F}}]\cdot [\Gamma _{\nu }:\Gamma _{\nu }]\leq [K:F]$, כך שהגידול בשדה השאריות והגידול בחבורת הערכים באים זה על חשבון זה. המקרים הקיצוניים ראויים לכינוי נפרד.

• ההרחבה היא בלתי מסועפת (או אינרטית) אם $\ [{\overline {K}}:{\overline {F}}]=[K:F]$ ו-$\ {\overline {K}}/{\overline {F}}$ ספרבילית; במקרה זה $\ \Gamma _{K}=\Gamma _{F}$.
• ההרחבה מסועפת לחלוטין אם $\ [\Gamma _{K}:\Gamma _{F}]=[K:F]$; במקרה זה $\ {\overline {K}}={\overline {F}}$.

תכונות אלה הן טרנזיטיביות: אם $\ F\subset K\subset E$, עם הרחבה יחידה של הערכה מ-F ל-E, אז E/F בלתי מסועפת אם ורק אם K/F ו-E/K בלתי מסועפות; ו-E/F מסועפת לחלוטין אם ורק אם K/F ו-E/K מסועפות לחלוטין.

הערכות בהרחבות גלואה

תהי $K/F$ הרחבת גלואה, כאשר $F$ שדה עם הערכה $\nu$. חבורת גלואה של ההרחבה, שנסמן ב-$G=\operatorname {Gal} (K/F)$, פועלת טרנזיטיבית על ההרחבות של $\nu$ ל-$K$; נסמן אחת מהן ב-$\omega$. הרחבת השדות משרה שרשרת קנונית של תת-חבורות $\ 1\subseteq G^{\operatorname {ram} }\subseteq G^{\operatorname {in} }\subseteq G^{\operatorname {dec} }\subseteq G$, המוגדרות באופן הבא:

• $\ G^{\operatorname {dec} }=\{\sigma \in G:\omega \circ \sigma =\omega \}$ - חבורת הפירוק;
• $\ G^{\operatorname {in} }=\{\sigma \in G:(\forall x\in {\mathcal {O}}_{K})\omega (x)-x\in {\mathfrak {m}}_{K}\}$ - חבורת האינרציה;
• $\ G^{\operatorname {ram} }=\{\sigma \in G:(\forall x\in K^{\times })\omega (\sigma (x)-x)>\omega (x)\}$ - חבורת הסיעוף.

התאמת גלואה מתאימה לשרשרת החבורות שרשרת של שדות, $F\subseteq D_{K/F}\subseteq I_{K/F}\subseteq R_{K/F}\subseteq K$, הנקראים "שדה הפירוק", "שדה האינרציה" ו"שדה הסיעוף" בהתאמה, ולהם התכונות הבאות:

• $\ [D_{K/F}:F]$ שווה למספר ההרחבות של $\ \nu$ אל K, ל-$\ \omega |_{D}$ יש הרחבה יחידה אל K, ובנוסף לזה $\ {\overline {D}}={\overline {F}}$ ו-$\ \Gamma _{D}=\Gamma _{F}$;
• ההרחבה $\ I_{K/F}/D_{K/F}$ אינרטית, ויש איזומורפיזם $\ \operatorname {Gal} (I_{K/F}/D_{K/F})\cong G^{\operatorname {dec} }/G^{\operatorname {in} }\cong \operatorname {Aut} ({\overline {K}}/{\overline {F}})$;
• ההרחבה $\ R_{K/F}/I_{K/F}$ מסועפת לחלוטין, ויש איזומורפיזם $\ \operatorname {Gal} (R_{K/F}/I_{K/F})\cong G^{\operatorname {in} }/G^{\operatorname {ram} }\cong \Gamma _{K}/\Gamma _{F}$;
• $\ {\overline {K}}/{\overline {R}}$ אי-ספרבילית טהורה, ו-$\ \Gamma _{K}/\Gamma _{R}$ היא חבורת-p כאשר $\ p=\operatorname {char} {\overline {F}}$.

בלשון לא פורמלית, ההרחבה מתפרקת לארבעה צעדים: הראשון מוקדש למיון ההרחבות של ההערכה משדה הבסיס, השני לגידול שדה השארית, השלישי לגידול חבורת הערכים, והרביעי לפתולוגיות הכרוכות במאפיין.

הערכות הנזליות

הערכות המקיימות את הלמה של הנזל והכללות שלה נקראות "הערכות הנזליות". הערכה של F היא הערכה הנזלית אם היא מקיימת את התכונות השקולות הבאות:

• יש לה הרחבה יחידה לכל הרחבה אלגברית של F;
• אם $\ f\in {\mathcal {O}}[x]$ פולינום מתוקן ובשדה השאריות יש פירוק $\ {\bar {f}}=g_{1}g_{2}$ כאשר $\ g_{1},g_{2}$ פולינומים מתוקנים זרים, אז יש פירוק לפולינומים מתוקנים $\ f=f_{1}f_{2}$ כך ש-$\ {\bar {f_{i}}}=g_{i}$;
• אם $\ f\in {\mathcal {O}}[x]$ פולינום מתוקן ובשדה השאריות יש שורש $\ {\bar {f}}(c)=0$ כך ש-$\ f'(c)\neq 0$, אז יש שורש יחיד $\ a\in {\mathcal {O}}$ של f כך ש-$\ {\bar {a}}=c$;
• כל אלגברה קומוטטיבית מעל $\ {\mathcal {O}}$ שהיא מודול סופי, היא מכפלה ישרה של חוגים מקומיים;
• לכל אלגברה R מעל $\ {\mathcal {O}}$ (שלמה, אבל לאו דווקא קומוטטיבית), ולכל אידיאל I של R, אפשר להרים אידמפוטנטים מ-R/I ל-R.

מן ההגדרה נובע שהרחבה של הערכה הנזלית, גם היא הנזלית. משתי התכונות האחרונות נובע שהנזליות היא תכונה של חוג השלמים.

לדוגמה, הערכה דיסקרטית שלמה היא הנזלית. הנזליות היא הכללה של מושג השלמות, החל רק על הערכות דיסקרטיות (כגון שדה טורי החזקות הפורמליים). הרכבה של הרחבות הנזליות היא הנזלית.

מקורות

• Jean-Pierre Tignol and Adrian R. Wadsworth, Value Functions on Simple Algebras, and Associated Graded Rings, Springer Monographs in Mathematics, 2015, Appendix A.

• Efrat, I.: Valuations, Orderings, and Milnor K-Theory. Mathematical Surveys and Monographs, vol. 124. American Mathematical Society, Providence (2006)

קישורים חיצוניים

• הערכה, באתר MathWorld (באנגלית)