התפלגות דיריכלה

בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, התפלגות דיריכלה (על שם Peter Gustav Lejeune Dirichlet ), מסומנת לעיתים קרובות $\operatorname {Dir} ({\boldsymbol {\alpha }})$, היא משפחה של התפלגויות רב-משתניות רציפות המוגדרות על ידי וקטור ${\boldsymbol {\alpha }}$ של ממשיים חיוביים. זוהי הכללה רב-משתנית של התפלגות ביתא, ומכאן שמה החלופי - התפלגות בטא רב-משתנית (MBD). התפלגות Dirichlet משמשת בדרך כלל כהתפלגות פריורית בסטטיסטיקה בייסיאנית, ולמעשה, התפלגות Dirichlet היא ההתפלגות הצמודה של ההתפלגות הקטגוריאלית וההתפלגות המולטינומית.

התפלגות דיריכלה

פונקציית צפיפות ההסתברות
מאפיינים
פרמטרים	$K\geq 2$ מספר הקטגוריות (מספר שלם) ${\boldsymbol {\alpha }}=(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K})$ הם פרמטרים של ריכוז, כאשר $\alpha _{i}>0$
תומך	$x_{1},\ldots ,x_{K}$ כאשר $x_{i}\in [0,1]$ ו- $\sum _{i=1}^{K}x_{i}=1$
פונקציית צפיפות הסתברות (pdf)	${\frac {1}{\mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }})}}\prod _{i=1}^{K}x_{i}^{\alpha _{i}-1}$ כאשר $\mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }})={\frac {\prod _{i=1}^{K}\Gamma (\alpha _{i})}{\Gamma {\bigl (}\alpha _{0}{\bigr )}}}$ ו- $\alpha _{0}=\sum _{i=1}^{K}\alpha _{i}$
תוחלת	=$\operatorname {E} [X_{i}]={\frac {\alpha _{i}}{\alpha _{0}}}$ $\operatorname {E} [\ln X_{i}]=\psi (\alpha _{i})-\psi (\alpha _{0})$ (כאשר $\psi$ היא פונקציית דיגמא)
ערך שכיח	$x_{i}={\frac {\alpha _{i}-1}{\alpha _{0}-K}},\quad \alpha _{i}>1.$
שונות	$\operatorname {Var} [X_{i}]={\frac {{\tilde {\alpha }}_{i}(1-{\tilde {\alpha }}_{i})}{\alpha _{0}+1}},$ $\operatorname {Cov} [X_{i},X_{j}]={\frac {\delta _{ij}\,{\tilde {\alpha }}_{i}-{\tilde {\alpha }}_{i}{\tilde {\alpha }}_{j}}{\alpha _{0}+1}}$ כאשר ${\tilde {\alpha }}_{i}={\frac {\alpha _{i}}{\alpha _{0}}}$, ו- $\delta _{ij}$ היא הדלתא של קרונקר
אנטרופיה	$H(X)=\log \mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }})$$+(\alpha _{0}-K)\psi (\alpha _{0})-$$\sum _{j=1}^{K}(\alpha _{j}-1)\psi (\alpha _{j})$ כאשר $\alpha _{0}$ מוגדר כמו בשונות, למעלה; ו- $\psi$ היא פונקציית דיגמא
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	$\alpha _{i}=E[X_{i}]\left({\frac {E[X_{j}](1-E[X_{j}])}{V[X_{j}]}}-1\right)$ כאשר $j$ יכול להיות כל אינדקס כולל, $i$ עצמו

ההכללה האינסוף-ממדית של התפלגות דיריכלה היא תהליך דיריכלה.

הגדרות

פונקציית צפיפות הצפיפות

הדגמה כיצד הלוג של פונקציית הצפיפות משתנה כאשר K = 3 ואנו משנים את הווקטור α מ- α = (0.3, 0.3, 0.3) עד (2.0, 2.0, 2.0), תוך שמירה על כך שכל הרכיבים של $\alpha$ נשארים שווים זה לזה.

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

להתפלגות דיריכלה מסדר $K\geq 2$ עם פרמטרים $0<\alpha _{1},...\alpha _{K}$, יש פונקציית צפיפות, לפי למידת לבג במרחב האוקלידי $\mathbb {R} ^{K-1}$, המתוארת באמצעות:

$f\left(x_{1},\ldots ,x_{K};\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K}\right)={\frac {1}{\mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }})}}\prod _{i=1}^{K}x_{i}^{\alpha _{i}-1}$

כאשר $\{x_{k}\}_{k=1}^{k=K}$ שייכים לסימפלקס $K-1$ תקני, או באופן שקול, לכל ${\textstyle i\in \{1,\dots ,K\}}$, ${\textstyle \sum _{i=1}^{K}x_{i}=1{\mbox{, }}x_{i}\in \left[0,1\right]}$.

הקבוע המנרמל הוא פונקציית בטא רב-משתנית, שניתן לבטאו במונחים של פונקציית גמא :

$\mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }})={\frac {\prod \limits _{i=1}^{K}\Gamma (\alpha _{i})}{\Gamma \left(\sum \limits _{i=1}^{K}\alpha _{i}\right)}},\qquad {\boldsymbol {\alpha }}=(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K})$

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא התפלגות דיריכלה בוויקישיתוף