חבורה אלגברית ליניארית

במתמטיקה, ובפרט בתורת החבורות האלגבריות, חבורה אלגברית ליניארית היא תת-חבורה אלגברית סגורה של החבורה הליניארית הכללית$GL_{n}$. חלק גדול מתורת החבורות האלגבריות מוקדש לעיסוק בחבורות אלגבריות ליניאריות. בפרט רוב תורת ההצגות של חבורות אלגבריות מתמקדת בחבורות אלגבריות ליניאריות. דוגמאות רבות של יריעות אלגבריות מבוססות על חבורות אלגבריות ליניאריות. כמו כן בניות רבות של חבורות, חבורות טופולוגיות וחבורות לי מבוססות על חבורות אלגבריות ליניאריות.

הגדרות

הגדרה אלמנטרית

מעל שדה סגור אלגברית, ניתן להגדיר חבורה אלגברית ליניארית באופן יחסית אלמנטרי (לא דורש את מושג היריעה האלגברית והחבורה האלגברית באופן כללי) כדלקמן: יהי $k$ שדה סגור אלגברית למשל שדה המספרים המרוכבים. תת-קבוצה $G$ של מרחב המטריצות $n\times n$ מעל $k$ נקראת חבורה אלגברית ליניארית אם מתקיים

• היא מכילה את מטריצת היחידה
• היא חבורה ביחס לכפל מטריצות
• קיימים פולינומים $p_{1},\dots ,p_{k}$ ב-$n^{2}$ משתנים, כך שאם אנו חושבים על המשתנים שלהם בתור מקדמי מטריצה $n\times n$ אז אוסף הפתרונות של מערכת המשוואות $p_{i}(a_{11},\dots ,a_{nn})=0$ שמהווים מטריצות הפיכות הוא $G$.

החיסרון של הגדרה זו הוא שהיא דורשת שיכון ספציפי של החבורה במרחב המטריצות. כמו כן הגדרה זו מזהה בין החבורה האלגברית (שהיא למעשה יריעה אלגברית) לאוסף הנקודות שלה (שהוא קבוצה). לכן היא תקפה רק לשדה סגור אלגברית.

הגדרה אבסטרקטית

ניתן להגדיר את המושג חבורה אלגברית ליניארית באופן אבסטרקטי כמקרה פרטי של חבורה אלגברית. יהי $k$ שדה. אוסף המטריצות ההפיכות $n\times n$ מעל $k$ הוא תת-קבוצה של מרחב המטריצות $n\times n$ המהווה מרחב ליניארי מממד $n^{2}$. תת-קבוצה זאת היא קבוצה פתוחה בטופולוגיית זריצקי. מכאן שיש על קבוצה זו מבנה טבעי של יריעה אלגברית. כפל מטריצות מגדיר מבנה של חבורה אלגברית על יריעה זאת. חבורה זאת נקראת החבורה הליניארית הכללית $GL_{n}$ מעל השדה $k$. חבורה אלגברית ליניארית היא חבורה אלגברית שאיזומורפית לתת חבורה סגורה של $GL_{n}$, ז"א תת-יריעה סגורה של $GL_{n}$ שמהווה תת-חבורה.

חבורות אלגבריות אפיניות

חבורה אלגברית אפינית היא חבורה אלגברית שבתור יריעה אלגברית מהווה יריעה אלגברית אפינית. קל לראות שכל חבורה אלגברית ליניארית היא אפינית. למעשה ההפך גם נכון: משפט: אם $G$ חבורה אלגברית אז היא ליניארית אמ"ם היא אפינית. המשפט מוכח על ידי התבוננות בפעולת החבורה על חוג הפונקציות הרגולריות על עצמה. משום שהחוג נוצר סופית, והפעולה סופית מקומית, קיימת לחוג תת-הצגה ממימד סופי שיוצרת אותו. ההצגה הזאת מהימנה, כלומר מגדירה שיכון של החבורה לתוך חבורת האיזומורפיזמים הליניאריים של המרחב, מה שהופך אותה לחבורה ליניארית.

לטענה זאת יש הכללות עבור סכמות חבורה אולם המצב שם מסובך יותר.

תכונות

חבורות אלגבריות ליניאריות סגורות לגבי תת-מנות והרחבות. זאת אומרת:

1. אם $G$ חבורה אלגברית ליניארית ו-$H$ תת-חבורה (סגורה זריצקי) שלה אז גם $H$ חבורה אלגברית ליניארית.
2. אם $G$ חבורה אלגברית ליניארית ו-$N$ תת-חבורה נורמלית (סגורה זריצקי) שלה אז גם $G/N$ חבורה אלגברית ליניארית.
3. אם $G$ חבורה אלגברית ו-$N$ תת-חבורה נורמלית (סגורה זריצקי) שלה כך ש- $N$ ו- $G/N$ חבורות אלגבריות ליניאריות, אז גם $G$ חבורה אלגברית ליניארית.

סוגים של חבורות אלגבריות ליניאריות

חבורות סופיות

כל חבורה סופית היא חבורה אלגברית, ביחס למבנה הדיסקרטי של יריעה אלגברית על קבוצה סופית. קל לראות שכל חבורה סופית היא גם חבורה ליניארית. מעל שדה סגור אלגברית אין הבדל בין חבורה סופית וחבורה אלגברית סופית. מעל שדה כללי יש הבדל אבל הוא מינורי (לחבורה המוגדרת מעל שדה כללי יש מבנה נוסף; אם השדה מושלם מבנה זה מתבטא בפעולת חבורת גלואה האבסולוטית של השדה). לכן המחקר של חבורות אלגבריות כמעט ולא עוסק בחבורות סופיות.

חבורות קשירות

ערך מורחב – חבורה אלגברית קשירה

חבורה אלגברית נקראת קשירה אם היא קשירה כיריעה אלגברית (זאת אומרת קשירה על פי הטופולוגיה של זריצקי). עבור כל חבורה אלגברית רכיב הקשירות של היחידה הוא תת-חבורה נורמלית (סגורה) וקשירה. מכאן שכל חבורה אלגבית היא הרחבה של חבורה סופית וחבורה קשירה. לכן עיקר העיסוק בחבורות אלגברית בכלל וחבורת אלגבריות ליניאריות בפרט מתמקד בחבורות קשירות.

חבורות פשוטות קשר

חבורה אלגברית קשירה נקראת פשוטת קשר אם היא לא מנה של חבורה אלגברית בתת-חבורה לא טריוויאלית. זה שקול לכך שהיא פשוטת קשר כיריעה אלגברית (זאת אומרת שהיא לא תמונה של העתקת אטל נאותה שאיננה איזומורפיזם). אם שדה ההגדרה הוא $\mathbb {C}$ אז זה גם שקול לכך שקבוצת הנקודות של החבורה היא פשוטת קשר בטופולגיה האנליטית (המושרית מ-$\mathbb {C}$)

כל חבורה אלגברית פשוטת קשר היא ליניארית.

חבורות אוניפוטנטיות

ערך מורחב – חבורה אוניפוטנטית

משפחה חשובה של חבורות אלגבריות ליניאריות היא חבורות אוניפוטנטיות. דוגמה לחבורה אוניפוטנטית היא החבורה $U_{n}$ של מטריצות משולשיות עליונות $n\times n$ שכל איברי האלכסון שלהן שווים ל-1. חבורה נקראת אוניפוטנטית אם היא איזומורפית לתת חבורה אלגברית סגורה של $U_{n}$.

חבורות אוניפוטנטיות סגורות לגבי תת-מנות והרחבות. אם המציין של שדה ההגדרה הוא -0, אז כל חבורה אוניפוטנטית היא קשירה ופשוטת קשר. החבורה $U_{1}$ איזומורפית לחבורה החיבורית של שדה ההגדרה $\mathbb {G} _{a}$. אפשר לראות בדוגמה זו את הדוגמה הפשוטה ביותר לחבורה אוניפוטנטית. במובן מסוים כל החבורות האוניפוטנטיות מורכבות ממנה. לכל חבורה אוניפוטנטית יש מרכז לא טריוויאלי. אם מרכז זה אינו סופי אז הוא מכיל תת-חבורה איזומרפית ל-$\mathbb {G} _{a}$. אם המציין של שדה ההגדרה הוא -0, אז מרכז זה הוא חזקה של החבורה $\mathbb {G} _{a}$. מכאן ניתן להסיק, שאם שדה ההגדרה סגור אלגברית וממציין $0$, אז עבור חבורה אלגברית $G$ הדברים הבאים שקולים:

• $G$ אוניפוטנטית.
• ל - $G$ סדרה מרכזית שגורמיה הם $\mathbb {G} _{a}$.
• ל - $G$ סדרה נורמלית שגורמיה הם $\mathbb {G} _{a}$.

אם מציין שדה ההגדרה הוא מספר $p\neq 0$ אז חבורת רכיבי הקשירות של חבורה אוניפוטנטית היא חבורת p

טורוסים

חבורה אלגברית נקראת טורוס אם, לאחר הרחבת סקלרים לסגור האלגברי, היא חזקה של החבורה הכיפלית $\mathbb {G} _{m}$. תנאי זה שקול להיות החבורה חבורה אלגברית רדוקטיבית וחילופית (וקשירה). זה גם שקול לכך שכל הצגה אלגברית מתפרקת לסכום ישר של הצגות חד-ממדיות.

חזקה של החבורה הכיפלית נקראת טורוס מתפצל.

חבורות קמוטטיבייות

חבורה אלגברית נקראת קומוטטיבית אם היא קומוטטיבית בתור חבורה רגילה. כל חבורה אלגברית קמוטטיבית קשירה היא מכפלה של טורוס וחבורה אוניפוטנטית קמוטטיבית. אם מציין שדה ההגדרה הוא 0 אז חבורה אוניפוטנטית קמוטטיבית היא חזקה של החבורה $\mathbb {G} _{a}$.

חבורות פתירות

בדומה לחבורות רגילות, חבורה אלגברית ליניארית נקראת פתירה אם יש לה סדרה נורמלית המורכבת מתת-חבורות סגורות זריצקי שגורמיה הם חבורות קמוטטיביות. באופן שקול, $G$ פתירה אם הסדרה המוגדרת על ידי:

• $G_{0}=G$
• $G_{n}=G_{n-1}'$

כאשר $G'$ מסמנת את החבורה הנגזרת (האלגברית) של $G'$, זאת אומרת סגור הזריצקי של החבורה הנוצרת מבטויים מהסוג $ghg^{-1}h^{-1}$ מסתיימת בחבורה הטריוויאלית. בדרך כלל, בהקשר של חבורות אלגבריות, הביטוי "חבורה פתירה" כולל גם דרישה שהחבורה תהיה קשירה.

מעל שדה סגור אלגברית, חבורה ליניארית היא פתירה אםם היא תת-חבורה של חבורת המטריצות המשולשיות עליונות.

חבורה קשירה היא פתירה אםם היא הרחבה של חבורה אוניפוטנטית וטורוס (כשהחבורה האוניפוטנטית היא תת-חבורה נורמלית של החבורה הפתירה). במקרה שמציין שדה ההגדרה הוא 0 אז הרחבה זו היא מכפלה חצי ישרה.

חבורות רדוקטיביות

ערך מורחב – חבורה אלגברית רדוקטיבית

חבורות אלגבריות רדוקטיביות הן חבורות אלגבריות ליניאריות שאין להן תת-חבורות נורמליות אוניפוטנטיות. מעל שדה ממציין 0 חבורות אלגבריות הן רדוקטיביות אםם כל הצגה אלגברית שלהן פריקה לגמרי. כל חבורה רדוקטיבית איזוגנית למכפלה של חבורה פשוטה למחצה וטורוס. בהקשרים רבים, הביטוי "חבורה רדוקטיבית" כולל גם דרישה שהחבורה תהיה קשירה.

כל חבורה אלגברית ליניארית היא הרחבה של חבורה רדוקטיבית וחבורה אוניפוטנטית. אם מציין שדה ההגדרה הוא 0 אז ההרחב הזאת היא מכפלה חצי ישרה.

חבורות פשוטות למחצה

ערך מורחב – חבורה אלגברית פשוטה למחצה

חבורות אלגבריות פשוטות למחצה הן חבורות אלגבריות ליניאריות שאין להן תת-חבורות נורמליות פתירות (לא טריוויאליות). כל חבורה פשוטה למחצה היא צורה של חבורה שאיזוגנית למכפלה של חבורות אלגבריות פשוטות. בהקשרים רבים, הביטוי "חבורה פשוטה למחצה" כולל גם דרישה שהחבורה תהיה קשירה.

חבורות פשוטות

חבורה פשוטה למחצה נקראת כמעט פשוטה אם אין לה תתי-חבורות נורמליות נאותות אין-סופיות. היא נקראת פשוטה אם אין לה תתי-חבורות נורמליות נאותות לא טרוויאליות.

חבורות כמעט פשוטות הן קשירות. חבורת המנה $Ad(G)$ של חבורה כמעט פשוטה $G$ על פי המרכז שלה היא פשוטה. במקרה כזה אומרים ש-$G$ היא כיסוי של $Ad(G)$ . לכל חבורה פשוטה יש מספר סופי של כיסויים. בדיוק אחד מהם הוא פשוט קשר (זאת אומרת שהוא לא מנה של אף כיסוי אחר).

כך שיש בייקציה בין חבורות פשוטות ובין חבורת כמעט פשוטות פשוטות קשר. מעל שדה סגור אלגברית החבורת הפשוטות ממוינות על ידי דיאגרמות דינקין.

כל חבורה (קשירה) פשוטה למחצה היא מנה, על פי תת-חבורה מרכזית סופית, של מכפלה של חבורות כמעט פשוטות פשוטות קשר.

לעיתים חבורות כמעט פשוטות מכונות "חבורות פשוטות" לפי טרמנולגיה זו מכנים חבורות פשוטות כ"חבורות פשוטות חסרות מרכז".

מבנה כללי

לסיכום, ניתן לתאר את המבנה הכללי של חבורה אלגברית ליניארית כך:

• כל חבורה אלגברית ליניארית היא הרחבה של חבורה קשירה וחבורה סופית.

• כל חבורה אלגברית ליניארית קשירה היא הרחבה (במציין 0, מכפלה חצי ישרה) של חבורה רדוקטיבית (קשירה) וחבורה אוניפוטנטית (קשירה).

• מעל שדה סגור אלגברית ממציין 0, כל חבורה אוניפוטנטית היא הרחבה של מספר עותקים של $\mathbb {G} _{a}$

• מעל שדה ממציין, כל חבורה אוניפוטנטית (קשירה) היא הרחבה של צורות של חזקות של $\mathbb {G} _{a}$
• במציין $p$ יש להוסיף לאלו גם את החבורה הציקלית על $p$ איברים.

• כל חבורה רדוקטיבית (קשירה) היא מנה של מכפלה של טורוס ושל חבורה פשוטה למחצה פשוטת קשר על פי תת-חבורה סופית מרכזית.

• טורוס הוא צורה של חזקה של $\mathbb {G} _{m}$
• חבורה פשוטה למחצה פשוטת קשר היא מכפלה של חבורות פשוטות קשר כמעט פשוטות.

• מעל שדה סגור אלגברית כל חבורה פשוטת קשר כמעט פשוטה היא חבורה מתפצלת.

• חבורות חבורות מתפצלות פשוטות קשר כמעט פשוטות ממוינות על ידי דיאגרמות דינקין.

• חבורות פשוטות קשר כמעט פשוטות הן צורות של חזקות של חבורות מתפצלות פשוטות קשר כמעט פשוטות.

מכאן אפשר להסיק את המסקנה הבאה: כל חבורה אלגברית ליניארית היא הרחבה של החבורות הבאות:

• חבורות סופיות
• $\mathbb {G} _{a}$
• $\mathbb {G} _{m}$
• חבורות פשוטות. חבורה פשוטה היא צורה של חזקה של אחת החבורות הבאות:

• $PSL_{n}$
• $PSO_{n}$ המתפצלת
• $PSp_{2n}$
• $E_{6}$ (הפשוטה)
• $E_{7}$ (הפשוטה)
• $E_{8}$
• $F_{4}$
• $G_{2}$

ראו גם

• פירוק ז'ורדן-שבלה

לקריאה נוספת

חבורות אלגבריות ליניאריות

• Springer, Tonny A. (1998) [1981], Linear Algebraic Groups (2nd ed.), New York: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4021-5, MR 1642713
• Borel, Armand (1991) [1969], Linear Algebraic Groups (2nd ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97370-2, MR 1102012
• Humphreys, James E. (1975), Linear Algebraic Groups, Springer, ISBN 0-387-90108-6, MR 0396773

נושאים קשורים

• Milne, J. S. (2017), Algebraic Groups: The Theory of Group Schemes of Finite Type over a Field, Cambridge University Press, ISBN 978-1107167483, MR 3729270
• Conrad, Brian (2014), "Reductive group schemes" (PDF), Autour des schémas en groupes, vol. 1, Paris: Société Mathématique de France, pp. 93–444, ISBN 978-2-85629-794-0, MR 3309122
• Deligne, Pierre; Milne, J. S. (1982), "Tannakian categories", Hodge Cycles, Motives, and Shimura Varieties, Lecture Notes in Mathematics, vol. 900, Springer Nature, pp. 101–228, ISBN 3-540-11174-3, MR 0654325

קישורים חיצוניים

• De Medts, Tom (2019), Linear Algebraic Groups (course notes) (PDF), Ghent University