מידת דיראק

במתמטיקה, ובפרט בתורת המידה, מידת דיראק היא מידה שקובעת גודל לקבוצה רק על סמך הכלה או אי-הכלה של איבר קבוע $x$ על ידי הקבוצה. זוהי דרך לפורמליזציה של הרעיון של פונקציית הדלתא של דיראק, כלי חשוב בפיזיקה ובתחומים הנדסיים אחרים.

תרשים המציג את כל תתי הקבוצות האפשריות של קבוצה בת 3 נקודות {x,y,z }. מידת דיראק δ_x קובעת גודל של 1 לכל הקבוצות בחצי השמאלי העליון של התרשים ו-0 לכל הקבוצות בחצי הימני התחתון.

הגדרה

בהינתן מרחב מדיד $(\Omega ,\Sigma )$ ואיבר $x\in \Omega$, מידת דיראק המתאימה ל-$x$ מסומנת על ידי $\delta _{x}$ ומוגדרת באופן הבא, עבור קבוצה כלשהי $A\in \Sigma$:

$\delta _{x}(A)=1_{A}(x)={\begin{cases}0,&x\not \in A;\\1,&x\in A.\end{cases}}$

כאשר $1_{A}$ היא הפונקציה המציינת של $A$.

מידת דיראק היא מידה אטומית, ו-$x$ הוא האטום היחידוני היחיד בה. בנוסף, היא מידת הסתברות, המייצגת מצב של התקיימות התוצאה $x$ כמעט בוודאות במרחב המדגם $\Omega$. מידות דיראק הן נקודות הקצה של הקבוצה הקמורה של מידות ההסתברות על $\Omega$.

מידת דיראק מקבלת את שמה בעקבות פונקציית הדלתא של דיראק, בשל התנהגותן הדומה של השתיים. למשל, כאשר מבצעים אינטגרל לבג לפי מידת דיראק, מתקיים הקשר הבא:

$\int _{\Omega }f(y)\,\mathrm {d} \delta _{x}(y)=f(x)$

אשר דומה מאוד לקשר הבא, שנחשב לפעמים לחלק מההגדרה של פונקציית הדלתא:

$\int _{-\infty }^{\infty }f(y)\delta (y-x)\,\mathrm {d} y=f(x)$

תכונות

יהי $(\Omega ,\Sigma )$ מרחב מדיד ותהי $\delta _{x}$ מידת דיראק שמרכזה $x\in \Omega$.

• $\delta _{x}$ מידת הסתברות ולכן מידה סופית, ובפרט סיגמא-סופית.

נניח ש-$(\Omega ,\tau )$ הוא מרחב טופולוגי ושהסיגמא-אלגברה $\Sigma$ עדינה לפחות כמו סיגמא-אלגברת בורל של $(\Omega ,\tau )$ (כלומר שכל קבוצת בורל היא מדידה).

• $\delta _{x}$ מידה חיובית ממש אם ורק אם $x$ שייך לכל קבוצה פתוחה (ולא ריקה) בטופולוגיה $\tau$. לדוגמה, עבור הטופולוגיה הטריוויאלית $\{\emptyset ,\Omega \}$.
• מכיוון ש-$\delta _{x}$ מידת הסתברות, היא מידה סופית-מקומית .
• אם $\Omega$ הוא מרחב האוסדורף עם סיגמא-אלגברת בורל המתאימה, אז $\delta _{x}$ היא מידה רגולרית פנימית , משום שיחידון כמו $\{x\}$ הוא תמיד קומפקטי.
• בהנחה שהטופולוגיה עדינה מספיק כך ש-$\{x\}$ קבוצה סגורה (זה המצב במקרים רבים, למשל במרחב האוסדורף), אז $\delta _{x}$ היא גם מידה רגולרית חיצונית .
• במרחבים בהם שלוש התכונות האחרונות מתקיימות, מידת דיראק היא מידת רדון, ישירות מהגדרתה של זו.
• אם $\{x\}$ סגורה, אז התומך של $\delta _{x}$ הוא $\{x\}$ (אחרת, התומך הוא הסגור של $\{x\}$ ב-$(\Omega ,\tau )$). בנוסף, $\delta _{x}$ היא מידת ההסתברות היחידה שהתומך שלה הוא $\{x\}$.
• $\delta _{x}$ היא מידה סינגולרית ביחס למידת לבג על המרחב האוקלידי $\mathbb {R} ^{n}$.

הכללות

מידה בדידה דומה למידת דיראק, אלא שהיא מרוכזת בקבוצה בת מנייה של נקודות במקום בנקודה יחידה. בניסוח פורמלי יותר: מידה על הישר הממשי נקראת מידה בדידה (ביחס למידת לבג) אם התומך שלה הוא לכל היותר קבוצה בת מנייה.

קישורים חיצוניים

• Dieudonné, Jean (1976). "Examples of measures". Treatise on analysis, Part 2. Academic Press. p. 100. ISBN 0-12-215502-5.
• Benedetto, John (1997). "§2.1.3 Definition, δ". Harmonic analysis and applications. CRC Press. p. 72. ISBN 0-8493-7879-6.