משפט לי

באלגברה מופשטת, משפט לי קובע כי כל האיברים של תת-אלגברת לי פתירה של אלגברת האנדומורפיזמים ניתנים להצגה בבסיס מסוים למטריצות משולשיות עליונות.

ניסוח פורמלי

תהי $L$ תת-אלגברת לי פתירה של אלגברת האנדומורפיזמים $GL(V)$ עבור מרחב וקטורי $V$ מממד סופי, מעל שדה סגור אלגברית ובעל מאפיין אפס. אז כל איבר ב-$L$ ניתן להציג לפי בסיס מסוים בתור מטריצה משולשית עליונה.

מסקנות

מהמשפט ניתן להסיק כי אם $L$ פתירה, יש שרשרת אידיאלים $0={L}_{0}\subseteq {L}_{1}\subseteq ...\subseteq {L}_{n}=L$, כך ש-$\dim {L}_{i}=i$.

כתוצאה מכך, יחד עם משפט אנגל, נובע אם $L$ אלגברת לי פתירה, אז $[L,L]$ נילפוטנטית. קל לראות שגם ההפך נכון, ולכן $L$ פתירה אם ורק אם $[L,L]$ נילפוטנטית.

ראו גם

• אלגברת לי פתירה

• אלגברת לי נילפוטנטית

לקריאה נוספת

• Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, James Humphreys, 15-17