משתמש:Avneref/מדע/פיזיקה/סוסקינד

לאונרד ססקינד, ממייסדי תורת המיתרים; חובב השוקולד. העולם כהולוגרמה, סרטון באתר יוטיוב

הרצאות

מס. 1

יחסות כללית, לאונרד סוסקינד, סטנפורד, אוקטובר 2008, סרטון באתר יוטיוב.

• מגדל פיזה טוב רק לדבר אחד - להפיל חפצים ולמדוד את תאוצתם...

מס. 2

מטריקה...

• מודל לאנרגיה אפלה: קפיץ, F = -kx, כאשר הקבוע הקוסמולוגי Λ מתווסף ל-k.
• ס.: אלברט איינשטיין היה הראשון להסיק, שאור מתכופף בשדה כבידה; לא נכון: יוהאן פון-זולדנר כתב זאת ב-1801, בהתבסס על מכניקה ניוטונית בלבד; אבל תוצאת החישוב הניוטוני אינה נכונה, ואיינשטיין תיקן אותה במסגרת תורת היחסות הכללית (1915), בהנחה של התארכות הזמן, פי 2.
• במרחב כללי (לא בהכרח שטוח), המרחק בין 2 נקודות (ב-2 ממדים, לפשטות): $ds^{2}=g_{11}dx^{2}+2g_{12}dxdy+g_{22}dy^{2}$. ו-g12 מבטא את מידת אי-האנכיות של הצירים (באותה נקודה): g12=0 פירושו מאונכים, ערך אחר (+ או -) מבטא סטיה מהאנכיות; g11, g22 מבטאים את צפיפות השנתות: g11>1 פירושו צפיפות גדולה (ולכן מרחק נמדד גדול).

מס. 3

הטנזור המטרי

• X מערכת ייחוס, d-ממדית; ובה וקטור העתקה קטן, ds. אורכו בריבוע: $\;\;ds^{2}=\delta _{mn}dx^{m}dx^{n};\;\;m,n=1..d$. במעבר למערכת ייחוס Y, הרכיב ה-m-י של וקטור ההעתקה: $\;dx^{m}={\frac {\partial x^{m}}{\partial y^{r}}}dy^{r}$, ויש סכימה על r (הסיגמה מושמט בהתאם להסכם הסכימה של איינשטיין). ומכאן: $ds^{2}=\delta _{mn}{\frac {\partial x^{m}}{\partial y^{r}}}{\frac {\partial x^{n}}{\partial y^{s}}}dy^{s}dy^{r}=g_{rs}dy^{r}dy^{s}$ (כאן יש כבר סכימה על r ועל s?). אוסף ה-g נקראים מטריקה#הטנזור המטרי ; הוא ממיר (transforms) כ"טנזור קו-ואריאנטי", ולכן האינדקסים שלו למטה. הוא מהווה מדד לעקמומיות: בשטוח, כל אברי ה-cross הם 0, והמטריקה היא פשוט של משפט פיתגורס.
  • למשל, במערכת צירים קרטזית, הטנזור המטרי הוא הדלתא של קרונקר.

מס. 4

חשבון אינדקסים; מטריקה ביחסות פרטית וכללית

• העברה של "וקטור עם אינקסים קו-ואריאנטיים" (כריס: "קו-וקטור") ממערכת-ייחוס X למערכת Y, כך: $V_{m}(Y)={\frac {\partial x^{n}}{\partial y^{m}}}V_{n}(X)$;; כללי-אצבע לזכור: m נמצא תמיד למטה, כי הוא אינדקס קו-ואריאנטי (כריס: משתנה באופן "ישר", כמו רכיבים של קו-וקטור); הוא קשור (אגף שמאל) ל-Y, ולכן הנגזרת החלקית של y נמצאת איתו למטה.
  העברת "וקטור עם אינדקסים קונטרה-ואריאנטיים" ("וקטור"): $W^{m}(Y)={\frac {\partial y^{m}}{\partial x^{n}}}W^{n}(X)$; ו-m למעלה, כי הוא קונטרה-ואריאנטי (משתנה "הפוך", כמו רכיבים של וקטור).
• בהתאם, בטנזור עם יותר אינדקסים (במקרה שכאן, 2): $T_{mn}(Y)={\frac {\partial x^{r}}{\partial y^{m}}}{\frac {\partial x^{s}}{\partial y^{n}}}T_{rs}(X)$; כללים לזכור: לכל העברה של אינדקס (למשל מ-r ב-X, ל-m ב-Y) צריך נגזרת חלקית שבה: האינדקס המועבר (r) למעלה (כי בטנזור שלידו, ה"ישן", הוא למטה), עם הרכיב הצמוד לו (x); ושבה האינדקס שאליו עוברים (m) למטה (כי בטנזור ה"חדש" הוא באותו צד, למטה), עם הרכיב הצמוד (y).
• ועם 2 אינדקסים מסוגים שונים: $T_{m}^{n}(Y)={\frac {\partial x^{r}}{\partial y^{m}}}{\frac {\partial y^{n}}{\partial x^{s}}}T_{r}^{s}(X)$. ואם שני האידקסים זהים: $T_{m}^{m}(Y)=T_{1}^{1}+T_{2}^{2}+...=T_{r}^{r}(X)$ (כי: ${\frac {\partial x^{r}}{\partial y^{m}}}{\frac {\partial y^{m}}{\partial x^{s}}}=\delta _{r}^{s}$); וקיבלנו סקלר, כי לא נשאר אינדקס חופשי (שלא סיכמנו על-פניו).
  • מכאן כלל ביטול האינדקסים: טנזור שיש בו אינדקסים זהים למעלה ולמטה - הם מבטלים אהדדי (contraction of indices), ומקבלים טנזור מסדר נמוך יותר; אם אין אינדקסים אחרים שנשארים - נשאר סקלר. למשל: $V^{m}W_{m}=T_{m}^{m}$ הוא מכפלה פנימית של שני וקטורים = סקלר.
• המטריצה ההפוכה למטריצה שמייצגת את הטנזור המטרי - גם היא מייצגת טנזור; איברי המטריצה הם רכיבים קונטרה-ואריאנטים: $(g^{-1})^{mr}g_{rn}=I=\delta _{n}^{m}$. למטריצה הישרה יש משמעות גאומטרית - רכיבי המטריקה, המרחק בין נקודות; להפוכה יש משמעות -? נראה.
• קלקולוס: נגזרות של רכיבי-טנזור - אינן בהכרח רכיבים של טנזור אחר! יכולים להיות של לא-טנזור.
• כשם שמשתמשים באותן יחידות לקואודינטות x ו-y (או x1, x2), כך רוצים להאחיד את היחידות של ציר הזמן; לשם כך, לוקחים c=1. הגודל c הוא למעשה גורם-המרה מיחידות זמן ליחידות מרחק.
• זמן עצמי, τ: הזמן שנמדד במערכת של הגוף שנע; ריבוע של הפרשי-זמן-עצמי-קטנים, $d\tau ^{2}$, הוא הגודל שנשמר תחת טרנספורמציות לורנץ: $d\tau ^{2}=dt^{2}-dx^{2}$.
  למשל: גוף שנע במערכת X מרחק dx בפרק-זמן dt (במהירות v=dx/dt), ריבוע המרחק שהוא התקדם: $ds^{2}=dt^{2}-dx^{2}=dt^{2}(1-v^{2})\;\;[dx^{2}=v^{2}dt^{2}]$ במערכת X; ואילו במערכת 'X שצמודה אל הגוף: $\;dt'={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}}}}(dt-vdx);\;dx'=0$ (כלומר מרחקים, וגם הפרשי זמן - לא נשמרים), אבל ריבוע המרחק: $ds'^{2}=dt'^{2}-dx'^{2}=dt^{2}(1-v^{2})=ds^{2}$; כלומר, רק המרחק במרחב-זמן ds הוא אינווריאנטי-לורנץ. זוהי המטריקה בתורת היחסות הפרטית.
• המקבילה של המטריקה, בתורת היחסות הכללית: $d\tau ^{2}(X)=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }\;\;\mu ,\nu =0,1,2,3$; בכל מקום שהאינדקסים הם μ,ν - הם מייצגים את הרכיבים במרחב-זמן, וערכיהם 0 עד 3.
  במרחב מינקובסקי, הטנזור המטרי: $g_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\;(\triangleq )\;\eta _{\mu \nu }$ (זהו מקרה מיוחד של טנזור מטרי, למרחב הזה).
• טנזור מטרי שלא תלוי במקום (= הומוגני, בסקלה של היקום), רק בזמן - זהו המקרה של היקום כפי שנראה כיום: במקום 1-, יש $a(t)$ שגדל עם הזמן (לכן היקום "מתפשט" - למעשה, המרחב-זמן הוא שמתפשט); ואז: $d\tau ^{2}=dt^{2}-a^{2}(t)[dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}]$.

מס. 5

נגזרת קו-ואריאנטית

• לא כל פעולה על טנזור יוצרת טנזור; למשל: גזירה רגילה - לא. כדי שגזירה תיצור טנזור, מוסיפים לה "גורם תיקון": סמל כריסטופל, וכך מתקבלת נגזרת קו-ואריאנטית: $\nabla _{p}{\vec {v_{m}}}={\frac {\partial v_{m}}{\partial y^{p}}}+\Gamma _{p\color {red}m}^{\color {red}r}v_{\color {red}r}=T_{mp};\;\;\Gamma _{pm}^{r}=\left({\frac {\partial {\vec {e_{m}}}}{\partial u^{p}}}\cdot {\vec {e_{l}}}\right){\mathfrak {g}}^{lr}$
  • סמלי כריסטופל כאן מיוצגים ע"י 4 מטריצות (אחת לכל ערך של μ), כל אחת עם אינדקסים m,r; ההכפלה ב-v מסכמת על פני r.
  • הם מתקנים את העיוות שמכניסות קואודינטות שאינן "ישרות", כך שהנגזרת הקו-ואריאנטית שווה לאפס. הם עושים זאת ע"י התחשבות בנגזרות של וקטורי-הבסיס.
• במרחב שטוח, ניתן למצוא קואורדינטות שבהן Γ=0; אבל - לא בכולן! למשל, בקואורדינטות קוטביות, Γ אינם 0.
• נגזרת קו-ואריאנטית של וקטור-משיק למסילה: ${\frac {d^{2}y^{n}}{ds^{2}}}+\Gamma _{mr}^{n}{\frac {dy^{m}}{ds}}{\frac {dy^{r}}{ds}}={\vec {0}}$ נקראת המשוואה הגאודזית; אם היא מתקיימת בכל נקודה על המסילה, אז המסילה היא גאודזית, היא "המרחק הקצר ביותר" על פני היריעה. זוהי המקבילה היחסות-כללית לחוק השני של ניוטון: הנגזרת השניה של המקום ביחס לפרמטר (למעשה, ביחס לזמן עצמי) - שהיא תאוצה, שווה ל"כוח" במובן של עיוות המרחב כתוצאה ממסה! עיוות זה מיוצג ע"י סמל כריסטופל.
• Maurizio Gasperini's Theory of Gravitational Interactions

מס. 6

עקמומיות, עקמומיות

• למרחב עקום, ניתן לחשב טנזור-מטרי שבאמצעותו הנגזרת הקו-ואריאנטית של המטריקה = 0 (כלומר: המטריקה זהה בכל המרחב; למרות שהוא עקום).
  • אבל לא ניתן למצוא קואורדינטות, שבהם המרחב שטוח.
• גרסה של הנגזרת הקו-ואריאנטית של וקטור v לאורך מסילה s, כך: $dV^{m}=-\Gamma _{np}^{m}V^{n}dx^{p}$ מכתיבה, בכל נקודה במסילה, איך צריך לשנות את V, כך שהוא יועתק במקביל לאורך המסילה.
• השטחה: מציאת קואורדינטות שבהן המטריקה היא $\eta _{\mu \nu }$; עקמומיות היא מחסום בפני השטחה. השטחה של יריעות דו-ממדיות:
  • חרוט: שטוח בכל מקום, פרט לשפיץ (שם העקמומיות אינסוף - נקודה סינגולרית, ייחודית); כי העתקה-מקבילה של וקטור לאורך כל מסילה סגורה שמקיפה את השפיץ - לא מחזירה אותו באותה זוית. גרעון-הזוית פרופורציוני לשטח הכלוא במסילה.
  • טורוס: עקום-חיובי בחוץ, שלילי בפנים; סה"כ: עקמומיות מצרפית (integrated) שווה 0; ניתן ל"השטחה" למלבן; לא ניתן לבנות ממלבן במרחב תלת-ממדי, אבל ניתן ב-4 ממדי (גליל אינסופי, סגור על עצמו דרך הממד הרביעי).
  • ספירה (גאומטריה): עקום הומוגנית, לא ניתן להשטחה.
• המרחב-זמן עקום, בגלל מסות, ליתר דיוק: אנרגיה-ותנע; מסה היא מחסום בפני ביטול עקמומיות באמצעות מעבר למערכת קואורדינטות (כפי שאפשר לעשות לעקמומיות שנוצרת מהאצה - עקמומיות כזאת הומוגנית, כי ההאצה של מערכת הקואורדינטות החלופית היא באותו כיוון).

מס. 7

עקמומיות; מסה?

• משוואת השינוי בוקטור בהעתקה מקבילה: $\partial V^{\mu }=dx^{\sigma }dx^{\nu }V^{\tau }R_{\nu \sigma \tau }^{\mu }$; טנזור העקמומיות של רימן , $R_{\nu \sigma \tau }^{\mu }$: בנוי מנגזרות של סמל כריסטופל. ν,σ קשורים למשטח, dxμ-dxσ, שסביבו וקטור מועתק-מקביל; μ,τ קשורים לוקטור עצמו, קובעים כיצד הוא משתנה. הוא מכיל ריבועים של נגזרות של הטנזור המטרי, בצורת: נגזרת שניה שלו (בנגזרת של סמל כריסטופל הראשון, שבעצמו מכיל נגזרת כזאת); או במכפלות של סמלי-כריסטופל (כלומר, נגזרת כפול נגזרת). יש בו 24 משוואות בלתי-תלויות(?).
  • ביטוי הטנזור: $R_{\mu \nu \sigma }^{\rho }=\partial _{\mu }(\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho })-\partial _{\nu }(\Gamma _{\mu \sigma }^{\rho })+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }$. אפשר "להנמיך" את ρ כך: $g_{\lambda \rho }R_{\mu \nu \sigma }^{\rho }=R_{\lambda \mu \nu \sigma }$ (הטנזור המטרי יכול לשמש כדי להנמיך ולהגביה כל אינדקס שרוצים). כשכולם מונמכים, יותר קל לראות סימטריה בין רכיבי הטנזורים (ותלות בין משוואות-איינשטיין).
• דרך אינטואיטיבית לבצע העתקה מקבילה: "לשמור את הזוית בין הוקטור לבין המסילה - קבוע". לדוגמא, במשטח עקום דו-ממדי (למשל: ספירה), כשהוקטור מצביע בכיוון התנועה - לשמור זאת כך; כשמצביע בניצב לתנועה - לשמור כך. במשטח תלת-ממדי זה קצת יותר מורכב: כשהוא ניצב לתנועה - לא מספיק לשמור אותו ניצב, כי בתלת-ממדי הוא גם יכול להסתובב בספירלה לציר התנועה, ועדיין להישאר ניצב; יש לשמור שגם לא יסתובב.
• טנזור העקמומיות של ריצ'י פשוט יותר, יש לו 2 אינדקסים. סו.: יש לי הרגשה שלקח לאיינשטיין 10 שנים להתאים אותו ליחסות הכללית - כי כל כך קשה לדמיין את משמעות-המרחב-זמן שלו. לריצ'י עצמו היה קל יחסית, כי הוא בנה אותו ל-3 ממדים בלבד - שם טנזורי רימן וריצ'י שקולים (כי כל דבר שתלוי ב-2 מישורים, ולכן דורש 4 אינדקסים - ב-3 ממדים אפשר לתארו באמצעות 2 וקטורים בלבד, כל אחד ניצב למישור).
  תורמים:
  • גרגוריו ריצ'י : פעיל פוליטי; תלמידו: טוליו לוי-צ'יוויטה
  • ז'וזף לואי לגראנז': מערכת דינמית
  • ברנהרד רימן: הראשון לחשוב על גאומטריה במספר כלשהו של ממדים. למד תאולוגיה, עבר למתמטיקה בהמלצת קרל פרידריך גאוס, מנחהו לדוקטורט, שהכריז אחרי הרצאתו: "הבנתי"; למד מיעקובי, דירכלה; הרצאת הפתיחה למינויו לפריבט-דוצנט - המפורסמת בהיסטוריה; בהמשך: פליקס קליין, אדולף הורוויץ. נוצרי אדוק, ופילוסופיה של המדע ושל המתמטיקה.
  • אלוין כריסטופל : נגזרת קו-וריאנטית - הכרחית להגדרת טנזור ריצ'י-כריסטופל; סמלי כריסטופל שמשמשים להבעת רכיבי קשר לוי-צ'יוויטה .
  • רודולף ליפשיץ: quadratic forms
• זרם חשמלי כ-4-וקטור. $J^{\mu }=(\rho ,J^{x},J^{y},J^{z})$: הצפיפות ρ מבטאת את צפיפות "זרם" המטען חשמלי בציר הזמן, ושאר הרכיבים - את צפיפות הזרם בכל אחד מכיווני המרחב. שימור המטען: ${\frac {d\rho }{dt}}+\nabla J={\frac {dJ^{0}}{dx^{0}}}+{\frac {\partial J^{1}}{\partial x^{1}}}+{\frac {\partial J^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial J^{3}}{\partial x^{3}}}=\color {green}{\frac {\partial J^{\mu }}{\partial x^{\mu }}}=0$ כלומר: הדיברגנץ של צפיפות הזרם (במרחב), שהוא שלילי במקרה של מטען נכנס לנקודה, שווה למינוס קצב גידול המטען בנקודה; אם הזמן נמדד ביחידות אורך (c=1), אז קצב גידול המטען הוא ${\frac {dJ^{0}}{dx^{0}}}$
• טנזור האנרגיה-תנע כ-4-וקטור. שורה 1 של רכיבי הטנזור: $(T^{00}T^{01}T^{02}T^{03})$: אבר 1, T00, הוא צפיפות (0) האנרגיה (0); אבר 2, T01, הוא קצב הזרימה בציר x (או 1) של האנרגיה (0), וכו'; שורה 2: $(T^{10}T^{11}T^{12}T^{13})$: אבר 1, T10, הוא צפיפות (0) הזרם של רכיב x של התנע (1); אבר 2, T11, הוא קצב הזרימה בציר x (או 1) של רכיב x של התנע (1), וכו';    ושימור האנרגיה-תנע: $\color {green}{\frac {\partial T^{\mu \nu }}{\partial x^{\mu }}}=0$; כאן μ מציין את הקואורדינטה (0=t, ו 1=x וכו'), ν את המהות (אנרגיה, תנע-בכיוון-x, תנע-בכוון-y, וכו').
  • זאת, ליחסות פרטית; בכללית, המכנה הוא קו-ואריאנטי (במקום קונטרה); גם בזרם - אבל בשינוי קל...
• כך, החומר (במובן הרחב: האנרגיה, וגם החומר שבתנועה = תנע) מעקם את המרחב; מהצד השני, המרחב "אומר" (ג'ון וילר) לחומר (מסיבי, או אנרגטי, או שניהם) איך לנוע. משוואת התנועה (החוק השני): ${\frac {d}{d\tau }}{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}+\Gamma _{\nu \sigma }^{\mu }{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\sigma }}{d\tau }}$, עם הזמן העצמי: τ. במכניקה קלאסית (ניוטונית), שתי נגזרת הזמן לפי זמן-עצמי שמימין הן 1, וכל השאר זניחות; וסמלי כריסטופל הם כ-1 בכיוון הזמן (0), וזניחים אחרת (באגף ימין נשאר: כפל של שני אברים ששניהם בקירוב 1, באבר שהוא סמל כריסטופל עם 00 למטה); ולכן (למשל בכיוון y) מתקיים: ${\vec {a_{y}}}\cong \Gamma _{00}^{y}$.

מס. 8

הצד השני: פעולת המרחב על החומר (?)

• אפשר לרשום את הנגזרת הקו-ואריאנטית: $\nabla _{\mu }V^{\alpha }(x)={\frac {\partial V^{\alpha }(x)}{\partial x^{\mu }}}+\Gamma _{\mu \color {red}\beta }^{\color {red}\alpha }(x)V_{\color {red}\beta }$ כאופרטור על וקטור V, כך: $\nabla _{\mu }={\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}+\Gamma _{\mu }(x)$
• הקומוטטור של נגזרת חלקית, עם פונקציה: $\left[{\frac {\partial }{\partial x}},f(x)\right]\cdot V={\frac {\partial }{\partial x}}f\left\{V(x)\right\}-f\left({\frac {\partial V}{\partial x}}\right)={\frac {\partial f}{\partial x}}\cdot V+f\left({\frac {\partial V}{\partial x}}\right)-f\left({\frac {\partial V}{\partial x}}\right)={\frac {\partial f}{\partial x}}\cdot V\Rightarrow \left[{\frac {\partial }{\partial x}},f(x)\right]={\frac {\partial f}{\partial x}}$
• סקלר העקמומיות מתקבל מטנזור ריצ'י, וביטול (contract) שני האינדקסים: $g^{\mu \beta }R_{\mu \beta }=R$; תנאי מספיק (אבל לא הכרחי!) שהמרחב עקום - R שונה מ-0. מספיק שאחד הרכיבים אינו 0 - המרחב עקום, אבל יש מקרים כאלה ש-R=0. יוצא דופן: ב-2 ממדים, מספיק והכרחי ש-R=0. ב-3 ממדים, מספיק-והכרחי שטנזור ריצ'י=0 כדי שיהיה שטוח, ביותר ממדים זה כבר לא.
• כדי שחוקי ניוטון יהיו קירוב טוב:
  • יש מערכת, שבה הכל נע (ומשתנה) לאט (ביחס ל-c).
  • שדות הכבידה חלשים, כלומר $g_{\mu \nu }\approx \eta _{\mu \nu }$; ואז: $x^{0}=t=\tau ;\;\;{\frac {dx^{0}}{d\tau }}=1;\;d^{2}\approx 0$ ולמשל, בציר אחד (למשל x), כך: ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-\Gamma _{00}^{x}\cdot 1=-{\frac {1}{2}}g^{xx}\left({\frac {\partial g_{x0}}{\partial x^{0}}}+{\frac {\partial g_{0x}}{\partial x^{0}}}-{\frac {\partial g_{00}}{\partial x^{0}}}\right)$, ו-$g^{xx}=\eta ^{xx}$ ללא "תוספת התיקון" הקטנה (שהיא מסדר שני), מפני שתוספת זו כבר נלקחה בנגזרות החלקיות; שהן פרופורציוניות לתוספת (=לשינוי) ב-g, כלומר הן סדר ראשון של גדלים קטנים - כמו סדר שני של גדלים גדולים. ו-$\eta ^{xx}=-1$!
    במערכות שנעות לאט (ניוטוניות, למשל: השמש במנוחה; אז נגזרות המטריקה הן 0, פרט לראשונה): ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g_{00}}{\partial x^{0}}}$ (משוואה 1); מצד שני, ממכניקה ניוטונית ידוע (אם m=1), ש(הכוח שווה ל)תאוצה (ש)שווה לנגזרת של ה(אנרגיה ה)פוטנציאל(ית) (שנובעת מהכבידה): ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-{\frac {\partial \phi }{\partial x}}$; ומהשוואת שניהם: $g^{00}(x)=2\phi +C$ (נדאג למיקום האינדקסים אח"כ).
• לסיכום: במערכת "איטית", התאוצה (= הכוח) שווה לגרדיאנט הפוטנציאל: $\;\;{\vec {a}}=-{\vec {\nabla }}\phi \;\;$; והדיברגנץ של התאוצה - שווה לצפיפות המסה, כי ככל שמסה צפופה יותר בנקודה - יותר "קוי-כוח" (השקולים לתאוצה), יוצאים מהנקודה: ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {a}}=K\cdot \rho =4\pi G\rho \Rightarrow \nabla ^{2}g_{00}=2\nabla ^{2}\phi =8\pi G\rho$ (משוואה 2; צורה "מחופשת" או מרומזת של חוק-הריבוע-ההופכי, בגלל ה-4π).
• (הלך המחשבה של איינשטיין, אולי:) נחפש טנזור G, עם 2 אינדקסים, שבנוי מהמטריקה g ומנגזרות שניות שלה, כך ש: $\mathbf {G} _{\mu \nu }=T_{\mu \nu }$, ובמקרה הפרטי של מהירויות נמוכות, נקבל את (משוואה 1).
• $A\cdot R_{\mu \nu }+B\cdot g_{\mu \nu }R=8\pi G\cdot T_{\mu \nu }$ (משוואה 2)

מס. 9

פיתוח משוואת איינשטיין

• תכונות מטריצת הטנזור-המטרי:
  • פונקציה חלקה (= רציפה בכל הקואורדינטות, וגזירה - לא-מוכרחים-אינסוף-אבל-מספיק פעמים שצריך)
  • סימטרית (כי אם אינה, אפשר להציגה כסכום של סימטרית ואנטי-סימטרית, והאחרונה תורמת 0 לסכום $g_{mn}dx^{m}dx^{n}$.
  • מטריצה הפיכה: הדטרמיננטה שונה מ-0, כלומר אין שום ערך עצמי 0.
  • "חתימה": במרחב "רגיל" (3-ממדי), כל הערכים העצמיים חיוביים; ה"חתימה" של המטריקה היא (+,+,+). ביחסות כללית, ה"חתימה": (-,-,-,+), כלומר אלה הסימנים של הערכים העצמיים.
• פיתוח של (משוואה 2): איינשטיין חיפש טנזור לאגף שמאל, שיכיל נגזרות שניות של המטריקה - נשמע כמו טנזור עקמומיות! טנזור רימן לא התאים, כי יש לו 4 אינדקסים; לכן, הראשון שניסה היה ריצ'י: $R^{\mu \nu }=KT^{\mu \nu }$. הבעיה: שימור אנרגיה-תנע מחייב שהנגזרת הקו-ואריאנטית של T היא 0, ולכן גם של R; וזה כמעט לעולם לא נכון, כי בחישוב: $\nabla _{\mu }R^{\mu \nu }={\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }\partial _{\mu }R$. איינשטיין רצה לקבל מודל דומה למשוואות מקסוול: שימור המטען נובע מהן, זהותית (ע"י גזירה שלהן - דיברגנץ-?). אבל, בגלל (1): נגזרת רגילה של הסקלר R היא הנגזרת הקו-ואריאנטית שלו, ו-(2) כלל המכפלה: $\nabla _{\mu }(g^{\mu \nu }R)=\nabla _{\mu }g\cdot R+g\nabla _{\mu }R=g\nabla _{\mu }R$ (כי נגזרת g היא 0), מתקבל: $\nabla _{\mu }R^{\mu \nu }={\frac {1}{2}}\nabla _{\mu }(g^{\mu \nu }R)$, וכעבור זמן לא ידוע (-?) איינשטיין הגיע לפריצה: $\nabla _{\mu }G^{\mu \nu }=\nabla _{\mu }(R^{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }R)=0$ (אפשר היה לכנות את G "טנזור איינשטיין"..).
  • ומכאן משוואת איינשטיין: $R^{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }R=KT^{\mu \nu }$
  • יש סיבה שלא מבטאים את השימור בדרך ה"רגילה"-?
  • משוואת איינשטיית דורשת ש-T יהיה סימטרי (ס: בגלל טרנספורמציות לורנץ).
  • אגב:
    • אם T=0 (אין מסה-אנרגיה-תנע), טנזור ריצ'י הוא 0, אבל המרחב אינו בהכרח שטוח (רימן אינו 0); יכולים להיות שם גלי כבידה. נקראים "פתרונות-ריק" למשוואה.
    • לא אותו הדבר: $\nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0;\;\;\partial _{\mu }T^{\mu \nu }=0$. הנגזרת הרגילה מבטאת שימור מלא של מסה-אנרגיה-תנע; אבל בכבידה אין שימור כזה, כי מסה-אנרגיה-תנע שבחומר - יכולים להפוך לאנרגיה-תנע ללא חומר (גלי כבידה). (זה מתבטא בסמלי-כריסטופל-?). זה שונה מאלקטרומגנטיות, שם מטען חשמלי נשמר באופן מוחלט, ולא "עובר" לגלים; גל אלקטרומגנטי לא מכיל כל צורה של מטען.
• אפשר להוכיח את המשוואה, (1) בתחכום רב: עקרון הוריאציה , הפעולה היא סטציונרית ביחס לוריאציה של כל השדות, ובפרט וריאציה-של-g - שהוא טנזור איינשטיין; כנראה אין דרך גאומטרית להדגים את טנזור איינשטיין, או אפילו את ריצ'י; זה פשוט היישות המתמטית שמקיימת את הזהות; (2) מכנית, פשוטה וארוכה.

מס. 10

פיתוח טנזור האנרגיה-תנע

• משוואת גל שנע ב-c, בממד אחד (φ שדה של הגודל שנע): $\;\;;{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}$ ובכל המרחב, ואם c=1 אז: $\;\;;{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}$ ובכתיב מרחב-זמן (כי האלכסון ב-η הוא [1-,1-,1-,1]):$\eta ^{\mu \nu }{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{\mu }\partial x^{\nu }}}=0\;\;$.
  • אבל זאת עדיין לא משוואה בטנזורים; איינשטיין תיקן, כך שמשוואת הגלים בטנזורים: $\;\;{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\left(g^{\mu \nu }{\frac {\partial \phi }{\partial x^{\nu }}}\right)+\Gamma _{\mu \alpha }^{\mu }g^{\alpha \beta }{\frac {\partial \phi }{\partial x^{\beta }}}=0\;\;$. סמל כריסטופל מייצג את שדה הכבידה.
• פיתוח טנזור האנרגיה-תנע, כנגזרות של שדה הפוטנציאל: $\;\;,T_{\mu \nu }=\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi -{\frac {1}{2}}\eta _{\mu \nu }\partial _{\sigma }\phi \partial ^{\sigma }\phi \;\;$ ומכאן, הרכיב של צפיפות האנרגיה (0=μ), בקואורדינטת הזמן (0=ν), מתקבל:$\;\;;T_{00}={\frac {1}{2}}\left[({\frac {\partial \phi }{\partial t}})^{2}+({\frac {\partial \phi }{\partial x}})^{2}+({\frac {\partial \phi }{\partial y}})^{2}+({\frac {\partial \phi }{\partial z}})^{2}\right]\;\;$ כך, "המסה (-אנרגיה) אומרת למרחב איך להתעקם" (ג'ון וילר).
• איינשטיין המציא את הקבוע הקוסמולוגי כדי לאזן במשוואתו את כוחות הכבידה, כך שהיקום לא יקרוס; אבל בכך הוא יצר שיווי-משקל לא-יציב. ס.: לא ברור אם הוא היה מודע לזה (ואדיש), או שלא. תאורטית, גם אילו לא היו מסות בכלל (ואז הייתה רק אנרגית הריק ) - עדיין, יקום במצב "יציב" (סטטי) היה לא-יציב (מבחינת שיווי משקל)... להדגמה: במצב כזה, גרף הפוטנציאל כפונקציה של מרחק r מ"מרכז היקום" (אין כזה), היה חיבור של פוטנציאל שלילי, ∞- ב-r=0, ועולה אסימפטוטית לציר r - עם פרבולה שלילית שקטנה עם r; לגרף כזה יש מקסימום, וזו נקודת שיווי-משקל לא-יציב.

מס. 11

מטריקה סביב מסה (חור שחור?)

• מטריקת שוורצשילד, של מרחב סביב חור שחור: $\;\;ds^{2}=\left(1-{\frac {2MG}{r}}\right)dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{(1-{\frac {2MG}{r}})}}-r^{2}d\Omega ^{2}\;\;;d\Omega ^{2}=d\phi ^{2}+sin^{2}\phi d\theta ^{2}\;(c=1)\;\;$

זוהי מטריקה דומה מאד למטריקה של מרחב רינדלר (ע"ע, 11)

מס. 12

מטריקה סביב חור שחור

• יש 2 יחודויות: גם במרכז של המסה (זה נכון גם לניוטון); וגם כתוצאה (מהקואורדינטות): באופק אירועים (r=2MG), יש יחס אינסופי בין הזמן עצמי τ, לבין "זמן שוורצשילד" t: מהביטוי למטריקה (כש-τ מחליף את s) נובע, שהשינויים ב-τ הם אפסיים. גם המקדם של dr^2 נהייה אינסוף. לעומת זאת, כאשר r=0, המקדם של dr נהייה 0, ומקדם dt נהייה אינסוף.
• "על פני אופק האירועים אין סינגולריות כבידתית": גוף שחוצה את האופק - עדיין לא קרה לו כלום; פשוט, מכאן אין לו דרך חזרה - עד שיגיע ליחודיות.
• ככל שמסת החור השחור גדולה יותר - הרדיוס לאופק (שוורצשילד) גדול יותר - ולכן המשטח הכדורי הדמיוני של האופק הוא בקרוב טוב יותר - מישור, ומכאן שקרוב לשפה - ככל שהחור גדול יותר, יש פחות עיקום של המרחב! (בניגוד אולי לאינטואיציה).
  

• מטריקה של רינדלר: מאפשרת לתאר באופן נוח את האינטראקציה האפשרית בין ארוע E לבין גוף P שמאיץ בתאוצה קבועה בחיחס ל-E; אם הוא מאיץ בהתאם לקואורדינטות רינדלר:

$\;\;x=x'\cosh \omega ;t=x'\sinh \omega ;\;\;x^{2}-t^{2}=r^{2}$ (כאן 'x הוא הציר הנטוי ב-45°), אז מסלולו מתקרב אסימפטוטית לגבול קונוס-האור של E. גוף שנמצא במנוחה במערכת של E במרחק מסויים x0 מ-E, ייכנס כעבור זמן (t=x0) לקונוס, והחל מרגע זה לא ייראה עוד על ידי P.

• בגלל שרדיוס שוורצשילד הוא R=2MG, מסה לא חייבת להיות צפופה כדי ליצור חור שחור; גם אם ρ קטן, תמיד יהיה R גדול מספיק: $R=c{\sqrt {\frac {3}{8\pi G\rho }}}$, כך שכוכב ברדיוס R יהפוך לחור שחור (ואז הוא יתכווץ לממד מינימלי, כל החלקיקים דחוסים, ורדיוסו יהיה קטן - אבל רדיוס שוורצשילד יישאר R).

השלמות

וקטורים וקו-וקטורים

תשובה 2:

• על וקטור (למשל: ${\vec {v}}\in \mathbb {R^{3}}$), ניתן להגדיר פונקציות (במקרה של R3, שלוש): $\epsilon ^{1},\epsilon ^{2},\epsilon ^{3}$, ובכך להתאים ל-v שלשה של מספרים (במקרה זה ממשיים), כך ש:
  $\;\epsilon ^{1}({\vec {v}})=v^{1},\epsilon ^{2}({\vec {v}})=v^{2},\epsilon ^{3}({\vec {v}})=v^{3}$;
  הפונקציות האלה "מודדות" את ההיטלים של v על בסיס מסוים $({\vec {e_{1}}},{\vec {e_{2}}},{\vec {e_{3}}})$ , ולכן המספרים בשלשה $(v^{1},v^{2},v^{3})$ נקראים הרכיבים של v, בבסיס הזה.
• אז בבסיס האורתונורמלי, לכל i,j, מתקיים : $\epsilon ^{i}({\vec {e_{j}}})=\delta _{i,j}$.
• ואז, הפונקציות $\epsilon ^{i}$ נקראות קו-וקטורים, ששייכים למרחב הדואלי *V למרחב V; כל קו-וקטור הוא פונקציה מ-V ל-R.
  • גם קו-וקטורים ניתן לייצג ע"י שלשות של מספרים ("רכיבים"): הקו-וקטור $f\in \mathbb {V^{*}}$, הוא זה המיוצג ע"י השלשה: $f_{1},f_{2},f_{3}=f({\vec {e_{1}}}),f({\vec {e_{2}}}),f({\vec {e_{3}}})$; אלה הם רכיבי הקו-וקטור, בבסיס ε^j (הדואלי לבסיס e_i).
  • הקו-וקטורים $\epsilon ^{i}$ מיוצגים ע"י השלשות: $\epsilon ^{1},\epsilon ^{2},\epsilon ^{3})=\left({\begin{bmatrix}1&0&0\end{bmatrix}},\;\;{\begin{bmatrix}0&1&0\end{bmatrix}},\;\;{\begin{bmatrix}0&0&1\end{bmatrix}}\right)$) בהתאמה; כקבוצה של קו-וקטורים, הם נקראים הבסיס הדואלי (למרחב הדואלי).
• v מיוצג ע"י שלשות של מספרים ממשיים (כלומר, הוא "נוצר" ע"י סידור ייחודי של 3 מספרים שנקלחו מ-R, בסדר מסוים) - ולכן ניתן לראות את v כפונקציה: ${\vec {v}}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R^{3}}$; ובאופן דואלי, את f כפונקציה: $f:\mathbb {R^{3}} \rightarrow \mathbb {R}$.
  • מכאן שאת הפונקציה המורכבת: $f({\vec {v}})=\mathbb {R} {\overset {\vec {v}}{\rightarrow }}\mathbb {R^{3}} {\overset {f}{\rightarrow }}\mathbb {R}$ אפשר לראות כפונקציה מ-R ל-R, וניתן לייצגה ע"י מכפלה של מטריצות; אבל חייבים להקפיד על מיקום האינדקסים: $f({\vec {v}})={\begin{bmatrix}v^{1}&v^{2}&v^{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f_{1}\\f_{2}\\f_{3}\end{bmatrix}}$.
• במילים אחרות: קו-וקטור היא הפונקציה שפועלת על וקטור, ומחזירה -
  • את סכום המכפלות של רכיבי הוקטור (בבסיס מסוים) ברכיבי הקו-וקטור (בבסיס הדואלי לבסיס המסוים): $\alpha ({\vec {v}})=\alpha _{1}v^{1}+\alpha _{2}v^{2}+...$ (זה דומה למכפלה פנימית).
    • כאן α מחליפה את f שלמעלה; ו-$\alpha ({\vec {e_{i}}})=\alpha _{i}$
  • הקשר בין הבסיס (ב-V) לבסיס הדואלי לו (ב-*V) הוא: קווקטורי-הבסיס הדואלי (ב-*V) הם הקו-וקטורים ε^j שמפיקים מוקטור v את רכיביו, בבסיס המקורי (ב-V), שהוא e_i, כך: $\;\;\epsilon ^{j}({\vec {v}})=v^{j}$, כאן ${\vec {v}}=v^{i}{\vec {e_{i}}}\;\;$ (על פי הסכם הסכימה של איינשטיין).

תשובה 3:

• הגדרה לוקטור: נניח שהרכיבים של אירוע במערכת O הם x_i, ובמערכת 'O הם 'x_i; והטרנספורמציה ביניהם היא: $x_{i}'=T_{i}^{j}x_{j}$. אז A הוא וקטור, אם הטרנספורמציה שלו היא: $A_{i}'=T_{i}^{j}A_{j}$; אבל אם היא: $A_{i}'=(T^{-1})_{i}^{j}A_{j}$, אז הוא קו-וקטור.
• במערכת צירים אורתונורמלית, בת 3 או פחות ממדים - קו-וקטורים לא ניתנים להבחנה (undistinguishable) מוקטורים (כי $T=(T^{-1})^{tr},\;\;T=O(3)$) ; אבל במרחב-זמן, (T=O(1,3 .

אינדקסים

לכל אובייקט, מיקום האינדקס שלו מציין את כיוון ההשתנות של האובייקט, כאשר "מותחים" את הצירים.

• אם האובייקט גדל כאשר מותחים (= באותו כיוון, כלומר באופן קו-ואריאנטי): אינדקסים למטה (= "רגיל"); כך בוקטורי-בסיס (אם מרווחים את השנתות בציר, אז הם גדלים באורך), וברכיבים של קו-וקטורים: $\alpha _{j},{\vec {e_{i}}}$.
• ואם האובייקט קטן כאשר מותחים (= בכיוון הפוך, כלומר באופן קונטרה-ואריאנטי): אינדקסים למעלה; כך בקווקטורי-בסיס, וברכיבים של וקטורים: $v^{i},\epsilon ^{j}$.

חשיבות

• כדי לדעת את הטכניקה של פעולות (מכפלות) של טנזורים, מבחינת (1) מיקום האינדקסים בתחילת הפעולה (2) הורדה והעלאה של אינדקסים, וביטול אינדקסים (3) אילו אינדקסים נשארים בסוף הפעולה והיכן, לצורך הפעולה הבאה על הטנזור. מיקום האינדקס מציין את אופן הטרנספורמציה של הטנזור, והאינטראקציה שלו עם טנזורים אחרים.
• הורדת אינדקסים: באמצעות מטריקה#הטנזור המטרי ; בפעולתו על וקטור יחיד בלבד (w, באמצעות וקטור מסויים v), הוא הופך וקטור (שלרכיביו יש אינדקס גבוה) לקו-וקטור (אינדקס נמוך): $g_{ij}v^{j}=v_{i}$..

המשך

קיפ תורן?, סרטון באתר יוטיוב

לקריאה

• גלי כבידה
  • גלי כבידה, בריאן גרין, סרטון באתר יוטיוב
  • העתיד של האסטרונומיה באמצעות גלי כבידה, סרטון באתר יוטיוב
• יוסף רוטבלט, מייסד פאגוואש (עם ברטראנד ראסל)