שיחה:הגבול של sin(x)/x

הועבר מ:ויקיפדיה: הכה את המומחה

גבול ידוע ואהוב בחשבון אינפיניטסימלי הוא הגבול $\ \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$. הגבול הוא הבסיס להרבה דברים אחרים, ובפרט לנוסחת הגזירה של סינוס.

לרוע המזל, עד היום טרם נתקלתי בהוכחה משכנעת לגבול הזה. יש שתי הוכחות שאני מכיר: הראשונה אומרת "בואו נגדיר את סינוס ככה: $\ \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}$ ואז הגבול נובע מיידית. אני מוכן בלית ברירה לקבל את ה"הוכחה" הזו (שהיא בעצם הגדרה), אבל מה שאני מתעניין בו הוא האם ההוכחה השנייה קבילה.

ההוכחה השנייה היא מה שמלמדים סטודנטים לאינפי בסמסטר הראשון שלהם. הרעיון הבסיסי הוא להגיע לסדרת אי השוויונים הבאה: $\ \sin x\leq x\leq \tan x$. מרגע שמגיעים אליה אין שום בעיה ולי אין שום תלונות - מחלקים באיקס ועם קצת משחקים מגיעים ל-$\ \cos x\leq {\frac {\sin x}{x}}\leq 1$ ואז משתמשים בכלל הסנדוויץ' וגמרנו.

הבעיה היא איך מגיעים לאי השוויונות הראשונים. הרעיון הבסיסי הוא לצייר את מעגל היחידה, לקחת קשת באורך x ולצייר עוד שני ישרים שאחד מהם הוא סינוס x והשני הוא טנגנס x. אחר כך אפשר לעשות אחד משני דברים: או שאומרים ש"קל לראות" שהקשת באורך x קצרה מהישר באורך טנגנס x, או שמבצעים השוואת שטחים (שבה באמת קל לראות את קיום אי השוויונות) ומגיעים לכך ש-$\ \sin x\leq {\frac {A}{\pi }}x\leq \tan x$, כאשר A הוא שטח עיגול היחידה. מזה מהר מאוד מגיעים לכך ש-$\ \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}={\frac {A}{\pi }}$ ומכיוון שכולם יודעים ש-A הוא בעצמו פאי, קיבלנו את הגבול המבוקש.

אז מה הבעיה? הבעיה היא שבשיטה הראשונה אומרים "קל לראות" - ואמנם, קל לראות אך לא קל להוכיח - ואילו בשיטה השנייה צריך לדעת מהו שטח העיגול, וטרם ראיתי דרך לחשב אותו בלי להשתמש בצורה זו או אחרת בגבול שאותו אנו מוכיחים.

למישהו יש רעיון לפתרון? יותר טוב, האם מישהו נתקל בספר שבו מטפלים בגבול הזה בצורה יסודית ובלי "קל לראות"-ים? הולך ומתגבר בי החשד שההוכחה השנייה פשוט לא נכונה (או יותר נכון - היא נכונה אבל מתבססת על הנחת המבוקש) ומשתמשים בה כדי לעבוד על סטודנטים מסכנים לאינפי 1, בזמן שהאמת היא שמגדירים את סינוס כטור ושלום על ישראל. גדי אלכסנדרוביץ' 19:22, 10 מאי 2006 (IDT)

הדרך לפתרון הפרדוקס היא ע"י כך שמגדירים את sinx באמצעות הנוסחה: $sinx={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2i}}$ ומכאן ניתן לקבל בקלות את הגבול הנ"ל (ומקבלים גם הגדרה ל-sin עבור מספרים מרוכבים). לעיתים ההגדרה היא בכיוון ההפוך, ע"י נוסחת אוילר ומשם ניתן לקבל את התוצאה הנ"ל די בקלות (אני הצלחתי להוכיח זאת רק על ידי דרישת אי זוגיות בנוסף, אבל אינני בטוח שאין דרך להיפטר מהדרישה הזאת). טרול רפאים 23:45, 10 מאי 2006 (IDT)

זו בעצם וריאציה על ההגדרה של סינוס באמצעות טור (שאותה אני מעדיף על פני ההגדרה הזו) אבל הגישה הזו לא מתמודדת עם הקושי שבהוכחה השנייה, שעליה אני מדבר (ושמופיעה בהמוני ספרים ונלמדת בקורסי המבוא). גדי אלכסנדרוביץ' 23:53, 10 מאי 2006 (IDT)

כמו שהמרצה שלי טרח להסביר שוב ושוב בחודש האחרון (הוא מדבר על פונקצית בסל, אבל גם לגבי sin מדובר על אותו דבר), מה זה פונקצית סינוס באמת? זאת פונקציה שאנחנו יודעים איך לחשב אותה בכל מיני שיטות. הצורה הקדומה ביותר (ולכן גם זו שנלמדת לרוב בתחילת הדרך) היא על ידי מדידה של זוויות ממשיות, אבל למעשה זאת איננה הגדרה טובה במיוחד (נסה להגדיר סינוס של 300 מעלות). הטענה כי מדובר בעצם בהגדרה על ידי טור (טור טיילור אם לדייק) היא נכונה, אבל זאת ההגדרה המקובלת כיום ולא ההגדרות האחרות. טרול רפאים 00:00, 11 מאי 2006 (IDT)

כאמור, אין לי ויכוח איתך. מלכתחילה הבאתי את ה"פתרון" הזה בהתחלה כדי למנוע כניסה לדיונים פילוסופיים על מהות פונקצית הסינוס. מה שמפריע לי הוא שמלמדים הוכחה חסרת בסיס (כלומר, מניחה את המבוקש או מתעלמת מפרטים שצריך להוכיח בצורה מפורטת) והיא מופיעה בספרי לימוד, בלי לרמוז אפילו שיש כאן בעיה. אם התשובה שלך היא "כן, עובדים עלינו" ניחא, אבל אני חושב (מקווה?) שיש תשובה אחרת.

אגב, אולי תוכל להפנות אותי למקום שבו מגדירים את סינוס בתור טור ואחר כך מוכיחים באמצעות ההגדרה הזו את כל התכונות של סינוס "רגיל"? כלומר, הזהויות הטריגונומטריות ושטח המעגל. גדי אלכסנדרוביץ' 00:09, 11 מאי 2006 (IDT)

חשבתי שאתה מודע לעובדה כי לרוב הטענות המתמטיות הנלמדות בבית הספר אין בסיס במה שמלמדים בו (ובמקרים קיצוניים אין בכלל ומדובר באקסיומות). הסינוס זאת הבעיה הקטנה מכיוון שלפחות מסבירים לך למה זה הגיוני.

אני לא מכיר מקום שיש בו הוכחה מסודרת של כל התכונות של sin מנוסחת אוילר, חלק מזה יש ב-mathworld ואת כל השאר (למעט אי זוגיות כאמור) קל מאוד להוכיח ע"י התכונות של אקסופננט (דבר שמביא אותנו כמובן לשאלה הבאה, איך מגדירים אקסופוננט ועוד עם מעריך מדומה, אבל על כך יאלצו לענות אחרים). טרול רפאים 00:19, 11 מאי 2006 (IDT)

לא מדובר על טענה שנלמדת רק בבית ספר אלא גם באוניברסיטה ומופיעה בספרי מתמטיקה רציניים (בבית הספר לעתים מראים חלק מההוכחה אבל לא מדברים על כולה - בפרט לא על משפט הסנדוויץ'). פרט לכך, אני כלל לא מסכים ש"אין בסיס" למה שמלמדים בבית הספר - לרוב פשוט נמנעים מלהסביר את הבסיס, אבל לא מלמדים דברים לא נכונים. אקספוננט הכי פשוט להגדיר בתור הטור $\ 1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\dots$. גדי אלכסנדרוביץ' 10:04, 11 מאי 2006 (IDT)

את שטח המעגל אפשר לקבל ללא השימוש בגבול הזה, ע"י אינטגרצייה ויעקוביאן שמשתמש במחזוריות הטריגונומטרית(מהגדרה יש PI רדיאנים) בשביל לקבל את השטח. האם זה פותר את הבעייה?

לדעתי יש כאן בעיה, אבל תצטרך לפרט יותר כדי שאצביע עליה במדויק. באופן כללי, כשאתה אומר "יעקוביאן" אני חושד שאתה מערב בעניין גזירה של פונקציה טריגונומטרית - וההוכחה היחידה שאני מכיר לגזירה של פונקציה טריגונומטרית מערבת שימוש בגבול המדובר. גדי אלכסנדרוביץ' 21:00, 11 מאי 2006 (IDT)

אינטגרל שמייצר pi*r*r מקבל את הפאי מכמה "זווית" יש במעגל (הגדרתית) ואת הR מאינטגרצייה של פולינום, אין פה שום שימוש בטריגו בכלל. יעקוביאן הוא טכניקה מתמטית לחישוב אינטגרלים לאחר העתקת הקרודינטות למערכת צירים חלופית(במקרה הזה ,מערכת קוטבית). אמת ,היעקוביאן מחושב דרך הנגזרות של הטריגו, אבל גם אותן ניתן לחלץ מעצמן אם אתה רואה את הגדרת הטריגו כטור טיילור הנגזרת היא שוב פולינום.

למרות שזה פותר את עניין "שטח מעגל היחידה" ללא שימוש בגבול הבעיתי, אני לא רואה איך זה פותר את הבעייה של- אורך הקשת קטן מתמונת הטנגנס(כי נראה שזה כך).--מוניסט 22:35, 11 מאי 2006 (IDT)

מה אמרת? "אם אתה רואה את הגדרת הטריגו כטור טיילור"? חזרנו לפתרון הראשון שעליו דיברתי למעלה, ושוב לא פתרנו בעצם כלום (אבל אתה צודק, קצת קשקשתי למעלה - ברור שיש עוד הוכחה לגזירה של פונקציות טריגונומטריות, באמצעות גזירה איבר איבר של טור טיילור שלהן). גדי אלכסנדרוביץ' 08:15, 12 מאי 2006 (IDT)

לסיכום:

• נראה לי ברור שהגדרת הטריגו כהתכנסות טור היא ההגדרה הנכונה ביותר. אחרת צריך לחשב גיאומטרית ואמפירית כל זווית. זו הטכניקה היחידה שאני מכיר לקירוב אנליטי של הבעייה הגיאומטרית.(וגם היחידה שקיימת, לא?)
• הראתי שאת שטח המעגל ניתן לקבל ללא השימוש בהוכחה הבעייתית שציינת.(שמשתמשת בעצמה בשטח מעגל היחידה, ולכאורה מפירה את הסיבתיות של כיוון ההוכחה).
• עם זאת ההוכחה הגיאמוטרית לגבול המדובר עדיין בעייתית מאוד כי למרות שברור שהעקום(הקשת) ארוכה מתמונת הסינוס, איך מוכיחים שהיא קטנה מתמונת הטנגנס(זה הרי תלוי בעקמומיות הקשת....שהיא מעגלית. ואת זה צריך להוכיח). כך שההוכחה עדיין לוקה בחסר.(אגב, יש לי עוד דוגמאות להוכחות שגויות בחדוו"א , אבל אסור להראות אותן לסטודנטים בסמסמטר ראשון..) מוניסט 13:55, 12 מאי 2006 (IDT)

• אכן, גם לדעתי זו ההגדרה הנכונה, אלא שהשאלה שאני מחפש אליה תשובה כאן היא לא "מה ההגדרה הנכונה" אלא "האם מלמדים הוכחה חסרת בסיס באינפי 1 ובכמה ספרים מכובדים מבלי להעיר כלום על הבעייתיות שבאותה ההוכחה, או שיש בסיס". אגב, מה זה "לחשב אמפירית"?
• כאמור, אם אתה מגדיר סינוס באמצעות טור, ההוכחה של הזהות היא מיידית, ולכן לא צריך בכלל את שטח המעגל, אבל לא על זה אני מדבר.
• זה בדיוק מה שאני שואל. בקיצור, לא ענית לשאלה שלי, אלא ניסית לעקוף (שזו התשובה הרצינית היחידה לה זכיתי עד היום, ובדיוק ממנה קיוויתי להימנע הפעם...). אולי בכל זאת יצא משהו מעניין מהדיון אם תציג את הדוגמאות הנוספות שלך (למשל, ידעת שאפשר להוכיח את הגבול שעליו אנחנו מדברים כאן בקלות בעזרת כלל לופיטל?) גדי אלכסנדרוביץ' 14:39, 12 מאי 2006 (IDT)

הלמה של קנטור

• לחשב אמפירית sin0.456 זה לצייר משולש ממש ממש גדול עם קו ממש ממש דק ולמדוד עם סרגל ממש מדוייק כמה זה יוצא. זו ההגדרה המקורית והאמיתית של הפונקצייה("טריגונומטריה" -מדע מדידת המשולשים). אבל זה לא הכי כיף.
• לענייננו, אני לא רואה דרך להוכיח שtanx>x. מלבד דרך טור טיילור.(מה שיעשה את ההוכחה נכונה לגמרי, פשוט את המשפט של המרצה "קל לראות ש.." לא הוגן במאת האחוזים).
• אני מקווה שאני זוכר נכון:כל החדווא יושב על טיילור, שיושב על משפט רול שיושב על פרמה שיושב על קושי(התכנסות סדרות) שיושב על בולצנו ויירשטראס שיושב על...ה"למה של קאנטור"(שמת בבית משוגעים מקציף מהפה דברים על אינסופים שיותר גדולים מאינסופים אחרים). הלמה של קאנטור מעולם לא הוכחה. אם אינני טועה היא יושבת על "אכסיומת" הצפיפות.
• הויקיפדיה הזו. ממש אינסופית. --מוניסט 18:29, 12 מאי 2006 (IDT)

• אני לא בטוח שצריך להגדיר בתור טור כדי להיות מסוגל לחשב בלי השטויות האמפיריות. אם מוכיחים מההגדרה (מה שלא תהיה) שההצגה באמצעות טור היא נכונה, אז אפשר לחשב עם טור גם בלי להגדיר בעזרת טור.
• לא ברור לי מה אתה רוצה מקנטור המסכן, שמגן העדן שיצר אף אחד לא יגרש אותנו וגו'. הלמה שלו היא בסדר גמור ולומדים לה הוכחות כל הזמן. הבעיה שלך היא אולי עם הצורה שבה בונים את שדה המספרים הממשיים, שזה דבר שעמוק בדרגה אחת (ואכן, בניסוח הכללי שלה בתור משפט החיתוך של קנטור מדובר בתכונה של מרחב מטרי ששקולה לשלמותו). אז אם לדעתך יש בעיה עם המספרים הממשיים - בבקשה, תגיד, אבל אני לא חושב שזו בעיה של הוכחה מעגלית. מה רע בבנייה של קנטור עצמו, באמצעות סדרות קושי? אגב, בקורס האינפי שלי למדו (קצת) על דדקינד בהתחלה, ועל הבניה של קושי לומדים במבוא למרחבים מטריים (ולפעמים בתורת הקבוצות), אז קשה לומר שמסתירים כאן משהו, בניגוד לעסק עם ה-sinx/x. גדי אלכסנדרוביץ' 19:06, 12 מאי 2006 (IDT)

התמונה הזו עוזרת? [[[:en:Image:Circle-trig6.svg|Image:Circle-trig6.svg]]] גיל14

מה לא ברור

אני מקווה שהערך החדש הגבול של sin(x)/x עונה לשאלה. עוזי ו. 03:11, 14 מאי 2006 (IDT)

לא הבנתי כלום. איך קראו לתבנית של פישוט ערכי המתמטיקה? ‏conio.h‏ • ‏שיחה‏ 04:07, 14 מאי 2006 (IDT)

קראו לה {לפשט}. אבל יעזור אם תהיה יותר ממוקד: לא הבנת כלום החל מהפסקה השניה? מהמשפט השלישי? אולי מהראשון? עוזי ו. 04:21, 14 מאי 2006 (IDT)

נתחיל מאיפה שנתקעתי ונמשיך משם: ההגדרה כוללת בתוכה גם את הגבול שבכותרת, אלא שבשיטה זו קשה לקשור את הפונקציות אל המשמעות הגאומטרית המקובלת שלהן. לא ממש ברור לי מה זה אומר, ולא ברור לי למה אי-אפשר להוכיח את הגבול המדובר בנפרד (על-סמך הגדרה מסויימת), ואת ה"קשירה למשמעויות גיאומטריים" מבצעים בנפרד (על-סמך הגדרה אחרת? אם מראים שההגדרות שקולות). ‏conio.h‏ • ‏שיחה‏ 04:44, 14 מאי 2006 (IDT)

זה כל העניין. כשאומרים "ההגדרה כוללת בתוכה גם את הגבול שבכותרת" בעצם הכוונה היא "הגבול נובע מייד מההגדרה" (למה? פשוט חלק ב-x ותשאיף את x לאפס ותראה שכל האיברים פרט לראשון מתבטלים). העניין הוא שאם משתמשים בהגדרה באמצעות טור, לא ברור (לי לפחות) איך להראות שההגדרה הזו מזדהה, עבור זוויות אי שליליות קטנות מ-90 מעלות, עם ההגדרה של "היחס בין הצלע שמול הזווית ובין היתר במשולש ישר זווית". גדי אלכסנדרוביץ' 08:14, 14 מאי 2006 (IDT)

שכתבתי את הפסקה, ואפשר לעבור למעקש הבא. עוזי ו. 09:53, 14 מאי 2006 (IDT)

מה אם ניתן הגדרה נאיבית של יחס בין צלעות במשולש ישר זווית? משם אפשר להגיע לזהות sin²(x)+cos²(x)=1 די בקלות, וממנה עצמה אפשר להוכיח את הגבול (אם נהפוך ל: sinx חלקי שורש cosx-1 שווה ל-1; ב-0 זה לא מוגדר, אבל אם נשאיף את x לאפס, המונה הוא sinx, כמו שרצינו, והמכנה שואף לאפס, כי ידוע ש-cos0=1), לא? מה הבעיה? שאסור "להחליף" את המכנה ככה? אבל למה? :) ‏conio.h‏ • ‏שיחה‏ 14:09, 14 מאי 2006 (IDT)

בנוסף, ערכי המתמטיקה באופן כללי בלתי-קריאים: שילוב של נוסחאות בתוך הטקטס פשוט הורג אותי, וכאן הרוחב של הנוסחאות הופך את הטקסט (ולא את התוכן) לבלתי קריא. הערך נראה עמוס מאוד, ומאוד קשה לקרוא אותו כך. ‏conio.h‏ • ‏שיחה‏ 04:44, 14 מאי 2006 (IDT)

יש מקום לשיפור סגנוני כלשהו (נוסחאות בתוך טקסט זה לא כזה אסון, אולי אתה פשוט צריך להתרגל), אבל מה שבאמת חסר הוא שרטוט, שאותו אני מתנדב לספק. גדי אלכסנדרוביץ' 08:14, 14 מאי 2006 (IDT)

אכן שרטוט ממש חסר פה. מה גם, שאם אני לא טועה, המשפט נקרא הגבול המפורסם הראשון (השני זו ש פונקצית e מעריכית מסויימת נמצאת בין 2 ל-3). כדאי לכתוב את זה איפה שהוא, ולעשות גם דף הפנייה. גדי, אתה שובר פה מיתוס ענק. הייתכן שכל לימודי חדווא א' וחדווא ב' היו לשווא? כנראה שלא ברחתי סתם. הרגשתי שמשהו חשוד. לא יתכן שאני לא אבין כלום, ושזה יהיה נכון. משהו רקוב בממלכת דנמרק! עידן ד 09:28, 14 מאי 2006 (IDT)

יש שמות סידוריים לגבולות מפורסמים רק במסגרת שעורים בשנה א'. לא ברור לי מה מפריע לך בלימודי חדו"א, במיוחד אחרי שקראת את הערך; לי הדיון למעלה נראה כמו "שיקרו לי ורימו אותי והטעו אותי ולא אמרו לי את האמת ומשהו פה ממש חשוד ולמה אף אחד לא יודע כלום (או, באותיות קטנטנות, שלא חשבתי על זה מספיק)" (ולא מדובר דווקא על השאלה הסבירה של גדי). עוזי ו. 09:53, 14 מאי 2006 (IDT)

לא מפריע לי שום דבר בלימודי החדו"א. אני אפילו די מחבב את התחום. סתם לא אהבתי ללמוד את זה. אולי לא אהבתי את המרצה, אולי לא היה לי כח ללמוד מספיק, והייתי קצת עצלן, וכנראה שזה היה שילוב של שניהם ביחד. לא ידעתי שהכינוי הגבול המפורסם הוא רק בלימודי אינפי ודומיהם. מה שמפליא אותי, זה שבאמת יש לשם הזה 0 איזכורים בגוגל. לגבי הוויכוח שנמצא פה - אני לא אתייחס. באמת אין לי את הזמן והכח להתעמק (סורי), אבל נראה שסביר להניח שאתה צודק. בכל מקרה, אני עוקב בשקיקה בשביל לראות מה יהיה גורלו של דיון זה. עידן ד 11:27, 14 מאי 2006 (IDT)

אולי כדאי להבהיר משהו: לימודי החדו"א לא היו לשווא. גם אם קשה לנו לקבל את ההוכחה ה"רגילה", ההוכחה באמצעות טורים קבילה וממנה אפשר לגזור את הכל. מהגם שאם בא לנו להיות קרציות אפשר תמיד לחפור עמוק מספיק ביסודות המתמטיקה ובסוף לראות שמשהו שם נראה מעגלי. אז מה? לא צריך ללמוד מתמטיקה? אם תיתן לי הודעה שהוצפנה עם RSA אני אוכל לפצח אותה בשנייה כי המתמטיקה זה שטויות חסרות בסיס? גדי אלכסנדרוביץ' 14:17, 14 מאי 2006 (IDT)

אני מכיר שתי אלטרנטיבות לשילוב של נוסחאות בתוך הטקסט: נסיון לכתוב בלעדיהן (אלא שנוסחה, כמו תמונה, שווה אלף מלים; אני לא יודע איך אפשר לתאר טור טיילור בפחות משתי פסקאות בלי נוסחה, ושתי פסקאות ישברו את רצף הקריאה של כל קורא), או כתיבה

בשיטה

שבה מנתבים מלים מסוימות לשורות משלהן, רק משום שהן מתחילות

באות

בית. עוזי ו. 09:53, 14 מאי 2006 (IDT)

ולדעתי בהחלט שווה לנסות את זה איכשהו. המתמטיקאים שבינינו אולי רגילים לקרוא טקסטים כאלה, אבל האמן לי, שלקורא מהצד, זה נראה מזעזע. ‏conio.h‏ • ‏שיחה‏ 14:09, 14 מאי 2006 (IDT)

כלומר, השאלה היא זו: האם בערך שעוסק בנושא מתמטי טכני צריך לכתוב בצורה שבה "לקורא מן הצד" הערך יראה מזעזע, או שצריך לכתוב בצורה שבה ל"מתמטיקאים מבינינו" (כולל הסטודנטים לתואר ראשון) זה יראה מזעזע? גדי אלכסנדרוביץ' 16:54, 14 מאי 2006 (IDT)

יש ל"מתמטיקאים מבינינו" בעיה עם שבירת שורות כזו? אם כן - אז הערך צריך להראות מזעזע עבורם, ולא עבור שאר הקוראים. זו אנציקלופדיה כללית, ולא אנציקלופדיה לנושאי מתמטיקה, שמיועדת לציבור הכללי, ולא לציבור המתמטיקאים, ולכן צריכה להיות מובנת, קריאה, נוחה, יעילה וכו' לציבור הכללי, ולא לציבור המתמטיקאים. אם למתמטיקאים יש דרישות מיוחדות הם צריכים אנציקלופדיה פרטית (math.wikipedia.org?).

מתוך הערך ויקיפדיה#מדיניות:

ראשית, מאחר ויש מגוון עצום של משתתפים מכל האידיאולוגיות, ומכל העולם, ויקיפדיה מחויבת ליצירת מאמרים נטולי משוא פנים ככל האפשר. היעד אינו לכתוב מאמרים מנקודת מבט אובייקטיבית - זוהי אי-הבנה נפוצה של המדיניות - אלא, להציג באופן הוגן את כל ההשקפות בנושא, וליחסן לדוגלים בהן.

ערך שקריא רק לקבוצה נבחרת רחוק מלהיות "מאמר נטול משוא פנים"... ‏conio.h‏ • ‏שיחה‏ 17:06, 14 מאי 2006 (IDT)

אני חושב שזה השימוש התמוה ביותר בקריאה ליצירת מאמרים ללא משוא פנים שראיתי עד היום. גדי אלכסנדרוביץ' 17:55, 14 מאי 2006 (IDT)

אין לי בעיה עקרונית עם שבירת שורות (במאמרים מתמטיים מקובל לבודד נוסחאות חשובות או ארוכות במרכז שורה משל עצמן). אני מעדיף להשתמש בכלי הזה על-פי ההקשר (כלומר, כדי להדגיש שורות שצריכות הדגשה), ולא באופן קבוע. עוזי ו. 19:54, 14 מאי 2006 (IDT)

מה אומר לך? תראה את הערך הזה לכמה מהגולשים שאינם בעלי נטיה למתמטיקה ולמדעי הטבע, ובדוק כמה מהם מצליחים לקרוא את הערך בצורתו הנוכחית, שלא לדבר על להבין... ‏conio.h‏ • ‏שיחה‏ 20:03, 14 מאי 2006 (IDT)

אני לא חושב שהניסוי הזה יהיה בעל ערך במיוחד בגלל ההטייה החזקה שלו. כרגע הערך טכני, וכדאי גם לזכור שהוא עוסק בנושא שהוא מעיקרו טכני, ולכן קשה להניח שמי שאינו בעל נטייה למתמטיקה יחוש בו בנוח בלי קשר לעיצוב הסגנוני שלו. גדי אלכסנדרוביץ' 20:22, 14 מאי 2006 (IDT)

הערך אינו מקושר לערכים אחרים

הערך, שהתחיל כשאלה ב"הכה את המומחה", אינו מקושר לערכים אחרים. אביהו 06:55, 14 מאי 2006 (IDT)

תוקן - תודה. עוזי ו. 10:06, 14 מאי 2006 (IDT)

כל הכבוד (ושאלות)

אני לא חושב שאי פעם ניתנה תשובה ב"הכה את המומחה" בצורת ערך...

עם זאת, לפני שאני מתחיל להיכנס לעומק הדקויות של הערך, שתי שאלות:

1. לקראת סוף ההוכחה הראשונה אתה כותב ש-:"איור יבהיר מיד ש-". האם אין זו דרך אחרת לומר "קל לראות"? לא ציירתי עדיין את הסיטואציה ולא ברור לי איך היא נראית (אולי באמת קל לראות), ובכל זאת זה נשמע בעייתי.
2. ההוכחה השנייה מדברת על "שיטת המיצוי". אולי כדאי להרחיב יותר על השיטה - אני לא בטוח לגמרי שלא משתמשים גם בה בזהות הזו. כשאני ניסיתי לחשב את שטח המעגל על ידי לקיחת גבול על השטח של המצולעים המשוכללים שכלואים בתוכו, לא הייתה לי ברירה אלא להשתמש בזהות הזו. גדי אלכסנדרוביץ' 07:51, 14 מאי 2006 (IDT)

נראה לי שזו הדרך המועדפת לענות (וזו לא הפעם הראשונה).

"איור יבהיר מיד ש-" פירושו "ניסיתי ליצור איור, אבל התוכנות שבהישג יד אינן מתאימות למלאכה; אולי מישהו יכול ליצור איור ולהחליף את הביטוי הזה בהפניה מפורשת?" (באמת קל לראות, אבל לשם כך דרוש איור ברור שבו אפשר לראות את הזויות המעורבות).

הוספתי משהו על שיטת המיצוי. היא לא דורשת גבולות במובן שאנחנו רגילים אליו, אחרת לא היתה מתקבלת על דעת היוונים שחישבו באמצעותה כמה וכמה עובדות יסודיות בגאומטריה. עוזי ו. 10:17, 14 מאי 2006 (IDT)

אני כמובן מתנדב להוסיף איור. אמשיך לנג'ס בשאלות מציקות אחרי קריאה מקיפה של הערך. עם זאת, אני עדיין רוצה לראות איך כן מוכיחים בימינו משהו בעזרת שיטת המיצוי מבלי להשתמש בגבולות. גם ניוטון הוכיח הרבה דברים בשיטות שלו ואחר כך החליטו שעדיף להוכיח את אותם דברים בדרך יותר ריגורוזית. גדי אלכסנדרוביץ' 13:59, 14 מאי 2006 (IDT)

1. ניסיתי כמה תוכנות, אבל לא מצאתי אף אחת שיודעת לצייר קשתות ולהוסיף כיתוב, ומאפשרת לצייר באופן חופשי (בלי לאלץ "נקודות פיזיקליות"). יותר משאני מעוניין בציור, אני מעוניין בתוכנה מתאימה. 2. במקום תשובה, ארחיב את החלק הרלוונטי בערך. כשאני חושב על העניין, נראה לי שמבחינה פדגוגית קל יותר לטפל בשטחים (ולהוכיח שבמעגל ברדיוס 1 היחס בין השטח להיקף הוא חצי), מאשר באורכים. אולי אנסח את הערך כולו בהתאם. עוזי ו. 19:51, 14 מאי 2006 (IDT)

התוכנה שבה אני משתמש היא dia. היא יודעת לצייר קשתות ולהוסיף כיתוב, אבל אני לא בטוח אם תהיה מרוצה ממנה. גדי אלכסנדרוביץ' 19:58, 14 מאי 2006 (IDT)

אין לכם מושג כמה שמח הייתי כשמצאתי את הערך הזה בויקיפדיה. ניסיתי להבין איך מפתחים טור מקלורן לסינוס איקס חלקי איקס במשך שלושת השעות האחרונות עם גזירות ארוכות בטירוף, ורק כשקראתי כאן נפל לי האסימון. איזה אושר. ורציתי בהזדמנות זאת לומר כל הכבוד לכל העוסקים במלאכה. ויקיפדידה-מתמטיקה מכילה הרבה ערכים שממש עוזרים לי (ולאחרים כמוני). (סטודנט שנה א' להנדסה)

קטגוריה ובינויקי - דרושה בדיקת המתמצאים בתחום

• הוספתי קטגוריה:אנליזה מתמטית, אך יש בה קטגוריות משנה שאולי מדויקות יותר, אשמח אם מישהו יוודא.
• לגבי בינויקי - אולי יש, אני לא מבינה בתחום כדי להסיק מה הערך המקביל. למי שמעוניין לחפשו, אפשר אולי להתחיל פה. גברת תרד 09:16, 14 מאי 2006 (IDT)

יגעתי ולא מצאתי בינויקי. עוזי ו. 10:18, 14 מאי 2006 (IDT)

הוכחה מבוססת שטח

ההוכחה החדשה, שמתבססת על הגדרת שטח המעגל בתור פאי, היא עוד אחת מההוכחות שבהן נתקלתי. היא מאכזבת כמעט כמו ההוכחה שמשתמשת בטור טיילור כי גם בה הפתרון הוא בעצם באמצעות הגדרה. בספר שבו נתקלתי בה לא טרחו להסביר איך מגיעים מההגדרה הזו להגדרה ה"מקובלת" של פאי (פאי הוא היחס בין היקף המעגל לקוטרו) - אולי בכל זאת נכתוב זאת כאן בלי "קל לראות"-ים? זה קשור לגבול רק בעקיפין, אבל אני חושב שיש לזה מקום למי שרוצה לראות איך הוכחת הגבול מסתדרת יחד עם שאר המתמטיקה. גדי אלכסנדרוביץ' 07:47, 15 מאי 2006 (IDT)

$2\pi$ ראדיאנים הוא היקף המעגל. מספר המשולשים שווי שוקיים שזווית הראש שלהם היא $x$ ראדינים שווה ל${\frac {2\pi }{x}}$. ההוכחה מבוססת השטח מוכיחה שהשטח לא גדול יותר מ-$r^{2}\cdot \pi$ ולא נותנת בהכרח את השטח המדוייק.--213.8.151.212 15:39, 1 בינואר 2020 (IST)

המתמטיקה ניצלה

בעזרתו האדיבה של אחד המרצים שלי, מצאתי ספר שמעניק טיפול קצת יותר רציני לטענה שאורך הקשת קצר מטנגנס הזווית. הספר הוא Calculus I של Moise, ומה שהוא עושה הוא להסתכל על קירוב פוליגונלי שרירותי של הקשת ולהראות שאורכו קטן מהטנגנס, ואז לקחת גבול (אפשר גם לקחת סופרמום, זה לא משנה - העיקר שזו הדרך שבה אכן מגדירים בד"כ אורך קשת). הוא גם כן נמנע מלפרט עד הסוף - בפרט, למה הקירוב הפוליגונלי קטן יותר - הוא אומר שקל לראות את זה עם גאומטריה בסיסית. למרבה המזל, הפעם אני נוטה להסכים איתו. אם גדולים ממני לא יעשו את זה, אנסה להוסיף לערך את ההוכחה המדוייקת, כולל הגאומטריה הבסיסית. גדי אלכסנדרוביץ' 16:51, 17 מאי 2006 (IDT)

יש! עידן ד 17:05, 17 מאי 2006 (IDT)

חבל שאתה לא קורא את הערך. הפסקה שלפני האחרונה בחלק "הוכחה מבוססת אורך", "מסתכלת על קירוב פוליגונלי שרירותי של הקשת ומראה שאורכו קטן מהטנגנס, ואז לוקחת גבול (אפשר גם לקחת סופרמום, זה לא משנה - העיקר שזו הדרך שבה אכן מגדירים בד"כ אורך קשת)". הערך הזה היה ראוי ל"טיפול קצת יותר רציני" מצדך, אחרי שהזמנת אותו. עוזי ו. 16:59, 18 מאי 2006 (IDT)

אני מודה שבזבזתי יותר זמן בנסיון להבין את ההוכחה מבוססת השטח, כי בשביל ההוכחה מבוססת האורך הייתי זקוק לשרטוט (או ליצור אחד כזה בעצמי), וכזה היה אצל Moise. בכל מקרה אני עדיין לא מרוצה מההסבר שכולל "איור יבהיר מייד" בלי איור, ואולי זה למה לא מיהרתי לבדוק אותו.

אגב, Moise גם מוכיח בהמשך את הנוסחה לשטח של מעגל בלי להשתמש בזהות, אלא מתוך התבססות על כך שאם לוקחים פוליגון רגולרי החסום במעגל אז הגבהים לצלעותיו ממרכז המעגל הולכים ושואפים לרדיוס, ואילו סכום אורכי צלעותיו הולך ושואף להיקף המעגל. גדי אלכסנדרוביץ' 20:30, 18 מאי 2006 (IDT)

זה השרטוט שהכנתי במקור; נא לא לצרף אותו לערך - המטרה היחידה היא לעודד שרטט עם כלים מוצלחים יותר. עוזי ו. 14:25, 19 מאי 2006 (IDT)

הוכחה מבוססת אורך

אני לא מצטרף לחגיגה, המתמטיקה לא הייתה בבעיה, אלא דרך ההוראה שלה, ואני לא בטוח שהיא אכן נכונה גם כעת. למעשה טרם השתכנעתי שבאמת נדרש להשתמש בכלל הסנדוויץ כדי להוכיח את הגבול. כי מספיק להראות שהקשת חסומה מלמעלה וכעת אורכה הוא כמספר הקטן ביותר הגדול מכל סכום סופי של מרחקים בתוכה. הגדרה זו כוללת את הגבול בעצם שהרי אם תחלק את הקשת ל-n חלקים ותשאיף את n לאינסוף אז גודל כל חלק שואף ל-0 ולכן מאחר שהיחס בין סכום המיתרים לקשת שואף ל-1 גם לכל מיתר ביחס לקשת שהוא נשען עליה זה מתקיים. בנוסף אחרי שלכאורה אפשר להוכיח את הנגזרת של ארכסינוס בנפרד בלי צורך להשתמש בכלל השרשרת, לא היו צריכים להקדים את הנגזרת של סינוס, אלא את כללי המכפלה, וההרכבה ואחר כך לעבור למשפט היסודי של החדו"א, ולהראות שאינטגרל מסויים פותר את השטח באמצעות מציאת פונקציה קדומה, ואז לעבור לנגזרות הקשורות לגיאומטריה. לי הנגזרת של ארכסינוס והאינטגרל של הנגזרת הזו. עשה כאב ראש תמיד.--גיאומטריה1 - שיחה 21:58, 19 בינואר 2020 (IST)

זוטה

לאחר הדיון המלומד לעיל אני נבוך מעט עם שאלתי הבאה, אבל, כידוע, "לא הביישן למד". כתוב בערך "הסינוס של זווית x מוגדר כרגיל, בתור אורך הניצב שמול הזווית במשולש ישר זווית שאחת מזוויותיו x". האמנם? הסינוס מוכר לי כיחס בין אורך הניצב לאורך היתר, ולא כאורך הניצב. דוד שי 15:57, 20 מאי 2006 (IDT)

אתה צודק, ניצב הוא פשוט שם כללי ליתר( הצלע שמול הזוית שעליה מופעל סינוס). קקון 15:59, 20 מאי 2006 (IDT)

הכוונה היא למשולש שאורך היתר שלו הוא יחידה. צריך להוסיף את זה. קקון 16:02, 20 מאי 2006 (IDT)

המשך הניג'וס

1. ההוכחה המסתמכת על אורך קשת משביעה מאוד את הרצון, אבל עדיין חסר בה השלב הסופי - מחיקת ה"קל לראות מהאיור" והחלפתו בהוכחה מתמטית מדוייקת. האם יש מתנדב לעשות את זה, או שאנסה את כוחי בעצמי, תוך לקיחת הסיכון שאני פשוט טועה?

בהנתן האיור הנכון, ההוכחה באמת פשוטה מאד. ראה את הפינה השמאלית העליונה של דף השיחה הזה. מופיע שם מרובע, שזויות הבסיס שלו שליד שני הקודקודים P שוות זו לזו, וגדולות מזוית ישרה. אם מעבירים את הישר המקביל לצלע הזו דרך Q_j, וקוראים לנקודה החדשה R, אז בנינו טרפז עם זוויות חדות בצלע החדשה וזויות קהות בצלע P-P. לכן היא ארוכה יותר. בנוסף לזה, הזוית שמול הצלע Q-Q במשולש שנוצר, גדולה מן הזוית שמול הצלע Q-R, ולכן Q-Q ארוכה יותר. זהו.

2. לדעתי ההוכחה מבוססת השטח עושה לעצמה חיים קשים שלא בצדק. ניתן, בהתבסס על השטח, לקחת את ההוכחה המקורית עד הסוף, אם מניחים ששטח המעגל ידוע: באמצעות אותה בניית עזר ממש אפשר להראות את אי השוויון שממנו מגיעים לכלל הסנדוויץ', וגמרנו. לכן נראה לי שכדאי לשנות קצת את הערך: קודם להציג את רעיון ההוכחה הבסיסי, כולל בניית העזר, ואז להראות את שני הדרכים השונות שבהן מקבלים את אי השוויון. מכיוון שאנחנו עדיין צריכים להתבסס על כך שידוע מהו שטח המעגל, אפשר לתת את ההוכחה שיש אצל Moise, שמבוססת גם היא על ההגדרה של אורך קשת, אך לא משתמשת בגבול שאותו אנחנו מוכיחים. גדי אלכסנדרוביץ' 00:06, 21 מאי 2006 (IDT)

לא הבנתי איפה החיים הקשים, מה פירוש "שטח המעגל ידוע" (ושווה למה?), ומהי "ההוכחה המקורית". עוזי ו. 00:58, 26 מאי 2006 (IDT)

ה"חיים הקשים" זו כמובן הפרזה, אבל הכוונה היא להגדרה השונה של פאי וזווית, וחלוקה של המעגל לגזרות שוות שטח דווקא. "ההוכחה המקורית" היא היא זו שמציירת ישר את המשולש שמופיע באיור הראשון, בלי להקפיד על חלוקה של המעגל לגזרות שוות (ייתכן מאוד שהסיבה לצורך בחלוקה כזו גם אם יודעים ששטח המעגל הוא פאי וזווית מוגדרת באמצעות קשת חמקה ממני).

עיקר מה שמפריע לי אינו בעיה בתוכן אלא באופן הצגת הדברים. קודם כל אנחנו פותחים ב"הוכחה מבוססת אורך", ומדברים על הגדרת האורך באופן כללי. כאן כבר אנחנו עלולים לאבד חלק מהקוראים, וזה עוד לפני שהתחלנו לתאר את ההוכחה. גם מי שמפחד מאורך אבל מוכן לשמוע על הוכחה מבוססת שטח לא יוושע, מכיוון שהסעיף של ההוכחה מבוססת השטח אומר "כמקודם" פעמיים, ובעצם כופה את קריאת הסעיף הקודם. ההצעה העיקרית שלי היא לחלק את ההוכחה לשתיים: ראשית מראים את האיור הראשון ואומרים שממנו אנחנו מעוניינים להגיע לאי השוויון של סינוס קטן מאיקס קטן מטנגנס (ומראים מדוע אי השוויון הזה מסיים את ההוכחה) וכעת כל מה שנותר הוא החלק ה"עמוק" של ההוכחה - הוכחת אי השוויון, שיכולה להתבצע בשתי גישות שונות. גדי אלכסנדרוביץ' 07:43, 26 מאי 2006 (IDT)

אין הבדל משמעותי בין בחירת זוית "אקראית" לבין חלוקה לחלקים שווים - ממילא כל מה שצריך לדעת על הזוית x הוא ש- $\ 2\pi /(n+1)<x\leq 2\pi /n$ עבור n מתאים. לגבי ההפרדה של אי-השוויון משאר הטיעון: אני בעד. עוזי ו. 07:53, 26 מאי 2006 (IDT)

אם כך אבצע את השינויים עוד מעט, בתקווה שאני מסוגל לעשות זאת מבלי לחבל בערך. אגב, מה עם התמונות? אני לא מצליח לראות את השנייה אצלי בכלל - האם זה ככה אצל כולם? והאם יש לשפץ את השלישית? גדי אלכסנדרוביץ' 08:07, 26 מאי 2006 (IDT)

נראה לי שאפשר לעקוף את המכשול

ללא גיאומטריה כלל. בגזירה של $\ \sin x$ מקבלים $\ \cos x$ כפול הגבול של ${\frac {\sin x}{x}}$. נסמן גבול זה בL. עפ"י כלל השרשרת ניתן להראות שהנגזרת של $\ \cos x$ היא $\ -L\sin x$.

נשתמש בנוסחה לחישוב אורך קשת ונחשב את היקף המעגל: $\ P=\int {({(\sin t)'}^{2}+{(\cos t)'}^{2})}dt=\int {({(L\cos t)}^{2}+{(-L\sin t)}^{2})}dt=\int {L^{2}}dt=L^{2}(2\pi -0)=L^{2}2\pi$ אבל אנחנו יודעים שהיקף המעגל הוא $\ 2\pi$ ולכן יוצא שL שווה 1 או מינוס אחת. כיוון שברביע הראשון גם $\ \sin x$ וגם $\ x$ חיוביים, L חייב להיות שווה 1.

אנא תקנו אותי אם טעיתי.

טעות אחת היא ששכחת את השורש שצריך להופיע בנוסחה לאורך קשת, אבל זה עובד לזכותך; מקבלים בתוצאה הסופית L כפול 2 פאי ולכן לא צריך לדבר על סימן חיובי או שלילי. מה שכן, אתה מניח שהגבול של sinx/x קיים בכלל, ולא ברור לי למה ההנחה הזו מבוססת. גדי אלכסנדרוביץ' 15:31, 24 יוני 2006 (IDT)

אוקיי, אני חושב שניתן לבסס את ההנחה שהגבול קיים על כך שניתן להעביר בכל נקודה במעגל משיק (ניתן אפילו לבנות אותו באמצעות ישר המאונך לרדיוס בנקודה מסוימת), ולכן הפונקציות הטריגונומטריות חייבות להיות גזירות. (למרות שזו לא הוכחה או נימוק מספיק משכנע, אבל אני מקווה שאפשר לפתח את זה למשהו)

זה תלוי כנראה בצורה שבה אתה מגדיר משיק... נראה לי שמה שאתה עושה כאן הוא להעמיד פנים ששתי הגדרות שונות הן אותו דבר ושנובע מכך משהו (אבל הדרך שלך נשמעת מעניינת ואולי כן אפשר לעשות בה משהו). גדי אלכסנדרוביץ' 18:42, 24 יוני 2006 (IDT)

רגע רגע, את זה שהרדיוס לנקודת ההשקה מאונך למשיק, ניתן להוכיח גם עם הגדרת המשיק בחדו"א... ניתן לגזור את משוואת המעגל, לפי פונקציה סתומה, ולקבל די בקלות שהמשיק מאונך לרדיוס לנקודת ההשקה. אלא אם התכוונת למשהו אחר?

חשבתי שאתה מדבר על המשיק שלומדים בתיכון, כשלומדים גאומטריה אוקלידית. הדרך שלך נשמעת לי סבירה, אבל היא הולכת ומאבדת מהאלגנטיות שלה בקצב אקספוננציאלי ככל שאתה שולף עוד ועוד משפטים... גדי אלכסנדרוביץ' 22:18, 24 יוני 2006 (IDT)

סוף ההוכחה (השניה) חסר

החלק האחרון של ההוכחה חסר - הערך מסתיים במשפט "איור יבהיר מיד ש- $\ |P_{i}P_{i+1}|<|Q_{i}R|<|Q_{i}Q_{i+1}|$." ואיפה המסקנה? טרול רפאים 19:57, 3 אוגוסט 2006 (IDT)

לא ממש צריך מסקנה - בשורה לפני כן אמרו שזה הדבר האחרון שעוד נותר להראות. אם לדעתך זה לא ברור אפשר להכניס שורת סיום מלאכותית. גדי אלכסנדרוביץ' 20:10, 3 אוגוסט 2006 (IDT)

הנני נותר בלתי מסופק

אני מוכן לקבל את ה"איור מיד יבהיר ש..." בסוף אבל מזכירים מספר שיטות לחשב שטח עיגול היחידה אבל באף אחת מהן לא משתמשים ומראים באמת. כמה שזה מפוקפק, יש לי תחושה שמי שכתב את זה הבין שבכל שיטה שכזו, בסופו של דבר לא תהיה למתמטיקאי ברירה אלא לקחת גבול שכדי לפתור אותו יהיה צריך לדעת מה הנגזרת של סינוס או לפחות ללמוד איזה משהו על הגבול sin(x)/x. בערך בויקיפדיה האנגלית, Area of a disk, מחשבים שטח מעגל בשתי שיטות ושתיהן נראות לי מעגליות: האחת משתמשת באינטגרלים. זה בלתי נמנע שיהיה צורך בהצבה טריגו' באמצע וכתוצאה מכך, יש צורך לדעת מהו האינטגרל המסוים של קוסינוס, את זה אנחנו יודעים כי אנחנו יודעים שהנגזרת של סינוס היא קוסינוס כתוצאה מהגבול המדובר. בדרך השנייה, הם משתמשים במה שאני חושב שהכוונה לשיטת המיצוי פה: תחימת המעגל מבפנים ומבחוץ עם מצולעים משוכללים. גם כאן, הגבול בסופו של דבר דורש שתדע מה הגבול של sin(x)/x. ניתן למצוא במקום הבא מאמר בעניין מירחון מתמטי: College Mathematics Journal, Vol. 24, No. 2, p.160-162 A Circular Argument by Fred Richman, Florida Atlantic University (חפשו בגוגל, התוצאה הראשונה זה הירחון באופן אלקטרוני. אי אפשר לגשת אליו, חוץ מהדף הראשון, בלי להיות ברשת מחשבים שמורשת לאתר, של אוניברסיטה או משהו, ובספרייה של רוב האוניברסיטאות יש את רוב הגיליונות של הירחון הנ"ל)

במאמר המתמטי הזה, הכותב בסופו של דבר מראה שההוכחה המקובלת של הגבול היא מעגלית כי את השטח אפשר לקבל רק מהגבול הנ"ל. הוא עובר על ההוכחות במספר ספרי מתמטיקה. ארכימדס הוכיח שטח עיגול באמצעות האי-שיוויונות שמשתמשים בהם להוכחת הגבול והניח הנחה מאוד מורכבת במובלע כדי להוכיח את האי-שיוויונות. בספר של טום אפוסטול, הוא מגדיר רדיאנים באופן לא רגיל כגזרה של שטח במעגל (אני לא זוכר את ההגדרה המדויקת). בסופו של דבר, הגבול המדובר יוצא כהגדרה ולא כהוכחה של ממש (אחרת זו הוכחה מעגלית). אין ברירה אלא להגדיר את הפונ' הטריגו' כטורים אז.

מה דעתך על ההוכחה שיש בספר של Moise שמוזכר לעיל לשטח העיגול? אותי היא שכנעה ולא ראיתי מעגליות (ואני נטפקן לא קטן בנקודה הזו). אגב, שים לב שבויקיפדיה יש לבצע הפרדת שורות כדי לקבל חלוקה לפסקאות. גדי אלכסנדרוביץ' 13:42, 13 בדצמבר 2006 (IST)

כשהיה לי את הספר של Moise עברתי רק על ההוכחה שלו לגבול (ולדעתי גם שם הוא חטא לא מעט עם ה"מעכשיו זה עניין של גיאומטריה אלמנטרית") שהיה דומה מאוד להוכחה מבוססת אורך בתחתית המאמר הזה. לא ידעתי שיש שם גם הוכחה לשטח מעגל. מחר אני אסתכל שוב בספר ואבדוק. זה מיד אחרי ההוכחה של הגבול, אני מניח? אם היא אינה סובלת ממעגליות, אין ספק שהספר של Moise הוא ספר יוצא דופן ומצוין במיוחד. אבל עד שאראה אותה, אני מעט מפקפק. "אם לוקחים פוליגון רגולרי החסום במעגל אז הגבהים לצלעותיו ממרכז המעגל הולכים ושואפים לרדיוס, ואילו סכום אורכי צלעותיו הולך ושואף להיקף המעגל" נשמע מצוין, אבל אני לא בטוח אם אפשר להוכיח דבר כזה ללא הגבול sinx/x או גבול שקול לו. בכל אופן, אני אעבור על הספר והוכחתו מחר. אם היא אכן ראויה, אז צריך למחוק את הפסקה על שיטת המיצוי, שאני כמעט בטוח שאני יודע על מה מדובר וששימוש בה דורש את הגבול sinx/x בצורה כלשהי (כמו שאתה הערת למעלה), ולהחליף אותה בהוכחה של Moise. ותיקנתי את ההודעה הקודמת, שאגב הייתה שלי. TUCG 15:36, 13 בדצמבר 2006 (IST)

ההוכחה לשטח מעגל לא מגיעה ישר אחרי הגבול הזה אלא די הרבה אחר כך, אני לא זוכר במדוייק איפה. אני מסכים ששיטת המיצוי כנראה נזקקת לגבול (שם נתקעתי בעצמי כשניסיתי להוכיח את הנוסחה בשעתו), ובאמת כדאי להחליף בהוכחה של מויז. אני לא חושב שזה חטא כל כך גדול להגיד ש"מעכשיו זו גיאומטריה", בתנאי שזה אכן רק עוד קצת הסתבכות בגיאומטריה - באופן כללי ספרים בנושא לא אוהבים ללכלך את הידיים יותר מדי.

בכל הנוגע להוכחה של מויז לשטח מעגל, השאלה היא בעצם מה זו "הוכחה" בשבילך. ברור שאורכי הגבהים חסומים מלעיל על ידי אורך הרדיוס (אתה לא מסכים?) ושהם סדרה מונוטונית עולה, ולכן נשאר רק להראות שהוא הסופרמום - אבל הרי לכל אורך קטן ממנו תוכל לבנות בלי יותר מדי קושי פוליגון מתאים שחסום במעגל (או שאתה לא מסכים לזה?) לכן נשאר רק ה"סכום אורכי הצלעות שואף להיקף המעגל" שנראה לי נובע ישירות מההגדרה לאורך של עקום. גדי אלכסנדרוביץ' 15:50, 13 בדצמבר 2006 (IST)

לדעתי, כשמוכיחים זהות כל כך יסודית ובסיסית, מן הראוי להסביר אותה כמה שרק אפשר. דברים כמו "קל להראות ש...", "לפי האיור ברור כי..." ו"זה כבר עניין של גיאומטריה בסיסית..." הן הערות שהן לא במקום לדעתי. שהסופרים ילכלכו את הידיים שלהם, בשביל זה אנחנו משלמים להם על הספרים שלהם :)

כן, אני מבין עכשיו את רוח ההוכחה. אבל זה נשמע לי מופשט מעט. מבחינה מתמטית, אני לא חושב שזה ברור למשל שאורכי הגבהים חסומים מלעיל על ידי אורך הרדיוס. צריך להגדיר במדויק מה זאת אומרת שהפוליגון חסום במעגל ומה זה אומר על גבהים שיוצאים ממרכזו או על צלעותיו. אל תבין אותי לא נכון, ההסבר נשמע מאוד הגיוני ונכון. אבל מדובר בנושא רגיש מאוד ואני חושש שאיפשהו בתהליך משתמשים בגבול sin(x)/x באופן מובלע ושפשוט קשה לראות את זה. TUCG 16:31, 13 בדצמבר 2006 (IST)

זו אחת הבעיות בהוכחות מתמטיות באופן כללי - בסופו של דבר, הן תמיד מצטמצמות ל"קל לראות". אפילו בשביל הוכחות בלוגיקה פורמלית אתה צריך הסכמה כלשהי עם בן השיח שלך לנסיון ההוכחה, ואם לא נזהרים גומרים כמו אכילס. אני לא דקדקן מספיק כדי להמשיך להעמיק בנושא כי האינטואיציה שלי רגועה בנקודה הזו - אבל אני בהחלט מאחל לך בהצלחה. גדי אלכסנדרוביץ' 16:41, 13 בדצמבר 2006 (IST)

בשביל אינטואיציה רגועה לא צריך את כל הסיפור הזה. מספיק להגדיר את סינוס כטור חזקות אינסופי והגבול נובע אוטומטית. אני מסכים, קשה להראות שהתכונות של הסינוס הגיאומטרי הידוע מתקיימות עבור הגדרה שכזו, אבל לפי מה שהבנתי רובן, אם לא כולן, ניתנות להוכחה וממילא ההמשכה האנליטית של הפונ' הטריגונומטריות למספרים מרוכבים מתבססת על הפיתוח לטורים. אז האינטואיציה שלי היא רגועה לחלוטין. גם אם היו מציעים לי את ההוכחה הכי משכנעת בעולם לגבול הזה, עדיין הייתי מעדיף להגדיר את סינוס כטורים אינסופיים כי שם אני בטוח, שם אני יודע שיש לי שליטה בעולם הזה של המתמטיקה. מאידך גיסא, בעולם של הגיאומטריה, ובכן ההוכחה הזו מראה עד כמה צריך להיות דקדקן וזהיר בכל הנוגע להוכחות בגיאומטריה טהורה. חוץ מזה, כפי שאמרתי, ההגדרה באמצעות טורים היא שימושית לתחומים רבים.

לא יודע, ה"קל לראות" לא סיפק אותי בהרצאה בחדו"א בה המרצה אמר "קל לראות שהיתר קטן מקשת המעגל" וגם כעת, כשירדנו מאוד לפרטים, הוא לא כל כך מספק אותי. עיקר העניין שלי בנושא נובע מכך שאני מעט לא מרוצה מכך שההוכחה הסטנדרטית (לא מה שמואז עשה) מצאה את דרכה להרצאות בחדו"א במוסדות האקדמאיים בארץ ואף ספרי מתמטיקה שונים שאמורים להיות מובחרים ומצוינים הוכיחו את הטענה באופן המעגלי ואף לא ראו זאת (או שפשוט ניצלו את העובדה שלרוב האנשים A=pi*r^2 זו עובדה נתונה לשטח מעגל). TUCG 16:58, 13 בדצמבר 2006 (IST)

טוב, עברתי על ההוכחה של Moise להוכחת נוסחת שטח עיגול ושוכנעתי. ניתן להוכיח שטח עיגול בלי להשתמש בגבול sinx/x ולכן ההוכחה מבוססת השטח של הגבול היא תקינה למהדרין. כלומר, עכשיו אני בטוח שהגבול נכון מתמטית מהבחינה הגיאומטרית. מה שאני עדיין לא מבין זו ההוכחה מבוססת האורך. איך ניתן להתייחס לאורכי קטעים שהם קטנים באופן אינפיניטסימלי? הרי ההגדרה המפורשת לאורך קשת היא באמצעות אינטגרל. אינטגרל משמעו גבול ופה גבול/סופרמום בכלל לא משחק תפקיד וזה נראה כאילו מדובר יותר באיך הוכחה צריכה להיראות מאשר ההוכחה עצמה. שימוש בהגדרה המפורשת של אורך קשת, כמה שזה לא מפתיע, נותן אינטגרל שכדי לפתור אותו צריך לדעת מה הנגזרת של סינוס ואת זה אי אפשר לדעת בלי הגבול, כך שאני חושב שההוכחה מבוססת האורך היא לא תקינה או לא שלמה. לגבי ההוכחה מבוססת השטח, אני רגוע ובטוח. TUCG 14:31, 14 בדצמבר 2006 (IST)

אולי אני מפספס, אבל איפה מתייחסים לאורכי קטעים שהם קטנים באופן אינפ'? ובכל מקרה, כאן בערך מגדירים אורך כסופרמום על כל האורכים של קירובים פוליגונליים לקשת. אתה יכול לקרוא לזה אינטגרל אם אתה רוצה, אבל אל תגיד שזה לא מופיע פה. את אורך הקשת כאן לא צריך לחשב במדוייק - מספיק להראות שלכל קירוב פוליגונלי, גודל הקירוב קטן ממש מהטנגנס. זה מבטיח שגם גורלו של הסופרמום יהיה כזה. גדי אלכסנדרוביץ' 14:41, 14 בדצמבר 2006 (IST)

כפי שציין גדי, כתוב בערך ש"אורכה של מסילה הוא המספר הקטן ביותר הגדול מסכום המרחקים $\ |P_{1}P_{2}|+\dots +|P_{n-1}P_{n}|$ לכל סדרה סופית של נקודות $\ P_{1},\dots ,P_{n}$ על המסילה". זה האינטגרל הקווי. עוזי ו. 16:53, 14 בדצמבר 2006 (IST)

שוכנעתי. המתמטיקה ניצלה! :) TUCG 14:56, 14 בדצמבר 2006 (IST)

אה, וכפי שאמרתי, צריך להעתיק לפה את ההוכחה של Moise לשטח עיגול. אבל צריך לצרף שרטוט מתאים ובזה אני לא טוב. TUCG 15:10, 14 בדצמבר 2006 (IST)

את ההוכחה על שטח עיגול צריך להבהיר בערך עיגול, ולא כאן. עוזי ו. 16:53, 14 בדצמבר 2006 (IST)

1

הגבול שווה ל-1, לא מדובר במספר מסויים כמו פאי או e. לדעתי הריכוז הזה של הוכחות מתאים לויקיספר כי ויקיפדיה זה לא המקום להוכחות של כל משפט. צריך להעביר ל-1 (מספר) את פסקת הפתיחה וזהו. קקון 15:54, 13 בדצמבר 2006 (IST)

אם כבר, צריך לשים את זה בערך על סינוס, לא בערך על 1 (יש אינסוף גבולות שערכם הוא 1). בויקיספר יש מקום לאחת מההוכחות במסגרת ספר לימוד אינפי (קודם שיהיה, אז נדבר) אבל לא לערך במתכונתו הנוכחית (שיהיה מעשה אווילי ביותר לבטלה). גדי אלכסנדרוביץ' 16:05, 13 בדצמבר 2006 (IST)

קראת את פסקת המבוא? הגבול הזה הוא אחת היצירות החשובות ביותר בתולדות התרבות האנושית. עוזי ו. 17:30, 13 בדצמבר 2006 (IST)

הוא לא יצירה, הוא ביטוי ששווה ל-1, בדיוק כמו 1*1. ההוכחות הן מדרון חלקלק כי אין לנו דירוג רשמי של משפטים לפי חשיבות. לדעתי צריך להיצמד להגדרות ופחות להוכחות. קקון 17:40, 13 בדצמבר 2006 (IST)

בהעדר דירוג רשמי, אני מציע שנחפש מישהו שמבין בתחום ונשאל אותו. עוזי ו. 17:49, 13 בדצמבר 2006 (IST)

אני מבין בתחום. זה פשוט נראה לי כמו דף מתוך ספר חדו"א ולא מתוך אנציקלופדיה. יש הבדל בין השניים. קקון 18:24, 13 בדצמבר 2006 (IST)

הערך לא שווה הרבה בלי ההוכחה, לכן יש להשאירה. בברכה, _MathKnight_ (שיחה) 18:36, 13 בדצמבר 2006 (IST)

זה מה שאמרתי, להעביר את פסקת הפתיחה לערך אחר. קקון 18:46, 13 בדצמבר 2006 (IST)

נראה לי שיצאנו סופית מדעתנו. גדי אלכסנדרוביץ' 21:06, 13 בדצמבר 2006 (IST)

שאלה

הידע שלי במתמטיקה אמנם מצומצם יחסית לחלק גדול מפה, ובכל זאת: המשפט הבא קצת מוזר לי: "שווה לגבולה של מנת הנגזרות, $\ {\frac {\cos(x)}{1}}$, שהוא כמובן 1.".
ובכן, מדוע הגבול של $\ cosx$ הוא 1? (ולא מינוס 1 למשל?) ירון • שיחה 23:35, 21 בינואר 2007 (IST)

קוסינוס

קל לראות שהגבול כשאיקס שואף לאפס הוא אחד, לא משנה אם מתקרבים מהצד השלילי או החיובי. קומולוס • שיחה 01:04, 22 בינואר 2007 (IST)

כמובן ששכחתי שאיקס שואף לאינסוף. אני רוצה לומר שזו שעת הלילה, אבל זו לא :-) ירון • שיחה 01:05, 22 בינואר 2007 (IST)

אין לקוסינוס גבול עבור איקס שואף לאינסוף. לילה טוב. :-) קומולוס • שיחה 01:17, 22 בינואר 2007 (IST)

זו אכן השעה, התכוונתי לאפס P: ירון • שיחה 01:30, 22 בינואר 2007 (IST)

אני כל כך שמח שאני לא מבין מילה ממה שאתם אומרים :-) ‏Yonidebest Ω Talk‏ 01:31, 22 בינואר 2007 (IST)

עכשיו אתה מבין איך רובנו מרגישים בשיחות שלך עם רותם :-) ירון • שיחה 01:32, 22 בינואר 2007 (IST)

סקרנות

אף אחד לא הבחין שבשם הערך אין שום התייחסות לנקודה בה מחושב הגבול? (הגבול של sin(x)/x חלקי בנקודה פאי, למשל, ייתן ערך אחר...) יובל מדר 00:32, 2 בפברואר 2007 (IST)

אני הבחנתי, אבל אני חושב שאין צורך לפרט ולסרבל יותר. יש הרבה גבולות של sin(x)/x, אבל רק אחד הוא ממש מעניין וחשוב, וכולם יודעים מיהו. גדי אלכסנדרוביץ' 00:34, 2 בפברואר 2007 (IST)

כמובן, גם אני לא מעוניין בשינוי. רק משועשע מעט. (אולי בגלל השעה) יובל מדר 00:36, 2 בפברואר 2007 (IST)

צריך לצרף את הערך ל"קטגוריה:שמות שונים למספר 1", יחד עם 0.999 ... עוזי ו. 20:44, 4 בפברואר 2007 (IST)

זהירות, תכף תזכיר לקקון שהוא צריך להציע העברה לויקיספר גם של ...0.999. גדי אלכסנדרוביץ' 20:53, 4 בפברואר 2007 (IST)

חישוב הגבול

למה אי אפשר לגזור את הסינוס וה-X לפי כלל לופיטל? הרי לא חייבים את תוצאת הגבול כדי לחשב את הנגזרת של הסינוס. --כרוז • שיחה 15:25, 21 בינואר 2008 (IST)

בדיוק כך: חייבים. עוזי ו. 15:55, 21 בינואר 2008 (IST)

כך אפשר לחשב את הנגזרת ללא הגבול:

בהתחלה מראים שמסיבות גאומטריות מתקיים ש-$\int \limits _{0}^{x}{{\sqrt {1-t^{2}}}dt}={\frac {x{\sqrt {1-x^{2}}}+\arcsin \left(x\right)}{2}}$, ואחרי גזירת שני האגפים וסידורם, מתקבל ש-$\operatorname {arcsin} '\left(x\right)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$. עכשיו, מכיון שידוע ש- ${\frac {d}{dx}}(f^{-1}(x))={\frac {1}{{f}'(f^{-1}(x))}}$ וידוע גם ש-$\arcsin ^{-1}\left(x\right)=\sin \left(x\right)$ נובע ש- $\sin '\left(x\right)={\frac {1}{\operatorname {arcsin} '\left(\sin \left(x\right)\right)}}={\frac {1}{\left({\frac {1}{\sqrt {1-\sin \left(x\right)^{2}}}}\right)}}={\sqrt {1-\sin \left(x\right)^{2}}}=\cos \left(x\right)$ מ.ש.ל. --כרוז • שיחה 15:26, 22 בינואר 2008 (IST)

1. מניין ההוכחה הזו?

2. הקשיים בנושא השטח מוחבאים בהוכחה הזו בגזירת האינטגרל: לשם כך נחוץ המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, לרבות ההגדרה המדוייקת של מושג האינטגרל כגבול של סכומים על סדרות של חלוקות; בנוסף משתמשים בכלל השרשרת לגזירה, וכדי להסיק את הגבול שלנו נחוץ (כאמור) גם כלל לופיטל.

3. למרות כל הנ"ל, זו הוכחה נאה ביותר, ואני מציע לצרף אותה לערך, תוך ציון ההבדלים העקרוניים בינה לבין ההוכחות האחרות. עוזי ו. 00:31, 1 בפברואר 2008 (IST)

לגבי "מניין ההוכחה" - ההשראה באה כשניסיתי לחשב את האינטגרל הנ"ל באמצעות חישוב שטח הגזרה. ---כרוז • שיחה 16:20, 6 בפברואר 2008 (IST)

עוזי ו., האם אי אפשר להוכיח את הנגזרות של $\sin \left(x\right)$ ו-$\cos \left(x\right)$ בעזרת גזירת טורי החזקות שלהן? לכאורה זה פותר את המעגליות. ד"א ברגע שמניחים $\left(\sin \left(x\right)\right)'=\cos \left(x\right)$, השימוש בכלל לופיטל פשוט מיותר, כי הוכחה בעזרת הגדרת הנגזרת פשוטה ויפה הרבה יותר. דביר • שיחה • כ' בטבת ה'תשע"ט • 21:36, 27 בדצמבר 2018 (IST)

לאחר שחפרתי על הנושא כמה שעות (עוד לפני כתיבת השורות הקודמות) וקראתי מספר שו"תים אינטרנטיים, אני מתכוון להסביר את פיתרון המעגליות ע"י הגדרת הסינוס והקוסינוס בעזרת טורים. אם אתה חושב שאני טועה, אשמח לדון על הנושא. דביר • שיחה • כ' בטבת ה'תשע"ט • 21:54, 27 בדצמבר 2018 (IST)

ואיך מראים שהטורים שווים לסינוס והקוסינוס הגאומטריים? עוזי ו. - שיחה 22:44, 27 בדצמבר 2018 (IST)

שאלה טובה  :-) אשב על זה. יש לך הפניות שיוכלו לקצר לי את החיפוש? דביר • שיחה • כ' בטבת ה'תשע"ט • 23:16, 27 בדצמבר 2018 (IST)

הערך הזה מסביר איך לחשב את הגבול של sin(x)/x... בעזרתו אפשר לגזור ולקבל את טור טיילור של הסינוס הגאומטרי. עוזי ו. - שיחה 00:10, 28 בדצמבר 2018 (IST)

גדי אלכסנרוביץ' מראה בבלוג שלו (הקישור לפוסט נמצא בערכים שקשורים לסינוס וקוסינוס) איך מגיעים לטורים ולמספר זהויות טריגונומטריות, רק בעזרת הצגת הפונקציות בתור פיתרון שתי משוואות דיפרנציאליות. (ראיתי בעבר גישה כזו להגדרת הפונקציות בספר לימוד באנגלית, אני מחפש אותו עכשיו.) הדבר היחיד שחסר לי הוא ההוכחה שהפרמטר שקובע את התדר של המחזוריות הוא פאי הגאומטרי המוכר - הוכחה כזו אני לא מכיר. זה מזכיר את מציאת e בתור המספר שמקיים את המשוואה הדיפרציאלית שבה הנגזרת שווה לפונקציה המקורית (עם תנאי השפה/התחלה המתאימים). דביר • שיחה • כ' בטבת ה'תשע"ט • 00:23, 28 בדצמבר 2018 (IST)

┐────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────└

מצאתי את הקטע מהספר שחיפשתי. יש שם הוכחה נפלאה לקישור בין המחזוריות לבין פאי. ההוכחה מחשבת אינטגרל על רבע מעגל היחידה בעזרת אינטגרציה בחלקים ובעזרת שיטת ההצבה מראה את הקשר לרכיב המחזורי. לשלוח אליך מייל עם ההוכחה המלאה? בכל מקרה, אני השתכנעתי לגמרי שאין פה הסבר מעגלי. דביר • שיחה • כ' בטבת ה'תשע"ט • 01:01, 28 בדצמבר 2018 (IST)

האם הפונקציה שמוצגת פה המידע על הגבול שלה היא פונקציה הsinc

ואם כן למה לא הגבול של sinc? נוי - שיחה 19:52, 29 באוגוסט 2008 (IDT)

לא הכרתי את הפונקציה הזו עד עתה, בעוד שהגבול ידוע ומוכר לכל סטודנט שנה א' למתמטיקה, ולכן אני חושב שהשם הנוכחי יותר מתאים (למרות שהפניה מהקישור האדום שיצרת נראית לי מבורכת - אבל אני לא סמכות בעניין). גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 23:18, 29 באוגוסט 2008 (IDT)

כלל הסנדוויץ'

משהו לא מסתדר לי, הרי לפי כלל הסנדוויץ' האי שיוויון אמור להיות מסומן כך : $\sin(x)\leq x\leq tanx$
ולא יזיק אם יוסבר יותר בפירוט איך מהאי שיוויון הזה "אחרי חילוק ב X והעברת אגפים" מגיעים לאי שיוויון המצוין. --עומר. - שיחה 02:40, 28 בספטמבר 2008 (IDT)

מה פירוש "אמור להיות מסומן"? בערך מוכיחים את אי-השוויון החזק $\ \sin(x)<x<\tan(x)$ (למרות שאי-שוויון חלש יכול היה להספיק). אם מחלקים ב-x מקבלים $\ {\frac {\sin(x)}{x}}<1<{\frac {\sin(x)}{x}}\cdot {\frac {1}{\cos(x)}}$ (ומכאן $\ \cos(x)<{\frac {\sin(x)}{x}}<1$). עוזי ו. - שיחה 03:36, 28 בספטמבר 2008 (IDT)

גם אני לא הבנתי בהתחלה מה הולך שם, אז ערכתי את הניסוח בתוך הערך להסביר בדיוק איך מגיעים לאי השויון הזה. עזריאל - שיחה 20:04, 28 בפברואר 2011 (IST)

דרוש איור

לפסקה על מציאת שטח המעגל באמצעות שיטת המיצוי דרוש איור עם בניות העזר המתוארות בפסקה. 94.159.137.4 11:35, 13 ביולי 2012 (IDT)

איור כזה מופיע בערך שיטת המיצוי. עוזי ו. - שיחה 13:20, 13 ביולי 2012 (IDT)

באיור המוצג שם אין חלוקה של המצולע המשוכלל למשולשים ולא ניתן לראות איך אורך הצלע שואף לרדיוס. 94.159.137.4

שאלה לגבי ההנחות שמאחורי שתי ההוכחות

האם שתי ההוכחות המוצגות בערך, מניחות במובלע שהיחס בין היקף המעגל לקוטרו הוא קבוע, ואינו תלוי בקוטר? אם כן, היכן בדיוק טמונה ההנחה הזו בשתי ההוכחות? 109.160.229.164 20:22, 22 באוגוסט 2012 (IDT)

אי השוויון שמוצג בתחילת "בסיס ההוכחה" לא נכון עבור מספרים קטנים כמו $\ 10^{-10}$. לא ברור מה הוא "מספר חיובי וקטן" - אפשר לכתוב את זה בניסוח מתמטי שלא נותן לקורא לנחש מה הוא מספר קטן. Polikdir - שיחה 23:55, 26 ביולי 2015 (IDT)

אי השוויון נכון לכל מספר חיובי הקטן מחצי פאי. אם המחשבון שלך טוען אחרת בערכים זעירים, זו שגיאת עיגול. אבל מכיוון שאנחנו מעוניינים בגבול, מספיק להוכיח את אי-השוויון בקטע חיובי כלשהו שאפס בשפתו. עוזי ו. - שיחה 00:04, 27 ביולי 2015 (IDT)

אי הוכחה

כל הטקסט שבין הכותרת "הוכחת הזהות" לכותרת "בסיס ההוכחה", עוסק, אם הבנתי נכון, בדרכים שגויות להוכיח את הגבול. לפיכך הייתי רוצה לתת לו כותרת שתעביר את המסר הזה. אולי יש איזה ביטוי מקובל? חן חן @עוזי ו. ‏«kotz» «שיחה» 08:11, 28 ביולי 2015 (IDT)

הביטוי "אי הוכחה" אינו קיים. אפשר לכאורה "הוכחות שגויות" או "הוכחות מעגליות"; אבל הכותרת הנכונה היא "הצדקה לקיומו של הערך הזה בוויקיפדיה", ועדיף בלעדיה. זה המבוא לפרק, והפסקה האחרונה שלו בוודאי לא שייכת לסעיף על הוכחות בעייתיות. עוזי ו. - שיחה 11:31, 28 ביולי 2015 (IDT)

למה צריך את כלל הסנדוויץ'

היה נראה לי שאפשר בהוכחה פשוטה מגיאומטריה אוקלידית.

הרי הרדיוס פוגע במעגל בזווית ישרה (כי המעגל ניתן לתיאור כמצולע משוכלל בעל אינסוף צלעות). ואם כן כשהקשת קצרה מאוד היא קרובה באורכה לקו הסינוס הפוגע בה.

אפשר גם מגיאומטריה אנליטית. אם נשרטט את גרף הפונקציה של המעגל (X^2+Y^2=R^2) ונצמיד משיק למעגל בנקודה X=R ניווכח על ידי גזירה פשוטה שהשיפוע שלו הוא אינסוף כלומר שהקו מתקדם במקביל לסינוס ואורכו כמעט שווה.

אתה מציע קירובים ו"כמעט"ים שצריך לכמת. אולי, כשהקשת קצרה מאד, היא גדולה מקו הסינוס הפוגע בה בערך ב-1%? עוזי ו. - שיחה 12:14, 24 בדצמבר 2019 (IST)

אבל באמת כשהיא לא 0 היחס יותר מ-1. אלא שכל יחס שתבחר הגדול מ-1, אנו יכולים למצוא קשת קטנה יותר שבה היחס יהיה קטן מאותו יחס שבחרת. ואם כן אני עדיין מוכיח בלי הטנגנס, אם זווית הפגיעה של הרדיוס ישרה, אז יש לפחות קו קטן כל שהו שבו היחס קרוב יותר ל-1 מכל מספר שתבחר. מה שנכון הוא שבאמת לא ברור לי מה ההוכחה שהזווית היא בדיוק 90 מעלות, אולי קצת פחות. ועדיין על ידי הגזירה של משוואת המעגל אני יכול להוכיח.--81.5.20.53 20:13, 24 בדצמבר 2019 (IST)

איך אתה יודע ש"כל יחס שתבחר הגדול מ-1, אנו יכולים למצוא קשת קטנה יותר שבה היחס יהיה קטן מאותו יחס שבחרת"? עוזי ו. - שיחה 21:01, 24 בדצמבר 2019 (IST)

התחבטתי אם להמשיך ולהטריח, כי ההרגשה שלי היא שיש לי טעות שלא הבנתי מה היא. והשאלה עד כמה חשוב לי להשקיע בזה. למעשה לראשונה כשראיתי את ההוכחה ב"קל להראות" טענתי לעצמי "באמת קל להראות אבל למה צריך את הטנגנס"? לאחרונה ראיתי את הפוסט של גדי אלכסנדרוביץ' על "הונאה מעבר לגבול" ואז אמרתי לעצמי, אם זה כל כך לא מובן מאיליו אולי יש לי טעות גם בהבנה הבסיסית שלי. בפועל בכל מקרה ראוי לדעת שההוכחה ש-tan x>x לא פשוטה כל כך. אבל אני חשבתי שבשביל להוכיח את הגבול (שככל הנראה היה ידוע כבר בימי ארכימדס) לא נדרשת ידיעת האי שוויון הזה. כעת ראיתי שבאמת צריך לחפור יותר ממה שחשבתי. אבל האם באמת ניתן להוכיח בלי הטנגנס אלא שההוכחה מורכבת יותר? או שיש לי טעות מוחלטת, אם כן מהי? תודה לעוזי על הסבלנות. וסליחה אם אני מטריח מדי.

אכתוב את הנחות הבסיס שלי א. זווית הפגיעה של הרדיוס במעגל היא ישרה (עדיין לא מצאתי לזה הוכחה מספיק ברורה). ב. שני קווים מקבילים שנחתכים על ידי שני קווים מקבילים - שני זוגות המקבילים שווים. ג. ניתן להציב קו מקביל לרדיוס המעגל ונוגע בסינוס ובקשת שהוא נשען עליה ד. הסינוס ניצב לרדיוס שהוא נשען עליו. ה. שני קווים היוצאים מישר אחד ושניהם ניצבים לו הם מקבילים. ו. משמעות הגבול היא שככל שהמספר שנבחר ב-X יהיה קרוב לאפס יותר, המנה sin x)/x) תהיה קרובה ל-1 יותר. כמובן ב- x=0 המנה לא מוגדרת כלל. האם יש טעות באחת ההנחות, או שהמסקנה לא נובעת מהם? --213.8.151.212 09:29, 25 בדצמבר 2019 (IST)

א. הזווית בין רדיוס למעגל (שמוגדרת כזווית בין הרדיוס לבין המשיק למעגל) היא אכן ישרה. טענה ו. היא הגדרת הגבול (בתיקונים מתחייבים). אינני רואה כאן רמז להוכחה. עוזי ו. - שיחה 21:48, 25 בדצמבר 2019 (IST)

הבנתי שכנראה הטעות שלי היא בשמוש בהנחה א'. אין זווית מוגדרת לקו העקום. אלא רק למשיק. תודה רבה.--213.8.151.212 09:21, 26 בדצמבר 2019 (IST)

עדיין נראה לי שיש הוכחה. אם תראו בציור זה. הרי אם נניח שהקשת גדולה יותר, תמיד אפשר לחצות את הקו BC ולהפוך אותו לסינוס ואז הזווית תתקרב עוד יותר ל-90 מעלות. ההוכחה לכך שהזווית שואפת ל-90 מעלות היא משיקול גיאומטרי, שהרי היא זווית היקפית הנשענת על קשת שאורכה שואף ל-180 מעלות. כעת מאחר שברור שהיחס בין הסינוס למיתר של אותה קשת שהוא נשען עליה, הוא כמו הסינוס של הזווית שבין הרדיוס למיתר אפשר לדעת שהגבול שואף לסינוס של 90 מעלות.--213.8.151.212 22:59, 29 בדצמבר 2019 (IST)

עברת לדבר על המיתר. איך תראה שהיחס בין הקשת BC לבין המיתר BC שואף ל-1? עוזי ו. - שיחה 01:14, 30 בדצמבר 2019 (IST)

השאלה היא איך מוכיחים שיש גבול לאורך הקשת בכלל. אולי היא אינסופית כמו למשל פתית השלג של קוך. בהנחה שאם הקשת קמורה, אז יש גבול לסכום הישרים שמחברים נקודות עליה, אני מסתפק בלהוכיח שכל מרחק בין שתי נקודות ניתן למצוא באמצע עוד נקודה שממנה מודדים.--213.8.151.212 09:16, 30 בדצמבר 2019 (IST)

טוב. ראיתי שזה כבר נידון כאן. בכל אופן לא ממש הבנתי, איך מוכיחים שאכן הקשת לא "בורחת החוצה". אם אין הגדרה לזווית שלה אפשר לכל היותר לחסום אותה ב-180 מעלות מכח הזווית של המשיק. אבל אולי היא שווה לטנגנס? אמנם גם אז קיימת הוכחת הגבול. אבל זה לא מספק אותי כי ברור לי שגם בגיאומטריה אוקלידית אמורה להיות הוכחה שהטנגנס ארוך מהקשת.--213.8.151.212 09:31, 30 בדצמבר 2019 (IST)

ואגב, שם יש פיתרון משעשע לגבול ((sin x)/2(sin (x/2). שלפי ההוכחה שלי הוא טריוויאלי.--213.8.151.212 09:48, 30 בדצמבר 2019 (IST)

ההוכחה שאורך הקשת חסום על ידי הטנגנס מופיעה בערך; הרי זהו המרכיב בהוכחה שטענת שאין בו צורך. אם הטיעון הנוכחי הוא שההוכחה "אינה מספקת" כי "ברור לך" שצריכה להיות לזה הוכחה אחרת, ניחא. נראה שאתה מצפה מהגאומטריה האוקלידית לחסום את אורך הקשת בלי למדוד אותה באמת (היינו דרך תהליך של קירוב גבולי לקו שבור). עוזי ו. - שיחה 11:20, 30 בדצמבר 2019 (IST)

בהתחלה באמת חשבתי שאין צורך. אבל אחרי שהבנתי שכן מחפשים הוכחה לזה, לא הבנתי למה זה מוכיח. נניח שהקשת הקרובה ביותר לרדיוס (לפני שחתכת גם אותה לקטעים קטנים) היא ארוכה לפחות כמו הטנגנס. אחר כך אתה לא יכול להוכיח מהחלקים האחרים שהמיתר שלהם לא ניצב לרדיוס, כי אולי גם הקשת שלהם ארוכה יותר. מה שאני סברתי הוא שאת הקירוב הזה של סכום המיתרים לקשת ניתן להוכיח בצורה שלא מוזכרת בערך, אלא שרצו הוכחה שהיחס בין סינוס למיתר שנשען על אותה קשת שואף ל-1. וממילא זה מספיק גם לקשת שהיא נמדדת על ידי סכום קטעים הקטנים ושואפים לאפס.--213.8.151.212 13:47, 30 בדצמבר 2019 (IST)

הערך מסביר כיצד מגדירים את אורך הקשת, וכיצד מוכיחים שהוא חסום על-ידי הטנגנס. עוזי ו. - שיחה 18:49, 30 בדצמבר 2019 (IST)

סליחה, אבל לא הבנתי איך. המשפט הזה מתוך הערך: "אורכה של מסילה הוא המספר הקטן ביותר הגדול מסכום המרחקים $\ |P_{1}P_{2}|+\dots +|P_{n-1}P_{n}|$ לכל סדרה סופית של נקודות $\ P_{1},\dots ,P_{n}$ על המסילה." אם אתה דורש את הדיוק "המספר הקטן ביותר הגדול מסכום המרחקים" כלומר שכל מספר הגדול מסכום המרחקים צריך להיות גדול גם מהמסילה, אלא שהמסילה ארוכה מהסכום רק בגודל "אינפיניטסימלי" שאי אפשר להגדיר אותו. אז שוב אני לא צריך את ההוכחה מהטנגנס. ואם לא נדרוש לדייק אלא מספיק להגדיר שהמסילה ארוכה יותר מכל סכום קטעים המחברים נקודות בתוכה אבל לא מוכרחה להיות קטנה מכל מספר מוגדר הגדול מסכום הקטעים, אז שוב אולי הקשת גדולה יותר מהטנגנס, כי לא הוכחת כלל שיש לה גבול. --213.8.151.212 20:50, 30 בדצמבר 2019 (IST)

המשפט הראשון אינו נכון, ואת ההמשך לא הבנתי. "אורכו של החבל הוא המספר הקטן ביותר הגדול מכל מספר הקטן ממטר אחד" -- כלומר אורכו של החבל הוא מטר אחד. לא נכון ש"כל מספר הגדול מסכום המרחקים צריך להיות גדול גם מהמסילה"; אורך המסילה הוא-הוא המספר (הקטן ביותר) הגדול תמיד מסכום המרחקים. עוזי ו. - שיחה 22:49, 31 בדצמבר 2019 (IST)

שלום עוזי ו. ותודה על התשובה. אני חושב שיש כאן נושא שעלי לעיין בו בעצמי, ולא יעזרו כל הדיונים. נראה לי שיש לי בלבול בין כמה נושאים כמו גבול וסופרמום ואולי עוד. בכל אופן כעת הבנתי שנדרשת הוכחה לכך שסכום הקטעים שנבנים עד אין סוף מתכנס, ואת זה אפשר להוכיח רק על ידי חסימה מלמעלה. השאלה שלי היתה מי אמר שאתה יכול לחסום את הקשת ועל זה התשובה כנראה, שמספיק שאפשר לחסום את סכום המרחקים בכל מספר נקודות שנבחר. השאלה שלי אולי הקשת שווה לטנגנס עדיין לא נפתרה אצלי. אגב יכולת במקום הדוגמא מהחבל להביא דוגמא "המספר הקטן ביותר הגדול מכל סכום סופי של הסדרה ...0.9+0.09+0.009" שהוא כמובן 1.--213.8.151.212 23:06, 31 בדצמבר 2019 (IST)

סוף סוף הבנתי. הסכום של הקטעים המקבילים למיתרים מחוץ למעגל, חייב להיות גדול מסכום המיתרים עצמם, והטנגנס גדול ממנו, לכן החסם הקטן ביותר גלכל סכום סופי של מיתרים קטן בהכרח מהטנגנס.--213.8.151.212 09:09, 1 בינואר 2020 (IST)

הוכחה שהצלע שמול הזווית הקטנה היא הצלע הקטנה.

בסוף הפוסט של גדי אלכסנדרוביץ' על הגבול הזה הוא כתב כך:"בררר. אין פלא שכל ספר מעדיף להגיד “גאומטריה פשוטה” מאשר להיכנס לזה. כמובן, נותר להוכיח את המשפט על “מול הזוויות הגדולות מונחות הצלעות הגדולות”. מי מתנדב?" אולי בהומור.

אני מוכן להתנדב. (לא נראה לי שזה צריך להיכנס לערך זה, אלא לערך על משולש). אם ניקח כאקסיומה את זה שסכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות (שקול לאקסיומת המקבילים), אפשר להוכיח שהסינוס שמול הזווית הגדולה ביותר הוא הסינוס הגדול ביותר. הסינוס גדל מ-0 מעלות עד 90 כי אז הוא בגודל של רדיוס. (על פי ההגדרה ההיסטורית הסינוס הוא חצי מיתר הנשען על קשת פי שניים מהקשת שהסינוס נשען עליה). סינוס של זווית הגדולה מ-90 מעלות שווה לסינוס של 180 פחות אותה זווית. כעת אם הזווית הגדולה היא קהה, נשארו שתי זוויות שכל אחת קטנה מההפרש בינה ל-180. אם היא אינה קהה אז כבר ברור שהסינוס שלה גדול ביותר. כעת לפי משפט הסינוסים sin a/a = sin b/b אם sin a>sin b אז גם a>b (אלגברה פשוטה, תהפוך את השברים ואז תכפיל את צד ימין ב-sin a ואת צד שמאל ב-sin b.).

הוכחה נוספת: קח את הצלע הקצרה במשולש ותאריך אותה עד שתהיה שוה לצלע הארוכה, ומשם תמתח קו עד הצלע הארוכה. כעת, הזווית החדשה שנוצרה בצד של הצלע הקצרה שווה לסכום הזיות שמול הצלע הקצרה עם זווית נוספת במשולש החדש. (כי במשולש שווה שוקיים שתי הזוויות שמול הצלעות שוות ואת זה ניתן להוכיח על ידי הצבת חוצה זווית מול הבסיס וחפיפת צ.ז.צ., שבתורה מוכחת על פי האקסיומה שבין שתי נקודות אפשר להעביר ישר אחד). הזווית שמול הצלע הארוכה שווה כעת לסכום שתי הזוויות החדשות שהרי היא משלימה ל-180 את הזויות של הקו שהארכת. ולכן ודאי שהיא גדולה מהזווית שמול הצלע הקצרה. המשפט ההפוך מוכח על דרך השלילה. אם הצלע הארוכה מול הזווית הקצרה אז גם הזווית הקצרה מול הצלע הארוכה וכבר הוכחנו להיפך.--213.8.151.212 21:16, 30 בדצמבר 2019 (IST)

גיאומטריה אוקלידית

בהוכחה הראשונה יש בעייה. לא הצלחתי (עדיין) להוכיח את זה שכל סינוס של קשת מתחת ל-90 מעלות גדול יותר מסינוס של קשת קטנה יותר, בלי גזירת משוואת המעגל, או שימוש בכלל שצלע גדולה מול זווית גדולה. על ידי גזירה אפשר, משוואת המעגל היא$x^{2}+y^{2}=1$ לכן הנגזרת שלה היא $y'={\frac {-x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ ($z=1-x^{2}$ ,$z_{x}'=-2x$,$y_{z}'={\frac {1}{2{\sqrt {z}}}}$ ואז משתמשים בכלל השרשרת). כעת לכל x חיובי הנגזרת שלילית ולכן הפונקציה המקורית יורדת בטווח זה. היות שכל y במשוואת המעגל שקול לסינוס,--נשלמה ההוכחה. 213.8.151.212 09:25, 1 בינואר 2020 (IST)

הגבול ההופכי

הוספתי בתוך הערך שיטה להוכחת אי השוויון בלי לחלק לשני אי-שוויונות. אמנם הוספתתי שעל ידי היפוך המספרים מגיעים. אבל לכאורה אין צורך בכל הטורח. הרי הגבול ${\frac {x}{sinx}}$ שווה גם הוא ל-1 וממילא ההופכי שלו הוא 1.--213.8.151.212 21:08, 1 בינואר 2020 (IST)

האם צריך להשתמש בכלל לופיטל להוכחת הגבול?

זה נכתב בערך וגם בדף השיחה הזה כמה פעמים. לדעתי אין צורך בכלל לופיטל כדי להוכיח את הגבול אם ידוע לנו שנגזרת הסינוס היא קוסינוס, הגבול נובע ממילא, אם נגזור את סינוס בנקודה x_0=0 ונשתמש בהגדרת הנגזרת שהיא הגבול של Δy/Δx כאשר Δx שואף לאפס. אז הגבול הוא כמובן קוסינוס 0 שהוא 1.

למעשה האם קיימת הוכחה שלא ניתן להוכיח שהנגזרת היא קוסינוס בלי להשתמש בגבול? אני ניסיתי היום שוב ויצאה לי הוכחה שגוייה שבסופו של דבר היתה צריכה להשתמש בגבול. (וגם זה לא עזר) שיחה:סינוס (טריגונומטריה)--213.8.151.212 23:40, 15 בינואר 2020 (IST)

הנגזרת של הפונקציה sin x בנקודה x=0 היא, לפי ההגדרה, $\ \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin(x)-\sin(0)}{x-0}}=\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin(x)}{x}}$. עוזי ו. - שיחה 23:58, 15 בינואר 2020 (IST)

מה זה משנה? היא קוסינוס 0, ואנחנו לא צריכים לדעת שהנגזרת של x היא 1. אולי בכלל הנגזרת של X היא 2 אבל המונה היה צריך להיות 2COS 0? האם יש כאן גם הוכחה שאי אפשר לגזור בלי לדעת את הגבול, או שמה שנכתב כאן, זה רק על סמך שטרם נמצאה הוכחה פשוטה יותר. --213.8.151.212 09:21, 16 בינואר 2020 (IST)

מניין לך שהנגזרת של sin בנקודה 0 שווה ל-cos 0? את השאלה על הנגזרת של x אינני מבין (הנגזרת של x היא 1). עוזי ו. - שיחה 09:51, 16 בינואר 2020 (IST)

אשלים את מה שכתבתי: הנגזרת של הפונקציה sin x בנקודה x=0 היא, לפי ההגדרה, $\ \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin(x)-\sin(0)}{x-0}}=\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin(x)}{x}}$. כלומר, בלי לחשב את הגבול נשוא הערך הזה אי אפשר לגזור את הסינוס אפילו בנקודה x=0. עוזי ו. - שיחה 11:29, 16 בינואר 2020 (IST)

אולי חסר לי משהו. שאלתי, למה כדי למצוא את הגבול בהנחה שאני יודע את הנגזרת, היו צריכים להגיע לכל לופיטל? "לזהות קיימות מספר הוכחות מהירות, המסתמכות על עובדות ידועות. מאלה, המכשלה הנפוצה ביותר היא השימוש בכלל לופיטל: כידוע, הנגזרת של פונקציית הסינוס היא פונקציית הקוסינוס, ועל-פי הכלל, הגבול של המנה $\ {\frac {\sin(x)}{x}}$, כאשר x שואף לאפס, שווה לגבולה של מנת הנגזרות, $\ {\frac {\cos(x)}{1}}$, השווה בתורו ל-1. אלא שכדי למצוא את הנגזרת של פונקציית הסינוס, אין מנוס משימוש בגבול שאותו אנו מנסים להוכיח כאן (אם מגדירים את הסינוס באופן גאומטרי)." ציטוט מתוך הערך בפיסקה "הוכחת הזהות".

אני טענתי שאם כבר יהיה ידוע לנו איכשהו שהנגזרת של סינוס היא תמיד קוסינוס, אז ממילא הגבול נובע מהגדרת הנגזרת בנקודה X וכמו שכתבת. עכשיו לטעון שמציאת הגבול היא שימוש בכלל לופיטל זה כמו לטעון שהגבול $\ \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {x}{x}}=1$ הוא שימוש בכלל לופיטל. למעשה הערך הוא יותר נושא היסטורי או פדגוגי. כלומר, איך התגלה לראשונה שנגזרת סינוס X = קוסינוס X (שלא מן הנמנע שהוכחה היתה שגויה), או איך נכון ללמד את זה למי שעוד לא למד חישוב אינטגרלים. כי הוא בעצם מקרה פרטי של מציאת אורך של קו עקום כאשר ידועה הפונקציה שהוא גרף שלה (כלומר שהקו הוא גרף של הפונקציה $y=f(x)$ שמשתמשים באינטגרל $\int _{a}^{b}{\sqrt {(1+y'^{2})}}dx$. ואותה הוכחה של זה היא ההוכחה של הגבול. אבל הרי עכשיו רוצים ללמד את היסודות ולכן מחפשים הוכחה למקרה הפרטי כדי למצוא את השלב הראשון. כמו כן שאלתי האם יש הוכחה מתמטית לכך שאם לא ידוע הגבול אי אפשר לחשב את הנגזרת (וממילא להוכיח ממנה את הגבול). אמנם ייתכן שאפשר להאמין שהוכחה פשוטה אין כי כבר היו מוצאים אותה, אבל זו לא הוכחה מתמטית.--213.8.151.212 13:40, 16 בינואר 2020 (IST)

אם היה ידוע שהנגזרת של סינוס היא קוסינוס, היינו יודעים את הגבול המופיע בערך. מה שכתוב בפסקה שציטטת הוא יותר מזה: אי אפשר למצוא את הנגזרת בלי לדעת לחשב את הגבול. ואכן, הגבול הזה הוא עצמו הנגזרת של sin(x)/x בנקודה x=0. זה מספק הוכחה מתמטית לשאלתך האחרונה: "אם לא ידוע A אז לא ידוע B" שקול ל"אם ידוע B אז ידוע A", ואכן, אם ידוע מה הנגזרת אפשר לקבל ממנה כמקרה פרטי את הגבול שלנו. כלומר, אם איננו יודעים את הגבול איננו יכולים לדעת מהי הנגזרת. עוזי ו. - שיחה 16:20, 16 בינואר 2020 (IST)

לא הבנתי את הטענה האחרונה:""אם לא ידוע A אז לא ידוע B" שקול ל"אם ידוע B אז ידוע A", ואכן, אם ידוע מה הנגזרת אפשר לקבל ממנה כמקרה פרטי את הגבול שלנו. כלומר, אם איננו יודעים את הגבול איננו יכולים לדעת מהי הנגזרת.". אני מניח "אם אפשר לדעת את A אז קיים B" וזה אומר כמובן אם לא קיים B אי אפשר לדעת את A. עכשיו אני מגדיר את B "יש לי אלגוריתם לדעת את C" לכן אם אין לי אלגוריתם כזה, לא מתקיים A. אבל אני לא שאלתי אם יש לי אלגוריתם, אלא אם "אני יודע את C". ייתכן שאכן אני לא יודע את C כי חסרים לי נתונים או כי אני לא יודע איך להפעיל את האלגוריתם אבל אני יכול לדעת את A ולכן מתקיים B (כלומר יש לי אלגוריתם לדעת את C). באופן אחר, הדרך הידועה שלי לדעת את A היא על ידי בדיקה אמפירית של B. אני שואל האם ייתכן שתהיה לי דרך אחרת לדעת את A בלי לבדוק אמפירית את B. זה שאם אני יודע את A זה גורר שאני יודע את B אומר שאם אני לא יודע את B אני לא יודע את A אבל ייתכן שאני יודע את B לא מכוח בדיקה אמפירית. אפשר להשתמש בדוגמה מהנידון שלנו: ידוע שסינוס X בנקודה π/2 היא נקודת קיצון, ולכן הנגזרת שלה שם היא 0 לפי המשפט של פרמה. אבל אני לא צריך לדעת שהנגזרת של סינוס היא קוסינוס בשביל לדעת את משפט נקודות הקיצון הזה.--213.8.151.212 19:07, 16 בינואר 2020 (IST)

בקיצור, יש לי שתי שאלות על מה שנכתב בפיסקה "חישוב הגבול" א. השואל שם וגם העונה הניחו שאם אנו רוצים לחשב את הגבול אחרי שיודעים שהנגזרת היא קוסינוס אז משתמשים בכלל לופיטל, ונראה לי שזה לא מדוייק כי במקרה הפרטי שלנו לא צריך את כלל לופיטל (כמובן בהנחה שהנגזרת באמת ידועה). ב. העונה שם כתב שחייבים לדעת את הגבול לצורך חישוב הנגזרת, ואני שואל אם זה מוכח מתמטית. באמת השימוש להוכחת הנגזרת על ידי הוכחת הנגזרת של ארכסינוס לא מצריכה שימוש בגבול. האם יש כאן מעגליות? מה שכן נראה לי שהאינטגרל שבו הוא השתמש מצריך הוכחה הדומה להוכחת הגבול. קראתי פעם את ההוכחה ואני לא זוכר אותה, אם כי זכור לי שאז לא הבנתי למה מצריכים את כלל הסנדוויץ'. נראה לי שמוכיח על ידי הוספת משולש ישר זויות שחוסם את הקשת משני צדדים ואז מוכיח ש0.5^(Δx+Δy>s(x)>(Δy/Δx^2+1. ‏--213.8.151.212 19:23, 16 בינואר 2020 (IST)

הוכחה לנגזרת של ארכסינוס, הוכחה דומה נכתבה לעיל אבל לא הבנתי אותה. כתבתי מעצמי, בהנחה ש-(f(t היא משוואת מעגל היחידה. הקו הוא x והקשת הכלואה בין נקודה x,y ל 0,y היא (arcsin (x.‏--213.8.151.212 20:46, 16 בינואר 2020 (IST)

כדי לגזור את פונקציית הסינוס מוכרחים לדעת את הגבול של sin(x)/x. אני לא יודע לחשב את הגבול הזה (מעקרונות ראשונים) בלי לעבור דרך הגדרה של אורך הקשת או שטח המעגל, ואלו אינן פשוטות כפי שמורגלים לחשוב. האם יש דרך קצרה יותר? בהחלט ייתכן. עוזי ו. - שיחה 20:49, 16 בינואר 2020 (IST)

אני מקווה שהעריכה שלי בסדר, אולי צריך גם להוסיף את ההתייחסות להוכחה באמצעות האינטגרל שהיא בעצם הכללה של הגבול הזה. --213.8.151.212 21:02, 16 בינואר 2020 (IST)

הוכחה דרך arcsin

מחקתי מהערך הוכחה שמתחילה בנגזרת של arcsin, משום שהנגזרת הזו שקולה לכך שהנגזרת של sin היא cos, והרי זה מניח את המבוקש. יש הסבר בקווים אלו במעלה הדף (#חישוב הגבול), ואפשר לשבץ אותו בערך אם לא מדלגים על העיקר. עוזי ו. - שיחה 14:21, 17 בינואר 2020 (IST)

עוזי ו. לא ראיתי שם הסבר, ולמה עד עכשיו זה לא נכנס לערך. הטענה היא שניתן לחשב את הנגזרת של arcsin באופן עצמאי בלי תלות בידיעת הנגזרת של sin. מה שחסר הוא רק הוכחה שאכן האינטגרל הזה שווה באמת ל-arcsin. אני מוכן להעלות ציור. אבל עדיף ציור של מי שיודע לצייר יותר טוב ממני.--גיאומטריה1 - שיחה 09:58, 19 בינואר 2020 (IST)

ארכסינוס

--גיאומטריה1 - שיחה 10:06, 19 בינואר 2020 (IST)

במשפט "אחת ההוכחות דומה להוכחה מבוססת האורך של הגבול." התכוונתי להסביר למה בעצם עדיין צריכים להוכיח את הגבול עצמו. אמנם מאחר שאני לא בדיוק יודע איך מוכיחים את זה שהאינטגרל נותן את אורך הקו הסתפקתי בלשון סתומה בהנחה שמי שיודע יותר ממני יסביר.--גיאומטריה1 - שיחה 10:16, 19 בינואר 2020 (IST)

אשמח לראות כאן כיצד אתה מחשב את הנגזרת של arcsin. הציור מובן, אבל הנוסחה שמתחתיו לא ברורה: מהו הסימן המסתורי שאחרי 1 תחת קו השורש? ומה מחלקים במה שם? האם זה בתוך השורש או מחוצה לו? עוזי ו. - שיחה 13:23, 19 בינואר 2020 (IST)

הסימן אחרי 1 הוא +. מחלקים טי בריבוע ב-1 פחות טי בריבוע. והכל בתוך השורש. הנוסחה היא הנוסחה לחישוב אורך קו עקום על ידי ידיעת הפונקציה שהקו הזה הוא הגרף שלה. https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%90%D7%95%D7%A8%D7%9A_%D7%A2%D7%A7%D7%95%D7%9E%D7%94. בהנחה שקיימת פונקציה קדומה לפונקציה שבתוך האינטגרל, אז פיתרון האינטגרל הוא הפונקציה הזו כאשר מציבים x ב-t, פחות מספר קבוע כלשהו. ואכן ידוע שפיתרון האינטגרל הזה הוא ארכסין x. כאשר אתה גוזר את זה אתה מוצא את הפונקציה שאחרי סימן האינטגרל עם x במקום t (פחות 0 כי היא הנגזרת של קבוע) ולכן גם הנגזרת בצד השני היא הנגזרת של ארכסינוס. --גיאומטריה1 - שיחה 13:39, 19 בינואר 2020 (IST)

אני חושב שהקטע שנמחק מהערך מסביר ברור מספיק.

על פי המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, אם מעגל היחידה הוא $f(t)=t^{2}+y^{2}=1$ אז אורך הקשת ארכסינוס x ניתן לחישוב על ידי אינטגרל ומתקיים: $(\arcsin(x))'={\biggl (}\int \limits _{0}^{x}{{\sqrt {1+{\bigl (}{\frac {-t}{\sqrt {1-t^{2}}}}}}{\bigr )}^{2}dt}{\biggr )}'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

כעת אפשר להשוות עם הציור שהצגתי ולראות שאכן הארכסינוס ניתן על ידי הקו שאת אורכו אנו רוצים לחשב.--גיאומטריה1 - שיחה 15:05, 19 בינואר 2020 (IST)

הוספתי את ההוכחה הזו לערך (וגם רמזתי למה היא לא מוצאת חן בעיני). עוזי ו. - שיחה 23:36, 19 בינואר 2020 (IST)

ההכרח בשימוש בגבול

אולי אני טרדן, וכבר דברו על זה בדף השיחה הזה הרבה. אם הערך בא לספק הוכחה גיאומטרית או להסביר את ההוכחה המקובלת, אז יש לדון מחדש על חשיבותו. כי אפשר להוכיח הכל לכאורה על ידי הגדרה של האקספוננט וממנו הכל נובע בצורה ישרה בלי צורך בהקדמות נוספות. גם ההגדרה הגיאומטרית של הסינוס והקוסינוס נכללות בתוצאה הזו.

תחילה נגדיר את האקספוננט כפונקציה שמחזירה 1 בקלט 0, ונגזרתה שווה לעצמה בכל נקודה. אחר כך קל למצוא שטור טיילור שלה הוא פולינום ממעלה n שמקדמיו הם ההפכיים של העצרת. כעת על ידי הפירוק של האקספוננט לפונקציה זוגית ולא זוגית נקבל את הטורים לפונקציות ההיפרבוליות. אבל אם נשתמש בידיעת הטור כדי לחשב אקספוננט מרוכב נמצא שפירוק של זה לפונקציה זוגית ואי זוגית ייתן את הסינוס והקוסינוס הטריגונומטריים, כאשר הסינוס הוא החלק המדומה וקוסינוס הוא החלק המרוכב וכמובן הסינוס אי זוגי כי הוא סכום של חזקות אי זוגיות ולכן אפילו כשנחלק ב-i עדיין ידוע לנו שהסינוס אי זוגי. כמו כן נודע שטורי הסינוס והקוסינוס הם מתחלפים. כעת את הנגזרות מוכיחים דרך הטורים כאשר גוזרים כל איבר בנפרד, וכך נדע גם את הנגזרת של הפונקציות ההפוכות. בנוסף מתקיימת הזהות הפיתגורית אם מגדירים את הסינוס באמצעות האקספוננט פחות ההפכי שלו חלקי 2i ואת הקוסינוס באמצעות האקספוננט פלוס ההפכי וסכום הריבועים שלהם הוא 1 כמו הפרש הריבועים של הסינוס והקוסינוס ההיפרבוליים. כי יש כאן יחידה מדומה. מזה נובע שהנקודות שעל המעגל הם סינוס וקוסינוס, וגם שהיקף המעגל הוא 2 פאי ושטחו פאי אחד על ידי חישוב הארכסינוס כאינטגרל.

נראה לי שאכתוב את כל זה באריכות בטיוטה שלי ואחר כך יהיה אפשר לדון אם להעביר לערך הזה, או לכתוב בערכים אחרים.--גיאומטריה1 - שיחה 19:09, 11 בפברואר 2020 (IST)

כעת ראיתי בערך משפט שאולי עונה על מה שכתבתי "הבעיה היא שהפונקציות $\ \sin(tx),\cos(tx)$ מקיימות אותן זהויות טריגונומטריות, עבור כל ערך של t, ולכן קשה לקשור בשיטה זו את הפונקציות אל המשמעות הגאומטרית המקובלת שלהן." לא הבנתי את המשפט הזה. אולי אחרי שאכתוב את הכול ברור יותר יהיה אפשר לדון.--גיאומטריה1 - שיחה 19:15, 11 בפברואר 2020 (IST)

כפי שהסביר ארתור סי. קלארק, טכנולוגיה מתקדמת דיה היא בלתי ניתנת להבחנה ממעשה ניסים. ההוכחה שלך משתמשת במשפט היסודי של המשוואות הדיפרנציאליות (כדי לדעת שקיים פתרון למשוואה y'=y); בהתכנסות בהחלט של טורי חזקות ומשפטים על גזירת טור המתכנס במידה שווה; בעובדה שפונקציה אנליטית (מרוכבת) נקבעת לפי ערכיה על הישר הממשי; במשפט אוילר; ובאינטגרציה. בהנתן כל אלו ההוכחה אכן פשוטה להפליא. עוזי ו. - שיחה 19:18, 11 בפברואר 2020 (IST)

אתה צודק שבאמת הפתרון משתמש בידע מתקדם יותר. נכון גם שלא מתאים ללמד את הנגזרות רק אחרי כל זה, כי בעצם הרי קיימות הוכחות מוקדמות, ויותר נכון לדבר על איך היגיעו לזה מאשר על התוצאות. בכל זאת אשמח אם תראה את הטיוטה שלי ותראה מה חסר לי שם, ואולי בכל זאת חלק מזה אפשר גם להכניס בערך הזה או בערכים אחרים. למעשה אני יודע שאת הוכחת ההתכנסות של הטורים השארתי אינטואיטיבית כי אני לא יודע אותה מספיק. וגם ההוכחה של הסימטריה לא מספיק ברורה לי, אם כי נראה לי שהיא נכונה ורק חסרה הפורמליות. עדיין לא ברור לי למה אי אפשר לבסס על טורי הטיילור את הגיאומטריה. מה שכתבת שצריך להוכיח שיש פיתרון למשוואה הדיפרנציאלית לא הבנתי מה צריך הוכחה, מספיק להראות את הפיתרון. הוכחת היחידוּת היא על ידי הטור טיילור.--גיאומטריה1 - שיחה 10:13, 12 בפברואר 2020 (IST)

נמצאו קישורים חיצוניים שצריכים תיקון (מרץ 2024)

שלום,

מצאתי קישור חיצוני אחד או יותר בגבול של sin(x)/x שזקוק לתשומת לב. אנא קחו רגע כדי לבדוק את הקישורים שמצאתי ולתקן אותם בערך אם נדרש. מצאתי את הבעיות הבאות:

• http://meyda.education.gov.il/files/Mazkirut_Pedagogit/matematika/25.pdf נמצא כקישור שבור. מומלץ להוסיף https://web.archive.org/web/20141129021616/http://meyda.education.gov.il/files/Mazkirut_Pedagogit/matematika/25.pdf לכתובת המקורית.

כאשר תסיימו לערוך את השינויים הנדרשים, אנא בקרו בדף השו"ת למידע נוסף לתיקון בעיות עם הקישורים לעיל.

הודעה זו תופיע רק פעם אחת לקישורים אלו.

בידידות.—InternetArchiveBot (דווח על באג) 00:16, 18 במרץ 2024 (IST)