שיחת משתמש:דורון שדמי/ארכיון 3

הצעד הבא

הצגת בסבלנות ובחכמה את הדרך "הישנה והטובה" להוכחה על דרך השלילה, כי יש אינסוף עוצמות של אינסוף במסגרת ZF.

המערכת שפיתחתי למעשה מוצאת את אותן עוצמות, אך היות והיא מבחינה בין מקומיות ואי-מקומיות כתכונות יסוד שלה (כאשר אי-מקומיות הינה urelement לא-מקומי, ומקומיות הינה אוסף בעל דרגות שונות של מובחנות איברים, כאשר מקרה פרטי של אוסף הינו קבוצה במובנה המקובל), התוצאה היא אוספים סופיים או אינסופיים, אשר מעצם היותם אוספים, אינם יכולים להשיג קטגורית את מצב הקשירות המוחלטת המתקיימת ב- urelement לא-מקומי, אשר אינו ניתן להבנה במושגים של אחד מרבים (כפי שאלמנט באוסף, שהוא תמיד אלמנט מקומי, מובן תמיד כ-אחד מרבים).

הקשר ביו המקומי ללא מקומי מאפשר שימוש של מושגים כמו יתירות ואי-וודאות כתכונות מסדר ראשון של האלמנטים הקיימים במערכת, כאשר יתירות ואי-וודאות הן דרגת הסימטריה המירבית, והעדרן הוא למעשה קבוצה במובנה המקובל.

אתה מוזמן להציץ ב- http://www.geocities.com/complementarytheory/TOUM.pdf להעיר את הערותיך ולהשיג את השגותיך. דורון שדמי 02:26, 15 באוקטובר 2006 (IST)

אני גרוע באנגלית. יקח לי הרבה זמן לקרוא את זה, אז היה סבלני... יאיר ח. 10:18, 15 באוקטובר 2006 (IST)

מיפוי (פונקציה בין איבר יחיד לעצמו או לאיבר אחר)

קבוצת המספרים הזוגיים הינה תת-קבוצה ממש של קבוצת המספרים הטבעיים, וקל לראות זאת עפ"י המיפוי הבא:

1 <-->

2 <--> 2

3 <-->

4 <--> 4

5 <-->

6 <--> 6

...

אך לפי המיפוי הבא, ניתן להסיק כי קיימת פונקציה חח"ע ועל בין המספרים הטבעיים למספרים הזוגיים:

1 <--> 2

2 <--> 4

3 <--> 6

4 <--> 8

5 <--> 10

6 <--> 12

...

ניתן להחליף את מושג הקרדינל במושג היחס הקיים בין מספרים טבעיים, ובכך לקבל מיפוי בין תת-קבוצות ממש של מספרים טבעיים, לבין המספרים הטבעיים, לדוגמא:

1 <--> 2

2 <--> 4

3 <--> 6

4 <--> 8

5 <--> 10

6 <--> 12

7 <-->

8 <-->

9 <-->

10 <-->

11 <-->

12 <-->

...

בדוגמא זו היחס הנשמר הוא 1 ל- 2, והוא מונע את המיפוי החח"ע ועל בין המספרים הטבעיים ותת-קבוצה ממש שלהם. החוק הכללי במשחק זה אומר שאם מספר מופיע בתת-הקבוצה ממש, אז כל הספרות עד אליו, כולל אותו, חייבים להופיע בטור המספרים הטבעיים.

מה דעתך?

לא ברור לי מה פשר המיפוי השלישי. נניח שאני אכתוב "14" ליד 7 - למה זה לא יהיה נכון? גדי אלכסנדרוביץ' 12:52, 15 באוקטובר 2006 (IST)

שכחתי להקדים ולומר, שמושג הקרדינל במקרה זה אינו המושג המקובל (שבו למעשה מתעלמים מערכי האלמנטים שבקבוצה ומהסדר בין האלמנטים השונים, וכל מה שמעניין אותנו הוא כמות האלמנטים) אלא במקומו משמתשים במושג היחס הקיים בין הערך המיוצג באלמנט, לקבוצה המיצגת אותו, לדוגמא, אם ממפים רק בין המספר 1000 למספרים הטבעיים, אז מצד אחד יש לנו תת-קבוצה ממש של איבר יחיד בעל הערך 1000 ומצד שני יש את כל המספרים הטבעיים הקיימים בין 1 ל-1000 כולל אלף. עם המספר הבא יהיה 3000 אז טור המספרים הטבעיים חייב להכיל את כל המספרים עד 3000 כולל 3000, וחוזר חלילה לאינסוף. בכך נשמר תמיד יחס המונע מיפוי חח"ע ועל בין תת-קבוצה ממש של המספרים הטבעיים, למספרים הטבעיים (לפי גישה זו, מיפוי חח"ע ועל מתקיים רק ואך ורק כאשר היחס הוא 1/1).

לא ברור לי מה פשר המיפוי השלישי. נניח שאני אכתוב "14" ליד 7 - למה זה לא יהיה נכון? גדי אלכסנדרוביץ' 13:22, 15 באוקטובר 2006 (IST)

במקרה זה עליך להוסיף את הספרות 13 ו-14 לטור המספרים הטבעיים, ואז היחס המונע את המיפוי החח"ע ועל, נשמר (היחס, הינו במקרה זה, מספר רציונלי).

יש כמובן לציין כי אנו עוסקים במקרה זה במיפוי בין מספרים טבעיים בלבד, ואין פה התיחסות למושג הקבוצה במובן הכללי (שלפיו איבר יכול להיות כל דבר שניתן ל"עשות איתו" מתמטיקה).

אני מצטער, אבל לא ברור לי מה אתה אומר בכלל. נראה לי שפשוט המצאת מחדש את המושג "חח"ע ועל" בצורה שונה, אבל שכחת שצריך גם להסביר את ההגדרה שלך במילים ברורות. גדי אלכסנדרוביץ' 16:27, 15 באוקטובר 2006 (IST)

אני מסכים איתך גדי, הנ"ל אינו ברור דיו. אנסה להבהיר את דברי.

אני מקווה שתסכים איתי כי קיימת כמות ללא סדר, אך לא קיים סדר ללא כמות.

מושג המספר הטבעי מבוסס על היותו כמת וגם סדר, אך יש יחס של תלות הררכית בין היותו כמת להיותו סדר (הסדר תלוי בקיומה של כמות).

לכן, כאשר אנו משתמשים בפונקציה הממפה בין המספרים הטבעיים לתת-קבוצות ממש שלהם, אל לנו להתעלם מתלות קיומו של מושג הסדר במושג הכמות. במילים אחרות, אם אנו משתמשים בסימן 1000 הרי שקודם כל אנו מתכוונים לפן הכמותי הטמון ביצוג זה, ולכן איננו יכולים שלא לכתוב את כל המספרים מ-1 עד 1000 בטור המספרים הטבעיים, כאשר אנו ממפים את הסימן 1000 עם הסימן 1 .

במילים אחרות, אנו חייבים לעסוק במיפוי המבוסס על הבנת תכונותיו ההכרחיות של האוביקט הממופה, ולא במיפוי בין הייצוגים שלו.

אני דווקא לא מסכים. למה צריך להתייחס לתכונות של האובייקט? כאן אנחנו מתעניינים רק בכמות שלו. כדי לפשט את העניינים אני מציע לא לעסוק בכלל במספרים הטבעיים, אלא בספירה של קבוצה אחרת: קבוצת כל הסדרות הסופיות של אפסים ואחדות כך שאין אפסים מובילים. אני טוען ש"כמות" האיברים בקבוצה הזו זהה ל"כמות" האיברים בקבוצת כל הסדרות הסופיות של אפסים ואחדות כך שאין אפסים מובילים והספרה האחרונה בסדרה היא תמיד 0. מה דעתך, אפשרי? (אם מפריע לך ש-0 ו-1 הם מספרים, אני מציע שנשכח גם מזה ונעבור לסדרות של אותיות: האות א' והאות ב'). גדי אלכסנדרוביץ' 09:58, 16 באוקטובר 2006 (IST)

גדי, הגבת לפני שכתבתי את כל מה שיש לי להגיד בנושא, אז הנה הוא שוב, והפעם בשלמותו.

אני מסכים איתך גדי, הנ"ל אינו ברור דיו. אנסה להבהיר את דברי.

אני מקווה שתסכים איתי כי קיימת כמות ללא סדר, אך לא קיים סדר ללא כמות.

מושג המספר הטבעי מבוסס על היותו כמת וגם סדר, אך יש יחס של תלות הררכית בין היותו כמת להיותו סדר (הסדר תלוי בקיומה של כמות).

לכן, כאשר אנו משתמשים בפונקציה הממפה בין המספרים הטבעיים לתת-קבוצות ממש שלהם, אל לנו להתעלם מתלות קיומו של מושג הסדר במושג הכמות. במילים אחרות, אם אנו משתמשים בסימן 1000 הרי שקודם כל אנו מתכוונים לפן הכמותי הטמון ביצוג זה, ולכן איננו יכולים שלא לכתוב את כל המספרים מ-1 עד 1000 בטור המספרים הטבעיים, כאשר אנו ממפים את הסימן 1000 עם הסימן 1 .

במילים אחרות, אנו חייבים לעסוק במיפוי המבוסס על הבנת תכונותיו ההכרחיות של האוביקט הממופה, ולא במיפוי בין הייצוגים שלו.

מיפוי זה, הינו מיפוי בין הסימנים המייצגים את המספר הטבעי:

1 <--> 2

2 <--> 4

3 <--> 6

4 <--> 8

5 <--> 10

6 <--> 12

...

לעומת זאת, מיפוי זה אינו בין סימנים מייצגים, אלא מבוסס על ההבנה כי כמות קודמת לסדר במושג המספר הטבעי:

1 <--> 2

2 <--> 4

3 <--> 6

4 <--> 8

5 <--> 10

6 <--> 12

7 <-->

8 <-->

9 <-->

10 <-->

11 <-->

12 <-->

...

כאשר אנו כותבים את המספר 12 בטור המייצג את המספרים הזוגיים, איננו יכולים להתעלם ממושג הכמות המיוצג בסימן 12 , ולכן אנו חייבים לכתוב את כל המספרים בין 1 ל-12 כדי לבטא נאמנה את הפן הכמותי של המספר הטבעי.

בקיצור, כאשר אנו מבינים במה שאנו עוסקים, לא מתקיימת פונקציה חח"ע ועל בין תת-קבוצה ממש של המספרים הטבעיים, לבין המספרים הטבעיים. דורון שדמי 10:17, 16 באוקטובר 2006 (IST)

אני עדיין לא מבין למה 12 לא יכול להתמפות לכלום, אבל זה לא חשוב. יותר מעניין אותי האם לדעתך יש את אותה כמות של סדרות משני הסוגים שציינתי. גדי אלכסנדרוביץ' 10:16, 16 באוקטובר 2006 (IST)

במקרה של מיפוי תת-קבוצה ממש של המספרים הזוגיים, מתמפה 12 (המספר הטבעי 12, הנמצא בטור השמאלי) עם המספר הטבעי 24 הנמצא בטור הימני (שהוא טור המספרים הזוגיים, אשר הינה תת-קבוצה ממש של המספרים הטבעיים), אבל אז יש לרשום בטור השמאלי (שהוא טור המספרים הטבעיים) את כל המספרים הטבעיים מ-1 ל-24 ובכך שוב אנו מוצאים כי לא כיסינו את המספרים הטבעיים שבין 13 ל-24 וכן הלאה וכך הלאה לאינסוף, כאשר נשאר פער קבוע של יחס 1 ל-2 בין תת-הקבוצה ממש של המספרים הזוגיים לבין המספרים הטבעיים.

בקיצור, לעולם לא מתקיימת פונקציה חח"ע ועל בין תת-קבוצה ממש של המספרים הטבעיים, לבין המספרים הטבעיים (והדוגמה של המספרים הזוגיים הינה דוגמא פרטית ללא איבוד הכלליות) דורון שדמי 12:16, 16 באוקטובר 2006 (IST)

אני לא מסכים אבל לדעתי זה החלק הפחות חשוב של הדיון (מכיוון שאין סיכוי שנסכים לגביו). מה דעתך לגבי הסדרות של הא' והב' שדיברתי עליהן? האם קיימת פונקציה חח"ע ועל ביניהן? הפונקציה שאני מציע: קח סדרה כללית ותוסיף לה א' בסוף (כזכור, הסדרות הכלליות הן סדרות סופיות של א' וב' שלא מתחילות בא', והסדרות המוגבלות יותר הן סדרות סופיות של א' וב' שלא מתחילות בא' אבל כן נגמרות בא'). גדי אלכסנדרוביץ' 13:11, 16 באוקטובר 2006 (IST)

גדי, אין זה משנה מהם הסימנים שאתה בוחר כדי לסדר דברים. תמיד תתקיים היררכיה של תלות הסדר בקיומה של כמות, ואין זה קשור כלל וכלל באופן בלעדי למספרים הטבעיים. בקשר לקבוצות שהצעת, לא הבנתי את חוקי הבניה שלהם, הדגם נא אותם, תודה. דורון שדמי 14:06, 16 באוקטובר 2006 (IST)

לי לא ברור איך בסדרות שאני מציע קיימת "היררכיה של תלות הסדר". דעתי היא שאתה מנסה בכוח לכפות הגדרות נוספות ולכן לא מוצא פונקציה חח"ע ועל כמדובר. באשר לסדרות, אפתח נושא חדש. גדי אלכסנדרוביץ' 14:14, 16 באוקטובר 2006 (IST)

אתה יודע מה גדי, בוא ונישם את גישתך, שבה אתה מתייחס למילים בשלמותן ולא לאותויות המרכיבות את המילים.

הקבוצה שיצרת שקולה לקבוצה הבאה:

{3,2,1,...,3a,2a,1a,...}

3,2,1,... הינה תת-קבוצה ממש של הקבוצה הנ"ל, ולכן כאשר אתה ממפה את 1 עם 1a , אתה חייב לרשום את כל אברי הקבוצה מ-1 ל- 1a , כי 1a אינו קיים ללא מושג הכמות, העומד בבסיס מושג הסדר.

בעניין כפיה, אני טוען כי שיטת המיפוי שאתה משתמש בה, מתעלמת בשרירותיות מתלותו של מושג הסדר במושג הכמות (כאשר מושגים אלה מבוססים על מושג הקבוצה, שהיא אוסף איברים (או העדרם) המובחנים היטב זה מזה). דורון שדמי 10:26, 17 באוקטובר 2006 (IST)

דוגמת הסדרות

אני מגדיר את מ"ט בתור אוסף כל הסדרות הסופיות של האותיות א' וב' שאינן מתחילות באות א'. לדוגמה: בבאב, ב, בא, בבבב, באאאא וכו'.

אני מגדיר את מ"ז בתור אוסף כל הסדרות הסופיות של האותיות א' וב' שאינן מתחילות באות א' אבל נגמרות באות א'. לדוגמה: בא, בבבבא, באבאבא, באאאא וכו'.

(בלשון מתמטית יותר אפשר לקרוא לסדרות הללו "מילים מעל הא"ב {א, ב}").

עכשיו אני מגדיר פונקציה מתוך מ"ט אל מ"ז בצורה הבאה: אם x היא סדרה במ"ט, אז נעתיק אותה לסדרה xא במ"ז (הוספנו א' בסוף). למשל:

• באא<->באאא
• ב<->בא
• בבב<->בבבא

וכדומה. האם עד כאן הכל ברור? אני טוען שזו פונקציה חח"ע ועל. זה שהיא חח"ע זה ברור (קח שתי מילים שאחרי שהוספת להן א' הן זהות - אם תוריד את הא' מהסוף כל היתר יוותר זהה). גם זה שהיא על זה ברור - קח איבר x כלשהו של מ"ז ותוריד ממנו את הא' שבסוף - תקבל איבר במ"ט, שאם מפעילים עליו את הפונקציה שהגדרתי מקבלים את x. גדי אלכסנדרוביץ' 14:14, 16 באוקטובר 2006 (IST)

אלה סתם משחקים בסימנים, כי מה שבנית, שקול למיפוי הבא:

• באא<->א
• ב<->א
• בבב<->א

ולכן זה ברור כי למעשה אתה ממפה את הקבוצה שלא מתחילה באות א' לעצמה, וכידוע כל מיפוי עצמי הוא חח"ע ועל.

נסה נא להגדיר תת-קבוצה ממש של קבוצה כלשהי, ללא (עריכה:במקום "ללא" קרא נא "עם") שימוש בתכונת הסדר, ואז נדון במיפוי בין תת-הקבוצה ממש, לקבוצה שלה. דורון שדמי 14:41, 16 באוקטובר 2006 (IST)

מה? למה זה שקול למיפוי הזה? אני ממש לא מבין מה עשית שם. מיפית את הכל לאיבר אחד (א) - למה?

הנה ההגדרה שלי ל"תת קבוצה ממש" - קבוצה B היא תת קבוצה ממש של A אם כל איבר של B הוא גם איבר של A, ובנוסף קיים איבר של A שאינו איבר של B. למשל, מ"ז היא תת קבוצה ממש של מ"ט כי כל איבר של מ"ז הוא גם איבר של מ"ט, אבל "אב" אינו איבר של B כי אינו מסתיים בא'. מי צריך תכונת סדר כאן? גדי אלכסנדרוביץ' 15:18, 16 באוקטובר 2006 (IST)

אבקש את סליחתך, הטעתי אותך, כוונתי היתה למיפוי חח"ע ועל בין אלמנטים המקיימים לכל הפחות כמות וסדר.

קבוצה באאא = באא + א, קבוצה בא = ב + א, קבוצה בבבא = בבב + א וכו' , לכן יש לנו כאן רק קבוצה אחת הממופה לעצמה. אין הדבר דומה כלל וכלל למקרה של המספרים הטבעיים, שבהם כל אלמנט מייצג גם כמות וגם סדר, כאשר תכונת הסדר תלויה בקיומה של תכונת הכמות.

אני חושב שאתה קצת מתבלבל. המיפוי שאני מגדיר הוא בין מילים, לא בין אותיות. גדי אלכסנדרוביץ' 16:18, 16 באוקטובר 2006 (IST)

אז אחזור בשנית על בקשתי, הראה נא כיצד אתה מייצר מיפוי חח"ע ועל בין תת-קבוצה ממש של אלמנטים כלשהם המקיימים כמות וסדר, לקבוצת אותם אלמנטים. כל מודל אחר שהוא פחות מכמות וסדר, אינו רלוונטי לטענתי בעניין המספרים הטבעיים, ואינך יכול להסיק דבר מהמודל שבנית, לטענה שהעליתי כאן בעניין מיפוי חח"ע ועל (ואיתך הסליחה על שהטעתי אותך). דורון שדמי 16:00, 16 באוקטובר 2006 (IST)

לדעתי דווקא יש התאמה חח"ע ועל מהטבעיים לסדרה ה"כללית" (פשוט חושבים עליה כייצוג בינארי) אבל אני חושב שהגענו לשורש אי ההסכמה. אתה מוסיף תכונות למספרים הטבעיים ודורש מהפונקציות שמגדירים שישמרו גם את התכונות הללו. העניין הוא שקנטור ושות' לא מסכימים איתך שבהקשר של עוצמות צריך להתעסק עם התכונות הללו. כדי לשכנע אותנו שצריך להתעסק איתן אנחנו עוברים לפילוסופיה, לא למתמטיקה, וזה דיון שבטח ובטח איני רוצה להשתתף בו. גדי אלכסנדרוביץ' 16:18, 16 באוקטובר 2006 (IST)

אנא על תשתמש בדוגמא כגון:

• 1<->1א
• 2<->2א
• 3<->3א

כי, באמור, אלא משחקים בסימנים. דורון שדמי 16:00, 16 באוקטובר 2006 (IST).

אולי לא הבנת. ההתאמה המדוברת שלי היא משהו בסגנון:

• ב <-> 1
• בא <-> 2
• בב <-> 3
• באא <-> 4

וכו'. גדי אלכסנדרוביץ' 16:55, 16 באוקטובר 2006 (IST)

זאת דוגמא לא רלוונטית כי אין פה מיפוי בין תת-קבוצה ממש לקבוצה שלה. דורון שדמי 17:13, 16 באוקטובר 2006 (IST).

אתה טוען שהמיפוי שלך הוא בין מילים ולא בין אותיות. אם כך הסבר נא כיצד אתה יודע שהקבוצה הימנית היא תת-קבוצה ממש של הקבוצה השמאלית (נסה לעשות זאת ללא התייחסות לרמת תת-המילה). דורון שדמי 16:00, 16 באוקטובר 2006 (IST)

אני לא מבין מה הקשר בין כך שהמיפוי הוא בין מילים ולא אותיות, לכך שצריך "לא להתייחס לרמת תת המילה". הרי הדרך היחידה להבדיל בין מילים היא להסתכל על האותיות שמרכיבות אותן. אני ויתרתי על ההמשך - שיאיר ישפוט אם יש לי טעויות או לא... גדי אלכסנדרוביץ' 16:55, 16 באוקטובר 2006 (IST)

נו, אז אתה כן מתייחס לרמת הרכב המילים, כדי להבין מאיפה אתה בא ולאן אתה הולך. בקיצור,לא ניתן לעשות מתמטיקה ללא התיחסות לתכונות האלמנטים, וזו היא עובדה פשוטה שאינך יכול להתעלם ממנה (ללא שום קשר לפילוסופיה או לא-פילוסופיה). דורון שדמי 17:22, 16 באוקטובר 2006 (IST).

(חזרה על דברים שכתבתי בסיום קטע קודם, אך הם רלוונטיים גם לקטע זה)

אתה יודע מה גדי, בוא ונישם את גישתך, שבה אתה מתייחס למילים בשלמותן ולא לאותויות המרכיבות את המילים.

הקבוצה שיצרת שקולה לקבוצה הבאה:

{3,2,1,...,3a,2a,1a,...}

3,2,1,... הינה תת-קבוצה ממש של הקבוצה הנ"ל, ולכן כאשר אתה ממפה את 1 עם 1a , אתה חייב לרשום את כל אברי הקבוצה מ-1 ל- 1a , כי 1a אינו קיים ללא מושג הכמות, העומד בבסיס מושג הסדר.

בעניין כפיה, אני טוען כי שיטת המיפוי שאתה משתמש בה, מתעלמת בשרירותיות מתלותו של מושג הסדר במושג הכמות. דורון שדמי 10:26, 17 באוקטובר 2006 (IST)

איזה כבוד... אני חושב שיש פה בעיה של כמות נייר. תסתכל על המיפוי הבא, מקבוצת הטבעיים הגדולים מ-0 לקבוצת הטבעיים (כולל אפס). את המיפוי אני אגדיר באמצעות חוקי האריתמטיקה: f(x) = x-1 . קל לראות שהפונקציה היא חח"ע, על ומשמרת סדר (אם זו היתה כוונה שלך). מצד שני אם x הוא מספר טבעי הגדול מ-0 הוא בפרט מספר טבעי, ובנוסף 0 הוא מספר טבעי שאינו גדול מ-0 ולכן לא שייך לאותה תת קבוצה. (אם אתה רגיל שהמספרים הטבעיים מתחילים ב-1 תחליף כל מקום שכתוב בו "0" ב"1".) יאיר ח. 17:25, 16 באוקטובר 2006 (IST)

הי יאיר, אם קבוצה A הינה כל הטבעיים + 0 וקבוצה B הנה כל הטבעיים בלי 0, אז קבוצה B הינה תת-קבוצה ממש של קבוצה A. אך כאשר אנו ממפים את איבר 1 מקבוצה B אם איבר 0 מקבוצה A אז אנו חייבים מיד לרשום את המספר 1 בטור קבוצה A , והדבר נמשך גם כאשר אנו רושמים את מספר 2 מקבוצה B מול מספר אחד מקבוצה A (ואז כמובן אנו צריכים להוסיף את מספר 2 לטור המספרים של קבוצה A וחוזר חלילה לאינסוף). כתוצאה מכך, אין פונקציה חח"ע ועל בין A ל-B.

אנא עיין בכל תוכן הדו-שיח שלי עם גדי, לפני שתגיב, תודה ( הדיון מתחיל בקטע הנושא את הכותרת "מיפוי (פונקציה בין איבר יחיד לעצמו או לאיבר אחר)" ).דורון שדמי 17:22, 16 באוקטובר 2006 (IST).

אבדתי אותך במשפט הראשון (זו כנראה הסיבה שלא קראתי את זה מראש...). פונקציה לוקחת x ומחזירה y. בדוגמא שנתת לא ברור מה המיפוי לוקח ומה הוא מחזיר, בגלל החצים הדו כיווניים. יאיר ח. 19:17, 16 באוקטובר 2006 (IST)

זה בדיוק העניין, לא קיים אלמנט אי-זוגי בקבוצת הזוגיים, ולכן קבוצת הזוגיים הינה תת-קבוצה ממש של המספרים הטבעיים, וזה בדיוק מה שמראה המיפוי הראשון. כל מיפוי אחר, הינו מיפוי בין סימנים (יצוגים של ישויות מתמטיות) ולא בין הישויות המתמטיות עצמן.דורון שדמי 10:40, 17 באוקטובר 2006 (IST).

לא ענית לשאלה שלי (לפחות איך שהבנתי את תשובתך). מיפוי=פונקציה. לפונקציה יש תחום (מה שהיא לוקחת) וטווח (מה שהיא מחזירה) מהם התחום והטווח בפונקציה הראשונה?

אוקיי, אציג זאת כך:

כאשר אנו עוסקים בישויות המתמטיות עצמן (ולא ביצוג הסימבולי שלהן), וכאשר ישויות אלה שייכות לקבוצה אחת ויחידה (ובמקרה זה מדובר בקבוצת המספרים הטבעיים) אז ברור לחלוטין כי מספר אי-זוגי אינו יכול להתמפות למספר זוגי, ומצב זה מתואר בבהירות ע"י המיפוי הראשון (הנמצא בראש קטע השיחה הקודם). אם תרצה, אפשר לומר כי כאשר הפונקציה מקבלת ערך של מספר אי-זוגי, היא לא מחזירה שום ערך, כי המספרים הזוגיים עצמם (ולא הסימנים שלהם) הם לעולם מעבר לטווח המספרים האי-זוגיים (וההיפך) כאשר אנו עוסקים בקבוצה אחת ויחידיה (ובמקרה זה, קבוצת המספרים הטבעיים). אם תבין את ההבדל שבין הישות המתמטית עצמה, לבין היצוג הסימבולי שלה, אז ורק אז תבין את דברי.

אוסיף ואומר, שאם אתה לוקח את קבוצת המספרים הטבעיים ו"שובר" אותה לשתי קבוצות נפרדות לפי כלל הזוגיות והאי-זוגיות, אז ורק אז מתקיימת פונקציה חח"ע ועל בין הזוגיים לאי-זוגיים, אבל אז מדובר בשתי קבוצות נפרדות ולא במיפוי בין קבוצה (ובמקרה זה, קבוצת המספרים הטבעיים) לתת-קבוצה ממש שלה (ובמקרה זה, קבוצת המספרים הזוגיים).

אין מדובר פה בכפיית סייגים על מושג הפונקציה, אלא בהבנה מדוייקת של המושג "תת-קבוצה ממש" (הבנה שאינה מתקיימת בשיטתו של קנטור למושג זה). דורון שדמי 13:55, 17 באוקטובר 2006 (IST).

האמירה שלך מאוד בעייתית. קודם כל, ללא היכולת לזהות בין אובייקטים זהים עד כדי שינוי שמם, המתמטיקה לא תתקיים, או סתם תהיה חסרת כל ערך. כל משפטי המבנה במתמטיקה (בטופולוגיה, באלגברה, בגיאומטריה דיפרנציאלית, ולמעשה בכל תחום) בנויים על הגדרה ריגורוזית של מהו המבנה בו התחום עוסק, ומכאן נובע - אילו פונקציות משמרות את אותו מבנה. פונקציות אלו נקראות "הומומורפיזמים", וכאשר הן הפיכות - "איזומורפיזם" (כאן יכול להיות שאני חורק, כי אני חושב שקיימים שמות יותר טובים, אבל אני לא זוכר אותם). הפונקציות האלו מאפשרות לנו לומר לדוגמא שיש רק חבורה אחת מסדר p כאשר p ראשוני עד כדי איזומורפיזם, וכן הלאה.
מה שאתה בונה פה הוא כמעט זה. אתה מבקש לשמר מבנה מסויים - אבל מה הוא? צריך להגדיר קודם כל אילו פעולות, יחסים (וקבועים) מוגדרים באותו מבנה, וצריכים להישמר. לאחר שתגדיר את זה, למעשה הטבעיים יהפכו לאותו מבנה ויהיה אפשר לחקור בדיוק אלו פונקציות משמרות את המבנה ואלו לא.
כוחה הגדול של תורת הקבוצות של קנטור הוא דווקא ההתעלמות מהמבנה. באופן כזה ניתן לבנות את כל השפה של תורת הקבוצות באמצעות יחס השייכות בלבד. הכנסת תכונות נוספות הופכת את תורת הקבוצות לתחום מתמטי אחר. בתורת החבורות, לדוגמא, בד"כ לא תעניין אותנו כל תת קבוצה של החבורה אלא רק תתי קבוצות מיוחדות שמשמרות כל מיני תכונות (והן יקראו תת-חבורה) ולכן תיתכן חבורה שאין לה תתי חבורות ממש (יש רק אחת כזו). לעומת זאת בתורת הקבוצות אין מבנה פנימי, ולכן כל קבוצה שמוכלת בקבוצה המקורית היא תת קבוצה, וכל פונקציה היא מיפוי. יאיר ח. 17:05, 17 באוקטובר 2006 (IST)

הבה ונחשוב על רב-הקבוצה {...,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1} .

כאשר אנו מתיחסים לקבוצה בשלמותה, אז ורק אז יש אמת באמירה כי כל המיוצג ע"י 1 הינו תת-רב-קבוצה ממש של רב-הקבוצה הנ"ל, ואז אין פונקיצה חח"ע ועל בין רב-הקבוצה לתת-רב-הקבוצה ממש שלה.

כאשר אנו יוצרים שתי רב-קבוצות נפרדות, כאשר האחת היא רב-קבוצת האפסים והשניה היא רב-קבוצת האחדים, אז ורק אז מתקיימת פונקציה חח"ע ועל בין שתי רב-הקבוצות הנפרדות.

האמירה שלי מאפשרת הבנה עדינה ועמוקה לאין-ערוך מגישתו של קנטור למושג הקבוצה, כי אני בונה את מרחב החקירה ע"י שימוש במושג הסימטריה עצמו, כאשר מושג הקבוצה הינו מקרה פרטי של סימטריה שבורה (בסימטריה שבורה כל האלמנטים מובחנים זה מזה, וזהו מקרה פרטי במרחב החקירה של מושג הסימטריה).

דקות ההבחנה של מושג תת-הקבוצה ממש, אשר אינה מתקיימת בעולם הקנטוריאני, הינה דוגמא פרטית לגישה המאפשרת פתיחת מרחבי-חקירה, אשר הינם מעבר לאופק של גישה המתעלמת מסימטריה כתכונה מסדר-ראשון שלה.

אמירתך כי "ללא היכולת לזהות בין אובייקטים זהים עד כדי שינוי שמם, המתמטיקה לא תתקיים, או סתם תהיה חסרת כל ערך" הינה אמירה המבוססת על התפיסה כי לא ניתן לחקור סימטריות שאינן שבורות. התורה שאני מפתח מראה כי ניתן אף ניתן לעשות מתמטיקה עם מצבי סימטריה לא-שבורים.

אתה טוען כי מושג הקבוצה הקנטוריאני הוא חסר מבנה, אך אין זה מדוייק כי מבנה הקבוצה הינו בדיוק המבנה של סימטריה שבורה (כל האיברים מובחנים זה מזה) שהינו מקרה פרטי של מושג הסימטריה.

כמו-כן הראה נא לי תורה מתמטית, שלא מעורבים בה כלל המושגים "כמת" ו/או "סדר" וכי יכול להתקיים סדר ללא כמות במתמטיקה הקיימת (למעשה כל מה שכתבתי לעיל עוסק בחקירת "כמת", "סדר" והיחסים ביניהם).

בנוסף לכך, תורת הקבוצות מבוססת רק ואך ורק על יחס של שייכות מקומית, כאשר מרחב החקירה שלי הינו מה שמתקיים בין שייכות מקומית לשייכות לא-מקומית (כאשר שני מצבי שייכות אלה הינם מצבי הקיצון של מרחב החקירה).

את תוואיה של תורתי ניתן לראות ב- http://www.createforum.com/phpbb/viewtopic.php?t=60&mforum=geproject דורון שדמי 13:55, 17 באוקטובר 2006 (IST).

אני רואה שהוכחתי נוצרי על חילול שבת. כנראה זה המשך של אותו דף שהייתי אמור לקרוא. בינתיים, עניתי לך בדיון הקודם, אז אני מבין שאתה מסכים שמ-ZF אפשר להוכיח את משפט קנטור בלי שום בעיה;) יאיר ח. 18:05, 17 באוקטובר 2006 (IST)

בתנאי שהמושגים "הנחת-המבוקש" ו-"הוכחה" שקולים בעיניך (קרא נא שוב את מסקנתי ותשובתי בסוף הדיון הקודם). דורון שדמי 18:15, 17 באוקטובר 2006 (IST).

מיפוי

פונקציה חח"ע ועל מתקיימת בין שתי קבוצות, אם ורק אם הן זרות זו לזו בכל רמת רקורסיה.

לדוגמא: אין פונקציה חח"ע ועל בין קבוצה X לקבוצת החזקה של X מכיוון שאיברי X משמשים כתת-מרכיבים של כל איברי קבוצת החזקה של X שאינם ריקים.

באותה מידה, אין (לדוגמא) פונקציה חח"ע ועל בין המספרים הזוגיים (שהיא תת-קבוצה ממש של קבוצת המספרים הטבעיים) לקבוצת המספרים הטבעיים מפני שכמות קודמת לסדר. לכן כאשר אנו רושמים 2n כלשהו בטור תת-הקבוצה ממש של המספרים הטבעיים, אנו חייבים לכתוב אותו גם בטור המייצג את קבוצת כל המספרים הטבעיים, ובעשותנו כך , אנו חייבים לכתוב את כל המספרים מ-1 עד 2n כולל, בטור קבוצת כל המספרים הטבעיים (כי, כאמור, כמות קודמת לסדר) לדוגמא:

אם אנו ממפים את תת-הקבוצה ממש של המספרים הזוגיים, עם קבוצת כל המספרים הטבעיים, אז אם ערך כמותי מסויים (לדוגמא הכמות 12) נכתב בטור תת-הקבוצה ממש, הרי שכמות זו חייבת להופיע גם בטור כל המספרים הטבעיים, ולשם כך עלינו לכתוב את כל המספרים הטבעיים מ-1 עד-12 כולל. אם אנו רושמים את כמות 24 מול הכמות 12, אז אנו חייבים לרשום כמות זו גם בטור כל המספרים הטבעיים, ולכן אין לנו ברירה אלא לרשום את כל המספרים מ-13 עד 24 כולל, בטור כל המספרים הטבעיים, וכו' וכו' לאינסוף. לכן תמיד נשאר יחס מיפוי קבוע של 1 ל-2 בין טור כל המספרים הטבעיים לטור תת-הקבוצה ממש של המספרים הזוגיים:

1 <--> 2

2 <--> 4

3 <--> 6

4 <--> 8

5 <--> 10

6 <--> 12

7 <-->

8 <-->

9 <-->

10 <-->

11 <-->

12 <-->

...

המיפוי יכול להיות חח"ע ועל, רק אם קבוצות של מספרים טבעיים הן זרות זו לזו (אינן חולקות איברים משותפים) ואז כמובן אף אחת מהקבוצות אינה תת-קבוצה ממש של הקבוצה האחרת.

הדוגלים בשיטת קנטור למושג האינסוף טוענים כי לקבוצה אינסופית אין מבנה ולכן יש להתעלם מתכונות כמו כמות וסדר, כאשר אנו עוסקים באינסוף. אך אם נבחן את מושג הקבוצה הלא-ריקה נמצא כי כל איבר המוכל בה חייב להיות שונה מיתר האיברים המוכלים בה, ושונות זו אינה מאפשרת להתעלם מהתכונה המבנית של קבוצה לא-ריקה.

הטענה הקנטוריאנית כי ניתן להכליל את מצב המיפוי לפונקציה יחידה (בדוגמת המיפוי בין תת-הקבוצה ממש של המספרים הזוגיים לקבוצת המספרים הטבעיים אנו משתמשים בפונקציה n <--> 2n ) מבוססת על התעלמות שרירותית מקיום הכמות המיוצגת ב-2n (טור המספרים הזוגיים) גם בטור המספרים הטבעיים (המיוצג ע"י הסימן n), ע"י קידוש הסימן תוך התעלמות מתוכנו. בכך מושג מיפוי חח"ע ועל בין סימנים, ולא בין הישויות המתמטיות עצמן.

יתירה מכך, הרי המנגנון המאפשר את המכנה המשותף לתת-קבוצה ממש של המספרים הטבעיים (לדוגמא, קבוצת המספרים הזוגיים) מבוסס על קביעת היחס בין כמויות, ובמקרה של המספרים הזוגיים מתקיימת חלוקת כמות n ל-2 כמויות שוות, כך שהשמטת מושג הכמות מהמספר הטבעי, אינה מאפשרת הגדרת תת-קבוצה ממש של המספרים הטבעיים, ולכן לא ניתן לעסוק במיפוי נכון בין המספרים הטבעיים, ללא מושג הכמות העומד בבסיסם.

זוהי דוגמא טראגית למתמטיקה המקדשת את האמצעים (סימנים, יצוגים, וכו') תוך איבוד התוכן, ולכן דינה לעבור מן העולם.

לכן לא ניתן להסתמך על מסקנות המבוססות על מיפוי בין קבוצות לא-ריקות, המתעלם מהמבנה שלהן. דורון שדמי 23:50, 28 באוקטובר 2006 (IST)

על ישויות מתמטיות וייצוגן

אדם אינו נחשב למתמטיקאי מקצועי, אם הוא אינו מבחין בין ישויות מתמטיות לייצוגן.

לפי תורת-הקבוצות האקסיומטית, קבוצה לא-ריקה הינה אוסף של איברים, כאשר כל איבר מובחן בבירור מיתר האיברים.

גישה זו של מובחנות ברורה בין אלמנטים, מתקיימת הן באקסיומות המגדירות את המספר הטבעי, והן באקסיומות המגדירות את שאר מערכת המספרים.

אם נתבונן במושג הישר-הממשי, נמצא כי המובחנות הברורה בין איבריו הינה תנאי יסוד לקיומו, ולכן ניתן להעלות על הדעת כי יש קשר בין מובחנות ברורה זו לבין הסדר של כל איבר בקבוצה המכילה את כל איברי הישר-הממשי.

כמו-כן אנו יודעים כי שיטת הבסיס/חזקה אינה מתארת תכונות של איברי הישר-הממשי, אלא מייצגת אותם, לדוגמא: האיבר המתמטי PI ניתן ליצוג בעזרת שיטת הבסיס/חזקה , כנ"ל האיבר המתמטי 1 ניתן ליצוג בעזרת אותה שיטה (...999. וכו') וכאשר אנו באים להוכיח תכונות של האיברים עצמם והיחסים ביניהם, עלינו להקפיד הקפדה יתרה שלא להוכיח הוכחות המבוססות על שיטות הייצוג, במקום על האיברים עצמם.

הבה ונבחן את הוכחת האלכסון המפורסמת של קנטור, בה הראה כי לא קיימת פונקציה חח"ע ועל בין המספרים הטבעיים למספרים האי-רציונליים.

בתור כלל ראשון, עלינו להמנע מהוכחה המבוססת על שיטת ייצוג של המספרים הנ"ל, ולכן אנו חייבים להתייחס לתכונת המובחנות הברורה בין איברים, אשר למעשה מאפשרת לנו, עקרונית, להצמיד סימן ייחודי בעל כמות תווים סופית לכל מספר, בין אם הוא טבעי, שלם, רציונלי או אי-רציונלי (לדוגמא, אנו משתמשים בסימן PI כדי לסמן מספר אי-רציונלי, וכו') . הייצוג של PI בעזרת אינסוף סימנים, נובע משיטת ייצוג שאינה מתאימה לתאר נאמנה את מקומו המדוייק של PI בישר-הממשי, ולכן אין להסיק ממנה דבר על מהותם של המספרים האי-רציונליים עצמם.

קנטור התעלם מהכלל הראשון הנ"ל, והוכיח הוכחה המתבססת על ייצוג של ישות מתמטית ולא על הישות המתמטית עצמה.

אם היה קנטור מתייחס לתנאי המובחנות הברורה בין אלמנטים, הוא היה מבין מיד כי ניתן לייצג כל מספר אי-רציונלי בעזרת אוסף סימנים סופי (כפי שהראינו בדוגמא של PI) ואז הוא היה מגלה כי אין בעיה למפות כל מספר-טבעי עם כל מספר אי-רציונלי, וזאת בתנאי שאנו מתייחסים לשתי קבוצות אלה כאל שתיי קבוצות זרות לחלוטין (שאינן מתייחסות זו לזו דרך הישר-הממשי).

אם שתי קבוצות אלה מתייחסות זו לזו דרך הישר הממשי, אז ורק אז אין פונקציה חח"ע ועל בין המספרים הטבעיים למספרים האי-רציונליים, ואי-קיום פונקציה זו אינו קשור כלל וכלל לדיאגונל של קנטור (המבוסס על הוכחה שאינה מבחינה בין ישות מתמטית לאופן ייצוגה) אלא הוא קשור לעובדה הפשוטה שבין כל שני מספרים טבעיים בישר-הממשי, קיימים יותר משני מספרים אי-רציונליים.

שיטת הדיאגונל הראשונה, שבעזרתה הוכיח קנטור כי יש פונקציה חח"ע ועל בין הטבעיים לרציונליים, מתקיימת בתנאי ששתי קבוצות אלה הן זרות זו לזו (כל איברי קבוצת המספרים הטבעיים n/n אינם נכללים בקבוצת הרציונליים ולכן היחסים ביניהן אינם מושטטים על כמות משותפת, אלא על מיפוי בין סמלים ללא מכנה משותף כלשהו). דורון שדמי 23:39, 18 באוקטובר 2006 (IST)

מתמטיקה מזווית אחרת

x משמש כמחזיק-מקום (placeholder) לכל מושג שניתן להעלות על הדעת.

אי-עיקביות באקסיומה (שהיא קביעה קטגורית, ומושג ההנחה אינו קשור אליה קטגורית) היא קביעה קטגורית של דבר והיפוכו.

x = שום-דבר (nothing)

אקסיומת הקיום: קיימת קבוצה A כך שלכל x $x\notin A$.

לפי הנ"ל A קבוצה לא-ריקה.

x = איזה-דבר (something)

אקסיומת הקיום: קיימת קבוצה A כך שלכל x $x\notin A$.

לפי הנ"ל A קבוצה ריקה.

ההתיחסות המקובלת אל שום-דבר (nothing) כאל מושג שלא ניתן לסמנו ישירות (שלא בתיווכה של קבוצה) במסגרת המתמטיקה , דומה ליחס ש"זכו" לו המספרים השליליים והמספרים הדמיוניים, כאשר הוצעו לראשונה. איני מצפה שגישתי למושג שום-דבר (nothing) תזכה ליחס שונה, ויעבור זמן לא-מועט עד שהמושג שום-דבר (nothing) יקבל את היחס שזוכה לו מספר שלילי או מספר דמיוני, בתחום המתמטיקה.

דוגמא לשימוש ישיר בשום-דבר (תוך ביסוסו הלוגי) ניתן לראות ב: http://www.createforum.com/phpbb/viewtopic.php?t=60&mforum=geproject דורון שדמי 00:05, 15 באוקטובר 2006 (IST)

פעילותך בויקיפדיה

יש בויקיפדיה מנגנון (שאינני אוהב כלל ועיקר) להכרזה על משתמש כ"טרול". פירושה המעשי הוא שלדעתה של קהילת הכותבים, המשתמש גורם בפעולותיו נזק לויקיפדיה, ויש לחסום אותו לצמיתות. (ההחלטה דורשת הצבעה). אם תמשיך להעלות את הפרשנות הייחודית שלך ללוגיקה האלמנטרית בדפי השיחה, אראה את עצמי נאלץ לקרוא להצבעה כזו, ובמקרה כזה אעשה מה שביכולתי כדי לשכנע את המצביעים בדעתי. עוזי ו. 14:49, 11 באוקטובר 2006 (IST)

בבקשה תארכב את הדף הזה

הדף הזה עמוס להחריד.הידרו 18:31, 3 בנובמבר 2006 (IST)

האם זה מעמיס על מסד הנתונים של הויקיפדיה, או רק נראה עמוס לצופים בדף השיחה? דורון שדמי 18:41, 3 בנובמבר 2006 (IST)

הידרו, אשמח לדעת כיצד מארכבים. דורון שדמי 18:44, 3 בנובמבר 2006 (IST)

זה מעמיס על המחשב של מי שרוצה לצפות ומי שרוצה לערוך דף זה (לדוגמה כששחזרתי את שתי העריכות האחרונות שלך בתור אלמוני שלא מגיב כששואלים אותו האם הוא שכח להירשם.),גם אני אשמח לדעת אני פשוט מעביר את הדף.הידרו 18:46, 3 בנובמבר 2006 (IST)

הידרו, אנא המנע מעריכת דף המשתמש שלי, עכשיו אני צריך לשחזר את מה שקלקלת. דורון שדמי 18:55, 3 בנובמבר 2006 (IST)

יש הבדל בין דף משתמש לדף שיחה וכל מה שעשיתי היה לשחזר שינוים שאלמוני(באותו רגע) עשה בתוך משפטים שכבר כתבת.הידרו 19:05, 3 בנובמבר 2006 (IST)

תודה לך, ובכל זאת המנע נא מכך בעתיד, תודה. 62.0.191.170 23:28, 3 בנובמבר 2006 (IST) דורון שדמי 01:36, 4 בנובמבר 2006 (IST)

קבוצה בעלת/חסרת מבנה

מהי קבוצה בעלת מבנה, ומהי קבוצה חסרת מבנה? דורון שדמי 23:25, 2 באוקטובר 2006 (IST)

עבור קבוצה סדורה היטב קיים מושג יותר "עדין" של גודל - מספר סודר. הסדר של אברי הקבוצה הוא דוגמה למבנה שמושרה עליה. גדי אלכסנדרוביץ' 07:21, 3 באוקטובר 2006 (IST)

האם סדר האיברים בקבוצה אינסופית משפיע על הקרדינל שלה?

לדוגמא, הבה ונתבונן בקבוצת כל המספרים הטבעיים ובקבוצת כל המספרים הזוגיים, שהינה תת-קבוצה ממש של קבוצת המספרים הטבעיים.

נאמר שאנו מסדרים את קבוצת המספרים הטבעיים כך שבתחילה מופיעים רק ואך ורק המספרים הלא-זוגיים ואליהם אנו ממפים את תת-הקבוצה ממש של המספרים הזוגיים (הבה נקרא לסדר זה סדר A).

לפי סדר A, ברור לחלוטין כי המיפוי היחיד המתקיים הינו בין כל מספר זוגי לכל מספר אי-זוגי, כאשר כל המספרים הזוגיים המוכלים בקבוצת המספרים הטבעיים הינם מחוץ לטווך המיפוי של איברי תת-הקבוצה ממש של המספרים הזוגיים. לפי סדר זה ניתן להסיק כי יש יותר איברים בקבוצת המספרים הטבעיים מאשר בתת-הקבוצה ממש של המספרים הזוגיים, או במילים אחרות, עוצמתה של קבוצת הטבעיים גדולה יותר מאשר עוצמתה של תת-הקבוצה ממש של המספרים הזוגיים, בהינתן הסדר הנ"ל.

לעומת זאת, אם אנו מסדרים את קבוצת המספרים הטבעיים לפי גודלו של כל איבר בסדר עולה (הבה נקרא לסדר זה סדר B) הרי שלפי סדר זה, ניתן ליצור התאמה חד-חד ערכית ועל בין המספרים הטבעיים לתת-קבוצה ממש שלה של המספרים הזוגיים, ומכאן להסיק כי עוצמתן של שתי הקבוצות שקולה זו לזו.

מכאן נובע כי סדר האיברים משפיע על מדידת העוצמה בין שתי קבוצות הממופות בפונקצייה של 1-1 זו לזו.

שאלתי היא, הכיצד? דורון שדמי 21:14, 7 בדצמבר 2006 (IST)

מה פירוש המונח סידור? פירושו הוא שיש פונקציה חד חד ערכית ועל בין ה-n-יה הסדורה של איברי הסדרה בסדר המקורי ל-n-יה החדשה ואידך זיל גמור. טרול רפאים 21:28, 7 בדצמבר 2006 (IST)

פירוש המונח סידור הינו כל כלל המאפשר לנו לארגן את האיברים בזה אחר זה. דורון שדמי 21:33, 7 בדצמבר 2006 (IST)

אתה יכול לבדוק בעצמך שמה שאמרתי נכון, אם אתה מסדר את האיברים יש לך פונקציה כנ"ל, אם לא, איבדת את חלק מהאיברים או המצאת חדשים. טרול רפאים 21:51, 7 בדצמבר 2006 (IST)

מה המשמעות הפורמלית של "איבוד איברים" במיפוי של 1-1 , כתוצאה משינוי סדר האיברים? דורון שדמי 00:39, 8 בדצמבר 2006 (IST)

המשפט:

עוצמתה של קבוצת הטבעיים גדולה יותר מאשר עוצמתה של תת-הקבוצה ממש של המספרים הזוגיים, בהינתן הסדר הנ"ל.

אינו נכון. קבוצה יכולה להיות מוכלת ממש בקבוצה אחרת, ושתיהן תהיינה בעלות אותה עוצמה. בברכה, אבינעם 21:39, 7 בדצמבר 2006 (IST)

נכון אף נכון, בהינתן סדר A. לעומת זאת אינו נכון בהנתן סדר B ולכן יש לבחון כיצד ומדוע משפיע סדר האיברים על מדידת עוצמתן של הקבוצות הממופות זו לזו בפונקציה של 1-1? דורון שדמי 21:51, 7 בדצמבר 2006 (IST)

יש לך בעיה עם הסדר A. הוא סדר חלקי ולא סדר מלא, שכן יש אינסוף (ליתר דיוק א0) מספרים אי-זוגיים, וגם אתה אומר שבכל תת-קבוצה (זוגיים/אי-זוגיים) יש סדר "רגיל" ובנוסף ישנו הכלל שמספר זוגי כלשהי נחשב תמיד ליותר גדול ממספר אי-זוגי, אפשר בקלות להכיל יחס סדר זה (A , וצריך להוכיח שהוא יחס סדר, כלומר נותר להוכיח טרנזיטיביות) לכל קבוצה בעלת עוצמה א0. נניח שהקבוצה שלנו עם סדר A היא N₁, ונניח שהקבוצה שאליה אתה רוצה למפות היא N₂ וגם בעלת עוצמה א0 (הטבעיים, הזוגיים בלבד, איך שאתה רוצה) ותהי $\ f:N_{1}\to N_{2}$ פונקציה חח"ע ועל. אזי יש עליה סדר A שמוגדר כך: $\ f(x)<f(y)$ אם x < y. זה לא בהכרח הסדר הטבעי שלנו וזה לא בהכרח דומה לסדר A, אבל פורמלית סדר זהה לסדר A, פשוט שינינו את שמות האיברים. מכאן, שלכל 2 קבוצות שוות עוצמה יש את אותו מבנה. בברכה, _MathKnight_ (שיחה) 22:07, 7 בדצמבר 2006 (IST)

אין שום בעיה עם סדר A, הוא פשוט לא סדר B. כמו-כן, השאלה שלי עוסקת במיפוי של קבוצה לתת-קבוצה ממש שלה, בעוד שאתה עוסק במיפוי בין קבוצה לעצמה המסודרת בשני אופנים שונים. דורון שדמי 22:26, 7 בדצמבר 2006 (IST)

אנא הסבר שוב את טענתך, ונסה להגדיר את הבנייה שלך בצורה יותר פורמלית. בברכה, _MathKnight_ (שיחה) 22:46, 7 בדצמבר 2006 (IST)

אנא תקן אותי אם אני טועה. לפי מה שהבנתי מדבריך אתה אומר שאם |סדר_A| = |סדר_B| וקרדינל תת-הקבוצה ממש של המספרים הזוגיים = |סדר_B| , אז בהכרח קיימת פונקציה חח"ע ועל בין קבוצת המספרים הטבעיים לפי סדר A, לתת-קבוצה ממש שלה של המספרים הזוגיים.

בחינה של טענה זו מראה בבירור כי אף איבר של תת-הקבוצה ממש של המספרים הזוגיים אינו ממופה אם אף איבר זוגי של קבוצת המספרים הטבעיים, הסדורה לפי סדר A.

מכאן נובע שהכלל הקובע ש: "אם a=b ו- c=b אז c=a" אינו מתקיים בכל מצב (הוא תלוי סדר) כאשר אנו עוסקים בקבוצות אינסופיות.

לא מצאתי התיחסות לנ"ל ביסודות המתמטיקה המודרנית, ואשמח אם יאירו את עיני בנושא. תודה. דורון שדמי 00:17, 8 בדצמבר 2006 (IST)

אתה עושה מישמש גדול. שמירת יחס סדר היא לא מדד לשקילות של קבוצות. בשביל שקבוצות יהיו שוות עוצמה צריך למצוא (או להוכיח שקיימת) פונקציה חח"ע ועל ביניהן (בין הזוגיים לטבעיים הפונקציה היא למשל $\ 2n\to n$). אחרי שמצאת פונקציה כזאת אתה יכול להשרות כל מבנה של קבוצה אחת על הקבוצה השנייה (והראתי איך). בברכה, _MathKnight_ (שיחה) 13:03, 8 בדצמבר 2006 (IST)

הרשה לי לחלוק עליך. $\ 2n\to n$ תקיפה רק ואך ורק בהינתן סדר B. הוכח נא כי היא תקיפה בהינתן סדר A.

לדוגמא, הרי לא יעלה על הדעת כי דוגמא אחת של מיפוי (פונקציה מסויימת) תכריע במקרה של בחינת יחסי העוצמה בין קבוצת המספרים הטבעיים לקבוצת החזקה שלה (לא היית מסתפק לדוגמא ב: {1} <--> 1 , {2} <--> 2 , {3} <--> 3 , ... וכו' כדי להוכיח שיש יותר איברים בקבוצת החזקה).

מהי הסיבה המתירה לנו לחרוג מכלל זה במקרה של בחינת יחס העוצמות בין קבוצת המספרים הטבעיים לתת-קבוצה ממש שלה? דורון שדמי 14:52, 8 בדצמבר 2006 (IST)

מי שחורג מהכללים זה עתה. הפונקציה שהצגתי לא תלויה בשום יחס סדר שמוגדר על הקבוצה. היא עדיין התאמה חח"ע ועל. אני מציע שתחזור ותקרא ספרות רלוונטית בנושא תורת הקבוצות בוייחוד בנושא העוצמות האינסופיות. בברכה, _MathKnight_ (שיחה) 15:29, 8 בדצמבר 2006 (IST)

בעניין "$\ f(x)<f(y)$ אם x < y" , כאן אתה מתבסס על יחס קבוע בין כמויות, ובכך אתה מחזיר את מושג הכמות כמדד לבחינת יחס העוצמה בין קבוצות, אך הרי ידוע שמושג העוצמה אינו מבוסס על מושג הכמות, כי הכמות מעניקה מבנה לקבוצות הנבחנות, ומושג העוצמה מבוסס על קבוצות חסרות מבנה.

אם מושג הכמות אינו תקף בעת מדד העוצמה בין קבוצות אז הפונקציה $\ 2n\to n$ תקיפה רק ואך ורק בהנתן סדר B.

היות ולקבוצות חסרות מבנה אין סדר מסויים, צריך להוכיח כי יחס השקילות בין קבוצת המספרים הטבעיים לתת-קבוצה ממש שלה, מתקיים בכל סדר נתון, ולכן הפונקציה $\ 2n\to n$ הינה לא יותר מאשר דוגמא אחת מני רבות. דורון שדמי 14:52, 8 בדצמבר 2006 (IST)

אתה טועה. ראשית, עוצמה היא הכללה של מושג ה"כמות" (בקבוצות סופיות העוצמה שווה לכמות האיברים). שנית, ההתאמה $\ 2n\to n$, אולי זה יעזור אם אני ארשום אותה כך $\ f(2n)=n$ , הינה חח"ע ועל, ולא תלויה בכלל ביחס סדר כלשהו או במבנה כלשהו. ברגע שמצאתי פונקציה חח"ע ועל בין 2 קבוצות הוכחתי שהן שוות עוצמה. וכאן לא דיברתי על מבנה או יחס סדר, דבר שניתן להגדיר על קבוצה וברגע שהוגדר על קבוצה אחת ניתן להשרותו על כל קבוצה שקולה לה (אבל לא בהכרח הוא ישאר בעל אותה משמעות). בברכה, _MathKnight_ (שיחה) 16:07, 8 בדצמבר 2006 (IST)

מהי הסיבה שבגללה רשמת "כמות" ולא כמות?

שוב $\ f(2n)=n$ תקף (כמדד שקילות) רק כאשר לכל n מתקיים הסדר ...,1,2,3 . דורון שדמי 16:22, 8 בדצמבר 2006 (IST)

לא נכון. הפונקציה $\ f(2n)=n$ מ-2N ל-N תקפה תמיד ולא תלויה בכלל ביחס הסדר. יש m זוגי? חלק אותו ב-2 ותקבל n יחיד. ברור שהיא על, לכל n טבעי קיים מקור 2n ואני מקווה שלא צריך להוכיח מדוע היא חח"ע. בברכה, _MathKnight_ (שיחה) 16:26, 8 בדצמבר 2006 (IST)

הראה נא את ההוכחה הפורמלית כי $\ f(2n)=n$ מאפשרת מדד שקילות בין איברי 2n לאיברי n ללא תלות בסדר איברי n (זכור שמושג הכמות אינו יכול לשמש ככלי למדד, ובמקרה זה, לכל איבר 2n יש כמות (לא "כמות" אלא כמות) הכפולה מכל איבר n). דורון שדמי 16:22, 8 בדצמבר 2006 (IST)

קבוצות מוגדרות להיות שוות עוצמה אם קיימת ביניהן פונקציה חח"ע ועל. הפונקציה f הנ"ל היא אכן חח"ע (אני משאיר לך להוכיח זאת בתור תרגיל) וברור שהיא על N. זה לא תלוי בסדר, כי f עובדת גם אם N=1,3,7,2,4,5,6,8,9... למשל. בברכה, _MathKnight_ (שיחה) 17:36, 8 בדצמבר 2006 (IST)

פונקציה f עובדת על N מכיוון שהיא מבוססת על יחס בין הכמויות 2n ו- n .

אם n מייצג כמות אז בוא נלך עד סוף ונאמר שמכיוון שמושג הכמות עומד בבסיס f הרי הוא צריך להופיע בכל מיפוי ללא תלות בסדר האיברים. אם כך הם פני הדברים, אז אם 2n מופיע בתת-הקבוצה ממש של המספרים הזוגיים ו-2n הינו כמות נתונה, הרי שכמות זו חייבת להופיע בקבוצת המספרים הטבעיים, והמשמעות היא שכל איברי N מ-1 עד 2n כולל 2n חייבים להיות נוכחים בעת מיפוי איברי N לאיברי 2N , והתוצאה היא כנ"ל:

מושג המספר הטבעי מבוסס על היותו כמת וגם סדר, אך יש יחס של תלות הררכית בין היותו כמת להיותו סדר (הסדר תלוי בקיומה של כמות).

לכן, כאשר אנו משתמשים בפונקציה הממפה בין המספרים הטבעיים לתת-קבוצות ממש שלהם, אל לנו להתעלם מתלות קיומו של מושג הסדר במושג הכמות. במילים אחרות, אם אנו משתמשים בסימן 1000 הרי שקודם כל אנו מתכוונים לפן הכמותי הטמון ביצוג זה, ולכן איננו יכולים שלא לכתוב את כל המספרים מ-1 עד 1000 בטור המספרים הטבעיים, כאשר אנו ממפים את הסימן 1000 עם הסימן 1 .

במילים אחרות, אנו חייבים לעסוק במיפוי המבוסס על הבנת תכונותיו ההכרחיות של האוביקט הממופה, ולא במיפוי בין הייצוגים שלו.

מיפוי זה, הינו מיפוי בין הסימנים המייצגים את המספר הטבעי:

1 <--> 2

2 <--> 4

3 <--> 6

4 <--> 8

5 <--> 10

6 <--> 12

...

לעומת זאת, מיפוי זה אינו בין סימנים מייצגים, אלא מבוסס על ההבנה כי כמות קודמת לסדר במושג המספר הטבעי:

1 <--> 2

2 <--> 4

3 <--> 6

4 <--> 8

5 <--> 10

6 <--> 12

7 <-->

8 <-->

9 <-->

10 <-->

11 <-->

12 <-->

...

כאשר אנו כותבים את המספר 12 בטור המייצג את המספרים הזוגיים, איננו יכולים להתעלם ממושג הכמות המיוצג בסימן 12 , ולכן אנו חייבים לכתוב את כל המספרים בין 1 ל-12 כדי לבטא נאמנה את הפן הכמותי של המספר הטבעי.

כאשר מושג הכמות מוכלל, הוא הופך ליחס בין גדלים, ובמקרה של 2N ל-N היחס הוא 2=|N|/|2N| ואנו רואים כי עוצמת 2N אינה שקולה לעוצמת N. דורון שדמי 18:31, 8 בדצמבר 2006 (IST)

בטח שאפשר להתעלם. לדידי, n כלשהו הוא איבר ולא משנה כרגע המשמעות שלו. אני גם יכול למפות את 1 ל-4 ואת 2 ל-2 ואת השאר למפות n ל-2n ועדיין יש לנו מיפוי חח"ע ועל. בחירת המיפוי היא שרירותית לחלוטין ובחרתי את המיפוי הפשוט ביותר במקרה זה. "אם כך הם פני הדברים, אז אם 2n מופיע בתת-הקבוצה ממש של המספרים הזוגיים ו-2n הינו כמות נתונה, הרי שכמות זו חייבת להופיע בקבוצת המספרים הטבעיים, והמשמעות היא שכל איברי N מ-1 עד 2n כולל 2n חייבים להיות נוכחים בעת מיפוי איברי N לאיברי 2N" - שים לב שהמיפוי הוא בין קבוצות אינסופיות ולא בין קבוצות סופיות (עוצרים באיזשהו n שרירותי)! אתה רק הוכחת שהקבוצה סופית מ-1 עד 2n (זו איננה קבוצת הזוגיים, לא מופיע בה למשל 2n+2) גדולה מהקבוצה הסופית 1 עד n (זו קבוצה סופית שאיננה שווה לקבוצת הטבעיים). כמו כן, אין בעיה בכך ש-12 מופיע גם פה (בתור מקור שעובר ל-24) וגם שם (בתור תמונה של 6). מספר לא חייב לעבור לעצמו, בטח שלא לפי המיפוי שהצגתי. בברכה, _MathKnight_ (שיחה) 18:36, 8 בדצמבר 2006 (IST)

אני חולק על דבריך. היכולת שלך למפות 2n ל- n תלוייה ביחס קבוע (יחס של 1 ל-2) הקיים בין 2n ל- n ויחס זה הינו הכללה של תכונה מהותית של איברי n , הלו היא תכונת הכמות.

אתה דבק בדוגמא הפרטית שנתתי ומתעלם מההכללה שלה של מושג הכמות, המקיימת את היחס הקבוע של 1 ל-2 המתקיים בין אינסוף איברי 2N ו-N. דורון שדמי 18:56, 8 בדצמבר 2006 (IST)

שים לב שאתה עדיין תקוע בקבוצות סופיות. אני הראתי לך כיצד לכל איבר אני ממפה איבר יחיד, ובאמצעות המיפוי הזה אני ממפה את כל האיברים הן בתחום והן בטווח מבלי להשאיר איבר ללא מקור. זה שכל איבר גדול פי 2 מזה הממופה לו לא מעידה על כמות האיברים. אגב, 2N= 2,4,6... (או בלה-טקס $\ 2\mathbb {N} =2,4,6\cdots$ ). המיפוי שבחרתי הוא אחד מיני רבים וקיומו לא תלוי ביחס סדר כלשהו. בברכה, _MathKnight_ (שיחה) 19:15, 8 בדצמבר 2006 (IST)

אנא עקוב בזהירות אחר התפתחות הדיאלוג ביננו, כי הארגומנט שלי אינו קשור כלל ועיקר לסדר כלשהו אלא למושג הכמות והכללתו למושג היחס , ולכן הוא תקף גם בדוגמא הבאה או בכל סדר אחר:

12 <--> 8

10 <--> 2

8 <--> 6

4 <--> 12

5 <--> 4

1 <--> 10

7 <-->

9 <-->

6 <-->

3 <-->

11 <-->

2 <-->

...

ברגע שאתה מראה לי "כיצד לכל איבר אתה ממפה איבר יחיד..." אתה אינך יכול להמנע מכמות סופית כלשהי של n, המאפשרת לך לקיים פונקציה בין 2n למקור n גם בהינתן אינסוף איברי n, שכל אחד מהם מייצג כמות סופית.

אני נוקט בדיוק באותה דרך, ומכליל את מצב המיפוי הקיים בכמות סופית כלשהי n , ליחס קבוע הנשמר גם בהנתן אינסוף איברי n.

שיטתי מדוייקת יותר משיטתך, מכיוון שאתה מתעלם ממושג הכמות בעת ההכללה ובכך שומט את הקרקע לקיומם של איברי N, בעוד ששיטתי אינה מתעלמת ממושג הכמות אלא מכלילה אותו למושג היחס הקבוע המתקיים בין N ל-2N

יחס זה אינו משתנה גם בהינתן אינסוף איברי 2N או N, והוא בדיוק 2=|N|/|2N| , במקרה דנן.

במילים אחרות, שיטת קנטור מבוססת על השוואה בין קבוצות אינסופיות, המתעלמת מתכונות היסוד המקיימות את איברי הקבוצות, "ומקדשת" את המיפוי בין הנוטציות המיצגות אותם, ובמקרה זה אכן מתקיימת פונקציה חח"ע ועל בין הסימנים המייצגים את איברי N ו-2N , אך לא בין האיברים עצמם.

הרי ברור לחלוטין כי לא קיים המספר הטבעי הגדול ביותר, וזו התכונה המדוייקת המגדירה את N או כל תת-קבוצה ממש שלה כקבוצות אינסופיות, המשמרות יחס קבוע השווה או גדול מ-1 בין העוצמות שלהן.

לקבוצות Q ו-R לא קיים ההפרש הקטן ביותר בין אינסוף איבריהם, ושיטת קנטור המדגימה פונקציה חח"ע ועל בין Q ל-N , מבצעת זאת בין הנוטציות המיצגות את האיברים, ולא בין האיברים עצמם. דורון שדמי 22:48, 8 בדצמבר 2006 (IST)

היחס בין 2N ל-N הוא לא 2 אלה 1, כי שניהן בעלות א0 איברים. זה שהמספר 2n גדול פי 2 מהמספר n לא אומר שיש יותר מספרים זוגיים מאשר מספרים טבעיים. ההכלה שלך למושג "כמות" באמצעות "יחס" פשוט איננה נכונה. בברכה, _MathKnight_ (שיחה) 13:30, 9 בדצמבר 2006 (IST)

"א0 איברים" הינה טענה קטגורית (אפריורית) שרירותית המבוססת על הנחת המוצא כי קיימת קבוצה אינסופית המכילה את כל האיברים בעלי תכונה משותפת, ללא יוצא מן הכלל.

אני טוען כי ב-N לא קיים האיבר הגדול ביותר (או בהכללה: לא קיימת הכמות הגדולה ביותר), וזוהי התכונה המהותית המאפשרת ל-N להתקיים כקבוצה אינסופית. בכך הופכת N לקבוצה פתוחה, ומשמעותה של קבוצה פתוחה היא שהיא לא שלמה אינהרנטית. אי-שלמות אינהרנטית זו אינה מאפשרת הגדרת קרדינל מדוייק (א0) בדומה לדיוק המתקיים בקרדינל סופי.

ברגע שאתה מבין את הנ"ל ומבצע הכללה של מושג הכמות, הרי שהוא בהכרח מומר למושג היחס, המשתמר גם בהנתן קבוצה בעלת אינסוף איברים, שאיבריה מבוססים על מושג הכמות, ושאוסף אינסופי שלה אינו מכיל את הכמות הגדולה ביותר. דורון שדמי 17:23, 9 בדצמבר 2006 (IST)

אתה כבר גולש לפסאודו-פילוסופיה. הקבוצה N היא קבוצה אינסופית לגיטימית המכילה את כל המספרים הסופיים ויש א0 מספרים אלה, שכן לכל קבוצה סופית, N גדולה ממנה ולכל מספר n אפשר לבנות את n+1 וגם הוא שייך ל-N. אחרי שנוכחנו ש-N היא אינסופית אנו קוראים ל"כמות" איבריה, או לעוצמה שלה בשם א0. אפשר להשוות את גודלה ("כמות" איבריה) עם קבוצות נוספות על ידי מציאת מיפויים בינם לבין קבוצות אחרות. אם קיים מיפוי חח"ע ועל אז שתי הקבוצות בעלות אותה "כמות" איברים. זה נכון במקרה הסופי ואת תכונה זו מכלילים גם לכמויות אינסופיות, או עוצמות. בברכה, _MathKnight_ (שיחה) 17:32, 9 בדצמבר 2006 (IST)

קבוצה N הינה קבוצה אינסופית אם ורק אם היא אינה מכילה את האיבר הגדול ביותר. לעומת זאת לכל קבוצה N סופית קיים האיבר הגדול ביותר. זוהי אינה טענה פסאודו-פילוסופית כדבריך, אלא טענה מהותית המבחינה בין הסופי לאינסופי, תוך התבססות על תכונה המשותפת לשתיהן, הלו היא תכונת הכמות (שהכללתה למושג העוצמה אינה משמרת אותה, אך הכללתה למושג היחס משמרת אותה).

יתירה מכך, ההגדרה שלי אינה סותרת את האינטואיציה, והרי ידוע היטב כי אינטואיציה היא תכונה חיונית לכינונן של מערכות אקסיומטיות (אקסיומות אינן מוכחות אלא קיימות כאמת א-פריורית המבוססת, בין השאר, על אינטואיציה). דורון שדמי 18:43, 9 בדצמבר 2006 (IST)

לפעמים האינטואיציה מטעה, בפרט בכל הדברים הקשורים לאינסוף. שים לב שההגדרה שנתת לא מתבססת על כמות אלא על הכלת איברים. בברכה, _MathKnight_ (שיחה) 18:52, 9 בדצמבר 2006 (IST)

בפסקה קודמת את כותב:"זה שהמספר 2n גדול פי 2 מהמספר n לא אומר שיש יותר מספרים זוגיים מאשר מספרים טבעיים."

אינני טוען זאת. מה שאני טוען הוא שאתה משתמש במושג הכמות כדי למפות, במקרה דנן, בין 2n ל- n (לכל n יש כמות סופית ידועה) אך בעת הכללתו לעוצמה אתה מתעלם "מהשירות" שלו וטוען כי אתה מסוגל להסיק מסקנות תוך התעלמות מקיומו. גישה זו הינה בלתי עיקבית בעליל.

האינטואיציה מטעה, כאשר אין אנו בודקים את עקביותה, ובמקרה של הגישה הקנטוריאנית למושג האינסוף, אין עיקביות בין מושג הכמות למושג העוצמה (לעומת זאת יש עיקביות בין מושג הכמות למושג היחס).

במילים אחרות, לא האינטואיציה היא המטעה אלא התבססות על מערכת לא עיקבית היא המטעה.

מושג היחס מבוסס אף מבוסס על מושג הכמות (אין הוא מתכחש לו כתכונה מכוננת שלו, כפי שעושה מושג העוצמה, העוסק במיפוי בין נוטציות תוך התעלמות מהתכונה המכוננת אותם, ובמקרה של איברי N מדובר בתכונת הכמות) דורון שדמי 18:43, 9 בדצמבר 2006 (IST)

אני לא משתמש במושג הכמות כדי למפות את 2n ל-n אלא רק באקסיומות פיאנו של המספרים הטבעיים. אכן, לכל n סופי יש קבוצה עם אותה כמות איברים (קבוצה בעלת עוצמה סופית), אבל לא השתמשתי בכך שהצגתי את המיפוי. "אין עיקביות בין מושג הכמות למושג העוצמה" - כאן אתה טועה. עוצמה סופית היא כמות. בדוק וראה שהעוצמה של קבוצות סופיות כמו {1,2,3} או {A,B,C} היא כמות האיברים, דלהלן 3. כך שמושג העוצמה עקבי עם מושג הכמות. בברכה, _MathKnight_ (שיחה) 20:39, 9 בדצמבר 2006 (IST)

הראה נא כיצד אתה ממפה 2n ל-n כלשהו ללא התיחסות לכמות המיוצגת ע"י n.

שיטת קנטור נוהגת איפה ואיפה ואינה מתרגמת את הנוטציה המייצגת את הכמות, לכמות עצמה בעת המיפוי (כפי שהדגמתי לעיל, כך שסדר תלוי בכמות אך כמות אינה תלויה בסדר).

התוצאה היא ששיטת קנטור עוסקת במיפוי בין ייצוגים של האוביקטים המתמטיים, ולא בין האובייקטים עצמם. אך אז אין שום משמעות למונח "תת-קבוצה ממש", אשר הגורם המקיים אותה במקרה זה הוא לא ייצוגיה אלא הכמויות עצמן.

אקסיומות פאנו מבוססות על איבר ראשון, ועוקב (התכונה הפרמננטית המסומנת כ- 1+) המאפשר ליצור באינדוקציה כמות איברים החורגת מעבר לאיבר הראשון, כאשר האיבר הגדול ביותר אינו קיים (או בהכללה, הכמות הגדולה ביותר אינה קיימת).

במתמטיקה של קנטור (אשר אימץ את גישתו של דדקינד) הכל קם ונופל על פונקציה (מיפוי) בין זוגות ייצוגים או בין ייצוגים לעצמם, ובכך מגשים למעשה המיפוי של 1-1 בין ייצוגים את עצמו (מניח את המבוקש) כחח"ע ועל בהינתן גודל אינסופי, כי מיפוי אינסופי בין זוגות של נוטציות חייב להיות חח"ע ועל כאשר הזוג הממופה הסופי אינו קיים.

שוב, מושג הכמות אל לו "להעצר" ברמת הייצוג, אלא להתפרש הלכה למעשה בעת המיפוי, ואז (כפי שהדגמתי לעיל) ניתן להכליל את מושג הכמות למושג היחס (ובמקרה הנדון היחס הקבוע הוא 2=|N|/|2N| התקף גם בקבוצות סופיות (יש להן איבר הכי גדול) וגם בקבוצות אינסופיות (אין להן איבר הכי גדול) של מספרים טבעיים) ותקיפות יחס זו היא היא החותם המובהק של עיקביות (אשר אינה מתקיימת בשיטתו של קנטור). דורון שדמי 22:35, 9 בדצמבר 2006 (IST)

כבר הראתי לך, על ידי חלוקת 2n ב-2. המספרים הטבעיים אומנם מייצגים כמות, אבל פעולת החילוק היא תוצאה של אקסיומות פאנו. במקרה זה המספרים הטבעיים הם איברים בזכות עצמם ולא רק ייצוגים של משהו. ושוב, היחס 2=|N|/|2N| נכון רק בקבוצות סופיות מהצורה {2,4} ו-{1,2,3,4} ולא בקבוצות {1,2} ו-{2,4} ובטח שלא בקבוצות 2N ו-N האינסופיות. אני חושב שנספיק כאן את הדיון כי אף אחד לא משכנע את השני. בברכה, _MathKnight_ (שיחה) 12:35, 10 בדצמבר 2006 (IST)

הרשה לי לסכם את הדיאלוג (שאני מוצא אותו מרתק) ביננו.

אתה כותב: "המספרים הטבעיים הם איברים בזכות עצמם ולא רק ייצוגים של משהו"

אני מסכים איתך לחלוטין, כל מספר טבעי הינו לא פחות מאשר כמות סופית של איברים, כאשר הכמות ניתנת ליצוג ע"י שם יחיד, אך בשום שלב אל לנו להתבלבל בין הכמות לשם המייצג אותה, ובלבול זה מתרחש במתמטיקה של קנטור, הממפה בין השמות (היצוגים הסינגלטונים) ולא בין הכמויות שהם מייצגים.

למעשה הדבר גרוע מכך, כי למעשה מתנהל כאן משחק חסר הבחנה המערבב בין כמויות לשמות מייצגים, לדוגמא, 2n <--> n מבוססת על יחס קבוע בין כמויות, אך מתרגמת אותו בטעות למיפוי בין הייצוגים (השמות הסינגלטונים) של הכמויות, ובכך היא טועה ומטעה.

חלוקת 2n ב-2 אינה מתקיימת אם n אינו כמות סופית מוגדרת. כאשר מרחיבים את מושג הכמות למושג היחס, ניתן לדון גם ביחסים המשתמרים בין קבוצות אינסופיות (כמו היחס 2=|N|/|2N|) . שיטת קנטור קופצת באופן שרירותי ולא עקבי מן הסופי לאינסופי תוך התעלמות ממושג הכמות, והתבססות על מיפוי בין הסימנים המייצגים את הכמות.

המספר הטבעי אינו יכול בשום צורה ואופן להתנתק ממושג הכמות כי זוהי מהות קיומו, והניסיון לעשות זאת אכן מוביל למתמטיקה של מיפוי בין סימנים, כאשר כל סימן אינו שונה במאומה מכל סימן אחר כאשר הוא מנותק ממושג הכמות שהוא מייצג (אפשר בקלות להפשיט את הסימנים המנותקים הללו לאוסף אינסופי של נקודות זהות, ואז אכן מקבלים מיפוי חח"ע ועל בין אוספים של סינגלטונים כאלה, אך זו אינה מתמטיקה תבונית אלא משחק עקר בסימנים שתוצאתו הטריוויאלית ידועה מראש).

הדוגמא שנתת של {1,2} ו-{2,4} אינה רלוונטית כי אף אחת מהקבוצות אינה תת-קבוצה ממש של השניה, אך אם הקבוצה הינה לדוגמא {1,2,5,17} ותת-קבוצה ממש שלה היא {1,17} (סדר האיברים בקבוצות אינו חשוב) אז מתקיימים היחסים |{1,2,5,17}|/|{1,17}| ו- |{1,17}|/|{1,2,5,17}|.

אחדד את העניין. נאמר שהקבוצה שאנו עוסקים בה היא הקבוצה האינסופית של המספרים הזוגיים, ותת-קבוצה ממש שלה הינה כל מספר רביעי החל מהמספר 8008 .

כמו כן נאמר שקבוצת המספרים הזוגיים היא קבוצה יסודית (היא איננה תת-קבוצה ממש של המספרים הטבעיים). משמעות הדבר היא שכאשר אנו ממפים את איבר תת-הקבוצה ממש ששמו 8008 לאיבר כלשהו של קבוצת הזוגיים, אז מייד מתקיימת בקבוצת הזוגיים לא פחות מאשר כמות כל איברי קבוצת הזוגיים הקיימים בין 2 ל- 8008 (כולל 8008).

סדר האיברים בכמות הנתונה אינו חשוב, וגם סדר המיפוי של איברי תת-הקבוצה ממש, אינו חשוב. הדבר היחיד שחשוב הוא ש-8008 או כל מספר אחר בתת-הקבוצה ממש הנדונה, אינו סימן יחידני אלא סמן לכמות האיברים הקיימת עד אליו (כולל אותו) בקבוצת המספרים הזוגיים.

בכך אנו מקבלים אינסוף כמויות סופיות, המוכללות ליחס הנשמר בין הקבוצה לתת-קבוצה ממש שלה.

אקסיומות פיאנו מגדירות במפורש את המספרים הטבעיים כך שהאיבר הסופי שלהן אינו קיים ומכך נובע שאנו עוסקים בישות מתמטית בלתי-שלמה אינהרנטית, שעוצמתה המדוייקת (הקרדינל המדויק שלה) אינה קיימת ולכן היא מקיימת אינסוף מצבי יחס בין אינסוף איבריה. דורון שדמי 21:12, 10 בדצמבר 2006 (IST)

כל המרחב הלא טריוויאלי והמעניין של אינסוף מצבי יחס בין קבוצות אינסופיות, אינו ניתן לחקירה מנקודת המבט הקנטוריאנית.

דוגמא למחקר ראשוני של המרחב המתמטי של היחסים הנ"ל ניתן לראות ב: http://www.createforum.com/phpbb/viewtopic.php?t=60&mforum=geproject דורון שדמי 21:22, 10 בדצמבר 2006 (IST)

אני לא מסכים איתך. הכללת היחס למספר אינסופי איננה נכונה ולא עובדת. בברכה, _MathKnight_ (שיחה) 13:56, 11 בדצמבר 2006 (IST)

נמק נא את הסיבות לאי-הסכמתך, והוכח נא כי גישתי "איננה נכונה ואינה עובדת" כדבריך. תודה

כמו-כן הרשה נא לי לחדד את דברי בקשר לעולם הטרנספיניטי ולפעולות אריתמטיות.

קרדינל אינו יכול להיות קטן מ-0, לכן תוצאת ההפחתה בין קרדינל קטן לקרדינל גדול הינה ההפרש האבסולוטי שבין הקרדינלים, לדוגמא:

(1-|N| - 2^|N| = 2^(|N|

N| - |N| = 0|

אם נבטל את קיום המספרים הזוגיים מקבוצת המספרים הטבעיים, עדיין יישארו לנו המספרים האי-זוגיים שהקרדינל שלהם הוא 2/|N| , כאשר קרדינל זה הוא אינסופי.

לפי השיטה הקנטוריאנית (הטוענת לשיוויון בין הקרדינלים של תת-הקבוצה ממש של הזוגיים עם קבוצת המספרים הטבעיים) אמורים גם המספרים הלא-זוגיים להתבטל כבמטה קסם בעת ביטול הזוגיים, ובכך אנו מגיעים לתלות לא-הגיונית בין תתי-הקבוצות הנ"ל.

כדי למנוע את הצרימה הנ"ל, מעגלים פינות אד-הוק וטוענים כי פעולות חיסור, חילוק, הוצאת שורש וכו' אינן פעולות לגיטימיות בין וב- קבוצות אינסופיות.

מאידך, כאשר טוענים לשלמותה (השימוש במושג כל) של קבוצה אינסופית, אז מתקיים, לדוגמא, פרדוקס החזקה, שבה קבוצת כל החזקות גדולה מעצמה. במקרה זה שוב מעגלים פינות אד-הוק וטוענים כי קבוצה כנ"ל אינה קיימת ומעתה יקרא שמה "מחלקה".

הפתרון הפשוט לשתי הדוגמאות הנ"ל, הוא להבין כי קבוצה אינסופית הינה ישות מתמטית בלתי-שלמה אינהרנטית (האיבר הסופי שלה אינו קיים) דורון שדמי 11:24, 12 בדצמבר 2006 (IST).

חיסור הוא פעולה שמוגדרת בין מספרים טבעיים, לא בין עוצמות. הטיעון שלך שאינסוף פחות אינסוף = אפס ואז משמעותו שאין איברים בקבוצה, גם הוא איננו נכון. כמו כן, הכללת את היחס בין {1,...,n) ל-(1,...,2n) בצורה לא נכונה לקבוצות N ו-2N למרות שמדובר בקבוצות אינסופיות ויש התאמה חח"ע ועל ביניהן. אני מציע שתדבר על כך עם פרוספורים לתורת הקבוצות באוניברסיטה, אני ממליץ על פרופ' ארנון אברון או כל מרצה אחר המלמד תוה"ק. בברכה, _MathKnight_ (שיחה) 18:01, 12 בדצמבר 2006 (IST).

אתה כותב: "הטיעון שלך שאינסוף פחות אינסוף = אפס, ואז משמעותו שאין איברים בקבוצה, גם הוא אינו נכון".

בערך אינסוף כתובים הדברים הבאים:

"לכך שביטויים מסוימים נשארים בלתי מוגדרים יש סיבה: אם נקבע למשל ש- $\ \infty -\infty =0$, נצטרך לקבל גם את השוויון המופרך $\ 1=1+0=1+(\infty -\infty )=(1+\infty )-\infty =\infty -\infty =0$, או לוותר על האסוציאטיביות של החיבור".

תוצאה זו מבוססת על ההנחה ש: oo = oo+1 , אך הנחה זו אינה תקיפה כאשר אנו מכלילים את מושג הכמות למושג היחס, וכאשר אנו מבינים כי קבוצה אינסופית אינה שלימה אינהרנטית (אין לה איבר סופי).

לכן תשובתי היא: אם פעולת ההפחתה היא בין קבוצה לעצמה, אז התוצאה היא בדיוק |{}|=0.

משום מה אינך מנסה להבין בכוחות עצמך את שאני כותב, ומדקלם את מה שמקובל, באופן מכני.

תשובתו של פרופ' אברון היתה "איני בקיא בכך, פנה נא לפרופ' גיטיק". תשובתו של פרופ' גיטיק היתה "איני מסכים איתך, ואין לי זמן לעסוק בפילוסופיה".

בקיצור אף אחד מהמתמטיקאים שפניתי אליהם אינו מוכן לגעת בפרדיגמה הקנטוריאנית, והוא עושה זאת על הסף וללא שום נימוק משכנע היורד לפרטי פרטים. דורון שדמי 11:24, 12 בדצמבר 2006 (IST).

הבה ונבחן את מושג ההוספה לקבוצת איברים, שבה כל איבר שונה מהשני. האם יש הבדל בין קבוצה שבה קיים איבר ייחודי x לקבוצה שבה איבר x אינו קיים?

שיטת המיפוי (פונקציה) של 1-1 כושלת בהבחנה בין הקבוצות הנ"ל, אם אנו עוסקים במיפוי בין סימנים יחידניים (סינגלטונים) תוך התעלמות מהמושג המקיים אותם (ובמקרה של המספרים הטבעיים, המושג המכונן הוא כמות).

מושג היחס (שהינו הרחבה של מושג הכמות) מאפשר לשמר את מיוחדותם של איברים גם בעת שייכותם לקבוצות אינסופיות, ולכן 1 < |N|+1) / |N|) דורון שדמי 19:59, 15 בדצמבר 2006 (IST).

מושג העוצמה מאפיין רק את כמות איברי הקבוצה ולא את טבעם. כאשר רוצים לשמור גם על מבנה (אלברי, טופולוגי, מטרי) לא מסתפקים בפונקציות חח"ע ועל אלא גם דורשים שהן יקיימו תכונות נוספות (הומומורפיזם, הומיאומורפיזם, איזומטריה - בהתאמה). בברכה, _MathKnight_ (שיחה) 20:08, 15 בדצמבר 2006 (IST)

טבעם של המספרים הטבעיים הוא כמות, או במילים אחרות המינימום ההכרחי לקיומו של מספר טבעי הוא כמות. לכן כאשר ממפים בין סימן יחידני (סינגלטון) המייצג כמות, לבין הקבוצה המקיימת הלכה למעשה את הכמות, אכן מתקיימת הכמות הלכה למעשה באותה קבוצה ולא פחות מכך.

באה שיטת קנטור (המבוססת על רעיונותיו של דדקינד בנושא) ומנסה להגדיר מרחב מתמטי לבחינת המספרים הטבעיים, תוך התעלמות מהמקיים אותם. הפשטת-יתר זו אכן משיגה את יעדה והוא: מיפוי בין אינסוף זוגות של סימנים יחידניים, כאשר כל סימן מנותק לחלוטין ממושג הכמות, ומשמש רק ואך ורק כסמן לקיומו כסמל יחיד, ולא כמייצג הכמות (שבלעדיה אותו סימן אין לו ולמספר הטבעי (שהכמות היא עצם קיומו) כל קשר).

מושג הקבוצה, שבה כל איבר מובחן בבירור מכל איבר אחר, הוא העומד בבסיס כל המרחבים המתמטיים שתארת לעיל, ומובחנות זו אינה מתקיימת ללא מכנה משותף, שרק מנקודת מבטו מוענקת לכל איבר בקבוצה מיוחדותו.

במילים אחרות, קבוצה היא לא פחות מאשר איברים החולקים לפחות תכונה משותפת אחת (שקילות), כאשר היחס (יחס השקילות) בין התכונה המשותפת, לאיבר, מאפשר הבחנתו מאיברים אחרים, ובמקרה של N , התכונה המשותפת נקראת כמות וכל אחד מאיברי N הינו ביטוי מובחן היטב של כמות (דרך אגב, גם אוסף אינסופי של איברים הזרים זה לזה מבוסס על מכנה משותף והוא הזרות (החיתוכים ביניהם ריקים)).

העוצמה הקנטוריאנית למעשה משטחת את הקשר העדין הקיים בין כל איבר לתכונה המשותפת (וקשר זה הוא הוא מה שאתה מכנה מבנה), וכל שיטה המחקה השטחה זו, למעשה מרוקנת את המרחב המתמטי המוגדר על ידה, מעושרו הלא-טריוויאלי. דורון שדמי 15:57, 16 בדצמבר 2006 (IST)

הייצוג הכללי של מספר זוגי הוא 2n בעוד שהייצוג הכללי של כל מספר טבעי (כולל 2n) הינו n .

2n תמיד כפול בכמותו מ-n ו-n אינו קיים כלל ללא כמות, לכן אין שום משמעות למיפוי בין הסימנים המייצגים את הכמויות, ללא הכמויות עצמן. הפשטת-היתר השומטת את תכונת הכמות מהמספר הטבעי, אכן יכולה לקיים מיפוי חח"ע ועל בין הסימנים המייצגים, אך לא בין המספרים הטבעיים עצמם, שכאמור, אינם קיימים כלל ללא כמות. דורון שדמי 17:28, 25 בדצמבר 2006 (IST)

שאלת חיתוך

אם נגדיר את R1 כתת-קבוצה ממש של R, ואת R2 כתת-קבוצה ממש של R אשר מכילה את כל איברי R אשר אינם ב-R1, אז R1 ו-R2 משלימות זו את זו ל-R.

משמעות הדבר היא קיומו של "חור" (חיתוך ריק) בין R1 ל-R2 כי הרי R1 ו-R2 אינן חולקות אף איבר משותף (וזאת, בהתאם למושג המשלים). כדי למנוע את ה"חור" הנ"ל, חייבים להתקיים אלמנטים בין איברי R, אשר עוצמתם עולה על עוצמת-הרצף של כל איברי R, אך גם הם בתורם, חייבים להכיל איברים ביניהם, אשר עוצמתם גדולה משלהם, וכן הלאה לאין-קץ.

ביסוד השתלשלות אין-קץ זו עומד תנאי המובחנות הברורה של איברי קבוצה, המאפשר לנו להגדיר מלכתחילה את מושג המשלים, אך מהתבוננות זו, כל ניסיון להגדיר גבול ברור בין קבוצות משלימות נועד לכשלון, כי התנאי היחיד ל"סתימת החור" המפריד בין קבוצות מובחנות, הינו איבר שאינו שייך ל-R1 ולא ל-R2, ומזה נובע ש-R1 ו-R2 אינן קבוצות שלמות אינהרנטית.

במילים אחרות, מדוע עוצרים חתכי דדקינד בחיתוך בין הרציונלים, ולא ממשיכים לחתוך בין האי-רציונלים וכו' לאין-קץ? דורון שדמי 12:37, 17 בדצמבר 2006 (IST)

לפסקה השלישית: אפשר לבנות את אוסף חתכי דדקינד בכל שדה סדור; כדי שהתוצאה תהיה שדה, השדה המקורי חייב להיות סדור ארכימדית, כמו הרציונליים או הממשיים. אלא מה, מתברר שאין זה חשוב מעל איזה שדה סדור ארכימדי יוצרים את חתכי דדקינד - תמיד מתקבל אותו שדה, דהיינו שדה המספרים הממשיים. בפרט, שדה חתכי דדקינד של הממשיים הוא שוב אותו השדה עצמו (הסיבה היא אקסיומת החסם העליון, שאינה אקסיומה, אלא תכונה ידועה של שדה הממשיים). עוזי ו. 13:26, 17 בדצמבר 2006 (IST).

הי עוזי, אם, לפי דבריך, אין שדה בעל עוצמה גדולה יותר בין המספרים האי-רציונליים, אז מהו יחסו של האיבר המשמש כחסם בין R1 ל-R2 , לבין שאר האיברים, ואשר לפי אקסיומת החסם העליון, נכלל ב-R1 או ב- R2 (כי אם היה נכלל בשניהם, לא היתה מתקיימת הזרות המאפשרת בידול בין R1 ל-R2 כשתי תת-קבוצות נפרדות ממש, המשלימות זו את זו ל-R)?

אם איבר זה הינו איבר R אז R1 ו-R2 הן בלתי שלמות.

אשמח אם תאיר את עיני באפשרות שלישית. דורון שדמי 12:37, 17 בדצמבר 2006 (IST)

אני לא יודע מה פירוש "בין" שתי קבוצות של מספרים ממשיים, ולא מה פירוש ה"שלמות" שאתה מדבר עליה. כדוגמא שבה יש משמעות למושג הראשון, אפשר לקחת את R1 כקבוצת כל המספרים הגדולים ממש מאפס, ואת R2 כמשלים, קבוצת המספרים הקטנים או שווים לאפס. החסם התחתון של הקבוצה הראשונה שווה לחסם העליון של השניה, שהוא גם המקסימום שלה - אפס. עוזי ו. 13:56, 17 בדצמבר 2006 (IST)

ראה נא את הגדרתי במשפט הראשון המופיע תחת כותרת דיאלוג זה.

מתוך ההגדרה הנ"ל, כל איברי R ללא יוצא מן הכלל מוכלים ב-R1 וב-R2 ולכן החסם אינו יכול להיות איבר R (אם טטען שהחסם הינו איבר של R1 או איבר של R2, עדיין יתקיימו אינסוף איברי R הקטנים או גדולים ממנו, אשר אינם בדיוק הוא. לכן לעולם תתקיים זרות ביניהם ובינו, וזרות זו היא היא המאפשרת בידול והבחנה בין כל אחד מאיבריה של קבוצת הממשיים).

איך שלא תהפוך בנ"ל, לא תוכל לקיים את R כקבוצה שלמה (ללא כל פער בין איברים מובחנים)[משתמש:דורון שדמי|דורון שדמי]] 14:10, 17 בדצמבר 2006 (IST)

אינני יודע מה אתה רוצה. מותר לחסם להיות איבר של אחת הקבוצות (אין לו ברירה). עוזי ו. 14:24, 17 בדצמבר 2006 (IST)

אך אז לעולם יתקיימו משני צדדיו אינסוף איברים המובחנים (מובדלים) היטב זה מזה (מובחנות זו הינה תנאי מכונן למושג הקבוצה) , אשר אף אחד מהם אינו זהה לחסם, ולכן כל אחת מקבוצות האיברים המובחנים הנ"ל חייבת להיות בלתי-שלמה, כדי לקיים את אינסוף איבריה, בין אם היא מכילה או לא מכילה את האיבר המוגדר כחסם (חסם AND אינסוף_איברים_מובחנים שקול לסתירה המתקבלת ב- אמת AND שקר בלוגיקת שני מצבים).

הבה נשתמש בדוגמא שנתת בעניין 0 כחסם:

א. אתה מגביל עצמך מלכתחילה (אפריורית) לאיברי R בלבד, ולכן תמצא במרחב החקירה רק את מה שהגדרת מלכתחילה.

ב. קיומו של 0 כאיבר של (לדוגמא) R2 מאפשר את הביטוי קטן/שווה 0 ( >= 0 ) אך ברור לחלוטין כי = מתייחס רק ואך ורק ל-0 עצמו ולא לשום איבר של R2 שאינו 0.

ג. קטן_AND_שווה OR קטן_OR_שווה (>=) אינו מתייחס לאיבר יחיד של R2 , ולכן קיימים אינסוף איברים ב-R2 , שאף אחד מהם אינו 0 , ואינסוף איברי R2 שאינם בדיוק 0 אין בכוחם לסגור את הפער (>) בינם לבין 0.

ד. לכן לא ניתן להמנע מהמסקנה כי R2 אינה שלמה אינהרנטית (הפער הקיים בין > ל- = אינו ניתן לגישור גם בהינתן אינסוף איברים, המתקיימים במובחן זה מה (ומובחנות זו, כאמור, הינה תנאי מכונן למושג הקבוצה, במובנה המקובל).

ה. אי-שלמות זו צצה ומופיעה בכל פעם שבה מעמידים איבר מובחן x מול קבוצת איברים מובחנים שאינם x (ואין זה משנה כלל אם האיברים המובחנים שייכים או לא שייכים לאותה קבוצה), ואי-שלמות זו היא היא האינווריאנט (הקבוע) העומד בשורש מושג הקבוצה כאוסף של איברים מובחנים וגם בשורש ההבחנה בין קבוצות (במילים אחרות: לפי מושג הקבוצה הנוכחי, הזרות קיימת מבית ומחוץ). דורון שדמי 14:44, 17 בדצמבר 2006 (IST)

בערך גיאומטריה אנליטית נאמר:

המעגל לפי הגדרתו הגאומטרית, הוא אוסף כל הנקודות שמרחקן מנקודה מסוימת (המרכז) שווה למספר חיובי קבוע- הרדיוס. לפי הגדרה זו משוואת המעגל תהיה (אחרי העלאה בריבוע):

$\ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}$ כאשר מרכז המעגל הוא הנקודה (a,b) ורדיוסו R.

כאשר מרכז המעגל הוא ראשית הצירים- הנקודה $\ (0,0)$, משוואת המעגל מקבלת את הצורה:

$\ x^{2}+y^{2}=R^{2}$

לפי ההגדרה הנ"ל מתקיים מעגל גם אם R=0 או R=oo .

בחינה לעומק של ההגדרה הגיאומטרית מגלה כי מקרי הקיצון שתוארו אינם משמרים את היחס 2PI הקיים בין ההיקף לרדיוס.

יחס זה אינו תלוי כלל ועיקר במושג האוסף, אלא מתקיים כאינווריאנט בין שני אלמנטים קשירים-לחלוטין (שאינם מורכבים מתת-אלמנטים) המכונים ur-elements (ראה נא http://en.wikipedia.org/wiki/Urelement) .

הבנת מושג האינסוף מנקודת המבט של קשירות-מוחלטת, מקיימת אינסוף אלמנטים (ובמקרה זה, מעגלים) משמרי יחס (ובמקרה זה, היחס הוא 2PI).

בכך מתקיימת עיקביות מדויקת יותר בין האלמנטים הנחקרים (אשר אינה נשמרת בעת שימוש במושג הקבוצה בלבד) אשר אינה תלויה באוסף נוטציות, אלא נובעת ישירות מתכונה אינהרנטית (ובמקרה זה, יחס קבוע) של האלמנטים עצמם.

מתוך הבנה זו, כל ערך x המשמש כגבול, אינו משמר תכונות יחס קבועות כגון "גדול מ-x" או "קטן מ-x" אשר קיימות בכל אחד מאינסוף האלמנטים שאינם x, ולכן שיוויון x לעצמו מתקיים בזרות מתמדת ביחס למה שאינו x, גם בהינתן אינסוף איברים שאינם x .

לכן מושג הקבוצה לבדו אינו מסוגל להשיג את הדיוק המלא של מושג האינסוף ללא היחס בינו לבין קשירות-מוחלטת, ומזה נובע שמושג המשלים אינו ניתן למיצוי ריגורוזי מנקודת המבט של קבוצה-בלבד לכן מושג הקבוצה לבדו אינו מסוגל להשיג את הדיוק המלא של מושג האינסוף ללא היחס בינו לבין קשירות-מוחלטת, ומזה נובע שמושג המשלים אינו ניתן למיצוי ריגורוזי מנקודת המבט של קבוצה-בלבד (או כל מודל אחר שבו כל אלמנט הינו "אחד מהרבה ..."). דורון שדמי 11:46, 21 בדצמבר 2006 (IST). דורון שדמי 11:46, 21 בדצמבר 2006 (IST)

אהלן :)

בס"ד חג שמח גם לך (קצת באיחור). long time no see. Tio 21:19, 25 בדצמבר 2006 (IST)

תודה לך, תיאו חביבי. דורון שדמי 00:11, 28 בדצמבר 2006 (IST)

חביבי?! שלושה ימים לוקח לך להגיב להודעה פשוטה!!! shame on you :) Tio 18:56, 7 בינואר 2007 (IST)

הערה כללית

שמתי לב שאתה מנהל דיונים כפולים, וכל הודעה שאתה כותב כאן אתה מדביק גם במקום אחר (דף השיחה של מת'נייט במקרה הזה). זה מאוד לא מקובל בוויקיפדיה. זה מעמיס על משאבי המערכת עותק זהה לגמרי של אותו הדיון, זה מאלץ את המשתמשים שמתעניינים בדיון לקרוא את התגובות ולגלות שהן זהות, ובהמשך זה גורם לדיונים להתפצל שלא לצורך בכמה דפים במקביל. אני מבקש לא לעשות זאת. תנהל את הדיון כאן. אם יש לך ספק שמת'נייט לא ראה את תגובתך כאן, אתה יכול להפנות את תשומת לבו הנה, בדף השיחה שלו. ממש אין לנהל את הפנקסנות הכפולה המשונה הזו. ‏odedee • שיחה 22:05, 25 בדצמבר 2006 (IST)

אינני מנהל דיונים כפולים, אלא שומר את תוכנם בדף האישי שלי. הסיבה לכך היא פשוטה: יש מספר וויקיפדים שאינם רואים בעין יפה (בלשון המעטה) את התוכן הלא שיגרתי המובע בהם, ופועלים נמרצות להסירם, לכן לא נותר לי אלא לשמר את הדיונים בדף השיחה שלי, טרם הימחקם ע"י אותם ויקיפדים.

בקיצור, טעית בכיוון. הכיוון הנכון הוא העתקת תוכן השיחות לדף השיחה ולא כפי שציינת. דורון שדמי 11:46, 21 בדצמבר 2006 (IST)

התוצאה אחת היא - פנקסנות כפולה, והיא לא מקובלת בוויקיפדיה. גם אם יש ויקיפדים שמוחקים דיונים כאלה אתה יכול למצוא אותם בגרסאות קודמות של הדפים הרלוונטיים, ואתה יכול לשמור לך כאן קישור ישיר אליהן. כמו כן, אנא הכנס לחשבונך ואל תערוך כאלמוני, וחתום על הודעותיך בדפי השיחה ב-"~~~~". תווים אלה יהפכו לשמך ומועד השמירה כשתלחץ "שמור". תודה, 09:26, 26 בדצמבר 2006 (IST)‏odedee • שיחה

רק שיהיה ברור, החתימה שהוספת כעת איננה באופן המקובל פה - אתה הכנסת אותה ידנית, עדיין אינך נמצא בתוך החשבון שלך. ‏odedee • שיחה 09:33, 26 בדצמבר 2006 (IST)

זה הרבה יותר גרוע מחתימה ידנית - זו חתימה עם תאריך שאינו מתאים לזמן העריכה. גדי ו. (שיחה) שלשום 09:39, 26 בדצמבר 2006 (IST)

חברה, אני, כמו שאומרים, לא כותב מהבית, ולכן איני זוכר את קוד הכניסה לחשבון שלי. אנא זהו אותי לפי תוכן דברי ולא על סמך היבטים טכניים בלבד, תודה. דורון שדמי 9:55, 26 בדצמבר 2006 (IST)

אשמח אם תדריך אותי, כיצד אני יכול ליצור קישור ישיר בדף השיחה שלי לדיון שנמחק. כמו-כן אינך ער ליתרון שבקיום מקביל של כל הדיונים מול עיני המתבונן. קיום מקביל בו-זמני בדף השיחה, יש לו ערך מוסף להבנת הדברים מעבר לכל דיון בנפרד. גישתך למידע ועיון בו מבוססת על רדוקציה של המידע, וקיטלוגו בזמן ובמרחב באופן המבודד אותו מצפייה בו-זמנית (מקבילית) המאפשרת אינטרקציה מגשרת בין החלקים השונים.

במילים אחרות, הראה נא לי את המנגנון בוויקיפדיה המאפשר לבנות דף שיחה ווירטואלי, שבו נגישים מספר נושאים בו-זמנית במקביל. אם לא קיים מנגנון כזה, אז קיומם בנפרד של הדיונים שנמחקו, אינו שקול לדף השיחה שלי, שבו כל הדיונים נגישים במקביל, ולכן אין כאן שום פנקסנות כפולה, מנקודת המבט של האמצעי המיטבי להבנת הדברים. דורון שדמי 9:55, 26 בדצמבר 2006 (IST)

עליך להכנס ללשונית "גרסאות אחרונות" בדף שאתה רוצה לשמור ולבחור את הגרסה הרלוונטית (או ההבדל בין גרסאות שברצונך לראות, וללחוץ "השווה"). אז העתק את כתובת הדף שנפתח, ושמור אותה בדף השיחה שלך בתוך סוגריים [ ] יחידים. אם אינך זוכר את הסיסמה אתה יכול לבקש מהמערכת לקבל סיסמה במייל שהגדרת בהעדפות החשבון. ‏odedee • שיחה 10:04, 26 בדצמבר 2006 (IST)

תודה על תשובתך. אבקש ממך לעיין בדברים הנוספים שכתבתי, כדי להבין מדוע אין דף השיחה שלי "פנקסנות כפולה" כדבריך. דורון שדמי 00:08, 28 בדצמבר 2006 (IST)

מה נחסם?

אם (0,1) הינו קטע פתוח, אז תמיד קיימים אינסוף איברים בין x ל-1 או בין x ל-0. אם כך נשאלת השאלה, מה בדיוק נחסם כאן?

אם הכוונה היא שלכל x ,x אינו 1 או 0, אז ברור לחלוטין שכל השוואה כזו מבוססת על אקסטרפולציה בין x ל-1 או 0 (דילוג מ-x ל-1 או 0). אך בכך אנו מתעלמים מאינסוף האיברים הקיימים בין x ל-1 או 0, ואשר קיומם מושג דווקא מתוך אינטרפולציה (אי-דילוג) בין כל זוג איברים אקראי. היות ואינטרפולציה הינה תמיד חקירת הקיים בתוך תחום נתון, הרי שחקירה זו אינה ניתנת לחסימה ע"י מה שאינו בתחום הנתון, ולכן שוב נשאלת השאלה, כיצד מה שמושג בעזרת אקסטרפולציה (החצנה) חוסם את מה שמושג באינטרפולציה (הפנמה)?

יותר מכך, אם [0,1] הינו קטע סגור, אז x יכול להיות החסם עצמו. אם כך נשאלת השאלה, מה בדיוק נחסם כאן?

אם הכוונה היא שלא קיים x בין 1 ל-0 , אשר אינו בין 1 ל-0 או שווה ל-1 או 0, הרי שזו אמת-ריקה (http://en.wikipedia.org/wiki/Vacuous_truth). דורון שדמי 06:18, 3 בפברואר 2007 (IST)

לתוהים מבחוץ - נחסם הגודל של האיברים. אף שיש אינסוף, אף אחד מהם אינו גדול בערכו מ-1 או קטן בערכו מ-0. גדי אלכסנדרוביץ' 08:56, 3 בפברואר 2007 (IST)

עפ"י תשובתך, מושג החסם מבוסס על אמת-ריקה (http://en.wikipedia.org/wiki/Vacuous_truth) כי זה טריוויאלי

שלא קיים x בין 1 ל-0 , אשר אינו בין 1 ל-0 או שווה ל-1 או 0 , ולכן לא נחסם דבר, אלא זו התנייה מלכתחילה לעצם קיומו של אוסף איברים נתון. דורון שדמי 17:30, 3 בפברואר 2007 (IST)

החסם הוא הגדרה ולא טענה לוגית, ולכן לא ניתן להגיד עליו שהוא "אמת ריקה". אם אתה טוען שהדוגמאות בערך הן טריוויאליות, אז ייתכן שאתה צודק, אבל בערך אנציקלופדי יש מקום גם לדוגמאות טריוויאליות. אני בטוח שעבור אדם שלא מכיר את מושג החסם הדוגמאות יכולות לעזור. מלמד כץ 17:45, 3 בפברואר 2007 (IST)

מה הרציונל בשימוש במושג חסם, אם עצם קיומו של אוסף איברים תלוי בתחום מוגדר מלכתחילה (ואז אין שום טעם לדבר על גודל הקיים מעבר לתחום הנתון, או במילים אחרות שום דבר לא נחסם, אלא זוהי בדיוק התוצאה של מה שמוגדר מלכתחילה). דורון שדמי 18:01, 3 בפברואר 2007 (IST)

אני השתמשתי פעמים רבות במושג החסם לצורך הבנת סוגיות פיזיקליות, ובעיני הערך הזה מועיל ביותר. עם זאת, אני מבין שאתה חושב אחרת, ואני מכבד את דעתך. היות שהבהרתי את עמדתי בנושא זה אניח גם לויקיפדים נוספים להתבטא בנושא. מלמד כץ 18:07, 3 בפברואר 2007 (IST)

אנסח את עמדתי ביתר פירוט.

א) בפתרון סוגיות פיזיקליות אנו עוסקים רק ואך ורק באוסף סופי של איברים (תוצאות אינסופיות הן חסרות פשר בפיזיקה, כפי שהיא מובנת היום), וחקירת אוסף סופי של איברים מבוססת על אקסטרפולציה (דילוג) ביניהם, ואז חשוב ביותר מתי דילוג מסויים חורג מתחום נתון. עצם אפשרות החריגה מעבר לקבוצת איברים סופית, אכן מעניקה פשר למושג החסם, כי אז אנו מגדירים קטגורית מתי ערך מסויים חורג מתחום נתון (מדלג מעל החסם המגדיר את התחום).

ב) במתמטיקה טהורה אנו עוסקים גם באוסף אינסופי (לדוגמא R) אשר אינסוף איבריו מתקיימים מכוחה של אינטרפולציה (אי-דילוג) בין איברים, ולכן אף איבר באוסף אינסופי של אינטרפולציות אינו קרוב או רחוק יותר מחריגה מעבר לתחום המוגדר מראש. מושג החסם תקף בקבוצה של איברי R , רק אם אנו עוסקים בחקירה מידלגית (אקסטרפולטיבית) אשר מאפשרת הלכה למעשה, חריגה מעבר לתחום שהוגדר מראש, ואז ורק אז, ניתן לדבר על חסמים, שאחריהם חורגת המערכת מעבר לתחום שהוגדר מראש.

ג) במילים אחרות, מושג החסם הנוכחי אינו מבחין בין אקסטרפולציה (דילוג) לאינטרפולציה (אי-דילוג) בין איברים, וכמו-כן מונע את ההבחנה בין אוסף סופי (פרי אקסטרפולציה) לאוסף אינסופי (פרי אינטרפולציה) במקרה של חקירת איברי R. דורון שדמי 19:08, 3 בפברואר 2007 (IST)

שיחות על שפה (טופולוגיה)

אי-שלמות באופן מדוייק

בערך נכתב: "באופן יותר מדויק, שפה היא קבוצת הנקודות של קבוצה שאפשר להתקרב אליהן כרצוננו הן מתוך הקבוצה והן מתוך המשלים שלה."

אני מוצא כי יש קשר הדוק בין הנ"ל, לכתוב בדף השיחה של המושג משלים (מתמטיקה) דורון שדמי 00:49, 3 בפברואר 2007 (IST) .

קבוצה אחרת !

עוד נאמר בערך:

מהגדרה זו, ומתכונות הסגור והפנים נובע ש

$\ \partial A=\left\{x\in X\ |\ \forall V:x\in V\Rightarrow \ V\cap A\neq \emptyset \ {\mbox{and}}\ V\cap A^{c}\neq \emptyset \right\}$

מהגדרה זו ברורה לחלוטין הסימטריה של השפה ביחס ל A ומשלימתה. כלומר: השפה של קבוצה זהה לשפה של המשלים שלה. או בנוסחה: $\ \partial (A)=\partial (A^{c})$.

במושג משלים (מתמטיקה) כתוב ש:

בתורת הקבוצות, משלים של קבוצה G הוא קבוצה אחרת, אשר מכילה את כל האיברים שאינם נמצאים ב-G. זאת ביחס לקבוצה U כלשהי שהיא "הקבוצה האוניברסלית" - קבוצה שבהקשר הנוכחי של הדיון, כל קבוצה שעליה נדבר היא תת קבוצה של U.

אם המשלים של G הוא קבוצה אחרת (קבוצה שכל אחד מאיבריה אינו איבר של G , או במילים אחרות, היא זרה ל-G) אז כיצד מתקיים $\ \partial (A)=\partial (A^{c})$ ?

במילים אחרות, מהו ההגיון העומד בבסיס הטענה לסימטריה, כאשר איברי השפה שייכים ל-G , ואל אף זרותם (אי-שיכותם) למשלים של G, הם גם השפה של המשלים של G ?

הרי ברור לחלוטין כי אף אחד מאיברי המשלים אינו בשפה של G.

סימטריה מתקיימת רק בתנאי שאיברי השפה הינם קבוצה הזרה הן ל-G והן למשלים של G, ואז מתקיימת סימטריה של זרות משני "צדדי" קבוצת איברי-השפה. דורון שדמי 01:17, 3 בפברואר 2007 (IST)

היי. השפה של קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי לא חייבת להיות מוכלת בה או זרה אליה, שני המקרים אפשריים (זה למעשה שקול לכך שהקבוצה סגורה או פתוחה בהתאמה), וכן גם אפשרי מקרה הביניים (שהשפה נחתכת גם עם הקבוצה וגם עם המשלים שלה), ולכן אין סימטריה של זרות. יאיר ח. 21:25, 3 בפברואר 2007 (IST)

ברוך שובך יאיר,

קיימות רק שתי אפשרויות במקרה של שפה, האחת סימטרית (זרות משני "צידי" השפה, והמשמעות היא שקבוצת-השפה אינה שייכת לא למשלים של G ולא ל-G) והאחרת א-סימטרית, כאשר השפה שייכת לקבוצה G ולא למשלים שלה, או למשלים שלה ולא לקבוצה G.

מושג הקבוצה הפתוחה (שבה איבר שאינו שייך אליה משמש לה כחסם) של איברי R תקף רק בקבוצות סופיות של איברים אלה. לפירוט טענותי בנושא, ראה נא את דף השיחה של הנושא חסם (או בדף זה תחת הכותרת "מה נחסם?"). דורון שדמי 21:57, 3 בפברואר 2007 (IST)

התכנסות ואינסוף

בערך גבול (מתמטיקה) נאמר:

גבולה של סדרה, כאשר הוא קיים, הינו מספר שאליו הולכים ומתקרבים אברי הסדרה - גם אם ערך זה אינו מופיע בסדרה כלל.

אם זוהי סדרה אינסופית אז ברור לחלוטין כי אינסוף איברי R אינם מתקרבים כלל לשום ערך נתון. התקרבות תקיפה רק בתנאי שאנו עוסקים בסדרה סופית של איברי R.

במילים אחרות, התכנסות קיימת, רק בכמות איברים סופית, והיא אינה קיימת כלל בהינתן אוסף אינסופי של איברי R, הקיים בין ערך שרירותי בסדרה, לערך הקיים בגבול עצמו.

שיוך תכונת התכנסות לקבוצה אינסופית של איברי R, נובעת מאי-הבחנה בין הסופי (שבו קיימת התכנסות) לאינסופי (שבו לא קיימת התכנסות). דורון שדמי 00:53, 4 בפברואר 2007 (IST)

לא ברור לחלוטין. גדי אלכסנדרוביץ' 01:04, 4 בפברואר 2007 (IST)

הוכח נא כי אתה מתקרב לערך נתון, בהינתן אינסוף איברי R הקיימים בין ערך שרירותי כלשהו בסדרה, לערך הנתון. דורון שדמי 01:14, 4 בפברואר 2007 (IST)

אני מציע שתסביר בדף השיחה של 0.999... מדוע, לדעתך, הביטוי הזה אינו שווה ל- 1. זו תהיה הדגמה חיה בעלת ערך חינוכי רב ביותר. עוזי ו. 01:49, 4 בפברואר 2007 (IST)

עוזי, הרי ברור לחלוטין שתמיד נשמרת העוצמה של R בכל קטע הקיים בין ערך שרירותי נתון על הישר-הממשי, לערך המוגדר כגבול. לכן כאשר אנו עוסקים בעוצמה אינסופית, אז מושגים כמו "מתכנס", "קרוב מספיק כדי ..." מאבדים ממשמעותם ואינם יותר ממשאלת לב הכופה מושגים הלקוחים מהסופי, על האינסופי.

מנקודת המבט של סדרת איברים מובחנים-היטב המקיימת עוצמה אינסופית, מתקיימת אינטרפולציה אינסופית (אי-מידלגיות אינסופית בין אלמנטים מובחנים-היטב) המונעת את ביטולו המוחלט של הפער הקיים בין ערך שרירותי כלשהו לערך המוגדר כגבול. מנקודת מבט זו של עוצמה אינסופית, שום דבר לא מתכנס לערך המוגדר כגבול.

שיטותיהם של קושי,ויירשטרס ודדקינד, אינן יותר מאשר שיטות כפיה, המתעלמות מעוצמתה של אינטרפולציה אינסופית (אי-מידלגיות אינסופית בין אלמנטים) וכופות שיטות אקסטרפולטיביות (מידלגיות בין אלמנטים) אשר, כאמור, משתמשות בטרמינולוגיה כגון "מתכנס" "קרוב מספיק כדי ..." וכו' הלקוחה בעוצמות סופיות.

אתה יכול לטעון כי כאשר אנו נמצאים בעוצמה אינסופית, אז בהכרח אנו נמצאים או משיגים את ערך הגבול עצמו. זאת אומרת שדבר לא מתכנס בעוצמה אינסופית אלא אנו קיימים סימולטנית הן בערך שרירותי כלשהו על הישר-הממשי והן בערך הגבול עצמו, אך אז אתה צריך להשתמש במתמטיקה של אי-לוקליות, המאפשרת לאלמנט מתמטי להתקיים סימולטנית בשני ערכים שונים.

אלמנט לא-לוקאלי (קיום סימולטני של לפחות שני ערכים שונים) אינו קיים במסגרת שיטות האנליזה שפיתחו קושי, ויירשטרס ודדקינד, ולכן שיטותיהם ושיטות אלה הממשיכים את תורתם, אינן אלא כפיה של הסופי על האינסופי, המנסה לכפות אלמנט מקומי (אלמנט המקיים "סימולטנית" ערך יחיד בלבד) כאלמנט שיש בכוחו להשיג במדוייק את ערכו של גבול נתון.

לדיון מפורט בנושא (הכולל גם את חקירת ...999. ) ראה נא ב:

http://www.createforum.com/phpbb/viewtopic.php?t=60&mforum=geproject

http://www.createforum.com/phpbb/viewtopic.php?t=53&mforum=geproject

תודה, דורון שדמי 10:35, 4 בפברואר 2007 (IST)

אוי וי

לתשומת לבך: גודל דף זה הוא 406 קילובייט. כדאי לשקול ארכוב בדחיפות!!! ‏סקרלט • שיחה 01:14, 4 בפברואר 2007 (IST)

ארכוב

כשרואים את הדף הזה מבינים יותר טוב את משמעות המושג אינסוף. בניסוח מתמטי (כך אני בטוח שתבין), הדף הזה הולך בכיוון של התכנסות לאינסוף. ובעברית - מה דעתך לארכב קצת? ירון • שיחה 01:18, 4 בפברואר 2007 (IST)

בתחילת דף השיחה יש ראשי פרקים המאפשרים לך לדלג ישר לנושא מסויים. דורון שדמי 01:24, 4 בפברואר 2007 (IST)

אמת, רק שכדי להגיע לניווט צריך שהדף יעלה. ולוקח לו המון זמן. למה לא לארכב בעצם? ירון • שיחה 17:19, 4 בפברואר 2007 (IST)

אוקיי, הדרך נא אותי כיצד מארכבים דף שיחה לפי נושאים, כך שיהיו נגישים בקלות מדף השיחה, תודה. דורון שדמי 20:30, 5 בפברואר 2007 (IST)