מרחב וקטורי

באלגברה ליניארית, מרחב וקטורי (קרוי גם מרחב ליניארי) הוא מערכת מתמטית מעל שדה, שבה מוגדרות פעולות של חיבור שני איברים, וכפל של איבר בסקלר מן השדה. איברי המערכת נקראים וקטורים. המרחב האוקלידי התלת־ממדי, בו ניתן לסמן כל נקודה על ידי שלושה מספרים ממשיים, הוא מרחב וקטורי. התכונות של המרחב הווקטורי קיימות במבנים מתמטיים רבים בתחומים שונים כגון אנליזה, אלגברה, מכניקה ותורת הקוונטים. לעיתים וקטורים מסומנים בסימון מיוחד כדי להבדילם מסקלרים, למשל וקטור $u\in V$ יכול להיות מסומן גם ${\underline {u}}$, ${\overline {u}}$, ${\vec {u}}$ או $\mathbf {u}$.

בהנחת אקסיומת הבחירה, לכל מרחב וקטורי יש בסיס. כל הבסיסים של מרחב וקטורי הם בעלי אותו גודל, שהוא הממד של המרחב. הממד הוא המאפיין היחיד של מרחב וקטורי: כל שני מרחבים בעלי אותו ממד הם איזומורפיים זה לזה.

הגדרה

מרחב וקטורי מעל שדה $\ \mathbb {F}$, הוא קבוצה $\ V$ שאבריה נקראים וקטורים;

עם פעולת חיבור שביחס אליה $\ V$ היא חבורה אבלית (מקיימת סגירות לחיבור, אסוציאטיביות, קומוטטיביות, קיום איבר נייטרלי ${\vec {0}}_{V}$, וקיום איבר נגדי $-{\vec {v}}$ לכל ${\vec {v}}\in V$);

ועם פעולת כפל בסקלר $\ \mathbb {F} \times V\rightarrow V$, שמסמנים ב-$\ (\alpha ,{\vec {v}})\mapsto \alpha \cdot {\vec {v}}$, כך שמתקיימות האקסיומות הבאות:

1. סגירות: לכל ${\vec {v}}\in V$ ו-$\lambda \in \mathbb {F}$ מתקיים $\lambda \cdot {\vec {v}}\in V$.
2. $1$ הוא איבר נייטרלי: $\forall {\vec {v}}\in V,1\cdot {\vec {v}}={\vec {v}}$, כך ש-$1$ מסמן את האיבר הנייטרלי של השדה עצמו.
3. קיבוציות כפל סקלרים בווקטור (חוק הקיבּוץ): $\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {F} ,\forall {\vec {v}}\in V,(\alpha \cdot \beta )\cdot {\vec {v}}=\alpha \cdot (\beta \cdot {\vec {v}})$
4. פילוגיות סקלרים (חוק הפילוג לסקלרים): $\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {F} ,\forall {\vec {v}}\in V,(\alpha +\beta )\cdot {\vec {v}}=\alpha \cdot {\vec {v}}+\beta \cdot {\vec {v}}$
5. פילוגיות וקטורים: $\forall \alpha \in \mathbb {F} ,\forall {\vec {v}},{\vec {u}}\in V,\alpha \cdot ({\vec {v}}+{\vec {u}})=\alpha \cdot {\vec {v}}+\alpha \cdot {\vec {u}}$

דרישת החילופיות של החיבור ב-$V$ נובעת משאר האקסיומות (כפי שניתן לראות אם מפתחים את הביטוי $(1+1)(u+v)$, פעם אחת לפי פילוגיות של סקלרים, ופעם שנייה לפי פילוגיות של וקטורים).

דוגמאות

• אוסף הפתרונות למערכת משוואות הומוגנית הוא מרחב וקטורי.
• המרחב $\mathbb {F} ^{n}$ של $n$-יות המורכבות מאיברים בשדה $\ \mathbb {F}$ כלשהו, כאשר החיבור הוא לפי קואורדינטות (חיבור איבר-איבר) וכך גם הכפל בסקלר. בפרט: $(x_{1},...,x_{n})+(y_{1},...,y_{n})=(x_{1}+y_{1},...,x_{n}+y_{n})$ ו-$c\cdot (x_{1},...,x_{n})=(cx_{1},...,cx_{n})$. האיבר הנייטרלי לחיבור הוא ${\vec {0}}=(0,...,0)$.
  • המרחב $\mathbb {R} ^{n}$ של $n$-יות מספרים ממשיים מעל שדה הממשיים.
  • המרחב האוקלידי התלת-ממדי מעל שדה הממשיים. זהו גם מרחב מכפלה פנימית ביחס למכפלה הסקלרית הסטנדרטית.
• מרחב הפונקציות הממשיות מעל שדה הממשיים.
  • מרחב הפולינומים מעל שדה $\ \mathbb {F}$. תת-המרחבים של מרחב זה המכילים פולינומים ממעלה n ומטה.
• מרחב המטריצות הממשיות (או המרוכבות) בגודל נתון מעל שדה הממשיים (או המרוכבים).
• מרחב כל ההעתקות הליניאריות מעל מרחב וקטורי נתון.
• אוסף כל תת-הקבוצות של קבוצה $X$ כלשהי הוא מרחב וקטורי מעל השדה $\mathbb {Z} _{2}$, כאשר פעולת החיבור היא פעולת ההפרש הסימטרי.

מונחים

• תלות ליניארית קיימת בקבוצת וקטורים אם ניתן להציג וקטור אחד מתוכה כצירוף ליניארי של האחרים.
• פרוש (Span) של קבוצת וקטורים הוא קבוצת כל הצירופים הליניאריים של הווקטורים בקבוצה. קבוצת וקטורים פורשת את המרחב אם המרחב שווה לפרוש שלה.
• בסיס של מרחב וקטורי הוא קבוצה בלתי תלויה של וקטורים שפורשת אותו.
• ממד המרחב הוא מספר הווקטורים בבסיס. מכיוון שמספר זה איננו תלוי בבחירת הבסיס (כלומר שווה בכל הבסיסים במרחב), המושג מוגדר היטב. ממד יכול להיות סופי או אינסופי.

ישר במרחב וקטורי כללי

במרחב וקטורי כללי מעל שדה F ניתן להגדיר קו ישר באופן הבא: יהיו ${\vec {v}},{\vec {u}}\in V$ שני וקטורים כאשר ${\vec {v}}\neq {\vec {0}}$:
ישר שכיוונו ${\vec {v}}$ העובר דרך הנקודה ${\vec {u}}$ ("ישר אפיני") מתואר על ידי

$\{{\vec {u}}+t{\vec {v}}\mid t\in F\}$.

ישר העובר דרך הראשית (${\vec {u}}={\vec {0}}$) מתואר בפשטות על ידי

$\mathrm {Span} _{F}\{{\vec {v}}\}=\{t{\vec {v}}\mid t\in F\}$.

הגדרת ישר העובר בין שתי נקודות (שונות), המיוצגות על ידי הווקטורים ${\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2}\in V$

$L=\{{\vec {v}}_{1}t+(1-t){\vec {v}}_{2}|t\in F\}=\{{\vec {v}}_{2}+t({\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2})\mid t\in F\}$.

תת-מרחב וקטורי

תת-מרחב וקטורי של מרחב וקטורי כלשהו הוא תת-קבוצה שלו שמהווה בעצמה מרחב וקטורי. תת-מרחב חייב להיות מעל אותו שדה של המרחב הווקטורי והפעולות בו חייבות להיות אותן פעולות של המרחב הווקטורי. כדי לבדוק שתת-קבוצה $\ W$ של המרחב הווקטורי $\ V$ מעל השדה $\mathbb {F}$ מהווה מרחב וקטורי, די לבדוק את הפרטים הבאים:

1. $\ W$ אינה ריקה (מספיק לדעת שווקטור האפס שייך ל־$\ W$, כלומר ${\vec {0}}_{V}\in W$).
2. $\ W$ סגורה ביחס לחיבור. כלומר שלכל ${\vec {v}},{\vec {u}}\in W$ מתקיים ${\vec {v}}+{\vec {u}}\in W$.
3. $\ W$ סגורה ביחס לכפל בסקלר. כלומר שלכל ${\vec {v}}\in W$ ו-$\lambda \in \mathbb {F}$ מתקיים $\lambda \cdot {\vec {v}}\in W$.

שאר הדרישות שבהגדרת מרחב וקטורי, נובעות ישירות מהיותם של כל איברי $\ W$ איברים גם של $\ V$.

יריעת גרסמן מקוֹדדת את כל תת-המרחבים מממד נתון של $V$

ראו גם

• מרחב בנך
• מרחב הילברט
• מרחב נורמי
• מרחב מכפלה פנימית
• אגד וקטורי

קישורים חיצוניים

• הרצאה על תלות, פרישה בסיס וממד מתוך קורס באלגברה ליניארית שניתן ב-MIT
• סימולטור להדגמה של תלות, פרישה, בסיס וממד במרחב תלת־ממדי (ומושגים נוספים באלגברה ליניארית)
• מרחב וקטורי, באתר MathWorld (באנגלית)
• מרחב וקטורי, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)