הגדרת הגבול לפי קושי

הגדרה יסודית בחשבון אינפיניטסימלי המהווה פורמליזציה של המושג גבול

הגדרת הגבול על פי קושי הנקראת לעיתים גם הגדרת הגבול באפסילון ודלתא () היא הגדרה יסודית בחשבון אינפיניטסימלי המהווה פורמליזציה של המושג גבול. הגדרה זו נוסחה על ידי אוגוסטן לואי קושי בספרו מ-1821, "Cours d'Analyse". אף על פי שקושי מעולם לא השתמש באפסילון ודלתא, נהוג להשתמש בהם לטיעונים בהוכחות.

בכל פעם שנקודה נמצאת בתוך יחידות של אז נמצאת בתוך יחידות של

הגדרת הגבול המקורית ניתנה לראשונה כהגדרה רשמית על ידי ברנרד בולצאנו בשנת 1817, ונוסחה באופן סופי על ידי קארל ויירשטראס[1][2]. הוא נתן ניסוח ריגורוזי לתפיסה הבלתי פורמלית שהביטוי התלוי מתקרב לערך כאשר המשתנה מתקרב לערך אם ניתן לקרב כרצוננו את ל- על ידי לקיחת קרוב מספיק ל-.

הגדרהעריכה

הגדרה: לפונקציה   קיים גבול   בנקודה   אם לכל   (קטן כרצוננו) קיים   כך שלכל   מתקיים  .

הסבר אינטואיטיביעריכה

במילים אחרות, נאמר שהגבול של פונקציה  , שווה ל־ , כאשר   שואף ל־  ( ), אם נוכל להביא את   קרוב ל־  ככל שנרצה, אם ניקח   קרוב מספיק ל־  שאינו שווה ממש ל־ [3].

כשאנו אומרים ששני מושגים "קרובים", כמו   ל־  או   ל- , אנו מתכוונים שההפרש (או המרחק) ביניהם הוא קטן כרצוננו. כאשר  ,  ,   ו־  הם מספרים ממשיים, המרחק בין שני מספרים הוא הערך המוחלט של ההפרש בין השניים. לפיכך, כאשר אנו אומרים ש־  קרוב ל־  אנו מתכוונים ש-  קטן כרצוננו וכשאנו אומרים ש־  ו־  קרובים, אנחנו מתכוונים ש-  קטן כרצוננו[4].

כשאנו אומרים שנוכל לקרב כרצוננו את   ל־L, אנו מתכוונים שעבור כל מרחק  , שאינו אפס, אנו יכולים להפוך את המרחק בין   ל־  ( ) לקטן מ־ [5].

כשאנו אומרים שנוכל לקרב כרצוננו את   ל־L על ידי הדרישה ש-  צריך להיות מספיק קרוב, אבל לא בדיוק  , אנו מתכוונים לכל מרחק   שאינו אפס, יש מרחק   שאינו אפס, כך שאם המרחק בין   ל-  הוא פחות מ-  אז המרחק בין   ל-  קטן מ-   .[6]

היסטוריהעריכה

 
גרף הפונקציה  

אף על פי שהיוונים בחנו את תהליך הגבול, כמו בשיטה הבבלית לחישוב שורש ריבועי, נראה שלא היה להם מושג הדומה לגבול המודרני[7]. הצורך במושג הגבול עלה במאה ה-17 כאשר פייר דה פרמה ניסה למצוא את השיפוע קו המשיק בנקודה מסוימת של פונקציה באמצעות גודל שאינו אפס, אך כמעט אפס. כמקובל, השיפוע מסומן באות  , הפונקציה מסומנת באות  , הנקודה מסומנת באות   והגודל האפסי מסומן באות  . למשל עבור הפונקציה   פרמה ביצע את החישוב הבא:

 

המפתח לחישוב שלמעלה הוא שמאחר ש-  הוא לא אפס, אפשר לחלק את   ב- , אך מאחר ש-  קרוב כרצוננו ל- , אז   זה בעצם  [8]. גדלים כמו   נקראים אינפיניטסימלים. הבעיה בחישוב זה היא שמתמטיקאים מהתקופה לא הצליחו להגדיר באופן ריגוזורי גודל עם התכונות של  [9]. אף על פי שהיה נהוג 'להזניח' אינפיניטימליים גדולים יותר ונראה היה כי זה מניב תוצאות נכונות.

בעיה זו הופיעה שוב מאוחר יותר במאה ה-17 במרכז התפתחות החשבון האינפיניטסימלי, שכן חישובים כמו של פרמה נחוצים לחישוב נגזרות. אייזק ניוטון פיתח לראשונה חישוב באמצעות גודל אינפיניטסימלי הנקרא fluxion. הוא פיתח אותו בהתייחס לרעיון של "רגע קטן עד אינסוף בזמן..."[10] עם זאת, מאוחר יותר דחה ניוטון את הרעיון לטובת תאוריית יחסים הקרובה להגדרת הגבול המודרנית בשימוש  .[10] יתרה מזו, ניוטון היה מודע לכך שגבול היחס בין גדלים אינפיניטסימלים אינו יחס כשלעצמו, כפי שכתב:

"אותם יחסים סופיים... למעשה אינם יחסים של גדלים סופיים, אלא גבולם... אליהם הם יכולים להתקרב כל כך, עד שההבדל ביניהם קטן יותר מכל גודל נתון..."

בנוסף, ניוטון דיבר על גבולות במונחים הדומים להגדרת האפסילון-דלתא[11]. גוטפריד וילהלם לייבניץ פיתח אינפיניטסימל משלו וניסה לספק לו בסיס ריגורוזי, אך הוא עדיין נתקל בחוסר שביעות רצון מכמה מתמטיקאים ופילוסופים[12].

לאוגוסטן לואי קושי הייתה תפיסה מעט פרימיטיבית יותר, והוא נתן הגדרה לגבול באמצעות מונח אותו כינה "גודל מִשְׁתַּנֶּה"[13], ולא באמצעות אפסילון-דלתא[14]. חלק מההוכחות של קושי מכילות אינדיקציות לשיטת האפסילון-דלתא. השאלה אם גישתו היסודית יכולה להיחשב כ"מבשרת" של ויישטראס היא נושא למחלוקת אקדמית. גראבינר טוען שכן, בעוד שוג'יבור (2005) לא.[15] נקאן טוען שוויישטראס וקושי העניקו את אותו השם לתפיסות שונות של מושג הגבול[16]. בסופו של דבר, הקרדיט ניתן לוויירשטראס ובולצאנו על מתן בסיס ריגוזורי לחישוב גבול בצורה המודרנית של  [17] [18]. מאז לא היה עוד צורך להתייחס לאינפיניטסימל  [19] והחישוב של פרמה הפך לחישוב של הגבול הבא:

 

אין זה אומר שהגדרת הגבול הייתה נקייה מבעיות. אף על פי שלא היה עוד צורך באינפיניטסימלים, היא חייבה את בניית שדה המספרים הממשיים על ידי ריכרד דדקינד[20]. זה גם לא אומר שלאינפיניטסימלים אין יותר מקום במתמטיקה המודרנית, שכן מתמטיקאים מאוחרים יותר הצליחו ליצור באופן ריגוזורי גדלים אינפיניטסימלים כמספרים היפר־ממשיים או כמספרים סוריאליסטיים. יתרה מזאת, ניתן לפתח באופן ריגוזורי חשבון עם גדלים כאלה ויש להם שימושים מתמטיים אחרים[21].

דוגמאותעריכה

דוגמה 1עריכה

 
גרף הפונקציה   בסביבת אפס

נראה כי  .

יהי  . עלינו למצוא   כך שלכל   מתקיים  .

נשים לב כי:

 

מתכונות ערך מוחלט:

 

מכיוון שסינוס חסום בין 1 ל-1 אז:

 

לפיכך, אם ניקח  , אז   מתקיים  , מש"ל.

דוגמה 2עריכה

נוכיח את ההצהרה כי   עבור כל מספר ממשי  .

יהי  . עלינו למצוא   כך שלכל   מתקיים   .

נתחיל בפישוט:  .

נראה כי הביטוי   חסום על ידי  , כך שנוכל להניח מראש חסם של 1 ובהמשך לבחור משהו קטן מזה עבור  [22].

אז אנחנו מניחים   . ידוע שלכל   ו־  ממשיים מתקיים:  . ובפרט,   לכן,  .

לפי אי השוויון במשולש מתקיים:   לפיכך, אם אנו מניחים כי  אז  .

לסיכום, נקבע  

ולכן אם  , אז:

 

לפיכך, מצאנו   כך ש־  ולכן   . אם כן, הראינו כי   עבור כל מספר ממשי  .

דוגמה 3עריכה

נוכיח כי  

אנו רוצים להראות זאת  .

נשים לב  , כלומר נדרש  . נחלק ב-3:   ונקבל מיד את התוצאה הרצויה -  . כך שההוכחה הושלמה.

לקריאה נוספתעריכה

הערות שולייםעריכה

  1. ^ אוגוסטן לואי קושי, Résumé des leçons données à l'école royale polytechnique sur le calcul infinitésimal, ‏1823 (בצרפתית) (ארכיון)
  2. ^ Grabiner, Judith V. (מרץ 1983), "Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus", The American Mathematical Monthly 90 (3): 185–194, JSTOR 2975545, doi:10.2307/2975545, אורכב מ-המקור ב-2009-05-04, בדיקה אחרונה ב-1 במאי 2009 
  3. ^ Spivak, Michael (2008). Calculus (מהדורה 4th). Houston, Tex.: Publish or Perish. עמ' 90. ISBN 978-0914098911. 
  4. ^ Spivak, Michael (2008). Calculus (מהדורה 4th). Houston, Tex.: Publish or Perish. עמ' 96. ISBN 978-0914098911. 
  5. ^ Spivak, Michael (2008). Calculus (מהדורה 4th). Houston, Tex.: Publish or Perish. עמ' 96. ISBN 978-0914098911. 
  6. ^ Spivak, Michael (2008). Calculus (מהדורה 4th). Houston, Tex.: Publish or Perish. עמ' 96. ISBN 978-0914098911. 
  7. ^ ג'ון סטילוול, Mathematics and its history (עמ' 38-39), בהוצאת שפרינגר
    ISBN 978-1-4899-0007-4, ‏1989
  8. ^ ג'ון סטילוול, Mathematics and its history (עמ' 104), בהוצאת שפרינגר
    ISBN 978-1-4899-0007-4, ‏1989
  9. ^ ג'ון סטילוול, Mathematics and its history (עמ' 106), בהוצאת שפרינגר
    ISBN 978-1-4899-0007-4, ‏1989
  10. ^ 1 2 Buckley, Benjamin Lee (2012). The continuity debate : Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond and Peirce on continuity and infinitesimals. עמ' 31. ISBN 9780983700487. 
  11. ^ Pourciau, B. (2001), "Newton and the Notion of Limit", Historia Mathematica 28 (1): 18–30, doi:10.1006/hmat.2000.2301 
  12. ^ Buckley, Benjamin Lee (2012). The continuity debate : Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond and Peirce on continuity and infinitesimals. עמ' 32. ISBN 9780983700487. 
  13. ^ "variable quantity"
  14. ^ (Grabiner, 1981)
  15. ^ Grabiner, Judith V. (מרץ 1983), "Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus", The American Mathematical Monthly 90 (3): 185–194, JSTOR 2975545, doi:10.2307/2975545, אורכב מ-המקור ב-2009-05-04, בדיקה אחרונה ב-1 במאי 2009 
  16. ^ Nakane, Michiyo. Did Weierstrass's differential calculus have a limit-avoiding character? His definition of a limit in εδ style. BSHM Bull. 29 (2014), no. 1, 51–59.
  17. ^ Grabiner, Judith V. (מרץ 1983), "Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus", The American Mathematical Monthly 90 (3): 185–194, JSTOR 2975545, doi:10.2307/2975545, אורכב מ-המקור ב-2009-05-04, בדיקה אחרונה ב-1 במאי 2009 
  18. ^ Cauchy, A.-L. (1823), "Septième Leçon - Valeurs de quelques expressions qui se présentent sous les formes indéterminées   Relation qui existe entre le rapport aux différences finies et la fonction dérivée", Résumé des leçons données à l'école royale polytechnique sur le calcul infinitésimal, Paris, אורכב מ-המקור ב-2009-05-04, בדיקה אחרונה ב-1 במאי 2009, p. 44. .
  19. ^ Buckley, Benjamin Lee (2012). The continuity debate : Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond and Peirce on continuity and infinitesimals. עמ' 33. ISBN 9780983700487. 
  20. ^ Buckley, Benjamin Lee (2012). The continuity debate : Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond and Peirce on continuity and infinitesimals. עמ' 32–35. ISBN 9780983700487. 
  21. ^ Tao, Terence (2008). Structure and randomness : pages from year one of a mathematical blog. Providence, R.I.: American Mathematical Society. עמ' 95–110. ISBN 978-0-8218-4695-7. 
  22. ^ Spivak, Michael (2008). Calculus (מהדורה 4th). Houston, Tex.: Publish or Perish. עמ' 95. ISBN 978-0914098911.  Unknown parameter |url-access= ignored (עזרה)