ההצגה הצמודה

באלגברה מופשטת, ההצגה הצמודהאנגלית: Adjoint Representation) מתייחסת לשני מושגים הקשורים זה לזה: ההצגה הצמודה של חבורת לי וההצגה הצמודה של אלגברת לי.

ההצגה הצמודה של חבורת ליעריכה

תהי   חבורת לי. כל איבר   משרה אוטומורפיזם פנימי

 

(זו למעשה הצמדה בתורת החבורות). ההעתקה

 

היא בעצם הומומורפיזם מ-  לחבורת האוטומורפיזמים על  .

לפי פונקציית קורי אפשר להסתכל על Inn כהומומורפיזם בשני ארגומנטים

 

גזירה של העתקה זו ביחס לארגומנט השני מגדיר העתקה חדשה

 

מהחבורה   לחבורת האוטומורפיזמים של   (אלגברת לי של  ) שנתונה על ידי

  לכל  .

נשים לב שאלגברת לי   היא מרחב וקטורי. אזי ההעתקה   היא הצגה ליניארית של   ונקראת ההצגה הצמודה של  .

ההצגה צמודה של אלגברת ליעריכה

ההצגה הצמודה של אלגברת לי   היא הפונקציה המתאימה לכל איבר   באלגברה את האנדומורפיזם של   המתקבל על ידי כפל משמאל באיבר. זוהי הצגה ליניארית של האלגברה, שיש לה תפקיד מרכזי בתורה של אלגברות לי.

הגדרהעריכה

תהי   אלגברת לי. לכל  , ההצגה הצמודה של   הוא העתקה   המוגדרת על ידי  .

העתקת הצמוד היא העתקה   מהאלגברה אל אלגברת האנדומורפיזמים, הנתונה על ידי  .

תכונותעריכה

  •   היא העתקה ליניארית.
  • התמונה של העתקת הצמוד נמצאת בתוך מרחב הנגזרות (כלומר, כל ייצוג מצמיד הוא נגזרת, ובפרט מקיים את כלל לייבניץ).
  • העתקת הצמוד היא הומומורפיזם של אלגברות לי, כלומר מתקיים  .
  • משפט אנגל מקשר בין הנילפוטנטיות של איברי   לאיברי  , וקובע כי אלגברת לי היא נילפוטנטית אם ורק אם כל איברי   נילפוטנטים.

הקשר בין שתי ההצגותעריכה

לקריאה נוספתעריכה

  • Introduction to Lie Algebras and Representation Theory,James Humphreys, p.8

קישורים חיצונייםעריכה