ויקיפדיה:מיזמי ויקיפדיה/קורסים/תורת הקבוצות/כיתת לימוד/Mr. W

שיעור שני - מושג הקבוצה

• עבור כל אחד מהאובייקטים הבאים הגדירו האם הוא קבוצה או לא:
  • {1} - כן, קבוצה סופית, בת איבר אחד
  • {1,2,3} - כן, סופית, בת 3
  • $\emptyset$ - לשיעור הבא
  • {$\emptyset$} - כנ"ל
  • שברולט - כן, סופית, בת 1
  • כל ילדי סין - כן, סופית, בת מספר מוגדר אך בלתי ידוע
  • {1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,$\emptyset$} - כן, סופית, בת 3 (אם כי ייתכן שצריך לחכות לשיעור הבא)
  • {1,{2,3}} - כן (ומדובר בקבוצה בתוך קבוצה), סופית, בת 2 (כשאחד האיברים הוא קבוצה סופית בת 2 בעצמו)
  • {{1,2},{2,2}} - כן (וכנ"ל), סופית, בת 2 (כששניהם הם קבוצות סופיות בעצמן, האחת בת 2 והשנייה בת 1)
  • כל המספרים בני שלוש ספרות הניתנים לבניה מהספרות 1,2,3 - כן, סופית, בת 6 (אם אני לא טועה)
  • {1...10} - כן, סופית, בת 10
• עבור כל אחד מהאובייקטים עבורם החלטתם שהם קבוצה, כתבו האם הוא קבוצה סופית או קבוצה אינסופית. במידה ומדובר בקבוצה סופית, מהו מספר האיברים בה?
• קבע עבור כל אחד מהבאים האם הוא איבר או שאינו איבר בתוך הקבוצה המתאימה (השתמשו בסימון מתמטי מתאים).
  • $1\quad \{1\}$ - ‏$1\in A$
  • $1\quad \{1,2,3\}$ - ‏$1\in A$
  • $1\quad \{1,1,1,1,2,2,2,2\}$ - ‏$1\in A$
  • זכרון יעקב {ערים לחופו של ים-המלח} - $ZikhronYa'akov\not \in A$
  • $1\quad \{1,\{2,3\}\}$‏- $1\in A$
  • $2\quad \{1,\{2,3\}\}$‏ - $2\not \in A$
  • $\{2,3\}\quad \{1,\{2,3\}\}$‏ - $\{2,3\}\in A$
  • $3\quad \emptyset$ - ‏$3\not \in A$
  • $\emptyset \quad \{3\}$ - ‏$emptyset\not \in A$
  • משה דיין {אנשים שלא נולדו באירופה} - $MosheDayan\in A$
• עבור כל אחד מהאיברים הבאים, מצא קבוצה שהוא מתאים לה:
  • פיל - {בעלי חדק}
  • שפן - {בעלי חיים}
  • $\emptyset$ - לשיעור הבא
  • שברולט - {מכוניות אמריקאיות}
  • קורסים בוויקיפדיה - {דפי אינטרנט}
  • 42 - {1...100}
• מהם שלושת האיברים הראשונים בקבוצת המספרים הטבעיים? - אין דבר כזה "ראשונים" או "אחרונים" בקבוצה. אם כי כשנכתוב את הקבוצה בצורה {1,2,3,.....) הרי שסדר הכתיבה יכתיב את 1 2 ו-3 כנכתבים ראשונים.

בדיקה

• בסך הכל אין טעויות של ממש.
• שברולט אינה קבוצה. {שברולט} היא קבוצה (שהאיבר היחיד בה הוא שברולט).
• מדוע השתמשת בסימון? $\ \in A$? ה-A אינו הכרחי כאן (הוא משמש בשיעור לשם הדגמה). מספיק $\ \in$ לבדו כדי לציין שייכות. למשל $\ 1\in \{1,2\}$.
• התשובה לשאלה האחרונה יפה מאוד, שכן אני למשל הייתי טועה בה. אני מורגל בראשי שכאשר אומרים לי "קבוצת המספרים הטבעיים" הכוונה לקבוצה הזו פלוס המידע לגבי הסדר הפנימי של האיברים המוכר לכולנו. אולם לאמתו של דבר, במסגרת ההגדרות של הקורס עד כה (ולמעשה עד סופו) זה נכון לחלוטין להגיד שאין דבר כזה סדר פנימי בין איברי קבוצה. דניאל ב. • תרמו ערך 20:44, 27 ביוני 2011 (IDT)

ציפיתי כל הזמן שתענה בדף שיחתך, ורק עכשיו נפל לי האסימון לבדוק פה, המקום הטבעי. סליחה שאני רואה את זה רק עכשיו.

• "ובכן, דווקא בגלל "שברולט", שאלתיך בדף שיחתך וענית שמדובר בעיקר בהבדלי שפה, אך "שברולט" היא קבוצה בדיוק כמו "{שברולט}" וכמו "כל ילדי סין". בשאלתי בדף שיחתך נתתי גם את הדוגמה של שברולט. אז פספסת/י משהו?
• כך הבנתי מהערך הרלוונטי, ואכן לפי דבריך עדיף לתקן זאת שם, שיהיה ברור שמדובר בדוגמה. (לעתים מה שנראה כה ברור למי שמבין, נראה כה לא ברור למי שהוא בוּר כמוני...).

תודה רבה על הבדיקה, על המחמאות ובכלל על המסירות שלך. אינני מבין איך התלמידים האחרים זנחו את ההנאה שבלמידה ורכישת ידע כה נחוץ. זה פשוט סיפוק אדיר. ויקיפד ~ ש ~ בית המשפטים העליון 02:29, 29 ביוני 2011 (IDT)

• כשעניתי ש"מדובר בעיקר בהבדלי שפה" התכוונתי לדוגמת "כל ילדי סין", שם ברור שמתכוונים לקבוצה. כשאומרים "שברולט" זה לא ברור (הרי יש הבדל בין שברולט לקבוצה שאיברה היחיד הוא שברולט) ולכן נחוץ {שברולט}.
• הבהרתי את העניין בערך.

דניאל ב. • תרמו ערך 11:02, 29 ביוני 2011 (IDT)

שיעור שלישי - שוויון קבוצות

תרגיל. כמה איברים יש בכל אחת מהקבוצות $\ \{\emptyset \}$‏, $\ \{\{\emptyset \}\}$‏ ו-$\ \{\emptyset ,\{\emptyset \}\}$? האם הן שוות או שונות? הוכח.

תשובה: הקבוצות אינן שוות (פירוט איבריהן - בתוך ההוכחה, בהמשך). וההוכחה, מאחר ולא מתקיים התנאי הפשוט שבקבוצות שוות צריך שלכל קבוצות השוויון יהיו אותם איברים.

לצורך המשך השברים ולמען הנוחות אתן שמות לקבוצות שהוצגו בשאלה:

• $\ \{\emptyset \}$ - קבוצה A.
• $\ \{\{\emptyset \}\}$ - קבוצה B.
• $\ \{\emptyset ,\{\emptyset \}\}$ - קבוצה C.

בקבוצה A יש איבר אחד, שאף הוא קבוצה, אך קבוצה ריקה; קבוצה B אף היא בת איבר אחד, אך בשונה מהאיבר שבקבוצה A, הרי מדובר באיבר שהוא קבוצה לא ריקה, שכן הוא מכיל בתוכו איבר (שהוא קבוצה ריקה). אם כך, הרי האיבר השייך ל-A אינו שייך ל-B, וכן הפוך. כך שפעמיים לא ייתכן שמדובר כאן בקבוצות שוות.

בקבוצה C יש בכלל 2 איברים, כך שכבר הנתון הזה מספיק כדי להוכיח שהוא אינו שווה לא ל-A ולא ל-B שתיהן קבוצות בנות איבר אחד בלבד. לכן, למרות שאחד האיברים תואם לאיבר הנמצא בקבוצה A ‏($\ \{\emptyset \}$) או B ‏($\emptyset \$), הרי שעדיין בכל קבוצה מהקבוצות A ו-B, חסר איבר אחד שיש ב-C.

בדיקה

מצוין! דניאל ב. • תרמו ערך 11:02, 29 ביוני 2011 (IDT)

שעור רביעי - תת-קבוצות והכלה

• הקבוצה הריקה $\ \emptyset$ מוכלת בעצמה, אבל אינה שייכת לעצמה;
• לעומת זאת, הקבוצה הריקה $\ \emptyset$ מוכלת בקבוצה $\ \{\emptyset \}$ ושייכת לה;
• הקבוצה $\ \{\emptyset \}$ שייכת לקבוצה $\ B=\{\{\emptyset \}\}$ אבל אינה מוכלת בה (משום ש-$\ \emptyset \not \in B$).
• הקבוצה $\ \{\emptyset \}$ אינה מוכלת בקבוצה הריקה ואינה שייכת לה.

תרגיל. תן דוגמא נוספת לכל אחת מהאפשרויות לעיל.

דוגמאות משלי:

• הקבוצה $\ \ \{{\text{Hebrew Wikipedia}}\}$ מוכלת בקבוצה $\ \ \{{\text{Wikipedias}}\}$, אך אינה שייכת לקבוצה.
• לעומת זאת, הקבוצה $\ \ \{{\text{Hebrew Wikipedia}}\}$ מוכלת בקבוצה $\ \{\{x\}:{\text{x is a wikipedia}}\}$, וגם שייכת לה.
• הקבוצה $\ \ \{{\text{Hebrew Wikipedia, English Wikipedia}}\}$ שייכת לקבוצה

$\ \ \ B=\{\{{\text{Hebrew Wikipedia, English Wikipedia}}\}\ {,}\{{\text{Russian Wikipedia, Romanian Wikipedia}}\}$ אך אינה מוכלת בה, כי $\ {HebrewWikipedia,EnglishWikipedia}\not \in B$.

• הקבוצה $\ \ \{{\text{Hebrew Wikipedia, English Wikipedia}}\}$, אינה מוכלת בקבוצה $\ \ \{{\text{Chinese Wikipedia, Russian Wikipedia, Romanian Wikipedia}}\}$ ואינה שייכת לה.

וואו, זה היה קשה, עד שתפסתי בדיוק איך מסתדרים עם הסינית הוויקיפדית הזאת. מהיום אני לפחות אומר "שולת\\\\\\\}}}}}".

בדיקה

בדוק שוב את הדוגמה האחרונה. קיפודנחש - שיחה 01:58, 22 ביולי 2011 (IDT)

החלק הראשון נכון. בחלק השני:

• הסימון $\ \{{\text{Wikipedias}}\}$ מבלבל שכן עשויים לחשוב שהכוונה לקבוצה בה איבר יחיד הנקרא Wikipedias. נעדיף את הסימון $\ \{x:{\text{x is a Wikipedia}}\}$, או פשוט $\ {\text{Wikipedias}}$ ללא הסוגריים המסולסלים, כשברור מההקשר שמדובר בקבוצה.
• יש טעות בדוגמה השנייה.
• הדוגמה השלישית נכונה, אך מתמטיקאי טוב תמיד מעדיף דוגמאות פשוטות. ניתן לתת דוגמה פחות מסורבלת.
• יש טעות בדוגמה הרביעית.
• עצה: הכי נוח להתעסק עם קבוצות של מספרים ($\ \{0,\{1,2\}\}$ למשל). נוח יותר להסתכל עליהם ולעבוד איתם.

דניאל ב. • תרמו ערך 12:37, 22 ביולי 2011 (IDT)

1. אני עדיין לא מתמטיקאי טוב, ואפילו לא מתחיל...
2. אדע לפעם הבאה להשתמש במספרים, בינתיים כבר השתמשתי בוויקיפדיות, אז נמשיך לדון על כך.
3. בדוגמה האחרונה הייתה טעות של העתק-הדבק, ששכחתי לעדכן. תיקנתי.
4. לגבי הדוגמה השנייה: אכן התבלבלתי בין מושג ההכלה לשייכות. וטוב שהייתה לי טעות, כי כך הקשר וההבדל בין שני המושגים הובהר לי עוד יותר. לעניין נתינת הדוגמה עצמה, כעת, כשאני חושב על זה אין בעצם שום דוגמה אחרת למצב שקבוצה מסוימת מוכלת בקבוצה אחרת, וגם שייכת לה; למעט בקבוצה הריקה, שהיא ייחודית. כל דוגמה אחרת שתינתן, זה רק בין שתי קבוצות שוות לחלוטין. לדוגמה, הקבוצה $\ \ \{{\text{Hebrew Wikipedia}}\}$ מוכלת בקבוצה $\ \ \{{\text{Hebrew Wikipedia}}\}$ וגם שייכת לה. מדובר בעצם בקבוצות שוות. כל דוגמה שונה אינה עולה לי על הדעת. אני טועה? ויקיפד ~ ש ~ בית המשפטים העליון 17:57, 22 ביולי 2011 (IDT)

הדוגמה האחרונה נכונה כעת (אם כי ניתן לתת דוגמאות פשוטות יותר). לגבי הדוגמה האחרונה: דווקא יש אינסוף דוגמאות לקבוצה שגם מוכלת וגם שייכת לקבוצה אחרת, אבל דרוש מאמץ קל כדי לחשוב עליהן. נסה לבנות קבוצה כך שהקבוצה $\ \{1\}$ גם מוכלת בה וגם שייכת לה. דווקא לא נכון להגיד שקבוצה כלשהי גם שייכת וגם מוכלת בעצמה: אמנם $\ \{{\text{Hebrew Wikipedia}}\}\subseteq \{{\text{Hebrew Wikipedia}}\}$, אך $\ \{{\text{Hebrew Wikipedia}}\}\not \in \{{\text{Hebrew Wikipedia}}\}$. דניאל ב. • תרמו ערך 18:32, 22 ביולי 2011 (IDT)

אפשר כמובן לבנות קבוצה כזאת: $\ B=\{1,\{1\}\}$. הקבוצה $\ \{1\}$ גם מוכלת בה (האיבר 1 נמצא בה) וגם שייכת לה (הקבוצה {1} היא איבר שלה. אבל זו דוגמה שונה לחלוטין מהדוגמה היפה והחמודה, "הקבוצה הריקה $\ \emptyset$ מוכלת בקבוצה $\ \{\emptyset \}$ ושייכת לה". ויקיפד ~ ש ~ בית המשפטים העליון 18:41, 22 ביולי 2011 (IDT)

אכן זו דוגמה נכונה. אמנם הדוגמה של הקבוצה הריקה אלגנטית יותר אך אינה שונה ממנה מהותית. את שני המקרים בונים באותה שיטה. בעזרת הסימון שתלמד בשיעור הבא אפשר אפילו להכליל את הדוגמה לכל מקרה שהוא: אם נרצה לתת דוגמה לקבוצה שמכילה את הקבוצה $\ A$ וגם הקבוצה $\ A$ איבר שלה, נבנה את הקבוצה: $\ \{A\}\cup A$ (כאמור תבין את המשמעות של הסימון הזה בשיעור הבא). דניאל ב. • תרמו ערך 18:47, 22 ביולי 2011 (IDT)

אוקיי. תודה רבה על הכול, ונתראה בשיעורים הבאים. וכמובן, תודה גם לך, קיפודנחש. ויקיפד ~ ש ~ בית המשפטים העליון 18:50, 22 ביולי 2011 (IDT)

שיעור חמישי - פעולות בין קבוצות

לחצו על התמונה להגדלה

תרגיל:

ציירו דיאגרמות וון שתתארנה את המצב הכללי ביותר שבו יכולות להמצא שתיים, שלוש או ארבע קבוצות. חפשו (איפה? באינטרנט) דיאגרמה לתאור של חמש קבוצות.

פתרון:

ובכן, לפני שחיפשתי באינטרנט דיאגרמות, החלטתי ליצור דיאגרמה של ארבע קבוצות משלי. כמי שגרפיקה עבורו היא עינוי ממוחשב, זה לקח לי המון זמן לצייר, אבל התוצאה המגושמת לפניכם. (דיאגרמות של 2 ו-3 קבוצות זו ממש לא בעיה).

לגבי מציאת דיאגרמה של 5 קבוצות זה היה ממש פשוט. מיסטר דבֶּליו ~ הגיע הזמן שערכי הסרטים ייראו אחרת! 18:10, 8 באוגוסט 2011 (IDT)

בדיקה

יפה מאוד. במקרה של 3 קבוצות חסר האיחוד החיתוך של A ו-B, כנראה השמטה תמימה. דניאל ב. • תרמו ערך 18:35, 8 באוגוסט 2011 (IDT)

אכן, השמטה תמימה. תודה רבה, ולהשתמע. מיסטר דבֶּליו ~ T ~ בית המשפטים העליון 02:01, 9 באוגוסט 2011 (IDT)

האמת היא שרק לאחר עריכה זו של קיפודנחש הבנתי בעצם שאני לא ממש תפסתי את הכלל בדיאגרמת ון, איך מציינים חיתוך ואיך איחוד. מהערך, שם כתוב לגבי זה, העניין לא ברור. אז אנא, הסבירו לי את העניין, וגם כדאי להבהיר בערך יותר. מיסטר דבֶּליו ~ T ~ בית המשפטים העליון 02:19, 9 באוגוסט 2011 (IDT)

הוספתי לערך פסקה. האם זה עכשיו ברור יותר? שדדשכ • שיחה • ט' באב ה'תשע"א • 02:31, 9 באוגוסט 2011 (IDT)

יותר ברור, אם כי עדיין המשפט "ואיחוד מיוצג על ידי כל השטח השייך לפחות לאחת הקבוצות", זקוק להבהרה. אבל לפי זה, קיפוד נחש אינו צודק. לפי מה שהבנתי כשצבע אחד שולט על כל השטחים בעיגולים, אזי השטח המשותף משמעו איחוד. בדוגמאות 2 ו-3 זה בדיוק מה שקורה. או שעדיין לא הבנתי. מיסטר דבֶּליו ~ T ~ בית המשפטים העליון 02:39, 9 באוגוסט 2011 (IDT)

תסתכל בתמונה שיש בערך לגבי איחוד. שים לב שהאיחוד כולל את כל השטח שבקבוצה הראשונה, את כל השטח שבקבוצה השנייה, ואת כל השטח ששייך לשתי הקבוצות. זה הפירוש של "שייך לפחות לאחת הקבוצות" (לאחת מהן, או לשתיהן גם יחד). שים לב שהשטח שלא שייך לאף אחת מהקבוצות, אינו צבוע, כי הוא איננו נכלל בהגדרה "לפחות אחת מהקבוצות"

בנוגע למעשהו של קיפודנחש, שים לב שחיתוך הוא מה שנמצא בשטח המשותף לשתי הקבוצות. השטח שבו שכחת לכתוב משותף ל-A ול-B, ולכן הוא החיתוך שלהם. (למעשה החיתוך כולל גם את השטח ABC). ובנוגע לצבעים, זה תלוי איך אתה רוצה לצבוע את הדיאגרמה שלך. בדוגמאות שהוספתי, יש רק צבע אחד כדי להדגיש בדיוק למה הכוונה, אך לעיתים בוחרים לצבוע כל חלק בצבע אחר, ואז החיתוכים הם צבעים ספציפיים, בעוד שהאיחודים הם מספר שטחים ביחד (לדוגמה בתמונה הזאת, האיחוד של A ו-B הוא כל השטחים מלבד הצהוב, בעוד שהאיחוד שלהם הוא השטח הסגול והשטח הסגול-מוזר שמתחתיו). שדדשכ • שיחה • ט' באב ה'תשע"א • 03:31, 9 באוגוסט 2011 (IDT)

אני הבנתי שבדוגמה שלי רק השטח ששייך לשתי קבוצות או יותר, הוא מאוחד. כי הרי השטח האחר (ששייך לקבוצה אחת), הוא מעצם היותו שייך לקבוצה אחת בלבד - לא מאוחד עם קבוצה אחרת. לדבריך, טעיתי? ואם כן, למה? הרי זה לא הגיוני, וכפי שהסברתי. מיסטר דבֶּליו ~ T ~ בית המשפטים העליון 03:39, 9 באוגוסט 2011 (IDT)

כן. איחוד הוא בדיוק ההפך: מכיל את כל הערכים שנמצאים בלפחות קבוצה אחת. הרי מה זה איחוד? לוקחים שתי קבוצות ומאחדים אותן לקבוצה אחת שכוללת את שתיהן, ולכן מספיק שאיבר יהיה באחת מהן בשביל להיכנס. דוגמה: $\ \left\{1,2\right\}\cup \left\{2,3\right\}=\left\{1,2,3\right\}$. מה שתיארת זה חיתוך. שדדשכ • שיחה • ט' באב ה'תשע"א • 03:45, 9 באוגוסט 2011 (IDT)

אני חושב שאני מתחיל להבין: $\ \left\{1,2,5\right\}\cup \left\{2,3,4\right\}=\left\{1,2,3\right\}$ זה חיתוך, נכון?

כלומר, חיתוך הא גם "איחוד" של קבוצות, אלא כשמדובר בחלקי קבוצות זה קרוי חיתוך, ואילו כשמדובר בכל איברי הקבוצה, הרי שזה איחוד. נכון? מיסטר דבֶּליו ~ T ~ בית המשפטים העליון 03:57, 9 באוגוסט 2011 (IDT)

לא. האיחוד של הקבוצות שנתת הוא {1,2,3,4,5}, משום שכל האיברים האלה נמצאים בלפחות אחת מן הקבוצות, והחיתוך שלהן הוא {2} משום שזה האיבר היחיד שנמצא בשתי הקבוצות הללו.

לא הבנתי למה התכוונת במשפט השני, אבל הכלל הוא פשוט: כשמאחדים קבוצות, כל איבר שיופיע לפחות באחת מהן (כלומר בראשונה או בשנייה או בשתיהן) יופיע גם באיחוד. כשחותכים קבוצות, כל איבר שיופיע בשתיהן יופיע גם בחיתוך. ואגב, הנה משהו שעוזר לזכור: קבוצת האיחוד תמיד תכיל את כל הקבוצות שעליהן בוצעה הפעולה, וקבוצת החיתוך תמיד תהיה מוכלת בכל הקבוצות שעליהן בוצעה הפעולה. שדדשכ • שיחה • ט' באב ה'תשע"א • 04:03, 9 באוגוסט 2011 (IDT)

הבנתי. מה קורה במקרה הנ"ל? כלומר כשאני יוצר משתי הקבוצות $\ \left\{1,2,5\right\}\left\{2,3,4\right\}$ את הקבוצה $\ \left\{1,2,3\right\}$? האם פשוט אין חיה כזאת התורת הקבוצות? מיסטר דבֶּליו ~ T ~ בית המשפטים העליון 04:17, 9 באוגוסט 2011 (IDT)

אני לא חושב. לפי מה החלטת מה יכנס ומה לא? זה נראה שרירותי. בכל מקרה, אם הבנת, כדאי לך גם לבדוק אם אתה מבין עכשיו גם איך זה פועל בדיאגרמת ון. שדדשכ • שיחה • ט' באב ה'תשע"א • 04:19, 9 באוגוסט 2011 (IDT)

בדוגמה שלך, הקבוצה {1,2,3} היא "תת-קבוצה של האיחוד" (כלומר קבוצה המוכלת באיחוד), אבל לא ניתן לייצר אותה בעזרת "אריתמטיקת קבוצות", כלומר סדרת פעולות של חיתוכים ואיחודים. קיפודנחש - שיחה 16:48, 9 באוגוסט 2011 (IDT)

הבנתי. תודה רבה לכם. מיסטר דבֶּליו ~ T ~ בית המשפטים העליון 19:27, 9 באוגוסט 2011 (IDT)