ויקיפדיה:מיזמי ויקיפדיה/קורסים/תורת הקבוצות/כיתת לימוד

שיעור ראשון - מבוא

השיעור הראשון נמצא בויקיפדיה:מיזמי ויקיפדיה/קורסים/תורת הקבוצות/תוכן הקורס#שיעור ראשון - מבוא.

ערכים לקריאה בשיעור 1	האם נדרש שיפור של הערכים?	ויקיפדים המעונינים לשפר את הערך
תורת הקבוצות (פסקת הפתיחה רלוונטית לשיעור הראשון)	כן - הערך כרגע הינו מעין 'ערך הפניה' לתורת הקבוצות הנאיבית ולתורת הקבוצות האקסיומטית. כדאי לפחות להוסיף אליו את ההיסטוריה של התפתחות תורת הקבוצות. עדכון: הערכים תורת הקבוצות ותורת הקבוצות הנאיבית שונו על ידי דוד שי בעקבות דפי השיחה
תורת הקבוצות הנאיבית
גאורג קנטור

שאלות והערות

השיעור הראשון משמעותו קריאת הקטע הקצר בתוכן הקורס או גם את קריאת הערכים המקושרים? נרו יאיר • שיחה • כ"ב באלול ה'תש"ע • 20:01, 1 בספטמבר 2010 (IDT)

במיוחד הערכים המודגשים. אבל קח בחשבון שחלקים גדולים מהערך תורת הקבוצות מוסברים בהמשך הקורס. גם לי יש שאלה, אם אני חושב שהבנתי מה ההבדל בין תורת הקבוצות הנאיבית לזותי האכסיומטית, זה סימן שהשגתי [את ה]מטרה [ה]נדרשת? יוסי • שיחה 20:05, 1 בספטמבר 2010 (IDT)

כן זו אכן מטרה. כשלומדים תורה מתמטית אחד הדברים שחשוב להבין הוא מגבלותיה. אם הבנת את ההבדל ומדוע הוא חושב זה גם אומר שיש לך הבנה של איך מתמטיקה שואפת לעבוד ואיזה עקרונות היא מקדשת. דניאל ב. 20:12, 1 בספטמבר 2010 (IDT)

תודה על התשובה, אבל השאלה שלי לא נוסחה טוב, האם השגתי את המטרה הנדרשת של שיעור המבוא? יוסי • שיחה 20:37, 1 בספטמבר 2010 (IDT)

ייתכן שאני שואל בעצם את אותה שאלה, אבל אנסח מצדי בבירור: מה אמורים לעשות בשיעור הראשון מלבד קריאת הקטע הקצר הנ"ל? האם אמורים לקרוא גם את הערכים המודגשים כולם? נרו יאיר • שיחה • כ"ב באלול ה'תש"ע • 20:43, 1 בספטמבר 2010 (IDT)

צריך לקרוא את הערך תורת הקבוצות. רחל - שיחה 20:45, 1 בספטמבר 2010 (IDT)

א. כדאי להבהיר זאת בתוכן הקורס (ומעין זה גם בשיעורים הבאים). ב. כתוב למעלה שחלקים גדולים מהערך הנ"ל מוסברים בהמשך הקורס, ואם כן יש פה לכאורה בעיה מתודולוגית. נרו יאיר • שיחה • כ"ב באלול ה'תש"ע • 22:59, 1 בספטמבר 2010 (IDT)

רק הפתיח של תורת הקבוצות רלוונטי כרגע. שאר הערך עוסק בתכנים של המשך הקורס. כדאי לקרוא את הערכים המודגשים. אין צורך לקרוא את הערכים האחרים (חלקם מודגשים בהמשך במקום המתאים). דניאל ב. 23:06, 1 בספטמבר 2010 (IDT)

יש שני דברים שהיו קשים בעיני להבנה בערך.

1. את שקילותן של קבוצות אינסופיות מסוימות הבנתי, אך ממש לא ברור לי אילו קבוצות כאלו יכולות להיות לא שקולות, הרי אם הן אינסופיות, ניתן להצמיד לכל איבר שבאחת איבר מהקבוצה השנייה, לא?
2. המשפט בקבוצה A תהיה איבר כל קבוצה X שאינה איבר של עצמה. כתוב בצורה הכי לא ברורה שיש. הוא מתחיל במושא עקיף, ואחרי הפועל בלשון נקבה יש שם עצם זכר. אחרי שחזרתי וקראתי שוב ושוב את כל הפסקה הבנתי שהנושא הוא בכלל קבוצה X והנשוא כנראה האיבר, אבל כל פעם כשאני קורא את המשפט אני צריך לפענח מחדש. יש דרך פשוטה יותר לנסח את המשפט? • רוליג • שיחה • אמצו חתול 21:13, 1 בספטמבר 2010 (IDT)

1. הרעיון שיש קבוצות אינסופיות שאינן שקולות זו לזו הוא מהחידושים הבולטים של תורת הקבוצות, ונגיע אליו בשעור שבעה-עשר.
2. ניסחתי מחדש את הרעיון, אני מקווה שכעת הוא ברור יותר. דוד שי - שיחה 22:09, 1 בספטמבר 2010 (IDT)

תודה על ההסבר. הוספתי את הניסוח החדש שלך למשפט עצמו גם לתורת הקבוצות. • רוליג • שיחה • אמצו חתול 22:57, 1 בספטמבר 2010 (IDT)

בערך תורת הקבוצות ההסרתי את פרטי הפרדוקס. די בכך שהפרטים מופיעים בערך המוקדש לפרדוקס ובערך תורת הקבוצות הנאיבית‏, שבהם עניין זה מרכזי יותר. דוד שי - שיחה 23:07, 1 בספטמבר 2010 (IDT)

שיעור שני - מושג הקבוצה

השיעור נמצא בויקיפדיה:מיזמי ויקיפדיה/קורסים/תורת הקבוצות/תוכן הקורס#שיעור שני - מושג הקבוצה

ערכים לקריאה בשיעור 2	האם נדרש שיפור של הערכים?	ויקיפדים המעונינים לשפר את הערך
קבוצה (מתמטיקה)	לא
איבר (מתמטיקה)	לא
בונוס ???

שיעורי בית

שיעורי הבית ינתנו ביחד עם השיעור והם מיועדים להגשה עד לשיעור הבא. המקום להגיש את שיעורי הבית הוא דף משנה של הדף הנוכחי הכולל את שמכם וזאת על מנת לאפשר לאחרים להתנסות בפתרון השאלות טרם שראו את תשובתכם. לאור העובדה שהמטלה מוגשת השבוע באיחור היא תהיה קצרה מהרגיל. המטלות צפויות לגזול כשעה נוספת בסה"כ, נא עדכנו אותי במידה והמטלה לוקחת לכם יותר. תומר א. - שיחה - _{משנה ויקיפדית} 20:12, 12 בספטמבר 2010 (IST)

תומר, על חלק מהשאלות הם עדין לא מסוגלים לענות (קבוצה ריקה, אינסופיות, הכלה...). דניאל ב. 20:16, 12 בספטמבר 2010 (IST)

אתה מוזמן להסיר שאלות שלדעתך אינן מכוסות במסגרת השיעור. קבוצה ריקה ואינסופיות מכוסות במסגרת הערך איבר. השימוש במילה הכלה היה תקלדה שלי ותיקנתי אותה למילה 'איבר'. תומר א. - שיחה - _{משנה ויקיפדית} 00:22, 13 בספטמבר 2010 (IST)

• עבור כל אחד מהאובייקטים הבאים הגדירו האם הוא קבוצה או לא:
  • {1}
  • {1,2,3}
  • $\emptyset$
  • {$\emptyset$}
  • שברולט
  • כל ילדי סין
  • {1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,$\emptyset$}
  • {1,{2,3}}
  • {{1,2},{2,2}}
  • כל המספרים בני שלוש ספרות הניתנים לבניה מהספרות 1,2,3
  • {1...10}
• עבור כל אחד מהאובייקטים עבורם החלטתם שהם קבוצה, כתבו האם הוא קבוצה סופית או קבוצה אינסופית. במידה ומדובר בקבוצה סופית, מהו מספר האיברים בה?
• קבע ועבור כל אחד מהבאים האם הוא איבר או שאינו איבר בתוך הקבוצה המתאימה (השתמשו בסימון מתמטי מתאים).
  • $1\quad \{1\}$
  • $1\quad \{1,2,3\}$
  • $1\quad \{1,1,1,1,2,2,2,2\}$
  • זכרון יעקב {ערים לחופו של ים-המלח}
  • $1\quad \{1,\{2,3\}\}$
  • $2\quad \{1,\{2,3\}\}$
  • $\{2,3\}\quad \{1,\{2,3\}\}$
  • $3\quad \emptyset$
  • $\emptyset \quad \{3\}$
  • משה דיין {אנשים שלא נולדו באירופה}
• עבור כל אחד מהאיברים הבאים, מצא קבוצה שהוא מתאים לה:
  • פיל
  • שפן
  • $\emptyset$
  • שברולט
  • קורסים בוויקיפדיה
  • 42
• מהם שלושת האיברים הראשונים בקבוצת המספרים הטבעיים?

שאלות והערות

האם המחסור בשאלות נובע מכך שמשתתפי הקורס לא קוראים את הערכים או מכך שהערכים ברורים מספיק. תומר א. - שיחה - _{משנה ויקיפדית} 16:06, 12 בספטמבר 2010 (IST)

שאל שאלה שאם אדע לענות עליה זו אומר שהבנתי. יוסי • שיחה 19:20, 12 בספטמבר 2010 (IST)

האם נכון ש-$12\not \in \{2,4,\ldots ,20\}$? האם נכון ש-$\{1\}\in \{1,3,a\}$? דניאל ב. 19:39, 12 בספטמבר 2010 (IST)

_{תשובה הוסתרה} איך היה? יוסי • שיחה 21:53, 12 בספטמבר 2010 (IST)

יפה, צדקת בשניהם. הסתרתי תושבתך למקרה שאחרים ירצו גם הם לפתור. דניאל ב. 23:33, 12 בספטמבר 2010 (IST)

שיעור שלישי - שוויון קבוצות

השיעור נמצא בויקיפדיה:מיזמי ויקיפדיה/קורסים/תורת הקבוצות/תוכן הקורס#שיעור שלישי - שוויון קבוצות

ערכים לקריאה בשיעור 3	האם נדרש שיפור של הערכים?	ויקיפדים המעונינים לשפר את הערך
אם ורק אם	לא
הקבוצה הריקה	דורש שיפור רב
באופן ריק

שאלות והערות

הפסקה האחרונה בתוך מאפיינים בערך אם ורק אם אינה מובנת לי. זה בעברית?

בנוסף, לא כל כך הבנתי את הקביעה "לכל קבוצה A, הקבוצה הריקה היא תת-קבוצה של A". זה אומר שלקבוצה {3} יש איבר אחד, ואילו לקבוצה {3, Ø} שני איברים אך הן שקולות זו לזו? אודה למשיב. • רוליג • שיחה • אמצו חתול 14:58, 17 בספטמבר 2010 (IST)

בקשר לאם ורק אם, זה ניסוח פורמלי לאיזשהי דקות בניסוח טענה. היתה שם בעיית כיווניות שתיקנתי אבל אני בספק אם זה מה שגרם לבלבול שלך :-). בכל אופן אנסה לנסח דוגמה אינטואטיבית לרעיון.

בקשר לקבוצות. זה גולש לשיעור הבא, אבל אתה עושה הטעות נפוצה ומבלבל בין הכלה לשייכות. שים לב: כשאומרים שהקבוצה הריקה מוכלת בכל קבוצה הכוונה שכל איבר של הקבוצה הריקה הוא איבר של כל קבוצה אחרת (וזה נכון כי אין לקבוצה הריקה איברים בכלל). זה ממש לא אומר שהקבוצה הריקה שייכת לכל קבוצה, כלומר היא לא בהכרח איבר של כל קבוצה. דניאל ב. 15:18, 17 בספטמבר 2010 (IST)

מתוך התכונות של הקבוצה הריקה לא הבנתי את המשפט הבא:

• לכל קבוצה A קיימת בדיוק פונקציה אחת $f:\emptyset \rightarrow A$ (הלוא היא הקבוצה הריקה, שאין בה זוגות סדורים כלל). אם A אינה ריקה, אז אין פונקציות $f:A\rightarrow \emptyset$.

תודה, רחל - שיחה 20:29, 21 בספטמבר 2010 (IST)

תוכלי להבין אחרי שיעור עשירי, או אם תקדימי ותקראי את הערך פונקציה. דניאל ב. 23:44, 22 בספטמבר 2010 (IST)

תודה על התשובה. רחל - שיחה 10:44, 23 בספטמבר 2010 (IST)

משתמש אושיק האים זה נכון פה לשאול את השאלות ? אם כן איך אני יכול לכתוב את כל הסימנים המיוחדים ?

שלום אושיק, אתה יכול לשאול כאן שאלות. עדיף לשאול בשיעור שעוסק בנושא השאלה שלך.

לגבי כתיבת סימנים מיוחדים ראה עזרה:נוסחאות. בברכה, רחל - שיחה 07:46, 29 באוקטובר 2010 (IST)

שעור רביעי - תת-קבוצות והכלה

תוכן השיעור נמצא בויקיפדיה:מיזמי ויקיפדיה/קורסים/תורת הקבוצות/תוכן הקורס#שעור רביעי - תת-קבוצות והכלה

ערכים לקריאה בשיעור 4	האם נדרש שיפור של הערכים?	ויקיפדים המעונינים לשפר את הערך
תת-קבוצה	?
פסוק (לוגיקה)	?
הכלה (תורת הקבוצות)	הדף אינו קיים מפנה לערך תת-קבוצה

שיעורי בית

• תרגיל. $\ A\ =\ B$ אם ורק אם ($\ A\subseteq B$ וגם $\ B\subseteq A$).
• תרגיל. אם $\ A\subseteq B$ ו- $\ B\subseteq C$ אז $\ A\subseteq C$.
• תרגיל. כל קבוצה מכילה את הקבוצה הריקה. אף קבוצה שאינה ריקה אינה מוכלת בקבוצה הריקה.

שאלות והערות

1. האם יש צורך בערך נפרד הכלה (תורת הקבוצות)? רחל - שיחה 07:31, 28 בספטמבר 2010 (IST)
2. הערך פסוק (לוגיקה) שונה מאוד לאחרונה, וחסר בו ההסברים שהיו בגרסאות קודמות [1]. רחל - שיחה 07:31, 28 בספטמבר 2010 (IST)

1. קשה לי להחליט האם כדאי ערך נפרד או לא. אמנם יש להם הגדרות שונות אבל הם מדברים על אותו דבר. אולי אפשר בערך על הכלה לדבר יותר על תוכנות ההכלה כיחס (לדוגמה שהוא יחס סדר חלקי) ובערך על תת קבוצה להזכיר את השימושיות הרבה של המושג כמו למשל באלגברה שם יש עיסוק רק בתכונות של תת קבוצות של מבנים אלגבריים.
2. יש לפצל את הערך, שכן יש הבדל בין פסוק בלוגיקה (פילוסופיה) לפסוק בלוגיקה מתמטית. הערך הקודם התאים יותר לפסוק (לוגיקה מתמטית) והערך הנוכחי יכול להישאר כפסוק (לוגיקה). כך גם עשו בוויקיפדיה האנגלית. דניאל ב. 10:26, 28 בספטמבר 2010 (IST)

הפרדתי את הערך פסוק (לוגיקה מתמטית) ושיניתי את הבינוויקי. תבדוק אם זה בסדר. רחל - שיחה 07:57, 29 בספטמבר 2010 (IST)

כרגע זה בסדר. הערך כמובן הוא קצרמר ועוסק בנושא באופן מאוד לא פורמלי. ההסבר האינטואטיבי בסדר אבל חסרה בנייה פורמלית יסודית של פסוקים. דניאל ב. 12:02, 29 בספטמבר 2010 (IST)

שעור חמישי - פעולות בין קבוצות

תוכן השיעור נמצא בויקיפדיה:מיזמי ויקיפדיה/קורסים/תורת הקבוצות/תוכן הקורס#שעור חמישי - פעולות בין קבוצות

ערכים לקריאה בשיעור 5	האם נדרש שיפור של הערכים?	ויקיפדים המעונינים לשפר את הערך
איחוד (תורת הקבוצות)	?
חיתוך (תורת הקבוצות)	?
דיאגרמת וון	?

שיעורי בית

תרגיל. ציירו דיאגרמות וון שתתארנה את המצב הכללי ביותר שבו יכולות להמצא שתיים, שלוש או ארבע קבוצות. חפשו (איפה? באינטרנט) דיאגרמה לתאור של חמש קבוצות.

שעור שישי - משלים וחוקי דה-מורגן

תוכן השיעור נמצא בויקיפדיה:מיזמי ויקיפדיה/קורסים/תורת הקבוצות/תוכן הקורס#שעור שישי - משלים וחוקי דה-מורגן

ערכים לקריאה בשיעור 6	האם נדרש שיפור של הערכים?	ויקיפדים המעונינים לשפר את הערך
הפרש (תורת הקבוצות)	?
משלים (תורת הקבוצות)	?
חוקי דה-מורגן	?
הפרש סימטרי	?

שיעורי בית

הפרש ומשלים

תרגיל. לכל שתי קבוצות A ו-B, ההפרש $\ A-B$ מוכל ב-A.

תרגיל. לכל קבוצה A, $\ A-A=\emptyset$ ו- $\ A-\emptyset =A$.

תרגיל. תן דוגמא המראה שפעולת ההפרש אינה אסוציאטיבית, כלומר, מצא שלוש קבוצות A,B ו-C כך ש- $\ A-(B-C)\neq (A-B)-C$.

תרגיל. המשלים מקיים את התכונות הבאות: $\ {\overline {\overline {A}}}=A$ ("לא לא A" הוא "A"); וכן $\ {\overline {\emptyset }}=X,{\overline {X}}=\emptyset$ (לא אמת הוא שקר, לא שקר הוא אמת).

חוקי דה-מורגן

תרגיל. צייר דיאגרמות וון המוכיחות את חוקי דה-מורגן.

תרגיל (למשועממים). נסח גרסה של כללי דה-מורגן הנכונה ל-n קבוצות במקום שתיים, והוכח אותה באינדוקציה.

תרגיל (קל יותר). נניח שכל אברי האוסף $\ {\mathcal {A}}$ מוכלים בקבוצה X. הוכח את הגרסה הכללית ביותר של חוק דה-מורגן - המשלים של האיחוד על אברי האוסף הוא חיתוך המשלימים שלהם.

ההפרש הסימטרי

תרגיל. הוכיחו ש- $\ A\Delta B=(A\cup B)-(A\cap B)=(A-B)\cup (B-A)$.

תרגיל. ההפרש הסימטרי מקיים את התכונות הבאות: $\ (A\Delta B)\Delta C=A\Delta (B\Delta C)$ (אסוציאטיביות); $\ A\Delta \emptyset =A$ (קיום איבר נייטרלי); $\ A\Delta A=\emptyset$ (קיום הופכי); $\ A\Delta B=B\Delta A$ (קומוטטיביות); $\ (A\Delta B)\cap C=(A\cap C)\Delta (B\cap C)$ (דיסטריבוטיביות ביחס לחיתוך).

שעור שביעי - קבוצת החזקה

תוכן השיעור נמצא בויקיפדיה:מיזמי ויקיפדיה/קורסים/תורת הקבוצות/תוכן הקורס#שעור שביעי - קבוצת החזקה

ערכים לקריאה בשיעור 7	האם נדרש שיפור של הערכים?	ויקיפדים המעונינים לשפר את הערך
קבוצת החזקה	?
עוד ערך?	?

שיעורי בית

תרגיל. קבוצת החזקה של כל קבוצה $\ A$ מכילה את $\ A$ ואת הקבוצה הריקה. מצא דוגמה נגדית לטענה (השגויה) "בכל קבוצת חזקה יש לפחות שני אברים".

תרגיל. כתוב את כל האברים של $\ P(\{1,2,3\})$.

תרגיל. קבע האם $\ \{\emptyset ,\{\emptyset \}\}$ הוא איבר בקבוצת החזקה $\ P(\{\emptyset ,\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\})$.

תרגיל. הוכח (באינדוקציה) שאם בקבוצה $\ A$ יש בדיוק $\ n$ אברים שונים, אז בקבוצה $\ P(A)$ יש $\ 2^{n}$ אברים שונים.

תרגיל. אם $\ A\subseteq B$ אז $\ P(A)\subseteq P(B)$.

תרגיל. א. הוכח או הפרך: $\ P(A\cup B)=P(A)\cup P(B)$. ב. הוכח או הפרך: $\ P(A\cap B)=P(A)\cap P(B)$.

שעור שמיני - זוגות סדורים

תוכן השיעור נמצא בויקיפדיה:מיזמי ויקיפדיה/קורסים/תורת הקבוצות/תוכן הקורס#שעור שמיני - זוגות סדורים

ערכים לקריאה בשיעור 8	האם נדרש שיפור של הערכים?	ויקיפדים המעונינים לשפר את הערך
זוג סדור	?
N-יה סדורה	?

שיעורי בית

לפתור את התרגילים שכתובים בשיעור

תרגיל. בדוק שאם $\ a\neq b$ אז הזוגות הסדורים $\ (a,b),(b,a)$ שונים זה מזה.

פתרון:

$\ (a,b)$ הוא $\ \{\{a\},\{a,b\}\}$

$\ (b,a)$ הוא $\ \{\{b\},\{a,b\}\}$

$\ \{a\}$ הוא איבר בקבוצה הראשונה ולא בשניה לכן הם שונים.

תרגיל. אשר ש- $\ (1,3)\cap (3,1)=\{\{1,3\}\}$.

$\ (1,3)$ הוא $\ \{\{1\},\{1,3\}\}$

$\ (3,1)$ הוא $\ \{\{3\},\{3,1\}\}$

$\ \{1,3\}=\{3,1\}$

לכן החיתוך הוא $\ \{\{1,3\}\}$

תרגיל. חשב את (הקבוצה שהיא) הזוג הסדור $\ (a,a)$. כמה איברים יש לו?

פתרון: :$\ \{\{a\}\}$ לקבוצה איבר אחד.

תרגיל. נגדיר $\ [a,b]=\{a,b\}$. מצא זוג $\ [a,b]=[c,d]$ שבו $\ a\neq c$ או $\ b\neq d$.

פתרון: $\ [1,2]$ ו - $\ [2,1]$

תרגיל. נגדיר $\ [a,b]=\{a,\{b\}\}$. מצא זוג $\ [a,b]=[c,d]$ שבו $\ a\neq c$ או $\ b\neq d$.

פתרון: $\ [\{1\},2]$ ו- $\ [\{2\},1]$

שאלות והערות

תרגיל. נגדיר $\ [a,b]=\{a,\{b\}\}$. מצא זוג $\ [a,b]=[c,d]$ שבו $\ a\neq c$ או $\ b\neq d$.

לא הצלחתי למצוא. אפשר לקבל דוגמה? תודה, רחל - שיחה 21:17, 1 בנובמבר 2010 (IST)

נסי לחשוב על הקבוצה $\ \{\{1\},\{2\}\}$. לפי ההגדרה בתרגיל, לאילו שני זוגות סודרים עם רכיבים שונים היא שווה? דניאל ב. 21:31, 1 בנובמבר 2010 (IST)

הבנתי: $\ [\{1\},2]$ ו- $\ [\{2\},1]$

האם הפתרונות לתרגילים נכונים? רחל - שיחה 17:27, 2 בנובמבר 2010 (IST)

כן הכל נכון. דניאל ב. 20:04, 2 בנובמבר 2010 (IST)

איך תוגדר יחידה סדורה? בנציון יעבץ - שיחה 20:34, 11 בפברואר 2021 (IST)

שעור תשיעי - מכפלה קרטזית

תוכן השיעור נמצא בויקיפדיה:מיזמי ויקיפדיה/קורסים/תורת הקבוצות/תוכן הקורס#שעור תשיעי - מכפלה קרטזית

ערכים לקריאה בשיעור 9	האם נדרש שיפור של הערכים?	ויקיפדים המעונינים לשפר את הערך
מכפלה קרטזית	?
ערך נוסף?

שיעורי בית

לפתור את התרגילים שכתובים בשיעור

שאלות והערות

למה הפעולה של יצירת זוגות נקראת מכפלה? מה הקשר לפעולת הכפל? תודה, רחל - שיחה 19:15, 7 בנובמבר 2010 (IST)

יש דמיון רב בין מכפלה קרטזית למכפלה של מספרים. אם A ו-B קבוצות סופיות אז מספר האיברים ב-AXB הוא בדיוק מספר האיברים ב-A כפול מספר האיברים ב-B. קל להבין למה זה כך. אם תכיני טבלה שבה בעמודה השמאלית רשומים כל איברי A ובשורה העליונה כל איברי B (כמו לוח הכפל) תוכלי למלא את תאי הטבלה בכל איברי AXB (כל זוג בהצטלבות המתאימה) וכידוע בטבלה כזאת מספר התאים הוא מספר העמודות כפול מספר השורות. למעשה, כפי שתראי בהמשך במובן מסוים הכפל המוכר לך מן המספרים הטבעיים מוגדר בעזרת המכפלה הקרטזית (שכן היא מושג יסודי יותר) ואפילו משתמשים במכפלה הקרטזית כדי להכליל את הכפל הרגיל להגדיר בעזרתו מכפלה של "מספרים אינסופיים" (שהבנתם היא המטרה הסופית של הקורס). דניאל ב. 08:35, 8 בנובמבר 2010 (IST)

תודה על ההסבר, רחל - שיחה 19:33, 9 בנובמבר 2010 (IST)

שעור עשירי - פונקציות

תוכן השיעור נמצא בויקיפדיה:מיזמי ויקיפדיה/קורסים/תורת הקבוצות/תוכן הקורס#שעור עשירי - פונקציות

ערכים לקריאה בשיעור 10	האם נדרש שיפור של הערכים?	ויקיפדים המעונינים לשפר את הערך
פונקציה	?
פונקציה חד-חד-ערכית
פונקציה על

שיעורי בית

לפתור את התרגילים שכתובים בשיעור

שעור אחד-עשר - הרכבת פונקציות

תוכן השיעור נמצא בויקיפדיה:מיזמי ויקיפדיה/קורסים/תורת הקבוצות/תוכן הקורס#שעור אחד-עשר - הרכבת פונקציות

ערכים לקריאה בשיעור 10	האם נדרש שיפור של הערכים?	ויקיפדים המעונינים לשפר את הערך
הרכבת פונקציות	?
פונקציה הפוכה

שיעורי בית

לפתור את התרגילים שכתובים בשיעור

שאלות והערות

שאלה: איך אומרים במילים את הביטוי $\ g\circ f$ . האם זה ההרכבה של g על f ? ‏ g מורכב על f ? רחל - שיחה 17:44, 20 בנובמבר 2010 (IST)

אפשר את שניהם. תלוי בהקשר זה יכול להיות אפילו g כפול f (לדוגמה בתורת החבורות נהוג לכנות פעולה בין איברי קבוצה "כפל", והרכבה היא ה"כפל" אצל קבוצות של פונקציות במובן זה). יש מישהו חוץ מרחל שעוד עוקב? דניאל ב. 18:02, 20 בנובמבר 2010 (IST)

כל שבוע עוד מישהו פורש מהקורס, אני חוששת שנשארתי לבד :( רחל - שיחה 18:21, 20 בנובמבר 2010 (IST)

שעור שנים-עשר - עוצמה של קבוצה

תוכן השיעור נמצא בויקיפדיה:מיזמי ויקיפדיה/קורסים/תורת הקבוצות/תוכן הקורס#שעור שנים-עשר - עוצמה של קבוצה

ערכים לקריאה בשיעור 12	האם נדרש שיפור של הערכים?	ויקיפדים המעונינים לשפר את הערך
עוצמה	לא
ערך נוסף?

שיעורי בית

תרגיל. הוכח שלקבוצה הריקה יש עוצמה ייחודית משלה, ואף קבוצה אחרת אינה שוות-עוצמה לה.

תרגיל. הוכח שכל הקבוצות בנות איבר יחיד הן שוות-עוצמה.

תרגיל. לכל n טבעי, הסבר מדוע כל הקבוצות שיש להן n אברים הן שוות-עוצמה.

שעור שלושה-עשר - קבוצות סופיות ואינסופיות

תוכן השיעור נמצא בויקיפדיה:מיזמי ויקיפדיה/קורסים/תורת הקבוצות/תוכן הקורס#שעור שלושה-עשר - קבוצות סופיות ואינסופיות

ערכים לקריאה בשיעור 13	האם נדרש שיפור של הערכים?	ויקיפדים המעונינים לשפר את הערך
קבוצה סופית	?
קבוצה אינסופית
הפרדוקס של גלילאו

שיעורי בית

תרגיל. אם A,B שוות עוצמה ואחת מהן סופית (אינסופית), אז גם השניה סופית (אינסופית). (כלומר, סופיות היא תכונה של העוצמה של קבוצה, ולא של הקבוצה עצמה).

תרגיל. הוכח שעבור n טבעי מסויים (ולא "n טבעי כלשהו" - אנחנו עוסקים כאן בטענה סופית עם הוכחה סופית), כל קבוצה בת n אברים היא סופית.

שעור ארבעה-עשר - אריתמטיקה של עוצמות

תוכן השיעור נמצא בויקיפדיה:מיזמי ויקיפדיה/קורסים/תורת הקבוצות/תוכן הקורס#שעור ארבעה-עשר - אריתמטיקה של עוצמות

ערכים לקריאה בשיעור 14	האם נדרש שיפור של הערכים?	ויקיפדים המעונינים לשפר את הערך
אריתמטיקה של עוצמות	?

שיעורי בית

תרגיל. לכל קבוצה $\ A$, אם בקבוצה $\ S$ יש איבר יחיד, אז $\ |A|=|A\times S|$.

תרגיל. אם $\ A,B$ זרות ו- $\ A',B'$ זרות, ומתקיים $\ |A|=|A'|$ ו- $\ |B|=|B'|$, אז $\ |A\cup B|=|A'\cup B'|$.

תרגיל. לכל עוצמה $\ |A|+|\emptyset |=|A|$ (לכן עוצמת הקבוצה הריקה נקראת אפס); לכל שתי עוצמות, $\ |A|+|B|=|B|+|A|$; לכל שלוש עוצמות מתקיים $\ (|A|+|B|)+|C|=|A|+(|B|+|C|)$.

תרגיל. אם $\ |A|=|A'|$ ו- $\ |B|=|B'|$ אז $\ |A\times B|=|A'\times B'|$. (כעת אפשר להשתמש במכפלה הקרטזית כדי להגדיר פעולה בין עוצמות).

תרגיל. לכל שלוש עוצמות מתקיים $\ |A|^{|B|+|C|}=|A|^{|B|}\cdot |A|^{|C|}$; לכל שלוש עוצמות מתקיים $\ |A|^{|B|\cdot |C|}=(|A|^{|B|})^{|C|}$; לכל שלוש עוצמות מתקיים $\ (|A|\cdot |B|)^{|C|}=|A|^{|C|}\cdot |B|^{|C|}$.

הערה: מקובל הסימון $\uplus$ לסימון איחוד של קבוצות זרות. הסיבה לכך היא שלפי תרגיל 2 אפשר להגדיר $\ |A|+|B|:=|A\uplus B|$. בברכה, MathKnight הגותי (שיחה) 21:28, 8 בדצמבר 2010 (IST)

שעור חמישה-עשר - קבוצות בנות מנייה

תוכן השיעור נמצא בויקיפדיה:מיזמי ויקיפדיה/קורסים/תורת הקבוצות/תוכן הקורס#שעור חמישה-עשר - קבוצות בנות מנייה

ערכים לקריאה בשיעור 15	האם נדרש שיפור של הערכים?	ויקיפדים המעונינים לשפר את הערך
קבוצה בת מנייה	?
אלף אפס	?
מספר רציונלי	?
המלון של הילברט	?

שיעורי בית

תרגיל. הוכיחו שאיחוד של שתי קבוצות בנות-מנייה הוא בן-מנייה. הוכיחו שאוסף המספרים השלמים (חיוביים ושליליים) הוא בן-מנייה, והסיקו שאוסף כל הרציונליים הוא בן-מנייה.

תרגיל. לכל n, $\ \aleph _{0}^{n}=\aleph _{0}$ (אינדוקציה על n).

שעור ששה-עשר: משפט קנטור-ברנשטיין

תוכן השיעור נמצא בויקיפדיה:מיזמי ויקיפדיה/קורסים/תורת הקבוצות/תוכן הקורס#שעור ששה-עשר: משפט קנטור-ברנשטיין

ערכים לקריאה בשיעור 16	האם נדרש שיפור של הערכים?	ויקיפדים המעונינים לשפר את הערך
משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין	?

שעור שבעה-עשר: משפט קנטור

תוכן השיעור נמצא בויקיפדיה:מיזמי ויקיפדיה/קורסים/תורת הקבוצות/תוכן הקורס#שעור שבעה-עשר: משפט קנטור

ערכים לקריאה בשיעור 17	האם נדרש שיפור של הערכים?	ויקיפדים המעונינים לשפר את הערך
האלכסון של קנטור	?
עוצמת הרצף	?
השערת הרצף	?
פרדוקס הספר	?
משפט קנטור	?
הפרדוקס של ראסל	?