יחס הכסף

יחס הכסף הוא כינוי לקבוע המתמטי $\ 1+{\sqrt {2}}$ שערכו המקורב הוא 2.4142135623....

הסימול המתמטי המקובל של יחס הכסף

סימולו המתמטי המקובל הוא: $\delta _{Ag}$ או $\delta _{S}$.

הגדרה והצגה

יחס הכסף מהווה פתרון למשוואה הריבועית $\ x^{2}-2x-1=0$.

• ניתן להציג את יחס הכסף כסכום של אחת ועוד שורש שתיים:

$\delta _{Ag}=1+{\sqrt {2}}\approx 2.4142135623...\,$

כך שמתקיים: $(\delta _{Ag}-1)^{2}=2\,$

• ניתן להציגו גם כ- $\delta _{Ag}={\frac {1}{{\sqrt {2}}-1}}$

• הגדרה נוספת של יחס הכסף היא השבר המשולב האינסופי:

$\delta _{Ag}=2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}\,.$

יחס הכסף וסדרת פל

יחס הכסף נקרא בשם זה באנלוגיה ליחס הזהב המוכר יותר. לשני היחסים תכונות רבות משותפות (ראו בהמשך). אחת מהן היא היחס בין איברי סדרה מספרית: כפי שיחס הזהב מהווה את קירוב היחס בין שני מספרי פיבונאצ'י עוקבים, כך יחס הכסף מהווה את היחס בין שני איברי סדרת פל עוקבים.

סדרת פל היא סדרה שתחילתה במספרים 0 ו-1, וכל איבר נוסף בה הוא סכום של פעמיים האיבר הקודם לו ושל האיבר שלפני הקודם. כך למשל, האיבר הרביעי בסדרה הוא 5 – פעמיים המספר 2 ופעם אחת המספר 1.

תחילתה של סדרת פל היא המספרים: 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, ...

באיבר התשיעי, הקירוב הוא:

${\frac {985}{408}}=2.4142\approx 1+{\sqrt {2}}$

תכונות מתמטיות של יחס הכסף

• חזקות יחס הכסף ניתנות להבעה באמצעות איברי סדרת פל בצורה הבאה:

$\!\ \delta _{Ag}^{n}=K_{n}\delta _{Ag}+K_{(n-1)}$

כאשר $\!\ K_{n}=2K_{(n-1)}+K_{(n-2)}$ הוא האיבר ה-$n$-י בסדרת פל:

${\begin{aligned}&\delta _{Ag}^{0}=1\\&\delta _{Ag}^{1}=\delta _{Ag}+0\\&\delta _{Ag}^{2}=2\delta _{Ag}+1\\&\delta _{Ag}^{3}=5\delta _{Ag}+2\\&\delta _{Ag}^{4}=12\delta _{Ag}+5\end{aligned}}$

• בטריגונומטריה:

$\textstyle \cot {\frac {\pi }{8}}=\cot 22.5^{\circ }=1+{\sqrt {2}}=\delta _{Ag}$

יחס הכסף, מלבני כסף ומתומנים

מתומן משוכלל, המחולק לשני טרפזים ולמלבן

בשם "מלבני כסף" מכונים מלבנים משני סוגים:

• מלבנים שהיחס בין צלעותיהם הוא יחס הכסף; כלומר, 2.414 בקירוב
• מלבנים שהיחס בין צלעותיהם הוא השורש הריבועי של 2; כלומר, 1.414 בקירוב. דפי נייר המוגדרים בתקן ISO 216, כמו A4, הם דמויי מלבן זה.

למלבני הכסף תכונה דומה ל"מלבני זהב", בהם הסרת ריבוע מהמלבן יוצרת מלבן זהב נוסף, אלא שקיים שוני ביניהם:

• הסרת ריבוע ממלבן כסף מהסוג הראשון תביא ליצירת מלבן כסף מהסוג השני.
• הסרת ריבוע מהסוג השני של מלבני הכסף תביא ליצירת מלבן כסף מהסוג הראשון.
  קל לראות זאת במלבן שרוחבו יחידה ואורכו שווה ליחס הכסף – הסרת ריבוע תותיר מלבן שרוחבו יחידה ואורכו שווה לשורש 2. תכונה זו נובעת מהעובדה, שניתן להציג את יחס הכסף הן כאחת ועוד שורש שתיים והן כ-

$\delta _{Ag}={\frac {1}{{\sqrt {2}}-1}}$

במתומנים, ניתן לחלק מתומן משוכלל לשלושה חלקים – 2 טרפזים שווים בגודלם ומלבן. המלבן הוא מלבן כסף מהסוג הראשון, ואילו בטרפזים, היחס בין הבסיס הגדול לבסיס הקטן ולצלעות (השוות בגודלן) הוא יחס הכסף. שטחו של מתומן זה, שצלעו $t$, שווה לפעמיים יחס הכסף, כשהוא מוכפל בריבוע הצלע: $2(1+{\sqrt {2}})t^{2}$.

הקשר בין יחס הכסף ליחס הזהב

קבועי הכסף
0:	${\frac {0+{\sqrt {4}}}{2}}$	1
1:	${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$	1.618033989
2:	${\frac {2+{\sqrt {8}}}{2}}$	2.414213562
3:	${\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}$	3.302775638
4:	${\frac {4+{\sqrt {20}}}{2}}$	4.236067978
5:	${\frac {5+{\sqrt {29}}}{2}}$	5.192582404
6:	${\frac {6+{\sqrt {40}}}{2}}$	6.162277660
7:	${\frac {7+{\sqrt {53}}}{2}}$	7.140054945
8:	${\frac {8+{\sqrt {68}}}{2}}$	8.123105626
9:	${\frac {9+{\sqrt {85}}}{2}}$	9.109772229
...
n:	${\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}$

תכונה מעניינת קושרת בין שני היחסים: בתבנית ${\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}$, שהיא למעשה הפתרון של המשוואה הריבועית $x^{2}-nx-1=0$, יחס הזהב מתקבל עבור $n=1$ ואילו יחס הכסף עבור $n=2$. יחסים נוספים מובאים בטבלה משמאל. יחסים אלה נקראים "ממוצעים מטאליים" ("Metallic means").

יחסים אלה שווים גם לשבר המשולב האינסופי:

$n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{\ddots \,}}}}}}}}\,$

ליחסים בטבלה משמאל תכונות משותפות רבות. היחס השלישי, למשל, (3.30277), הנקרא גם יחס הארד, הוא היחס בין איברי הסדרה ...1,1,4,13,43,142,469, שכל איבר בה הוא סכום של שלוש פעמים קודמו, ועוד האיבר הקודם לקודמו.

ראו גם

• ערכים עדיפים

לקריאה נוספת

• Antonia Redondo Buitrago, 2007. Polygons, Diagonals, and the Bronze Mean, Nexus Network Journal, Volume 9, Issue 2, p. 321-326

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא יחס הכסף בוויקישיתוף

• יחס הכסף, באתר MathWorld (באנגלית)