המונח LTI מיוחס לתגובה של מערכת ליניארית וקבועה בזמן עבור אות כניסה שרירותי. ההתקדמות של מערכות אלה בדרך כלל נמדדת כאשר עובר זמן (למשל, בגל אקוסטי), אבל ביישומים כמו עיבוד תמונה ותורת השדות, מערכות LTI מתקדמות גם בממדים מרחביים. לפיכך, מערכות אלה נקראות גם ליניאריות בלתי תלויות בטרנסלציה, כדי לתת לתאוריה את ההיקף הכללי ביותר. במקרה הכללי של זמן דיסקרטי (כלומר, דגימות), מערכות ליניאריות בלתי תלויות בהיסט (shift) הוא המונח המקביל. דוגמה טובה למערכות LTI ניתן למצוא במעגלים חשמליים, אשר עשויים להיות מורכבים מנגדים, קבלים וסלילים.[1]
הגדרת המאפיינים של כל מערכת LTI הן ליניאריות וקביעות (אי-תלות) בזמן.
ליניאריות אומרת שהקשר בין הכניסה למוצא המערכת היא העתקה ליניארית: אם עבור הכניסה ועבור הכניסה אז הכניסה הליניארית . ניתן לראות כי אפשר להרחיב את זה למספר שרירותי של ביטויים, ועבור מספרים ממשיים,
הכניסה מייצרת יציאה . (נוסחה 1)
בפרט,
הכניסה מייצרת יציאה
()
כאשר and הם סקלארים וכניסות אשר משתנות לאורך רצף אינדקסים . לכן, אם פונקציית כניסה יכולה להיות מיוצגת על ידי רצף של פונקציות כניסה, המחוברות בצורה "ליניארית", כפי שמוצג בדוגמה, אז פונקציית המוצא המתאימה יכולה להיות מיוצגת על ידי רצף פונקציות יציאה מתאימות, באותה טרנספורמציה ליניארית שבכניסה.
קביעות בזמן אומר שעבור כניסה בהזזה של T שניות, המוצא יהיה זהה למעט עיכוב זמן של T שניות. כלומר, אם המוצא עבור הכניסה הוא , אז המוצא עבור הכניסה הוא . לפיכך, המערכת קבועה בזמן כי המוצא אינו תלוי בזמן שהכניסה נכנסת.
התוצאה היסודית במערכות LTI היא שכל מערכת LTI יכולה להיות מאופיינת כולה על ידי פונקציה אחת בשם תגובת ההלם של המערכת. המוצא של המערכת הוא פשוט קונבולוציה של הכניסה עם תגובת ההלם. שיטה זו של ניתוח נקראת לעיתים קרובות נקודת מבט של "מישור הזמן". אותה התוצאה נכונה עבור מערכות קבועות בזמן הדיסקרטי אשר האותות הן בזמן בדיד, והקונבולוציה מוגדרת על רצפים.
באופן שקול, ניתן לאפיין כל מערכת LTI במישור התדר על פונקציות התמסורת של המערכת, שהיא התמרת לפלס של תגובת ההלם של המערכת (או התמרת Z במקרה של מערכות בזמן הבדיד). כתוצאה ממאפיינים אלה, מוצא המערכת במישור התדר הוא סכום של פונקציה המעבר והטרנספורם של הכניסה. במילים אחרות, הקונבולוציה בזמן הבדיד שווה לכפל במישור התדר.
מערכת LTI טובה בתיאור מערכות חשובות רבות. רוב מערכות ה-LTI מתוארות כ"קלות לניתוח", לפחות ביחס לאלה שלא LTI. כל מערכת יכולה להיות ממודלת על ידי משוואה דיפרנציאלית ליניארית הומוגנית עם מקדמים קבועים היא מערכת LTI. דוגמה למערכת כזאת הם מעגלים חשמליים המורכבת מנגדים, קבלים וסלילים (RLC).
מערכת שאינה קבועה בזמן אך ליניארית ניתנת לפתירה על ידי נוסחת גרין, למשל. ניתן להשתמש באותה שיטה כאשר נתוני הבעיה אינם מלאים.
ההתנהגות של מערכת ליניארית וקבועה בזמן עבור הכניסה (x(t ואות מוצא (y(t מתוארת על ידי אינטגרל הקונבולוציה:[2]
כאשר המעבר נעשה על ידי שימוש בתכונת הקומוטטיביות.
כאשר (h(t היא התגובה להלם של המערכת: .
עבור מערכת ליניארית, O צריכה לספק את נוסחה 1:
(נוסחה 2)
והפעם Invariance הדרישה היא:
(נוסחה 3)
כעת נוכל לרשום את תגובת ההלם כ- .
באופן דומה:
כאשר הצורה של צד ימין של נוסחה 2 נשמרת עבור המקרה ו- . נוסחה 2 מאפשרת את השלב הבא:
לסיכום, קלט הפונקציה, , יכולה להיות מיוצגת על ידי רצף של פונקציות הלם מוזזות בזמן, בשילוב "ליניארי", כפי שמוצג ב-Eq.1. תכונת הליניאריות של המערכת מאפשרת את תגובת המערכת להיות מיוצגת על ידי רצף של תגובות הלם מתאימות, מסוכמות באותה הדרך. והפעם תכונת הקביעות בזמן מאפשרת את ייצוג הקומבינציה להיות מיוצגת על ידי אינטגרל הקונבולוציה.[3]
פונקציות האקספוננט, כאשר , הן פונקציות עצמיות של אופרטור ליניארי וקבוע בזמן. ניתן להוכיח זאת באופן הבא: נניח שהכניסה היא . היציאה של המערכת עבור תגובה להלם:
כאשר לפי תכונת הקומוטטיביות של הקונבולוציה, שקולה ל:
כאשר הסקלר
תלוי רק בפרמטר s.
אז תגובת המערכת היא טרנספורמציה ליניארית של הכניסה. בפרט, עבור כל היציאה של המערכת היא הסכום של הכניסה והקבוע . לפיכך, הוא פונקציה עצמית של מערכת ליניארית בלתי תלויה בזמן (LTI), והערך העצמי המתקבל הוא .
תכונת הפונקציה העצמית של אקספוננטים שימושית מאוד כדי להבין יותר על המערכת LTI. התמרת לפלס:
היא בדיוק הדרך למצוא את הערכים העצמיים מתוך התגובה להלם. בפרט, נתעניין בפונקציות סינוסוידליות טהורות (למשל פונקציות אקספוננציאליים מרוכבים מהצורה כאשר ו- ). התמרת פורייה מביאה את הערכים העצמיים עבור פונקציות סינוסוידאליות מדומות טהורות. שתי הפונקציות ו- נקראות "תגובת המערכת", "פונקציית המערכת" או פונקציית המעבר.
התמרת לפלס בדרך כלל משמשת אותות חד-צדדיים, למשל, אותות ששווה לאפס עבור כל , כאשר ערך קבוע כלשהו.
בגלל תכונת הקונבולוציה של שתי ההתמרות, הקונבולוציה שמביאה את מוצא המערכת יכולה להיות מיוצגת על ידי מכפלה במישור התדר, עבור מערכות אשר קיימות במישור התדר:
מערכת נקראת "סיבתית" כאשר מוצא המערכת נקבע אך ורק על פי ערכי הכניסה בעבר ובהווה.
בייצוג מתמטי:
כאשר הוא התגובה להלם. באופן כללי, לא ניתן לדעת האם המערכת היא סיבתית מתוך התמרת לפלס, מפני שההתמרה ההפוכה אינה יחידה. רק כאשר התחום התכנסות ידוע, ניתן לדעת האם המערכת סיבתית.
במישור התדר, תחום ההתכנסות חייבת לכלול את הציר המדומה .
לדוגמה, מסנן מעביר תדרים נמוכים (LPF) אידיאלי עם תגובה להלם של פונקציית sinc היא לא יציבה במובן BIBO, מפני שנורמת L1 שלה לא סופית. לכן, עבור כניסה חסומה לאו דווקא נקבל מוצא חסום. בפרט, עבור הכניסה אפס ל- ושווה לסינוסאויד בתדר cutoff ל- , אז המוצא לא תהיה חסומה לכל זמן מלבד אלה שחוצות את האפס.
בהקשרים רבים, מערכת זמן בדיד (זמן דיסקרטי, DT) היא למעשה חלק ממערכת זמן רציפה (CT) גדולה יותר. לדוגמה, מערכת הקלטה דיגיטלית לוקחת צליל אנלוגי, מבצעת דיגיטציה, אולי מעבדת את האותות הדיגיטליים, ומשמיעה צליל אנלוגי.
אם הוא אות רציף, ממיר אנלוגי לדיגיטלי יהפוך אותו לאות DT:
כאשר T זה זמן הדגימה. חשוב מאוד להגביל את טווח התדרים של אות הכניסה לייצוג נאמן באות בדיד, כיוון שמשפט הדגימה מבטיח שאף מידע על אות הרציף לא יאבד. אות בדיד יכול להכיל טווח תדרים של . תדרים אחרים "יתקפלו" לאותו טווח.
מערכת בדידה הופכת לרצף קלט, לרצף פלט, . באופן כללי, כל אלמנט של הפלט תלוי בכל רכיב הקלט. נייצג את אופרטור הטרנספורמציה על ידי , ועתה אנו יכולים לכתוב:
נשים לב שאם ההתמרה עצמה משתנה עם n, רצף הפלט הוא קבוע בלבד, והמערכת אינה מעניינת. במערכת טיפוסית, [y[n "תלויה בדרך כלל מהאלמנטים של x שהאינדקסים שלהם קרובים ל- n.
עבור מקרה מיוחד של הדלתא של קרונקר, , רצף המוצא יהיה התגובה להלם:
עבור מערכת ליניארית, צריכה לספק את:
(נוסחה 4)
והתנאי לקביעות בזמן:
(נוסחה 5)
במערכת כזאת, התגובה להלם, , מתארת את המערכת לגמרי. כלומר, עבור כל רצף קלט, רצף הפלט יכול להיות מחושב במונחים של קלט התגובה להלם. כדי לראות איך זה נעשה, יש לשקול את הזהות:
תכנות הפונקציה העצמית של אקספוננציאליים שימושית מאוד כדי להבין יותר על המערכת LTI. התמרת Z:
היא בדיוק הדרך למצוא את הערכים העצמיים מתוך התגובה להלם. בפרט, נתעניין בפונקציות סינוסוידליות טהורות (למשל פונקציות אקספוננציאליים מרוכבים מהצורה כאשר ו- ). התמרת פורייה הבדידה (DTFT) מביאה את הערכים העצמיים עבור פונקציות סינוסוידאליות מדומות טהורות. שתי הפונקציות ו- נקראות "תגובת המערכת", "פונקציית המערכת" או פונקציית המעבר.
התמרת Z בדרך כלל מופעלת על אותות חד-צדדיים, למשל, אות ששווה לאפס עבור כל , כאשר ערך קבוע כלשהו.
בגלל תכונת הקונבולוציה של שתי ההתמרות, הקונבולוציה שמביאה את מוצא המערכת יכולה להיות מיוצגת על ידי מכפלה במישור התדר, עבור מערכות אשר קיימות במישור התדר:
הקשר שבין הקלט לפלט במערכת LTI בדידה יכול להיות מתואר לגמרי על ידי תגובת ההלם של המערכת . חלק מהתכונות החשובות ביותר של מערכת הן סיבתיות ויציבות. בניגוד למערכות בזמן רציף, מערכות בדידות לא סיבתיות יכולות להתממש. זה טריוויאלי כדי להפוך מערכת עם תגובה להלם סופית סיבתי על ידי הוספת עיכובים (Delays). זה אפשרי אפילו לעשות מערכות שלא סיבתיות עם תגובה להלם אינסופית.[4]
מערכת בדידה נקראת "סיבתית" כאשר מוצא המערכת נקבעת אך ורק על פי ערכי הכניסה בעבר ובהווה.[5]
תנאי הכרחי ומספיק למערכת סיבתית:
כאשר הוא התגובה להלם. באופן כללי, לא ניתן לדעת האם המערכת היא סיבתית מתוך התמרת Z, מפני שההתמרה ההפוכה אינה יחידה. רק כאשר התחום התכנסות ידוע, ניתן לדעת האם המערכת סיבתית.
Vaidyanathan, P. P.; Chen, T. (במאי 1995). "Role of anticausal inverses in multirate filter banks – Part I: system theoretic fundamentals". IEEE Trans. Signal Proc. 43 (6): 1090. Bibcode:1995ITSP...43.1090V. doi:10.1109/78.382395. {{cite journal}}: (עזרה)