משתמש:Avneref/מדע/פיזיקה/מודרנית

משתמש:Avneref/מדע/פיסיקה/משוואות; משתמש:Avneref/הנדסה/חשמל

בסוף המאה ה-19 עריכה

Quantum Theory Made Easy, סרטון באתר יוטיוב

מכניקה: תוכננה לנבא את התנועה של גופים מסיביים - דברים שמושפעים מכבידה
תרמודינמיקה: הקשר בין טמפרטורה וחום לבין אנרגיה וכוחות
אלקטרומגנטיות: אינטראקציות בין חלקיקים טעונים.

אופרטורים עריכה

אופרטור הגזירה (דֶל) עריכה

{\vec {\nabla }}\equiv {\hat {x}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\hat {y}}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\hat {z}}{\frac {\partial }{\partial z}}\equiv \left(\ \partial _{x}\,\ \partial _{y}\,\ \partial _{z}\right)

${\nabla }$ : נבלה (סימן)

גרדיאנט עריכה

גרדיאנט של שדה סקלרי הוא שדה וקטורי, כך שוקטור הגרדיאנט מצביע אל הכיוון בו השינוי בשדה הסקלרי מירבי; גודל וקטור הגרדיאנט כשיעור השינוי המירבי.

\operatorname {grad} \psi ={\vec {\nabla }}\psi \equiv {\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\hat {x}}+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\hat {y}}+{\frac {\partial \psi }{\partial z}}{\hat {z}}

למשל: הפוטנציאל הוא שדה סקלרי $\ U({\vec {r}})$ , והכוח שפועל על חלקיק שנמצא בהשראת אנרגיה פוטנציאלית, הוא הגרדיאנט של האנרגיה הפוטנציאלית $\ {\vec {F}}({\vec {r}})=-{\nabla }U({\vec {r}})$ ; משמעות: הכח הפועל על הגוף מושך לכיוון בו הפוטנציאל קטֵן במידה המירבית.

דיברגנץ עריכה

דיברגנץ של שדה וקטורי הוא שדה סקלרי, שמבטא את "כמות" (צפיפות) המקורות של השדה בכל נקודה; זאת ע"י סיכום של התוספות לוקטור בשלושת הממדים:

\operatorname {div} {\vec {F}}={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {F}}={\frac {\partial {F}_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial {F}_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial {F}_{z}}{\partial z}}

מודד את המידה שבה השדה "מתפזר" (diverges) מהנקודה - ובפיזיקה: כתוצאה ממקור שיוצר שדה של וקטורים ש"יוצאים" מהמקור; לכן, אם שדה הוקטורים "מצביע" על הנקודה מכל הכיוונים - השדה "מתכנס" אליה, והדיברגנץ שלילי חזק. מסוסקינד

משפט הדיברגנץ (גאוס):

$\iiint \limits _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {E} \right)dV=\iint \limits _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {S}$

משוואות מקסוול עריכה

משוואה 1 עריכה

הדיברגנץ של צפיפות-השטף של השדה חשמלי בנקודה, הוא צפיפות המטען שם:

{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\mathbf {D} }}=\rho

(ובחלל חופשי, צפיפות-השטף של השדה:

{\vec {\mathbf {D} }}=\epsilon _{0}{\vec {\mathbf {E} }}

)

זהו חוק קולון; או בהכללה חוק גאוס: אחד המקורות של השדה החשמלי הוא המטען החשמלי.
משמעות: קיום מטען בנקודה יוצר שדה (חשמלי) של וקטורים ש"יוצא" מהנקודה; במדויק: צפיפות המטען יוצרת תוספת לשטף של השדה החשמלי בנקודה.

אנלוגיה: הדיברגנץ של שדה הכבידה בנקודה, שווה לצפיפות המסה: ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}=-4\pi \rho G$ (ו-A היא תאוצת הכבידה בכל נקודה)

במקרה הפשוט של חוק קולון למטען "נקודתי" Q (או אפילו למטען נפחי שגודלו הכולל Q) - השדה במרחק r מ"מרכז" המטען: $E={\frac {Q}{r^{2}}}$ .
במקרה הכללי של שדה: ${\vec {E}}=E_{x}{\hat {x}}+E_{y}{\hat {y}}+E_{z}{\hat {z}}$ רכיבי השדה של מטען כזה: $E_{x}={x \over r}\cdot {Q \over r^{2}}={xQ \over r^{3}};\,\,r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}};\,\,{\partial E_{x} \over \partial x}={y^{2}+z^{2}-2x^{2} \over {(x^{2}+y^{2}+z^{2})}^{5/2}}\cdot Q?$ ,^[1]

ומהגדרת הדיברגנץ:
$\operatorname {div} {\vec {E}}=Q\cdot {y^{2}+z^{2}-2x^{2}+x^{2}+z^{2}-2y^{2}+x^{2}+y^{2}-2z^{2} \over {(x^{2}+y^{2}+z^{2})}^{5/2}}=0$ , ואכן, מחוץ לכדור אין מטען.

בתוך הכדור:
$E_{x}={x \over r}\cdot {Q_{in-r} \over r^{2}}={x \over r}\cdot {{{4\pi \over 3}\rho r^{3}} \over r^{2}}={4\pi \over 3}\rho \cdot x;\,\,{\partial E_{x} \over \partial x}={4\pi \over 3}\rho$ ^[1]

$\operatorname {div} {\vec {E}}={4\pi \over 3}\rho (1+1+1)=4\pi \rho$ , בהתאם לצפיפות המטען בתוך הכדור.

בקואורדינטות כדוריות: מחוץ לכדור, $E_{r}={Q \over r^{2}}{\hat {r}},E_{\theta }=0,E_{\phi }=0$
$\operatorname {div} {\vec {E}}={1 \over r^{2}}{\partial (r^{2}E_{r}) \over \partial r}={1 \over r^{2}}\cdot 0$
ובתוך הכדור:
$E_{r}={{{4\pi \over 3}\rho \cdot r^{3}} \over r^{2}};\,\,\operatorname {div} {\vec {E}}={1 \over r^{2}}{\partial (r^{2}r{4\pi \over 3}\rho ) \over \partial r}={1 \over r^{2}}\cdot {4\pi \over 3}\rho \cdot 3r^{2}=4\pi \rho$

השדה החשמלי בתוך טבעת טעונה, סרטון באתר יוטיוב

משוואה 2 עריכה

הדיברגנץ של צפיפות-שטף של השדה מגנטי הוא אפס:

{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\mathbf {B} }}=0

(ובחלל חופשי, צפיפות-השטף של השדה:

{\vec {\mathbf {B} }}=\mu _{0}{\vec {\mathbf {H} }}

)

משמעות:

לשדה מגנטי אין מקורות חוץ מזרם חשמלי. ^[2]
סך השטף המגנטי דרך כל נפח סגור הוא 0 - זהו חוק גאוס למגנטיות. שקול לכך: "קו שדה" מגנטי לעולם לא מתחיל או מסתיים בנקודה (בניגוד לחשמלי) - הם תמיד יוצרים עקומות סגורות; ולכן לא יתכן גוף סגור, אפילו אינפניטסימלי, שסך השטף דרכו, יוצא ונכנס, אינו 0.
השדה המגנטי אי-דחיס Solenoidal.
אין בעולם (כנראה) מונופול מגנטי - כל המגנטים באים בזוגות. ^[3]

רוטור עריכה

רוטור של שדה וקטורי הוא שדה וקטורי, שמבטא (לכל נקודה במרחב) את המידה שבה השדה "מסובב מגנט-בוחן" (במרחב, לא בזמן) סביב הנקודה; כיוון וקטור הרוטור הוא בניצב למישור הסיבוב.

הרוטור של שדה מגנטי B במרחק מתיל נושא-זרם I הוא 0; רק בנקודה בה יש זרם, הרוטור שווה לצפיפות הזרם J. ^[2]
"מבחן" לכך שהרוטור [למשל: של B] אינו 0: שמים כדור קטן בנקודה בשדה [B]; אם יש "זרימה" של מקור [J], שהוא שדה וקטורי שיוצר את השדה [B], אז השדה [B] יסובב את הכדור על ציר שפונה בכיוון המקור [J] [כי בהשפעת J, השדה B גדול בכיוון של קוי השדה החיצוניים יותר מאשר בכיוון הפנימיים; למשל, אם במוליך בעל חתך מעגלי יש J אחיד, אז בתוך המוליך B גדל כלפי חוץ בשיעור r, ומחוץ לו B קטֵן בשיעור r. ^[4]]. באזור שבו [J] הוא 0, הכדור לא יסתובב, למרות ש-[B] קיים (ואפילו נראה כמסתובב; הסיבה כנראה: אמנם בכיוון רחוק מהמוליך השדה קטֵן בשיעור r, אבל המנוף שלו גדל באותו שיעור, כך שממונט הסיבוב נשמר). [1]

\!\,curl\ {\vec {F}}_{x}={\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}_{x}=\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right){\hat {x}}

.

אם רוטור שווה 0 בכל נקודה, אז הוא בהכרח גרדיאנט של שדה פוטנציאל. הסיבה: לפי חוק סטוקס לוקטורים, אינטגרל משטחי של הרוטור של F שווה לאינטגרל הקוי של F על שפת המשטח; אם הרוטור זהותית 0, כך גם הקוי על כל מסילה סגורה במרחב; מכאן שפונקציה סקלרית φ שמוגדרת כאינטגרל קוי על F לאורך מסילה: $\phi ({\vec {x}})=\int _{0}^{\vec {x}}{\vec {F}}\cdot {\vec {d}}l$ - אינה תלויה במסילה (ולכן היא מוגדרת היטב), ולכן F משמר, הוא גרדיאנט של φ (כי להיפך: φ האינטגרל של F), ו-φ הוא שדה פוטנציאל. [2]

משוואה 3 עריכה

1. הרוטור של השדה האלקטרוסטטי הוא 0.
משמעות: שדה אלקטרוסטטי לא "מסתובב" סביב כיוון השדה (אין קשר לכך ש"קווי השדה" עשויים להתעקם - בדומה לשדה מגנטי בנקודה ללא זרם, שמסתובב אך הרוטור הוא 0). בניגוד לשדה מגנטי שמסתובב "ממש" כתוצאה מזרם בנקודה - לשדה חשמלי אין כל מקור "זורם" ש"מסובב אותו"; ולשדה מגנטי אין מקור פרט לזרמים (#משוואה (2)).
2. כללית: הרוטור של השדה החשמלי (כולל השדה שנובע משינוי השדה המגנטי בזמן), שווה לקצב השינוי (של צפיפות שטף) השדה המגנטי:

{\vec {\nabla }}\times {\vec {\mathbf {E} }}=-{\frac {\partial {\vec {\mathbf {B} }}}{\partial t}}

זהו חוק פאראדיי. משמעות: שינוי בשדה המגנטי משרה שדה חשמלי חדש; אם השינוי הוא מחזורי (בפרט: סינוסי), אז גם השדה החשמלי משתנה כסינוס, ונוצר גל אלקטרומגנטי.

משוואה 4 עריכה

{\vec {\nabla }}\times {\vec {\mathbf {B} }}=\mu _{0}{\vec {\mathbf {J} }}+\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {\mathbf {E} }}}{\partial t}}

או:

{\vec {\nabla }}\times {\vec {\mathbf {H} }}={\vec {\mathbf {J} }}+{\frac {\partial {\vec {\mathbf {D} }}}{\partial t}}

זהו חוק אמפר עם תיקון מקסוול.
משמעות: מקורות השדה המגנטי הם שינוי (צפיפות שטף) השדה החשמלי, וזרם חשמלי. ^[2]

הקבלה עריכה

שדה B הוא רוטור של פוטנציאל וקטורי A (כפי ששדה E שהוא גרדיאנט של פוטנציאל סקלרי φ). זה נובע מ:

{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0

(לשדה המגנטי אין מקורות);

לכל וקטור A: $\operatorname {div} \operatorname {curl} {\vec {A}}=0$ ^[5] ומכאן שניתן למצוא שדה וקטורי ${\vec {A}}$ כך ש ${\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}$ . שדה זה הוא הפוטנציאל הווקטורי.

כוח לורנץ עריכה

\ {\vec {F}}=q\left({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)

המשוואות בתוספת הכוח מאפשרות לבנות את משוואות התנועה של כל חלקיק.

גל אלקטרומגנטי עריכה

בהרצאות פיינמן

המקור האמיתי של גלים אלקטרומגנטיים, סרטון באתר יוטיוב, בערוץ של Atoms and Sporks
תפיסות שגויות:
- שדה חשמלי נוצר ע"י מטען, שדה מגנטי - ע"י זרם; לא - השדה האלקטרומגנטי (כולו) בנקודה מסויימת הוא המידע (הלא-מעודכן) על מיקומו, מהירותו ותאוצתו של מטען בעבר (מבלי תאוצה - יש רק שדה חשמלי).
- השדות החשמלי והמגנטי יוצרים זה את זה; לא - הם לא משפיעים זה על זה, שניהם נוצרים ביחד ברגע שהגל הגיע מהמקור שלהם.
- הם נעים כגל בעל צורה סינוסית קבועה; לא - צורת הגל תלויה בהתנהגות המקור.

קרינת גוף שחור עריכה

גוף שבולע את כל הקרינה; בקירוב טוב: השמש, היקום, נורת להט, גוף חי - לא פולטים כמעט קרינה שהם סופגים. לכן הקרינה שלהם היא קרינה תרמית?, ולה יש תכונות:

הספקטרום תלוי רק בטמפרטורה - לא בחומר
תדירות שיא הקרינה: לינארי בטמפרטורה
פלאנק הצליח לנסח את ההתפלגות כפונקציה של התדירות, אבל רק בהנחה שהקרינה נפלטת במנות של h*υ. ללא הנחה זו: חוק ריילי-ג'ינס נכון רק לתדירויות נמוכות, וסוטה מתוצאות ניסוי באזור האולטרה-סגול - "הקטסטרופה של העל-סגול". לתדירויות גבוהות: חוק וין - פשוט ואמפירי, אבל לא מסביר.

קרני רנטגן עריכה

הספטרום מורכב משתי תופעות:

רציף, כתוצאה מקרינת בלימה (Bremsstrahlung): בלימת אלקטרונים מהירים שנתקעים בחומר, מוסבר בפיזיקה קלאסית ע"י קרינה שנוצרת מהאטת האלקטרונים; אך לא מוסבר: הספקטרום מסתיים באורך-גל מינימלי, שלא תלוי בחומר, אבל תלוי-הפוך במתח ההאצה. הסיבה: כדי לפלוט פוטון באורך גל λ, אלקטרון חייב אנרגיה מינימלית h*c/λ; אבל האנרגיה שלו היא eV באלקטרון-וולטים, ואם היא לא מספיק גדולה, אז λ יהיה קטן מ-h*c/eV ולא ייפלט פוטון. הוכחה לחלקיקיות של קרינת-X.
קווי, שאורך-הגל שבו הקו מופיע תלוי בחומר. ???

אפקט קומפטון עריכה

קרני X מתפזרות אחרי פגיעה במוצק (למשל: גרפיט, פרפין). תדירות הקרינה המופזרת קטנה יותר, והפרש אורך-הגל קשור לזווית הפיזור: λ(θ)-λ0=0.0243Å*(1-cosθ)z.

הוכיח סופית שלפוטון יש תנע ואנרגיה, ולכן לקרינה גם אופי חלקיקי (פרס נובל לפיזיקה, 1927).

יש גם קרינה חוזרת ללא שינוי תדירות: פיזור תומפסון, כתוצאה מפגיעה באטומים (למעשה, באלקטרון קשור בתוך האטום), שהם כבדים בהרבה והאלקטרון כמעט לא מזיז אותם ולכן לא מעביר להם אנרגיה.

אלקטרודינמיקה קוונטית עריכה

למשל, מסבירה כח חשמלי זעיר בין 2 מולכים לא-טעונים.

תורת היחסות הכללית עריכה

בעיה דו-גופית עריכה

במכניקה קלאסית, ללא כוחות נוספים, קיים פתרון אנליטי פשוט: בעיית קפלר.
הפתרון הקלאסי לא מסביר, למשל, את מידת הנקיפה של פלנטות, למשל "כוכב חמה", שהנקיפה שלו מוסברת באופן קלאסי עד כדי שגיאה של 43 שניות-קשת (מתוך 532) למאה שנים. לאחר שאורבן לה-ורייה וניוקום מדדו בדיוק, אלברט איינשטיין היה הראשון להראות שהיחסות הכללית מסבירה.
- אם מניחים שאחד הגופים מסיבי בהרבה מהשני - יש פתרון אנליטי יחסותי: פתרון שוורצשילד.
- ללא הנחה זו (קיים במקרה של מערכות בינאריות של כוכב נייטרונים או חור שחור), אין פתרון אנליטי; ניתן לפתור ע"י:
  - איטרציות של פוסט-ניוטונית (אנ')
  - בשיטות נומריות מודרניות; בהינתן מספיק כוח חישוב (החל מ-1990), הפתרון מדויק יותר מפוסט-ניוטון. בעיית קפלר לגופים מסיביים מתמזגים - קשה מאד לפתרון, בגלל הפתרון ב-4 ממדים, אבל כיום אפשרית (ושימשה לחישוב תגלית גלי הכבידה).
(Two-body problem in general relativity)

משוואת איינשטיין:

G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{g_{\mu \nu }R \over 2}+\Lambda g_{\mu \nu }

חשמל עריכה

מודל דרודה (Drude, 1900): נושאי זרם חשמלי: גז אלקטרונים; ההתנגדות בגלל פיזור מגרעיני האטומים של המוליך; האמת:

נושאים: האלקטרונים הבלתי-מקומיים (Delocalized או bloch), שדרושה מעט אנרגיה כדי להביאם להולכה.
התנגדות: בגלל (1) פגמים בשריג (חוסר באטום או אילוח); (2) גלי-שריג, (גלים אקוסטיים, פונוןים), תנודות הרמוניות קטנות בין האטומים.

זאת הסיבה שחלק מהבדדים שקופים - הפוטונים אינם נבלעים, כי דרושה אנרגיה רבה כדי לעקור אלקטרון ממצב קשור, ולבלוע פוטון.

מכניקת הקוונטים ומיתוסים של בי"ס תיכון, סרטון באתר יוטיוב

המחשות עריכה

מכניקה קוונטית, סרטון באתר יוטיוב; מכניקה קוונטית
מכניקה קוונטית (ניסוי 2 הסדקים, עם חתול), סרטון באתר יוטיוב

טנזור עריכה

tensors for beginners, סרטון באתר יוטיוב
טנזורים באופן אינטואיטיבי, סרטון באתר יוטיוב

הערות עריכה

^ ¹ ² כך במקרה הכללי, שהשדה נמדד בנקודה כלשהי, ולאו-דוקא על אחד הצירים הקרטזיאניים. אך גם במקרה פרטי שהנקודה על ציר ה-x: אמנם, $E_{x}={Q \over x^{2}}={4\pi \over 3}\rho \cdot x$ , וזה נכון לכל x, ולכן: ${\partial E_{x} \over \partial x}={4\pi \over 3}\rho$ ; אבל גם בצירים האחרים: אמנם, $E_{y}|_{y=0}=0;\,\,E_{z}|_{z=0}=0$ , אבל ${\partial E_{y} \over \partial y}={4\pi \over 3}\rho$ (כי $E_{y}={y \over r}\cdot {Q \over r^{2}}$ ).
^ ¹ ² ³ זרם כולל I דרך משטח, ובמקרה הכללי: צפיפות הזרם J בנקודה, גורם לכך שהרוטור של שדה מגנטי בנקודה (=מידת ה"סיבוב" של השדה המגנטי בנקודה), שווה לצפיפות הזרם בנקודה (בהתאמה לכך, שהאינטגרל המשטחי על הרוטור של וקטור כלשהו, שווה לאינטגרל הקוי על הוקטור לאורך שפת המשטח - זהו משפט סטוקס#חוק סטוקס.)
^ יש תאוריות שמניחות קיומם של מונופולים - זה יוצר סימטריה יפה במשוואות מקסוול עצמן! - ? הם מסבירים את הקוונטיזציה של מטען חשמלי. בתורת המיתרים הם הכרחיים.
^ $B_{in}={\frac {\mu _{0}}{2\pi }}\cdot {\frac {I}{r}};B_{out}={\frac {\mu _{0}}{2\pi a^{2}}}I\cdot r$
^ ${\frac {\delta }{\delta x}}({\frac {\delta }{\delta y}}A_{z})={\frac {\delta }{\delta y}}({\frac {\delta }{\delta x}}A_{z})\implies \operatorname {div} \operatorname {curl} {\vec {A}}={\frac {\delta }{\delta x}}({\frac {\delta }{\delta y}}A_{z}-{\frac {\delta }{\delta z}}A_{y})+{\frac {\delta }{\delta y}}({\frac {\delta }{\delta z}}A_{x}-{\frac {\delta }{\delta x}}A_{z})+{\frac {\delta }{\delta z}}({\frac {\delta }{\delta x}}A_{y}-{\frac {\delta }{\delta y}}A_{x})=0$

[שדה_חשמלי-1] ¹ ² כך במקרה הכללי, שהשדה נמדד בנקודה כלשהי, ולאו-דוקא על אחד הצירים הקרטזיאניים. אך גם במקרה פרטי שהנקודה על ציר ה-x: אמנם, $E_{x}={Q \over x^{2}}={4\pi \over 3}\rho \cdot x$ , וזה נכון לכל x, ולכן: ${\partial E_{x} \over \partial x}={4\pi \over 3}\rho$ ; אבל גם בצירים האחרים: אמנם, $E_{y}|_{y=0}=0;\,\,E_{z}|_{z=0}=0$ , אבל ${\partial E_{y} \over \partial y}={4\pi \over 3}\rho$ (כי $E_{y}={y \over r}\cdot {Q \over r^{2}}$ ).

[רוטור_של_שדה_מגנטי-2] ¹ ² ³ זרם כולל I דרך משטח, ובמקרה הכללי: צפיפות הזרם J בנקודה, גורם לכך שהרוטור של שדה מגנטי בנקודה (=מידת ה"סיבוב" של השדה המגנטי בנקודה), שווה לצפיפות הזרם בנקודה (בהתאמה לכך, שהאינטגרל המשטחי על הרוטור של וקטור כלשהו, שווה לאינטגרל הקוי על הוקטור לאורך שפת המשטח - זהו משפט סטוקס#חוק סטוקס.)

[3] יש תאוריות שמניחות קיומם של מונופולים - זה יוצר סימטריה יפה במשוואות מקסוול עצמן! - ? הם מסבירים את הקוונטיזציה של מטען חשמלי. בתורת המיתרים הם הכרחיים.

[4] $B_{in}={\frac {\mu _{0}}{2\pi }}\cdot {\frac {I}{r}};B_{out}={\frac {\mu _{0}}{2\pi a^{2}}}I\cdot r$

[5] ${\frac {\delta }{\delta x}}({\frac {\delta }{\delta y}}A_{z})={\frac {\delta }{\delta y}}({\frac {\delta }{\delta x}}A_{z})\implies \operatorname {div} \operatorname {curl} {\vec {A}}={\frac {\delta }{\delta x}}({\frac {\delta }{\delta y}}A_{z}-{\frac {\delta }{\delta z}}A_{y})+{\frac {\delta }{\delta y}}({\frac {\delta }{\delta z}}A_{x}-{\frac {\delta }{\delta x}}A_{z})+{\frac {\delta }{\delta z}}({\frac {\delta }{\delta x}}A_{y}-{\frac {\delta }{\delta y}}A_{x})=0$

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

	דף זה אינו ערך אנציקלופדי
	דף זה הוא טיוטה של Avneref.