משתמש:Avneref/מתמטיקה/חשבון טנזורים


Mechanicsעריכה

חשבון טנזורים, טנזור: סדרה מאת כריס-עצמי (eigenchris, λ)

עזריםעריכה

לטנזוריםעריכה

אחרים של כריסעריכה

משמעות חדשה לסימנים
סימן חשבון רב-משתנים ואלגברה ליניארית חשבון טנזורים
  וקטור יחידה (אוקלידי) נגזרת חלקית
  שינוי קטן ב-x תבנית דיפרנציאלית
  נגזרת כיוונית נגזרת קו-ואריאנטית (אנ')

לקלקולוסעריכה

כלליעריכה

משוואת השדהעריכה

חשבון טנזוריםעריכה

חשבוןעריכה

מס. 0עריכה

  חשבון טנזורים 0, סרטון באתר יוטיוב

מס. 1עריכה

חשבון רב-משתנים
נוסחאות שימושיות:

  • כלל השרשרת במשתנים מרובים:  
  • Total differential ז  
  • וקטור "מהירות" המשיק לעקומה (הגודל):  

מס. 2עריכה

מערכות צירים
כדאי לבטא את וקטורי הבסיס כנגזרות חלקיות, זה מקל מאד על החשבון בהמשך:

  • במערכת צירים קרטזית:  : נגזרת חלקית של וקטור מקום R, בכיוון x = וקטור בגודל 1 (כי על כל תוספת ε ל-x, מתווסף אותו גודל ל-R); והוא בכיוון x = וקטור יחידה.
  • ובקוטביות: ; ספרי הלימוד מנרמלים את   ב-  כדי שאורכו יהיה קבוע; אבל eigenchris מעדיף לשמור על הזהות בינו לבין הנגזרת החלקית.

בסיסיעריכה

מס. 3: היעקוביאןעריכה

חשבון טנזורים 3
מעבר, עפ"י כלל השרשרת:  , ו-  ומכאן:  , ומטריצת המעבר:   (הקליפ תקין).[1] , והיעקוביאן ההפוך:  

מס. 4: נגזרותעריכה

נגזרות הן וקטורים

  • שדה וקטורי לאורך עקומה
  • וקטור-משיק לעקומה (בכתיב איינשטיין):   כאשר: c=cartesian, p=polar; שימוש בכלל השרשרת במשתנים מרובים:  , כך בשדה וקטורי, שהמקביל הוקטור-בודד שלו:  .

מס. 5: טיפולי המרהעריכה

חוקי המרה של נגזרת של שדות וקטוריים (קונטרה-ואריאנס)
 

מס. 5.1עריכה

נגזרות הן וקטורים: דיון
ביריעה מסילה, כל וקטור (ישר) יהיה בהכרח אקסטרינזי (חיצוני) ליריעה; קו אינטרינזי (שלא עוזב את היריעה) יהיה בהכרח עקום - ולא יוכל לשמש כוקטור-מקום. רק נגזרות (לאורך מסילה שנחה על היריעה) מאפשרות להתייחס לכיוונים על היריעה באופן אינטרינזי, כלומר לא מצריכות "יציאה מהיריעה". הסימון החדש משתמש במרחב וקטורי של אופרטורי-גזירה, מרחב שנקרא Tangent Vector Space, ומסומן:   (נגזרות בנקודה p על היריעה M).

מס. 6: דיפרנציאליםעריכה

דיפרנציאלים (df ותבנית דיפרנציאלית) הם קו-וקטורים תבנית דיפרנציאלית, (אנ')
בהינתן שדה סקלרי f במרחב, df הוא שדה במרחב שהוא כמו קו-וקטור: אם f הוא גובה, אז df הוא מעין שדה של קווי גובה, בכל נקודה.[2] הפעולה של df על וקטור v (פעולה שמחזירה סקלר) היא למעשה קצב השינוי ב-f כשנעים ב"מהירות" ובכיוון  , כלומר: df היא הנגזרת כיוונית של f בכיוון v - פעולה זהה לזו של קו-וקטור, על v, כך:  .

מס. 7: רכיביםעריכה

רכיבים
הרכיבים של df הם dx,dy, כי:   הדיפרנציאל (תבנית דיפרנציאלית) בכתיב איינשטיין,  ; הוא:  ; כך בשדה קו-וקטורים, שהמקביל הבודד שלו:  .

מס. 8: כללי מעברעריכה

כללי מעבר של שדה קו-וקטורים

מס. 9: איטגרציהעריכה

אינטגרציה בתבניות דיפרנציאליות
משפטים שימושיים:

אינטגרל (למשל, עבודה; למשל, של כוח כבידה):   (מהירות:  )

פירוש האינטגרל כתבנית דיפרנציאלית: ערך האינטגרל לאורך מסילה הוא "מספר קווי-הגובה" (= הקו-וקטור d) שהמסילה "דוקרת":  

מס. 10עריכה

אינטגרציה בתבניות דיפרנציאליות

מס. 11: הטנזור המטריעריכה

הטנזור המטרי ואורך של מסילה (במרחב שטוח)
 , ומטריצת הרכיבים של הטנזור המטרי g היא טנזור (0,2), כי מקיימת שני מעברי קו-ואריאנט.

  • [3] במרחב כללי (לא בהכרח שטוח), המרחק בין 2 נקודות (ב-2 ממדים, לפשטות):  . ו-g12 מבטא את מידת אי-האנכיות של הצירים (באותה נקודה): g12=0 פירושו מאונכים, כל ערך אחר (+ או -) מבטא סטיה מהאנכיות; g11, g22 מבטאים את צפיפות השנתות: g11>1 פירושו צפיפות גדולה (ולכן מרחק נמדד גדול).

מס. 12עריכה

הטנזור המטרי במרחב עקום
גאומטריה אינטרינזית ואקסטרינזיתגאומטריה דיפרנציאלית). טנזור מטרי של:

  • ספירה:  
  • גליל, אוכף
משוואות וטנזור מטרי של משטחים
משטח X Y Z טנזור מטרי
ספירה (cos(v)sin(u (sin(v)sin(u (cos(u  
גליל cos(v (sin(v u   [3]
אוכף u v uv  

מס. 13: diffעריכה

גרדיאנט .d" vs" גרדיאנט

  • ב-(Covariance and contravariance of vectors) הגרדיאנט מוגדר (באופן לא מדויק) כקו-וקטור: "An example of a covector is the gradient". האמת, ש: כשם שלכל וקטור v במרחב V מותאם קו-וקטור  

[4] במרחב הדואלי *V - כך: לוקטור   מותאם קו-וקטור df, באופן הזה:  . [5]

  • בדומה, המעבר בין המקדמים של הוקטור   לבין מקדמי הקו-וקטור df, הוא באמצעות מקדמי המטריצה g[6] של הטנזור המטרי:  .
  • אנלוגיה מוזיקלית:  

מס. 14עריכה

גרדיאנט .d" vs", דוגמאות

  • פעולת הטנזור המטרי על זוג וקטורים:  
  • רואים שטנזור מטרי הוא מעין קו-וקטור-כפול; אפשר לכתוב אותו כקומבינציה לינארית של מכפלות-טנזוריות של קו-וקטורים:  , כאשר כל מכפלה טנזורית של שני קו-וקטורים היא:  ; ובכתיב איינשטיין:  
    • וחישוב המכפלה הסקלרית של וקטורים:   (אחרי ביטול אינדקסים).
    • והקו-וקטור שיוצא ממכפלת v ב"משהו":   [4].
  • ובגרסת הקלקולוס, מחליפים את קו-וקטורי הבסיס בבסיסים של שדה הקו-וקטורים:   (וזה נכון לכל מערכת צירים), וכך:  
    • והקו-וקטור המתאים:  .
    • בניגוד לספרי לימוד, הגרדיאנט הוא   רק בקרטזיות (כאשר מטריצת הטנזור המטרי היא מטריצת היחידה); בכל מערכת אחרת, צריך להכפיל במטריצת הטנזור המטרי ההפוך:  .

מס. 15: גאודזיהעריכה

סמלי כריסטופל, גאומטריה אקסטרינזית סמל כריסטופל [7]

  • מסילה גאודזית: הקו ה"ישר" ביותר על פני יריעה, כשנעים "קדימה" [8].
  • מסילה היא גאודזית, אם לביטוי ה"תאוצה" ביחס לפרמטר λ, אין רכיב משיק ליריעה (= הוא 0), רק רכיב ניצב:  
  • התנאי שהמסילה גאודזית:  , נקרא המשוואה הגאודזית[9]. זוהי המקבילה היחסות-כללית לחוק השני של ניוטון: הנגזרת השניה של המקום ביחס לפרמטר (למעשה, הזמן עצמי) - שהיא תאוצה, שווה ל"כוח" במובן של עיוות המרחב כתוצאה ממסה! [10] עיוות זה מיוצג ע"י:   שנקראים סמל כריסטופל, ומציינים את המידה שבה וקטורי הבסיס משתנים על היריעה (במישור: כולם 0); L נקרא (Second fundamental form); כלומר, את מידת ה"עיוות" של גריד הקואודינטות שבשימוש: הסמלים מורכבים מהנגזרות של וקטורי הבסיס (בקומבינציה עם הטנזור המטרי), כך שאם הגריד "מעוות" - הסמלים שונים מ-0. כך יוצא, שהנגזרת הקו-ואריאנטית נשמרת.
  • #משוואת השדה, ד"ר פיזיקס
    • זמן '02 1: סמל כריסטופל מהווה "תיקון" לעובדה שנגזרת היא ואריאנטית (לא נשמרת בין מערכות-ייחוס) - צריך להוסיף הסמל, מוכפל בוקטור; רק הנגזרת הקו-ואריאנטית נשמרת:  
    • זמן "30'44 1: הסמל "שקול" לכוח, במכניקה ניוטונית.

מס. 16עריכה

גאודזיה, דוגמאות על מישור, וספירה

נגזרת קו-ואריאנטיתעריכה

מס. 17עריכה

גאודזיה, הנגזרת הקו-ואריאנטית (אין קשר לרכיבים קו-ואריאנטים!) ההגדרה במרחב שטוח (הכי קלה, וחלשה)

  • פשוט, הנגזרת ה"רגילה".
  • רק חשוב לגזור גם את רכיבי הוקטור, וגם את וקטורי הבסיס:  
  • כי הנגזרת של וקטורי בסיס, היא קומבינציה לינארית של וקטורי הבסיס עצמם, באמצעות סמלי כריסטופל (זאת למעשה ההגדרה של הסמלים):         או:        .

מס. 17.5עריכה

השלמה. הגדרה של רכיבים (הנדסית; פיסיקלית)

מס. 18עריכה

נגזרת קו-ואריאנטית. במרחב עקום

  • זוהי הנגזרת של שדה וקטורי v, בכיוון וקטור w, "בניכוי" של וקטור היחידה הנורמלי (כי "העתקה מקבילה" של וקטור על פני יריעה מסילה - מעניקה לו שינוי בניצב ליריעה [11]):  
    • כלומר: כדי שההעתקה לאורך מסילה תהיה מקבילה, נדרש שהנגזרת הקו-ואריאנטית שווה ל-0 (= כל השינוי הוא בניצב ליריעה).
  • ביריעה עקומה, אי-אפשר להגדיר שדה "קבוע" של וקטורים; במקום, מגדירים העתקה מקבילה, שהיא "הכי קרוב שאפשר" לשדה וקטורי קבוע.
    • מסילה שמבצעת העתקה מקבילה לוקטור-המשיק שלה (כך שהנגזרת הקו-ואריאנטית של וקטור-המשיק היא 0 לאורך המסילה:  ), היא מסילה גאודזית.
  • נגזרת קו-ואריאנטית עוזרת למצוא שדות וקטורים שהם העתקות מקבילות של וקטור.
  • אנימציה של העתקות מקבילות על קוי-רוחב שונים של ספירה

מס. 19עריכה

נגזרת קו-ואריאנטית. ההגדרה האינטרינזית

  • מאי טעמא? - בתורת היחסות הכללית, לא מתייחסים למרחב-זמן כאילו הוא נמצא במרחב מממד גבוה יותר (בניגוד ליריעה הדו-ממדית במרחב התלת, אז המבט הוא אקסטרינזי); לכן שם הדיון הוא אינטרינזי, במרחב 4-ממדי בלבד.
  • במבט אינטרינזי, אין וקטורי-בסיס שהם נגזרות חלקיות של וקטור-מיקום R - כי אין בכלל ראשית שממנה יוצא R (ראשית כזו יש רק במרחב אקסטרינזי). לכן משתמשים רק בוקטורי-בסיס שהם פעולות נגזרת חלקית לפי הצירים (u,v), או בכתיב u בלבד:  . וקטורי-בסיס אלה שייכים למרחב-וקטורי המשיק ליריעה (M (Manifold, בכל נקודה p - זהו המרחב  .
  • בהתחשב:  , ובקומפטביליות המטרית:  ,       מקבלים:  ; אין צורך ב-X,Y, אבל חייבים לדעת את רכיבי המטריצה של טנזור המטרי.

מס. 20עריכה

נגזרת קו-ואריאנטית. ההגדרה המופשטת, סימן לוי-צ'יוויטה

  • נגזרת קו-ואריאנטית היא הכללה של נגזרת כיוונית של שדה סקלרי - לשדה וקטורי.
  • היא למעשה פעולה על שדה, בכיוון מסויים (וקטור), שמחזירה שדה חדש: קצב השינוי של השדה המקורי.
  • 4 תכונות:
    • לינארית בוקטור הכיוון:  
    • אדיטיבית:  
    • כלל המכפלה ביחס ל"מתיחה" (כלל לייבניץ):  
    • נגזרת קו-ואריאנטית של פונקציה סקלרית:  
  • נזכור, ש:  .
  • קושרת בין מרחב-וקטורי-משיק בנקודה p, בה וקטור-משיק מצביע לכיוון מסוים - לבין מרחב-משיק אחר ב-q, שבו הוקטור (אחרי העתקה מקבילה) מצביע לכוון אחר; זוהי מפה בין וקטור בשדה   (מרחב וקטורי משיק T לספירה S ב-p) לבין וקטור ב- ; הנגזרת הקו-ואריאנטית מספקת את הקשר, לכן נקראת גם "קשר".
    • תכונת היעדר מאמץ פיתול:   (למעשה, במקרה הכללי ההפרש ביניהם שווה לסוגרי-לי:  , שכאן שווה 0 כי הוקטורים הם נגזרות חלקיות בסדר הפוך - אין ביניהם הבדל); מה שאומר שסמלי כריסטופל הם סימטריים.
    • תכונת התאימות המטרית Metric Compatibility: "כשמבצעים העתקה מקבילה לשני וקטורים (בנפרד), המכפלה הסקלרית שלהם לא משתנה (נגזרתה הקו-ואריאנטית = 0)"; גם האורך של וקטור (= המכפלה הסקלרית עם עצמו) שעובר העתקה מקבילה (נגזרתו הקו-ואריאנטית = 0) יישאר קבוע (נגזרת האורך = 0);     וכללית:  
      • תוצאה:  
  • שילוב 2 התכונות לעיל מהווה את המשפט היסודי של הגאומטריה הרימנית (אנ'): במטריקה רימנית (מרחב עקום עם מטריקה) יש קשר יחודי (נגזרת קו-ואריאנטית), ללא מאמץ פיתול ועם תאימות מטרית; נקרא קשר לוי-צ'יוויטה (אנ'). זה הקשר שבו סמלי כריטופל (גם: "מקדמי-קשר") נתונים בנוסחה שלעיל (קליפ #19).
  • יש גם נגזרות קו-ואריאנטיות אחרות (משעממות; ללא תאימות-מטרית; סמלי כריסטופל = 0). גם הן מקיימות את 4 התכונות, אבל לא את התאימות-מטרית; בד"כ לוי-צ'יוויטה היא השימושית.
  • על קו-וקטור (טנזור 0,1):  ;     (על וקטור:  )
  • על שדה של טנזור-מטרי (טנזור 0,2):  
    • בהתקיים התאימות המטרית - הנגזרת הקו-ואריאנטית של g = אפס, בכל כיוון.
  • ואפשר להשתמש בתכונה שהוגדרה לצורך הפעולה על טנזור-מטרי:       כדי לחשב נגזרת קו-ואריאנטית של כל שדה טנזורי.
    • לכל טנזור מדרגה (m,n), נגזרת קו-ואריאנטית תיתן איבר-נגזרת בשביל רכיבים (של מטריצת הטנזור המטרי); וכן m סמלי-כריסטופל ב +, ו-n סמלים ב -, לכל וקטור או קו-וקטור בסיס.

אחריםעריכה

מס. 21: סוגרים, עקומות זרימהעריכה

הסוגרים של לי (ע"ש סופוס לי), עקומות זרימה, מאמץ פיתול

  • סוגרי-לי:   (גם: vector field commutators)
    • בגאומטריה דיפרנציאלית, שדות וקטורים הם בעצם אופרטורי-גזירה[12], ולכן   הוא הנגזרת של v בכיוון הוקטור u.
    • גדלים שמהווים מדד ל"סגירות כהלכה" של שני מסלולים במרחב
    • הרשתות במערכות קואורדינטות תמיד "נסגרות כהלכה", כי:  .
  • טנזור מאמץ-הפיתול: ה"מִפתֵח" (או הבדל) בין העתקות מקבילות של שני וקטורים; או: ההפרש בין העתקה-מקבילה של וקטור v (אל נקודה p) לבין הוקטור v בנקודה p - הוא תוצאת הנגזרת הקו-ואריאנטית של v בנקודה p; ההפרש בין ההפרשים האלה, לשני וקטורים v, u, פחות סוגר-לי - נותן את טנזור המאמץ T, כך:  
    • אפשר גם לבטא:  .
      • כפי שרואים לעיל, T תלוי ב"קשר" בלבד - לא בשדה הוקטורי!
    • (מהו הביטוי ל"העתקה של וקטור"?)
    • היעדר מאמץ פיתול: הטנזור הזה = 0, כלומר: כל הוקטורים המועתקים-במקביל, "נסגרים כהלכה"; כלומר:  .

טנזור העקמומיותעריכה

מס. 22: טנזור העקמומיותעריכה

טנזור העקמומיות של רימן; עקמומיות, (אנ'). משמעויות: הולונומיות, סטייה גאודזית.

  • עקמומיות#טנזור העקמומיות של רימן: טנזור (1,3)  
  • הולונומיות (-?): אם R שונה מ-0, אז היריעה עקומה (בנקודה האמורה).
  • דרך נוספת לבדוק עקמומיות: (Geodesic deviation). (שלילה של) טנזור העקמומיות:  , באשר s הוא שדה הוקטורים של ההפרדה בין גאודזות היוצאות מהנקודה האמורה; אם הגודל הוא 0, אז היריעה שטוחה.
  1. מידת העקמומיות: הגבול של היחס בין שינוי הזוית של וקטור המועתק-במקביל, לבין השטח הכלוא בתוך מסלול ההעתקה; כשהשטח שואף ל-0. (השלמה)
  2. סימן העקמומיות: אם הוקטור יוצר זוית באותו סימן כמו כיוון התנועה שלו (למשל: זוית חיובית תוך תנועה נגד כיוון השעון) = עקמומיות חיובית (למשל: בספירה, העקמומיות זהה בכל נקודה, וחיובית; באוכף - שונה בכל נקודה, אבל תמיד שלילית).

מס. 23עריכה

הרכיבים של טנזור רימן

  • במעבר לטנזור רימן על וקטורי-בסיס: 
  • כל אינדקס מה-4 יכול לקבל ערכים, כמספר הממדים במרחב; לכן ב-2 ממדים, יש   אברים בביטוי לטנזור; ב-4 ממדים של המרחב-זמן יש 256 אברים; אבל תודות לסימטריה, רובם 0:
    • סימטריה-34:      
    • זהות ביאנקי (אנ')[13][14] (במרחב ללא מאמץ-פיתול):      
    • סימטריה-12 (תאימות-מטרית):      
    • הפיכה (מכל ה-3 שלעיל):      
    • למעשה, ב-2 ממדים למשל, יש רק משתנה חופשי אחד: R1212 (ב-4 ממדים: 20 משתנים חופשיים, מתוך 256).

מס. 24עריכה

טנזור העקמומיות של ריצ'י (אנ')

  •  . טנזור העקמומיות R (שמאל) מכיל 2 אינדקסים: a, קואורדינטת הוקטור ("הלבן"[15]) שעובר העתקה מקבילה (מקבל: 0-3); b, קואורדינטת dX של השטח האינפ עליו מחושב הגבול (מקבל: 1-4). אינדקס i מציין את קואורדינטת dX של השינוי בוקטור הלבן, כתוצאה מהעקמומיות; כל אחד מ-  הוא סכום של 4 אברים, i=1..4. סה"כ 64 או 256???
  • משוואת איינשטיין:  .
    • 4*4=16 משוואות, אבל מתוכן 6 תלויות, לכן אלה 10 משוואות.
    • כל אבר במערך המייצג את טנזור מאמץ האנרגיה והתנע T הוא מכפלה של תנע במהירות (ליחידת נפח, בנקודה), כל אחד ב-4 ממדים: סה"כ 16 אברים.   הוא המשמעותי (צפיפות אנרגיה בנפח; כי מכיל את c^2), כל השאר זניחים במהירויות "נמוכות". כדי לקבל את   במשוואת איינשטיין, יש להפעיל את הטנזור המטרי g (= לסכם על כל ה-16, לכל אבר; = להוריד אינדקסים).
      • #משוואת השדה ד"ר פיזיקס, '57 1:   הוא "גורם הזמן";   הם "זרימת האנרגיה";   הם "צפיפות התנע"; שאר ה-9: "שטף מאמץ/לחץ התנע". כל הטנזור מהווה מדד לצפיפות האנרגיה בנפח.
    • הטנזור המטרי g: שווה ל"מטריצת היחידה" במרחב שטוח.
    • סקלר העקמומיות:   באמת? זה משאיר את אגף שמאל ב-1/2 ???
      זה קבוע הפרופורציה בין השטח da שמוגבל בתוך מסילה סגורה, לבין מידת ה"גרעון" בזוית dθ, שנוצר כתוצאה מהעתקה-מקבילה של וקטור בסיבוב אחד על המסילה.
    • טנזור העקמומיות של ריצ'י: (אנ') מרכיבים:  . הוא צמצום של טנזור העקמומיות של רימן (וזה קיים בגלל הבדלים בסמל כריסטופל בנקודות לאורך המסילה, כלומר הוא בנוי מנגזרות של הסמל).
    • הקבוע הקוסמולוגי:  
      • (T?) כולל כל האנרגיה והתנע בכל נקודה, כתוצאה מחומר, ומקרינה; אבל לא כולל אנרגיה כתוצאה מעקמומיות.

מס. 25עריכה

משמעות גאומטרית של טנזור העקמומיות של ריצ'י

מס. 26עריכה

תכונות של טנזור / סקלר של ריצ'י

נספחיםעריכה

סוגים של טנזורים
טנזור מאפיין סוג דרגה
סקלר מספר (0,0)? 0
וקטור איבר במרחב וקטורי (1,0) 1
מטריצה -"- (2,0)? 2
קו-וקטור (אנ') איבר במרחב וקטורי (הדואלי) (1,0) 1
מפה לינארית פונקציה מוקטור לוקטור (1,1) 2
טנזור מטרי[16][17] פונקציה מזוגות של וקטורים - לסקלר (0,2) 2?
תבנית בילינארית[17] זוגות של קווקטור-קווקטור (0,2) 2?

המרת קרטזיות לקוטביותעריכה

באמצעות היעקוביאן; וקטורי בסיס:  ,     טנזור מטרי:  ,     ומקדמי-קשר:  

מרחק על משטח כדוריעריכה

מרחק על משטח כדורי, באמצעות מטריקה

  • האינטגרל:   לא ניתן לחישוב אנליטי (כריס "רימה": מוולפראם); לכן משתמשים במשפט הקוסינוסים (בהתבסס על (אנ'): נוסחת המרחק על מעגל גדול.
  •  , שהוא קבוע ביחס לאינטגרציה.

שונותעריכה

לקריאהעריכה

הערותעריכה

  1. ^ קוואריאנט=שורה   חשבון טנזורים 8, סרטון באתר יוטיוב זמן 9:41
  2. ^ אבל רק הגרדיאנט של f הוא השדה של המספרים, שמייצגים בכל נקודה את צפיפות וכיוון העליה המירבי של קווי הגובה.
  3. ^ גליל הוא מרחב (יריעה) שטוח! המבחן: אם אפשר לפרוס את היריעה (מבלי למתוח או לכווץ אותה!), על מישור שטוח; ניתן לעשות זאת לגליל ולחרוט - לכן הם יריעות שטוחות (פרט לשפיץ החרוט); אבל לא לספירה ולאוכף.
  4. ^ 1 2 הסימן   משמש כאן בגלל ההשמטה של הוקטור השני, שאחרי המכפלה סקלרית. ראו: הורדה והעלאה של אינדקסים#הורדה והעלאה של אינדקסים
  5. ^ הורדה והעלאה של אינדקסים#דוגמה - הגרדיאנט
  6. ^ שבמקרה של הבסיס האורתונורמלי, המטריצה היא I.
  7. ^ ליה וואס. "Measuring Lengths – The First Fundamental Form" בגאומטריה דיפרנציאלית
  8. ^ מסילה גאודזית היא בד"כ הקצרה ביותר, אך גם המסילה ה"משלימה" (למשל על ספירה=החלק השני של המעגל גדול) היא גאודזית.
  9. ^ בסוסקינד, זוהי הנגזרת הקו-ואריאנטית של הוקטור המשיק למסילה; אם היא 0 בכל נקודה על המסילה, אז המסילה היא גאודזית, היא "המרחק הקצר ביותר" על פני היריעה.
  10. ^ בחוק השני בצורתו:   (כאן U הוא שדה הפוטנציאל), המסה m מצטמצמת, ויוצא שהתאוצה תלויה רק בעקמומיות המרחב - בכל נקודה, לכל הגופים אותה תאוצה.
  11. ^ נעסוק בוקטורים v משיקים ליריעה, כי אלה הרוב בפיסיקה.
  12. ^ ו-וקטורי בסיס של שדות אלה הם נגזרות חלקיות בכוון של כל וקטור-בסיס.
  13. ^ בוולפראם
  14. ^ באנציקלופדיה למתמטיקה
  15. ^ Einstein's Field Equations of General Relativity Explained
  16. ^ מקרה פרטי של תבנית בילינארית
  17. ^ 1 2 התבנית היא זוג קו-וקטורים, שיוצרים את המטריצה המייצגת; הפעלתה על שני וקטורים בזה-אחר-זה - יוצרת סקלר.