משתמש:Avneref/מתמטיקה/חשבון טנזורים
דף זה אינו ערך אנציקלופדי
| ||
דף זה אינו ערך אנציקלופדי | |
Mechanics
עריכהחשבון טנזורים, טנזור: סדרה מאת כריס-עצמי (eigenchris, λ)
- ערוץ יוטיוב: [1]
- eigenchris קו-פי
- קדם: משתמש:Avneref/מתמטיקה/טנזור
עזרים
עריכהלטנזורים
עריכה- אקדמיית קהאן: מבוא לטנזורים, סרטון באתר יוטיוב
- טנזורים באופן אינטואיטיבי, סרטון באתר יוטיוב
- דן פלייש. מהו טנזור, סרטון באתר יוטיוב
- חשבון טנזורים 1, סרטון באתר יוטיוב: חוקי המשחק
- הקורסים של ליה ואס, בעיקר: [2]
- טנזור העקמומיות של רימן, סרטון באתר יוטיוב
- טנזור העקמומיות של ריצ'י, סרטון באתר יוטיוב
אחרים של כריס
עריכה- קוד לתיקון שגיאות, סרטון באתר יוטיוב
משמעות חדשה לסימנים | |||
---|---|---|---|
סימן | חשבון רב-משתנים ואלגברה ליניארית | חשבון טנזורים | |
וקטור יחידה (אוקלידי) | נגזרת חלקית | ||
שינוי קטן ב-x | תבנית דיפרנציאלית | ||
נגזרת כיוונית | נגזרת קו-ואריאנטית (אנ') |
לקלקולוס
עריכהכללי
עריכה- משוואת השדה, ד"ר פיזיקס-איי, סרטון באתר יוטיוב: מאת DrPhysicsA; מפושט; למשל: זמן '58
- 10 שנים של עבודה של איינשטיין, בסיוע מתמטיקאים-חברים
- יחסות כללית, לאונרד סוסקינד, סטנפורד, אוקטובר 2008, סרטון באתר יוטיוב: יותר מפורט. לאונרד ססקינד, ממייסדי תורת המיתרים
חשבון טנזורים
עריכהחשבון
עריכהמס. 0
עריכהחשבון טנזורים 0, סרטון באתר יוטיוב
מס. 1
עריכהחשבון רב-משתנים
נוסחאות שימושיות:
- כלל השרשרת במשתנים מרובים:
- Total differential ז
- וקטור "מהירות" המשיק לעקומה (הגודל):
מס. 2
עריכהמערכות צירים
כדאי לבטא את וקטורי הבסיס כנגזרות חלקיות, זה מקל מאד על החשבון בהמשך:
- במערכת צירים קרטזית: : נגזרת חלקית של וקטור מקום R, בכיוון x = וקטור בגודל 1 (כי על כל תוספת ε ל-x, מתווסף אותו גודל ל-R); והוא בכיוון x = וקטור יחידה.
- ובקוטביות: ; ספרי הלימוד מנרמלים את ב- כדי שאורכו יהיה קבוע; אבל eigenchris מעדיף לשמור על הזהות בינו לבין הנגזרת החלקית.
בסיסי
עריכהחשבון טנזורים 3
מעבר, עפ"י כלל השרשרת: , ו- ומכאן: , ומטריצת המעבר: (הקליפ תקין).[1]
, והיעקוביאן ההפוך:
מס. 4: נגזרות
עריכה- שדה וקטורי לאורך עקומה
- וקטור-משיק לעקומה (בכתיב איינשטיין): כאשר: c=cartesian, p=polar; שימוש בכלל השרשרת במשתנים מרובים: , כך בשדה וקטורי, שהמקביל הוקטור-בודד שלו: .
מס. 5: טיפולי המרה
עריכהחוקי המרה של נגזרת של שדות וקטוריים (קונטרה-ואריאנס)
מס. 5.1
עריכהנגזרות הן וקטורים: דיון
ביריעה מסילה, כל וקטור (ישר) יהיה בהכרח אקסטרינזי (חיצוני) ליריעה; קו אינטרינזי (שלא עוזב את היריעה) יהיה בהכרח עקום - ולא יוכל לשמש כוקטור-מקום. רק נגזרות (לאורך מסילה שנחה על היריעה) מאפשרות להתייחס לכיוונים על היריעה באופן אינטרינזי, כלומר לא מצריכות "יציאה מהיריעה". הסימון החדש משתמש במרחב וקטורי של אופרטורי-גזירה, מרחב שנקרא Tangent Vector Space, ומסומן: (נגזרות בנקודה p על היריעה M).
מס. 6: דיפרנציאלים
עריכהדיפרנציאלים (df ותבנית דיפרנציאלית) הם קו-וקטורים תבנית דיפרנציאלית, (אנ')
בהינתן שדה סקלרי f במרחב, df הוא שדה במרחב שהוא כמו קו-וקטור: אם f הוא גובה, אז df הוא מעין שדה של קווי גובה, בכל נקודה.[2] הפעולה של df על וקטור v (פעולה שמחזירה סקלר) היא למעשה קצב השינוי ב-f כשנעים ב"מהירות" ובכיוון , כלומר: df היא הנגזרת כיוונית של f בכיוון v - פעולה זהה לזו של קו-וקטור, על v, כך: .
מס. 7: רכיבים
עריכהרכיבים
הרכיבים של df הם dx,dy, כי:
הדיפרנציאל (תבנית דיפרנציאלית) בכתיב איינשטיין, ; הוא: ; כך בשדה קו-וקטורים, שהמקביל הבודד שלו: .
מס. 8: כללי מעבר
עריכהמס. 9: איטגרציה
עריכהאינטגרציה בתבניות דיפרנציאליות
משפטים שימושיים:
- המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, ומשפט ניוטון-לייבניץ:
- משפט הגרדיאנט (המשפט היסודי לאינטגרל רב-ממדי):
אינטגרל (למשל, עבודה; למשל, של כוח כבידה): (מהירות: )
פירוש האינטגרל כתבנית דיפרנציאלית: ערך האינטגרל לאורך מסילה הוא "מספר קווי-הגובה" (= הקו-וקטור d) שהמסילה "דוקרת":
מס. 10
עריכהאינטגרציה בתבניות דיפרנציאליות
מס. 11: הטנזור המטרי
עריכההטנזור המטרי ואורך של מסילה (במרחב שטוח)
, ומטריצת הרכיבים של הטנזור המטרי g היא טנזור (0,2), כי מקיימת שני מעברי קו-ואריאנט.
- [3] במרחב כללי (לא בהכרח שטוח), המרחק בין 2 נקודות (ב-2 ממדים, לפשטות): . ו-g12 מבטא את מידת אי-האנכיות של הצירים (באותה נקודה): g12=0 פירושו מאונכים, כל ערך אחר (+ או -) מבטא סטיה מהאנכיות; g11, g22 מבטאים את צפיפות השנתות: g11>1 פירושו צפיפות גדולה (ולכן מרחק נמדד גדול).
מס. 12
עריכההטנזור המטרי במרחב עקום
גאומטריה אינטרינזית ואקסטרינזית (בגאומטריה דיפרנציאלית). טנזור מטרי של:
משוואות וטנזור מטרי של משטחים | ||||
---|---|---|---|---|
משטח | X | Y | Z | טנזור מטרי |
ספירה | (cos(v)sin(u | (sin(v)sin(u | (cos(u | |
גליל | cos(v | (sin(v | u | [3] |
אוכף | u | v | uv |
מס. 13: diff
עריכה- ב-(Covariance and contravariance of vectors) הגרדיאנט מוגדר (באופן לא מדויק) כקו-וקטור: "An example of a covector is the gradient". האמת, ש: כשם שלכל וקטור v במרחב V מותאם קו-וקטור
[4] במרחב הדואלי *V - כך: לוקטור מותאם קו-וקטור df, באופן הזה: . [5]
- בדומה, המעבר בין המקדמים של הוקטור לבין מקדמי הקו-וקטור df, הוא באמצעות מקדמי המטריצה g[6] של הטנזור המטרי: .
- אנלוגיה מוזיקלית:
מס. 14
עריכה- פעולת הטנזור המטרי על זוג וקטורים:
- רואים שטנזור מטרי הוא מעין קו-וקטור-כפול; אפשר לכתוב אותו כקומבינציה לינארית של מכפלות-טנזוריות של קו-וקטורים: , כאשר כל מכפלה טנזורית של שני קו-וקטורים היא: ; ובכתיב איינשטיין:
- וחישוב המכפלה הסקלרית של וקטורים: (אחרי ביטול אינדקסים).
- והקו-וקטור שיוצא ממכפלת v ב"משהו": [4].
- ובגרסת הקלקולוס, מחליפים את קו-וקטורי הבסיס בבסיסים של שדה הקו-וקטורים: (וזה נכון לכל מערכת צירים), וכך:
- והקו-וקטור המתאים: .
- בניגוד לספרי לימוד, הגרדיאנט הוא רק בקרטזיות (כאשר מטריצת הטנזור המטרי היא מטריצת היחידה); בכל מערכת אחרת, צריך להכפיל במטריצת הטנזור המטרי ההפוך: .
סמלי כריסטופל, גאומטריה אקסטרינזית סמל כריסטופל [7]
- מסילה גאודזית: הקו ה"ישר" ביותר על פני יריעה, כשנעים "קדימה" [8].
- מסילה היא גאודזית, אם לביטוי ה"תאוצה" ביחס לפרמטר λ, אין רכיב משיק ליריעה (= הוא 0), רק רכיב ניצב:
- התנאי שהמסילה גאודזית: , נקרא המשוואה הגאודזית[9]. זוהי המקבילה היחסות-כללית לחוק השני של ניוטון: הנגזרת השניה של המקום ביחס לפרמטר (למעשה, הזמן עצמי) - שהיא תאוצה, שווה ל"כוח" במובן של עיוות המרחב כתוצאה ממסה! [10] עיוות זה מיוצג ע"י: שנקראים סמל כריסטופל, ומציינים את המידה שבה וקטורי הבסיס משתנים על היריעה (במישור: כולם 0); L נקרא (Second fundamental form); כלומר, את מידת ה"עיוות" של גריד הקואודינטות שבשימוש: הסמלים מורכבים מהנגזרות של וקטורי הבסיס (בקומבינציה עם הטנזור המטרי), כך שאם הגריד "מעוות" - הסמלים שונים מ-0. כך יוצא, שהנגזרת הקו-ואריאנטית נשמרת.
- #משוואת השדה, ד"ר פיזיקס
- זמן '02 1: סמל כריסטופל מהווה "תיקון" לעובדה שנגזרת היא ואריאנטית (לא נשמרת בין מערכות-ייחוס) - צריך להוסיף הסמל, מוכפל בוקטור; רק הנגזרת הקו-ואריאנטית נשמרת:
- זמן "30'44 1: הסמל "שקול" לכוח, במכניקה ניוטונית.
מס. 16
עריכהגאודזיה, דוגמאות על מישור, וספירה
מס. 17
עריכהגאודזיה, הנגזרת הקו-ואריאנטית (אין קשר לרכיבים קו-ואריאנטים!) ההגדרה במרחב שטוח (הכי קלה, וחלשה)
- פשוט, הנגזרת ה"רגילה".
- רק חשוב לגזור גם את רכיבי הוקטור, וגם את וקטורי הבסיס:
- כי הנגזרת של וקטורי בסיס, היא קומבינציה לינארית של וקטורי הבסיס עצמם, באמצעות סמלי כריסטופל (זאת למעשה ההגדרה של הסמלים): או: .
מס. 17.5
עריכההשלמה. הגדרה של רכיבים (הנדסית; פיסיקלית)
מס. 18
עריכהנגזרת קו-ואריאנטית. במרחב עקום
- זוהי הנגזרת של שדה וקטורי v, בכיוון וקטור w, "בניכוי" של וקטור היחידה הנורמלי (כי "העתקה מקבילה" של וקטור על פני יריעה מסילה - מעניקה לו שינוי בניצב ליריעה [11]):
- כלומר: כדי שההעתקה לאורך מסילה תהיה מקבילה, נדרש שהנגזרת הקו-ואריאנטית שווה ל-0 (= כל השינוי הוא בניצב ליריעה).
- ביריעה עקומה, אי-אפשר להגדיר שדה "קבוע" של וקטורים; במקום, מגדירים העתקה מקבילה, שהיא "הכי קרוב שאפשר" לשדה וקטורי קבוע.
- מסילה שמבצעת העתקה מקבילה לוקטור-המשיק שלה (כך שהנגזרת הקו-ואריאנטית של וקטור-המשיק היא 0 לאורך המסילה: ), היא מסילה גאודזית.
- נגזרת קו-ואריאנטית עוזרת למצוא שדות וקטורים שהם העתקות מקבילות של וקטור.
- אנימציה של העתקות מקבילות על קוי-רוחב שונים של ספירה
מס. 19
עריכהנגזרת קו-ואריאנטית. ההגדרה האינטרינזית
- מאי טעמא? - בתורת היחסות הכללית, לא מתייחסים למרחב-זמן כאילו הוא נמצא במרחב מממד גבוה יותר (בניגוד ליריעה הדו-ממדית במרחב התלת, אז המבט הוא אקסטרינזי); לכן שם הדיון הוא אינטרינזי, במרחב 4-ממדי בלבד.
- במבט אינטרינזי, אין וקטורי-בסיס שהם נגזרות חלקיות של וקטור-מיקום R - כי אין בכלל ראשית שממנה יוצא R (ראשית כזו יש רק במרחב אקסטרינזי). לכן משתמשים רק בוקטורי-בסיס שהם פעולות נגזרת חלקית לפי הצירים (u,v), או בכתיב u בלבד: . וקטורי-בסיס אלה שייכים למרחב-וקטורי המשיק ליריעה (M (Manifold, בכל נקודה p - זהו המרחב .
- בהתחשב: , ובקומפטביליות המטרית: , מקבלים: ; אין צורך ב-X,Y, אבל חייבים לדעת את רכיבי המטריצה של טנזור המטרי.
מס. 20
עריכהנגזרת קו-ואריאנטית. ההגדרה המופשטת, סימן לוי-צ'יוויטה
- נגזרת קו-ואריאנטית היא הכללה של נגזרת כיוונית של שדה סקלרי - לשדה וקטורי.
- היא למעשה פעולה על שדה, בכיוון מסויים (וקטור), שמחזירה שדה חדש: קצב השינוי של השדה המקורי.
- 4 תכונות:
- לינארית בוקטור הכיוון:
- אדיטיבית:
- כלל המכפלה ביחס ל"מתיחה" (כלל לייבניץ):
- נגזרת קו-ואריאנטית של פונקציה סקלרית:
- נזכור, ש: .
- קושרת בין מרחב-וקטורי-משיק בנקודה p, בה וקטור-משיק מצביע לכיוון מסוים - לבין מרחב-משיק אחר ב-q, שבו הוקטור (אחרי העתקה מקבילה) מצביע לכוון אחר; זוהי מפה בין וקטור בשדה (מרחב וקטורי משיק T לספירה S ב-p) לבין וקטור ב- ; הנגזרת הקו-ואריאנטית מספקת את הקשר, לכן נקראת גם "קשר".
- תכונת היעדר מאמץ פיתול: (למעשה, במקרה הכללי ההפרש ביניהם שווה לסוגרי-לי: , שכאן שווה 0 כי הוקטורים הם נגזרות חלקיות בסדר הפוך - אין ביניהם הבדל); מה שאומר שסמלי כריסטופל הם סימטריים.
- תכונת התאימות המטרית Metric Compatibility: "כשמבצעים העתקה מקבילה לשני וקטורים (בנפרד), המכפלה הסקלרית שלהם לא משתנה (נגזרתה הקו-ואריאנטית = 0)"; גם האורך של וקטור (= המכפלה הסקלרית עם עצמו) שעובר העתקה מקבילה (נגזרתו הקו-ואריאנטית = 0) יישאר קבוע (נגזרת האורך = 0); וכללית:
- תוצאה:
- שילוב 2 התכונות לעיל מהווה את המשפט היסודי של הגאומטריה הרימנית (אנ'): במטריקה רימנית (מרחב עקום עם מטריקה) יש קשר יחודי (נגזרת קו-ואריאנטית), ללא מאמץ פיתול ועם תאימות מטרית; נקרא קשר לוי-צ'יוויטה (אנ'). זה הקשר שבו סמלי כריטופל (גם: "מקדמי-קשר") נתונים בנוסחה שלעיל (קליפ #19).
- יש גם נגזרות קו-ואריאנטיות אחרות (משעממות; ללא תאימות-מטרית; סמלי כריסטופל = 0). גם הן מקיימות את 4 התכונות, אבל לא את התאימות-מטרית; בד"כ לוי-צ'יוויטה היא השימושית.
- על קו-וקטור (טנזור 0,1): ; (על וקטור: )
- על שדה של טנזור-מטרי (טנזור 0,2):
- בהתקיים התאימות המטרית - הנגזרת הקו-ואריאנטית של g = אפס, בכל כיוון.
- ואפשר להשתמש בתכונה שהוגדרה לצורך הפעולה על טנזור-מטרי: כדי לחשב נגזרת קו-ואריאנטית של כל שדה טנזורי.
- לכל טנזור מדרגה (m,n), נגזרת קו-ואריאנטית תיתן איבר-נגזרת בשביל רכיבים (של מטריצת הטנזור המטרי); וכן m סמלי-כריסטופל ב +, ו-n סמלים ב -, לכל וקטור או קו-וקטור בסיס.
אחרים
עריכההסוגרים של לי (ע"ש סופוס לי), עקומות זרימה, מאמץ פיתול
- סוגרי-לי: (גם: vector field commutators)
- בגאומטריה דיפרנציאלית, שדות וקטורים הם בעצם אופרטורי-גזירה[12], ולכן הוא הנגזרת של v בכיוון הוקטור u.
- גדלים שמהווים מדד ל"סגירות כהלכה" של שני מסלולים במרחב
- הרשתות במערכות קואורדינטות תמיד "נסגרות כהלכה", כי: .
- טנזור מאמץ-הפיתול: ה"מִפתֵח" (או הבדל) בין העתקות מקבילות של שני וקטורים; או: ההפרש בין העתקה-מקבילה של וקטור v (אל נקודה p) לבין הוקטור v בנקודה p - הוא תוצאת הנגזרת הקו-ואריאנטית של v בנקודה p; ההפרש בין ההפרשים האלה, לשני וקטורים v, u, פחות סוגר-לי - נותן את טנזור המאמץ T, כך:
- אפשר גם לבטא: .
- כפי שרואים לעיל, T תלוי ב"קשר" בלבד - לא בשדה הוקטורי!
- (מהו הביטוי ל"העתקה של וקטור"?)
- היעדר מאמץ פיתול: הטנזור הזה = 0, כלומר: כל הוקטורים המועתקים-במקביל, "נסגרים כהלכה"; כלומר: .
- אפשר גם לבטא: .
טנזור העקמומיות
עריכהמס. 22: טנזור העקמומיות
עריכהטנזור העקמומיות של רימן; עקמומיות, (אנ'). משמעויות: הולונומיות, סטייה גאודזית.
- עקמומיות#טנזור העקמומיות של רימן: טנזור (1,3)
- הולונומיות (-?): אם R שונה מ-0, אז היריעה עקומה (בנקודה האמורה).
- דרך נוספת לבדוק עקמומיות: (Geodesic deviation). (שלילה של) טנזור העקמומיות: , באשר s הוא שדה הוקטורים של ההפרדה בין גאודזות היוצאות מהנקודה האמורה; אם הגודל הוא 0, אז היריעה שטוחה.
- מידת העקמומיות: הגבול של היחס בין שינוי הזוית של וקטור המועתק-במקביל, לבין השטח הכלוא בתוך מסלול ההעתקה; כשהשטח שואף ל-0. (השלמה)
- סימן העקמומיות: אם הוקטור יוצר זוית באותו סימן כמו כיוון התנועה שלו (למשל: זוית חיובית תוך תנועה נגד כיוון השעון) = עקמומיות חיובית (למשל: בספירה, העקמומיות זהה בכל נקודה, וחיובית; באוכף - שונה בכל נקודה, אבל תמיד שלילית).
מס. 23
עריכה- במעבר לטנזור רימן על וקטורי-בסיס:
- כל אינדקס מה-4 יכול לקבל ערכים, כמספר הממדים במרחב; לכן ב-2 ממדים, יש אברים בביטוי לטנזור; ב-4 ממדים של המרחב-זמן יש 256 אברים; אבל תודות לסימטריה, רובם 0:
מס. 24
עריכהטנזור העקמומיות של ריצ'י (אנ')
- . טנזור העקמומיות R (שמאל) מכיל 2 אינדקסים: a, קואורדינטת הוקטור ("הלבן"[15]) שעובר העתקה מקבילה (מקבל: 0-3); b, קואורדינטת dX של השטח האינפ עליו מחושב הגבול (מקבל: 1-4). אינדקס i מציין את קואורדינטת dX של השינוי בוקטור הלבן, כתוצאה מהעקמומיות; כל אחד מ- הוא סכום של 4 אברים, i=1..4. סה"כ 64 או 256???
- משוואת איינשטיין: .
- 4*4=16 משוואות, אבל מתוכן 6 תלויות, לכן אלה 10 משוואות.
- כל אבר במערך המייצג את טנזור מאמץ האנרגיה והתנע T הוא מכפלה של תנע במהירות (ליחידת נפח, בנקודה), כל אחד ב-4 ממדים: סה"כ 16 אברים. הוא המשמעותי (צפיפות אנרגיה בנפח; כי מכיל את c^2), כל השאר זניחים במהירויות "נמוכות". כדי לקבל את במשוואת איינשטיין, יש להפעיל את הטנזור המטרי g (= לסכם על כל ה-16, לכל אבר; = להוריד אינדקסים).
- #משוואת השדה ד"ר פיזיקס, '57 1: הוא "גורם הזמן"; הם "זרימת האנרגיה"; הם "צפיפות התנע"; שאר ה-9: "שטף מאמץ/לחץ התנע". כל הטנזור מהווה מדד לצפיפות האנרגיה בנפח.
- הטנזור המטרי g: שווה ל"מטריצת היחידה" במרחב שטוח.
- סקלר העקמומיות: באמת? זה משאיר את אגף שמאל ב-1/2 ???
זה קבוע הפרופורציה בין השטח da שמוגבל בתוך מסילה סגורה, לבין מידת ה"גרעון" בזוית dθ, שנוצר כתוצאה מהעתקה-מקבילה של וקטור בסיבוב אחד על המסילה. - טנזור העקמומיות של ריצ'י: (אנ') מרכיבים: . הוא צמצום של טנזור העקמומיות של רימן (וזה קיים בגלל הבדלים בסמל כריסטופל בנקודות לאורך המסילה, כלומר הוא בנוי מנגזרות של הסמל).
- הקבוע הקוסמולוגי:
- (T?) כולל כל האנרגיה והתנע בכל נקודה, כתוצאה מחומר, ומקרינה; אבל לא כולל אנרגיה כתוצאה מעקמומיות.
מס. 25
עריכהמשמעות גאומטרית של טנזור העקמומיות של ריצ'י
מס. 26
עריכהנספחים
עריכהסוגים של טנזורים | ||||
---|---|---|---|---|
טנזור | מאפיין | סוג | דרגה | |
סקלר | מספר | (0,0)? | 0 | |
וקטור | איבר במרחב וקטורי | (1,0) | 1 | |
מטריצה | -"- | (2,0)? | 2 | |
קו-וקטור (אנ') | איבר במרחב וקטורי (הדואלי) | (1,0) | 1 | |
מפה לינארית | פונקציה מוקטור לוקטור | (1,1) | 2 | |
טנזור מטרי[16][17] | פונקציה מזוגות של וקטורים - לסקלר | (0,2) | 2? | |
תבנית בילינארית[17] | זוגות של קווקטור-קווקטור | (0,2) | 2? |
המרת קרטזיות לקוטביות
עריכהבאמצעות היעקוביאן; וקטורי בסיס: , טנזור מטרי: , ומקדמי-קשר:
מרחק על משטח כדורי
עריכהמרחק על משטח כדורי, באמצעות מטריקה
- האינטגרל: לא ניתן לחישוב אנליטי (כריס "רימה": מוולפראם); לכן משתמשים במשפט הקוסינוסים (בהתבסס על (אנ'): נוסחת המרחק על מעגל גדול.
- , שהוא קבוע ביחס לאינטגרציה.
שונות
עריכה- גלים, סרטון באתר יוטיוב: גלים ארוכים (קול) עוקפים מכשולים (שקטנים בהרבה מאורך הגל), אבל קצרים (אור) נבלמים.
- פיתוח משוואת שרדינגר. סובורנו איזאק בארי (בן 6), סרטון באתר יוטיוב:
לקריאה
עריכההערות
עריכה- ^ קוואריאנט=שורה חשבון טנזורים 8, סרטון באתר יוטיוב זמן 9:41
- ^ אבל רק הגרדיאנט של f הוא השדה של המספרים, שמייצגים בכל נקודה את צפיפות וכיוון העליה המירבי של קווי הגובה.
- ^ גליל הוא מרחב (יריעה) שטוח! המבחן: אם אפשר לפרוס את היריעה (מבלי למתוח או לכווץ אותה!), על מישור שטוח; ניתן לעשות זאת לגליל ולחרוט - לכן הם יריעות שטוחות (פרט לשפיץ החרוט); אבל לא לספירה ולאוכף.
- ^ 1 2 הסימן משמש כאן בגלל ההשמטה של הוקטור השני, שאחרי המכפלה סקלרית. ראו: הורדה והעלאה של אינדקסים#הורדה והעלאה של אינדקסים
- ^ הורדה והעלאה של אינדקסים#דוגמה - הגרדיאנט
- ^ שבמקרה של הבסיס האורתונורמלי, המטריצה היא I.
- ^ ליה וואס. "Measuring Lengths – The First Fundamental Form" בגאומטריה דיפרנציאלית
- ^ מסילה גאודזית היא בד"כ הקצרה ביותר, אך גם המסילה ה"משלימה" (למשל על ספירה=החלק השני של המעגל גדול) היא גאודזית.
- ^ בסוסקינד, זוהי הנגזרת הקו-ואריאנטית של הוקטור המשיק למסילה; אם היא 0 בכל נקודה על המסילה, אז המסילה היא גאודזית, היא "המרחק הקצר ביותר" על פני היריעה.
- ^ בחוק השני בצורתו: (כאן U הוא שדה הפוטנציאל), המסה m מצטמצמת, ויוצא שהתאוצה תלויה רק בעקמומיות המרחב - בכל נקודה, לכל הגופים אותה תאוצה.
- ^ נעסוק בוקטורים v משיקים ליריעה, כי אלה הרוב בפיסיקה.
- ^ ו-וקטורי בסיס של שדות אלה הם נגזרות חלקיות בכוון של כל וקטור-בסיס.
- ^ בוולפראם
- ^ באנציקלופדיה למתמטיקה
- ^ Einstein's Field Equations of General Relativity Explained
- ^ מקרה פרטי של תבנית בילינארית
- ^ 1 2 התבנית היא זוג קו-וקטורים, שיוצרים את המטריצה המייצגת; הפעלתה על שני וקטורים בזה-אחר-זה - יוצרת סקלר.