קבוצת ז'וליה

במתמטיקה, קבוצת ז'וליה היא קבוצה המוגדרת על ידי תנאי איטרביליות של פונקציה הולומורפית על משטח רימן קומפקטי, כך שערכיה רגישים לשינויים: כל הפרעה בתחום הערכים יוצרת, לאחר מספר הפעלות של הפונקציה, הבדל גדול בטווחם. התנהגות מסוג זה מכונה התנהגות כאוטית, ונלמדת באופן נרחב בתורת הכאוס. קבוצת פאטו היא המשלים לקבוצת ז'וליה, והיא מאפיינת התנהגות רגולרית - ללא הפרעות ושינויים דרסטיים.

קבוצת ז'וליה של הפונקציה $f(z)=z^{2}+{\frac {4}{5}}i$. קבוצת ז'וליה עצמה מסומנת בלבן. שאר הנקודות (קבוצת פאטו) צבועות בגוון כחול בהתאם ל"מרחק" שלהם מקבוצת ז'וליה (ככל שהקודה קרובה יותר כך הגוון בהיר יותר)

קבוצת ז'וליה היא חלק מעבודתם של גסטון ז'וליה ופייר פאטו מראשית המאה ה-20. קבוצה זו מהווה אלמנט בסיסי בתחום המערכות הדינמיות המרוכבות ותורת הכאוס. לקבוצת ז'וליה קשר לקבוצת מנדלברוט במקרים מסוימים.

הגדרה

יהי $S$ משטח רימן קומפקטי, ותהי $f:S\to S$ פונקציה הולומורפית לא קבועה. הנקודה $p_{0}\in S$ נקראת רגולרית אם קיימת סביבה $U_{p_{0}}$ כך שקבוצת הפונקציה הנוצרת מאיטרציה על $f:U_{p_{0}}\to S$, כלומר $\{f(z),f(f(z)),\dots \}$, היא משפחה רציפה במידה אחידה.

קבוצת פאטו $F(f)$ של הפונקציה $f$ היא אוסף כל הנקודות הרגולריות שלה. קבוצת ז'וליה $J(f)$ היא המשלים של קבוצת פאטו. האיברים בקבוצת ז'וליה מאופיינים בכך שהתנהגות הפונקציה באיטרציות חוזרות על ערכיהן היא כאוטית, כלומר משתנה בקצב מהיר לאחר מספר מסוים של הפעלות של הפונקציה.

במקרה הפרטי בו $S={\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$, כלומר המשטח הוא הספירה של רימן, כל פונקציה הולמורפית היא פונקציה מרוכבת רציונלית, כלומר מנה של שני פולינומים $f(z)={\frac {p(z)}{q(z)}}$. במקרה זה, קבוצת פאטו מתחלקת לאיחוד של מספר סופי של תתי-קבוצות, המתאימות לכל אחד משורשי הפונקציה.

תכונות

• קבוצת פאטו היא קבוצה פתוחה, ועל כן קבוצת ז'וליה סגורה. בנוסף, קבוצת ז'וליה היא קבוצה דלילה (או כל המרחב).
• קבוצות ז'וליה ופאטו של איטרציה של פונקציה שווה לקבוצת ז'וליה המקורית, כלומר $J(f(z))=J(f^{k}(z))$ לכל $k\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}$.
• בקבוצת ז'וליה ישנן נקודות אשר הפעולה האיטרבילית של הפונקציה עליהן היא מחזורית, אך קבוצה זו היא בת מניה בלבד.
• אם הדרגה של הפונקציה (המוגדרת במקרה הרציונלי להיות המקסימום שבין דרגות המונה והמכנה) גדולה או שווה ל-2, אז בקבוצת ז'וליה אין נקודות מבודדות.
• במקרה של פונקציה מעל הספירה, כאמור לעיל קבוצת פאטו היא איחוד סופי של תתי-קבוצות, כאשר כל אחת מהן מתאימה לשורש של הפונקציה. תתי-קבוצות אלו אינן חייבות להיות קשירות. לפי משפט, עבור כל פונקציה רציונלית, מספר רכיבי הקשירות בקבוצה הוא 1,2 או אינסוף. קבוצת ז'וליה היא או קשירה, או שיש לה אינסוף רכיבי קשירות.

הצגה גרפית של קבוצות ז'וליה

מכיוון שקבוצת זוליה היא דלילה, קשה לפעמים להציג אותה באופן גרפי. דרך אחת לבצע זאת היא לצבוע את הרכיבים השונים של קבוצת פאטו בצבעים שונים. קבוצת ז'וליה תהווה את הגבול בין הצבעים האלה. דרך זאת מקובלת במיחד כאשר קבוצת ז'וליה היא קשירה.

דרך נוספת היא להפעיל מספר גדול של איטרציות על כל נקודה במשטח הרימן ולבחון עד כמה ההתנהגות של איטרציות אלה קרובה לאחת ההתנהגויות עליהן מתכנסות הנקודות בקבוצת פאטו. לפי קירבה זאת קובעים את צבע הנקודה. כך שצבעם של הנקודות בקבוצת פאטו משתנה ככול שמתקרבים לקבוצת ז'וליה. ניתן גם לשלב בין השיטות.

דוגמאות

דוגמה מנוונת

תהי $f:{\hat {\mathbb {C} }}\to {\hat {\mathbb {C} }}$ מוגדרת על ידי $f(z)=z^{2}$. קל לראות שלכל נקודה במעגל היחידה $z\in D=\{z\in \mathbb {C} ||z|<1\}$ קיימת סביבה בה התנהגות האיטרציות של הפונקציה היא רגולרית, וכנ"ל מחוץ לעיגול היחידה ${\hat {\mathbb {C} }}\setminus D$. עם זאת, על השפה של עיגול היחידה $\partial D=\{z||z|=1\}$ בכל סביבה של הנקודה ההתנהגות של העלאה בריבוע איננה חסומה. על כן, מתקיים $F(f)={\hat {\mathbb {C} }}\setminus \partial D$ ו-$J(f)=\partial D$.

זו דוגמה מיוחדת מאוד, בה הקבוצות "פשוטות".

פונקצייות ריבועיות

מערכת דינמית מאוד פופולרית על הספירה של רימן ניתנת על ידי פולינומים ריבועים מורכבים. ניתן לתאר מערכות דינמיות אלה על ידי פולינום הנתון על ידי הנוסחה

$f_{c}(z)=z^{2}+c~,$

כאשר $c$ הוא פרמטר מורכב.

• 
  קבוצת ז'וליה עבור $z^{2}+0.7885\,e^{ia},$ כאשר $\alpha$ נע בין 0 ל- $2\pi$
• וידאו של קבוצות ז'וליה כמו זה המופיע מימין
• 
  קבוצת ז'וליה עבור f_c, c = 1 − φ, כאשר φ הוא יחס הזהב. הרכיב של קבוצת פאטו התחום ע"י קבוצת ז'וליה צבוע בלבן
• 
  קבוצת ז'וליה עבור f_c, c = (φ − 2) + (φ − 1)i = −0.4 + 0.6i
• 
  קבוצת ז'וליה עבור f_c, c = 0.285 + 0i
• 
  קבוצת ז'וליה עבור f_c, c = 0.285 + 0.01i
• 
  קבוצת ז'וליה עבור f_c, c = 0.45 + 0.1428i
• 
  קבוצת ז'וליה עבור f_c, c = −0.835 − 0.2321i
• 
  קבוצת ז'וליה עבור f_c, c = −0.8 + 0.156i
• 
  קבוצת ז'וליה עבור f_c, vc = −0.7269 + 0.1889i
• 
  קבוצת ז'וליה עבורf_c, c = 0.8i

דגמאות הקשורות לשיטת ניוטון-רפסון

קבוצת ז'וליה (בלבן) של הפונקציה $g=(2z^{3}+1)/(3z^{2})$. זאת הפונקציה המגדירה את המערכת הדינמית המתקבלת משיטת ניוטון-רפסון עבור המשוואה $z^{3}=1$. הצבעים אדום, ירוק, וכחול מיצגים חלקים של קבוצת פאטו שעבורם המערכת הדינמית היא בעלת התנהגות דומה

בהינתן משוואה פולונמיאלית במשתנה אחד $f(z)=0$, שיטת ניוטון-רפסון מאפשרת לקבל קירוב של הפתרון שלה על ידי שיפור התחלתי של ניחוש לפתרון $z_{0}$. בהינתן קירוב $z$ השיטה מספקת "שיפור" של קירוב זה $g(z)$ כאשר $g$ היא פונקציה רציונלית המתקבלת מ-$g$ באמצעות ניוטון-רפסון. ניתן להראות כי אם הניחוש ההתחלתי $z_{0}$ הוא בסביבת שורש פשוט של $f$ אז הפעלה איטרטיבית של $g$ על $z_{0}$ תתכנס לשורש של $f$. אולם הדבר אינו מתקיים עבור ניחוש כללי $z_{0}$.

מכאן יש עניין בחקר המערכת הדימית הנתונה על ידי הפונקציה $g$ ובהתאם לקבוצות ז'וליה שלה. לקבוצות ז'ליה כאלה יש תכונות ייחודיות, בנוסף לתכונות הרגילות של קבוצת ז'וליה.

הקשר לקבוצת מנדלברוט

ערך מורחב – קבוצת מנדלברוט

במקרה שבו הפונקציה עליה מפעילים את האיטרציות היא $f_{c}(z)=z^{2}+c$, ישנה הגדרה מעט פשוטה יותר - זוהי השפה של קבוצת הנקודות $z\in \mathbb {C}$ עבורן סדרת האיטרציות חסומה.

במקרה זה, לקבוצת ז'וליה ישנו קשר הדוק עם קבוצת מנדלברוט - ז'וליה ופאטו הוכיחו כי אם $c$ שייך לקבוצת מנדלברוט (כלומר אם $f_{c}^{n}(0)$ חסומה) אז קבוצת ז'וליה המתאימה קשירה, ואם לא אז היא בלתי קשירה לחלוטין. זוהי דרך אפיון נוספת לקבוצת מנדלברוט, בעזרת קבוצת ז'וליה המתאימה, המצביעה על הקשר ההדוק שבין המושגים בתורת הפרקטלים.

לקריאה נוספת

• John W. Milnor, Dynamics in One Complex Variable

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא קבוצת ז'וליה בוויקישיתוף

• קבוצת ז'וליה, באתר MathWorld (באנגלית)
• קורס על דינמקה מרוכבת הכלל את ההגדרות של קבוצות פאטו ז'וליה.
• וידיוא של 3Blue1Brown על דינמיקה הולומורפית.
• וידיוא של Matheologer על דינמיקה הולומורפית.
• וידיוא של numberphile על דינמיקה הולומורפית.