מערכת חילה

בגאומטריית חילה, מערכת חילה היא מבנה מופשט שבאמצעותו ניתן לחקור מבנים גאומטריים שונים כגון המרחב האוקלידי, המרחב הפרויקטיבי, המרחב ההיפרבולי ועוד. מערכת החילה מתארת את היחסים בין ישרים ונקודות במרחב ומשמשת לניסוח אקסיומטי של יחסים אלו.

שלוש דוגמאות למערכת חילה.
דוגמה עליונה: נקודות וישרים במישור האוקלידי.
דוגמה אמצעית: נקודות ומעגלים במישור האוקלידי.
דוגמה תחתונה: מערכת חילה סופית המוגדרת באמצעות מטריצת חילה

במקורות מסוימים נקראת גם מבנה חילה.

הגדרות בסיסיות

מערכת חילה היא שלישייה $C=(P,L,I)$, כאשר $P$ ו-$L$ הן קבוצות זרות זו לזו המציינות נקודות וישרים בהתאמה, ו-$I$ היא יחס בין $P$ ל-$L$, כלומר $I\subseteq P\times L$.

בהינתן נקודה $p\in P$ וישר $l\in L$ מגדירים כי $p$ נמצאת על $l$ וש-$l$ עובר דרך $p$ אם ורק אם $(p,l)\in I$.

קבוצת נקודות $A\subseteq P$ תקרא קבוצה קוליניארית אם ורק אם קיים ישר כלשהו $l\in L$ כך שלכל $p\in A$ מתקיים ש-$(p,l)\in I$.

קבוצת ישרים $B\subseteq L$ תקרא קבוצת ישרים נחתכים בנקודה אם ורק אם קיימת נקודה כלשהי $p\in P$ כך שלכל $l\in B$ מתקיים ש-$(p,l)\in I$.

זוג ישרים $l_{1},l_{2}\in L$ ייקראו ישרים נחתכים אם ורק אם הם שונים זה מזה $l_{1}\neq l_{2}$ וקיימת נקודה כלשהי $p\in P$ כך ש-$(p,l_{1})\in I$ ו-$(p,l_{2})\in I$.

$C$ תקרא מערכת חילה סופית אם ורק אם $P$ ו-$L$ הן קבוצות סופיות.

תת-מערכת חילה

בהינתן מערכות החילה $C_{1}=(P_{1},L_{1},I_{1})$ ו-$C_{2}=(P_{2},L_{2},I_{2})$ מגדירים כי $C_{1}$ היא תת-מערכת חילה של $C_{2}$ אם ורק אם מתקיימים התנאים הבאים:

• $P_{1}\subseteq P_{2}$
• $L_{1}\subseteq L_{2}$
• $I_{1}=I_{2}\cap (P_{1}\times L_{1})$

מערכות איזומורפיות

מערכות החילה $C_{1}=(P_{1},L_{1},I_{1})$ ו-$C_{2}=(P_{2},L_{2},I_{2})$ תקראנה מערכות חילה איזומורפיות אם ורק אם קיימות זוג פונקציות הפיכות $\varphi :P_{1}\to P_{2}$ ו-$\psi :L_{1}\to L_{2}$ כך שלכל $p\in P_{1},l\in L_{1}$ מתקיים ש-$(p,l)\in I_{1}\Leftrightarrow (\varphi (p),\psi (l))\in I_{2}$.

ניתן להוכיח כי יחס האיזומורפיות הוא יחס שקילות.

מערכת החילה הדואלית

בהינתן מערכת חילה $C=(P,L,I)$ מגדירים את מערכת החילה הדואלית ל-$C$ בתור מערכת החילה $C^{*}=(L,P,I^{*})$ כך ש-$pIl\Leftrightarrow lI^{*}p$, כלומר במערכת החילה הדואלית הנקודות הופכות לישרים, הישרים הופכים לנקודות, והיחס שביניהם מוחלף ביחס ההופכי.

ניתן להראות כי $C^{**}=C$, כלומר שיחס הדואליות הוא יחס אינוולוטי.

מערכת חילה $C$ תקרא דואלית-עצמית אם ורק אם המערכת הדואלית $C^{*}$ איזומורפית ל-$C$.

מטריצת חילה

בהינתן ש-$C$ מערכת חילה סופית וש-$P$ ו-$L$ הן מגודל $n$ ו-$m$ בהתאמה, ניתן לסמן את איברי $P$ בתור $p_{1},\dots ,p_{n}$ ואיברי $L$ בתור $l_{1},\dots ,l_{m}$. במקרה זה מטריצת החילה היא המטריצה $M$ מגודל $n\times m$ כך שלכל $1\leq i\leq n,1\leq j\leq m$:

$M_{ij}:={\begin{cases}1{\text{ if }}(p_{i},l_{j})\in I\\0{\text{ otherwise }}\end{cases}}$

מטריצה זו מאפשרת לקודד את מרחב החילה. ניתן להוכיח ששתי מערכות חילה סופיות הן איזומורפיות זו לזו אם ורק אם מטריצות החילה שלהן שוות. מערכת חילה סופית היא דואלית-עצמית אם ורק אם מטריצת החילה שלה סימטרית.

דוגמאות

גרף

ערך מורחב – גרף (תורת הגרפים)

מערכת חילה תקרא גרף אם ורק אם כל ישר במערכת עובר דרך שתי נקודות בדיוק.

הגדרה זו מתלכדת עם הגדרת הגרף מתורת הגרפים, כאשר צמתים שקולים לנקודות וקשתות שקולות לישרים.

מרחב ליניארי

מערכת חילה תקרא מרחב ליניארי חלקי אם ורק אם היא מקיימת את התנאים הבאים:

• כל ישר עובר דרך שתי נקודות לפחות.
• דרך כל שתי נקודות עובר ישר אחד לכל היותר.

מערכת חילה תקרא מרחב ליניארי אם ורק אם היא מקיימת את התנאים הבאים:

• כל ישר עובר דרך שתי נקודות לפחות.
• דרך כל שתי נקודות עובר בדיוק ישר אחד.

ניתן להראות כי כל מרחב ליניארי הוא מרחב ליניארי חלקי.

אין להתבלל עם המונח מרחב ליניארי מאלגברה ליניארית, אשר משמש לעיתים כשם נרדף למרחב וקטורי.

מרחב פרויקטיבי

ערך מורחב – מרחב פרויקטיבי

מערכת חילה $C=(P,L,I)$ תקרא מרחב פרויקטיבי אם ורק אם היא מקיימת את התנאים הבאים:

• ישנן לפחות שלוש נקודות שונות במערכת.
• על כל ישר ישנן לכל הפחות שלוש נקודות.
• דרך כל שתי נקודות עובר בדיוק ישר אחד. בהינתן הנקודות $p_{1},p_{2}\in P$ מסמנים את הישר הזה בתור $p_{1}p_{2}$.
• אקסיומת ובלן-יאנג: בהינתן הנקודות $a,b,c,d\in P$ כך שהישרים $ab$ ו-$cd$ נחתכים, מתקיים ש-$ac$ ו-$bd$ נחתכים

ניתן להוכיח שכל מרחב פרויקטיבי הוא מרחב ליניארי.

קיימת הגדרה אלטרנטיבית למרחב פרויקטיבי מחוץ למסגרת של גאומטריית חילה אשר עושה שימוש במרחבים וקטוריים. לפי הגדרה זו, המרחב הפרויקטיבי מוגדר להיות מרחב וקטורי ללא הראשית שלו שבו כל ישר העובר דרך הראשית (שהוסרה) מזוהה כנקודה במרחב. משפט ובלן-יאנג (Veblen–Young theorem) קובע שבמידה ובמרחב יש לכל הפחות שני ישרים אשר אינם נחתכים, שתי ההגדרות שקולות.

המרחב הפרויקטיבי הוא המרחב הנחקר במסגרת הגאומטריה הפרויקטיבית.

מישור פאנו

הצגה ויזואלית של מישור פאנו

מישור פאנו (Fano plane) הוא דוגמה למערכת חילה עם שבע נקודות ושבעה ישרים כמתואר בסרטוט. במסגרת מישור פאנו גם המעגל שבמרכז האיור נחשב לישר אחד.

מישור פאנו הוא מרחב פרויקטיבי, ולמעשה הוא המרחב הפרויקטיבי עם מספר הנקודות (והישרים) הקטן ביותר האפשרי: שבע נקודות. ניתן להוכיח כי לכל מרחב פרויקטיבי קיימת תת-מערכת חילה איזומורפית למישור פאנו.

מישור פאנו הוא מערכת דואלית-עצמית, שכן המרחב הדואלי לו איזומורפי אליו.

במישור פאנו כל ישר מכיל שלוש נקודות בדיוק.

ניתן להשתמש במישור פאנו כדי לספק תצוגה ויזואלית לאלגברת האוקטוניונים של קיילי.

ראו גם

• גאומטריית חילה
• גאומטריה
• מרחב פולרי