בחשבון אינפיניטסימלי , אינטגרל לא אמיתי (או אינטגרל מוכלל ) מהווה הכללה מתמטית של האינטגרל המסוים לקטעים לא סופיים ולפונקציות בלתי-חסומות בקטעים פתוחים או חצי פתוחים. באינטגרלים מסוג כזה משתמשים בד"כ באותו הסימון שמשתמשים בו באינטגרל המסוים, אך סימון זה מסתיר את השימוש בגבולות, בלעדיו האינטגרל הלא-אמיתי כלל לא מוגדר.
עבור אינטגרלים על קטעים אינסופיים, האינטגרל יהיה גבול מהצורות הבאות:
lim
b
→
∞
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
,
lim
a
→
−
∞
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
,
lim
R
→
∞
∫
−
R
R
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x,\qquad \lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x,\qquad \lim _{R\to \infty }\int _{-R}^{R}f(x)\,\mathrm {d} x}
או מהצורות הבאות עבור אינטגרלים על פונקציות לא חסומות:
lim
c
→
b
−
∫
a
c
f
(
x
)
d
x
,
lim
c
→
a
+
∫
c
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \lim _{c\to b^{-}}\int _{a}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x,\quad \lim _{c\to a^{+}}\int _{c}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}
אינטגרל מוכלל בקרן אינסופית אינטגרל מוכלל של פונקציה לא חסומה כל ההגדרות שנביא כאן עבור אינטגרלים לא אמיתיים בקטעים חצי פתוחים מימין, אנלוגיים להגדרות עבור קטעים חצי פתוחים משמאל.
עריכה
תהא
f
{\displaystyle f\,}
[
a
,
b
)
{\displaystyle [a,b)\,}
f
{\displaystyle f\,}
אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע
[
a
,
b
)
{\displaystyle [a,b)\,}
lim
t
→
b
−
∫
a
t
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \lim _{t\to b^{-}}\int _{a}^{t}f(x)dx\,}
f
{\displaystyle f\,}
אינטגרבילית במובן המוכלל בקטע
[
a
,
b
)
{\displaystyle [a,b)\,}
f
{\displaystyle f\,}
[
a
,
b
)
{\displaystyle [a,b)\,}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}f(x)dx\,}
מתכנס . אחרת, אם גבול זה לא קיים, נאמר שהוא מתבדר .
דוגמה: יהי
a
>
0
{\displaystyle a>0\,}
שיטות אינטגרציה ניתן להוכיח כי
∫
0
a
d
x
x
t
{\displaystyle \int _{0}^{a}{{dx} \over {x^{t}}}}
t
<
1
{\displaystyle t<1\,}
∫
0
a
d
x
x
t
{\displaystyle \int _{0}^{a}{{dx} \over {x^{t}}}}
t
≥
1
{\displaystyle t\geq 1\,}
[ דרוש מקור ]
תהא
f
{\displaystyle f\,}
[
a
,
b
)
{\displaystyle [a,b)\,}
f
{\displaystyle f\,}
[
a
,
b
)
{\displaystyle [a,b)\,}
∫
a
b
|
f
(
x
)
|
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|dx}
f
{\displaystyle f\,}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}f(x)dx}
מתכנס בהחלט . קל להוכיח בעזרת מבחן קושי כי אם פונקציה אינטגרבילית בהחלט אז היא גם אנטגרבילית. (במובן המוכלל).
תהא
f
{\displaystyle f\,}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)\,}
f
{\displaystyle f\,}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)\,}
b
>
d
>
a
{\displaystyle b>d>a\,}
∫
a
d
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{d}f(x)dx}
∫
d
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{d}^{b}f(x)dx}
f
{\displaystyle f\,}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)\,}
באופן כללי מגדירים אינטגרביליות במובן המוכלל בקטע אם ורק אם ניתן לחלקו לקטעים חצי פתוחים בהם הפונקציה אינטגרבילית במובן המוכלל לפי ההגדרה הראשונה.
תכונת האדיטיביות של האינטגרל המסוים מאפשרת לבחון התכנסות אינטגרל על ידי מבחן קושי לקיום גבול של פונקציה:
תהא
f
{\displaystyle f\,}
[
a
,
b
)
{\displaystyle [a,b)\,}
[
a
,
b
)
{\displaystyle [a,b)\,}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}f(x)dx}
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0\,}
w
>
v
{\displaystyle w>v\,}
(
b
−
δ
,
b
)
{\displaystyle (b-\delta ,b)\,}
|
∫
v
w
f
(
x
)
d
x
|
<
ε
{\displaystyle \left|\int _{v}^{w}f(x)dx\right|<\varepsilon }
מתכונת המונוטוניות של האינטגרל וממבחן קושי נובע המבחן הבא:
תהיינה
f
,
g
{\displaystyle f,g\,}
[
a
,
b
)
{\displaystyle [a,b)\,}
f
{\displaystyle f\,}
[
a
,
b
)
{\displaystyle [a,b)\,}
b
{\displaystyle b\,}
0
≤
f
(
x
)
≤
g
(
x
)
{\displaystyle 0\leq f(x)\leq g(x)}
אם
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}g(x)dx}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}f(x)dx}
אם
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}f(x)dx}
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}g(x)dx}
עריכה
תהיינה
f
,
g
{\displaystyle f,g\,}
[
a
,
b
)
{\displaystyle [a,b)\,}
f
{\displaystyle f\,}
[
a
,
b
)
{\displaystyle [a,b)\,}
lim
x
→
b
−
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to b^{-}}\textstyle {{f(x)} \over {g(x)}}}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}f(x)dx}
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}g(x)dx}
במידה והגבול שווה ל-0 אז:
אם
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}g(x)dx}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}f(x)dx}
ואם הגבול הוא אינסוף אז:
אם
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}g(x)dx}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}f(x)dx}
עריכה
תהא
f
{\displaystyle f\,}
[
a
,
+
∞
)
{\displaystyle [a,+\infty )\,}
lim
t
→
∞
∫
a
t
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \lim _{t\to \infty }\int _{a}^{t}f(x)dx\,}
f
{\displaystyle f\,}
[
a
,
+
∞
)
{\displaystyle [a,+\infty )\,}
f
{\displaystyle f\,}
[
a
,
+
∞
)
{\displaystyle [a,+\infty )\,}
∫
a
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)dx\,}
מתכנס . אחרת, אם גבול זה לא קיים, נאמר שהוא מתבדר .
דוגמה:
האינטגרל
∫
0
∞
d
x
1
+
x
2
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}}
lim
t
→
∞
∫
0
t
d
x
1
+
x
2
=
lim
t
→
∞
arctan
t
=
π
2
,
{\displaystyle \lim _{t\to \infty }\int _{0}^{t}{\frac {dx}{1+x^{2}}}=\lim _{t\to \infty }\arctan {t}={\frac {\pi }{2}},}
תהא
f
{\displaystyle f\,}
[
a
,
+
∞
)
{\displaystyle [a,+\infty )\,}
f
{\displaystyle f\,}
∫
a
∞
|
f
(
x
)
|
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }\left|f(x)\right|dx}
f
{\displaystyle f\,}
∫
a
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)dx}
מתכנס בהחלט . גם פה קל להוכיח בעזרת מבחן קושי כי אם פונקציה אינטגרבילית בהחלט אז היא גם אינטגרבילית (במובן המוכלל).
תהי
f
{\displaystyle f\,}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
d
{\displaystyle d\,}
∫
d
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{d}^{\infty }f(x)dx\,}
∫
−
∞
d
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{-\infty }^{d}f(x)dx}
f
{\displaystyle f\,}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
תהא
f
{\displaystyle f\,}
[
a
,
∞
)
{\displaystyle [a,\infty )\,}
[
a
,
∞
)
{\displaystyle [a,\infty )\,}
∫
a
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)dx}
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
M
>
0
{\displaystyle \ M>0\,}
w
>
v
>
M
{\displaystyle w>v>M\,}
|
∫
v
w
f
(
x
)
d
x
|
<
ε
{\displaystyle \left|\int _{v}^{w}f(x)dx\right|<\varepsilon }
תהיינה
f
,
g
{\displaystyle f,g\,}
[
a
,
∞
)
{\displaystyle [a,\infty )\,}
f
{\displaystyle f\,}
[
a
,
∞
)
{\displaystyle [a,\infty )\,}
b
∈
[
a
,
∞
)
{\displaystyle b\in [a,\infty )}
x
>
b
{\displaystyle x>b}
0
≤
f
(
x
)
≤
g
(
x
)
{\displaystyle 0\leq f(x)\leq g(x)}
אם
∫
a
∞
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }g(x)dx}
∫
a
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)dx}
אם
∫
a
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)dx}
∫
a
∞
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }g(x)dx}
עריכה
תהיינה
f
,
g
{\displaystyle f,g\,}
[
a
,
∞
)
{\displaystyle [a,\infty )\,}
lim
x
→
∞
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\textstyle {{f(x)} \over {g(x)}}}
∫
a
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)dx}
∫
a
∞
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }g(x)dx}
במידה והגבול שווה ל-0 אז:
אם
∫
a
∞
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }g(x)dx}
∫
a
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)dx}
ואם הגבול הוא אינסוף אז:
אם
∫
a
∞
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }g(x)dx}
∫
a
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)dx}
מבחן דיריכלה מאפשר לבדוק התכנסות של פונקציות גם כאשר הן משנות סימן , ובזה כוחו.
תהיינה
f
,
g
{\displaystyle f,g\,}
פונקציות רציפות בקטע
[
a
,
+
∞
)
{\displaystyle [a,+\infty )\,}
f
{\displaystyle f\,}
[
a
,
+
∞
)
{\displaystyle [a,+\infty )\,}
lim
x
→
∞
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=0}
הפונקציה
G
(
x
)
=
∫
a
x
g
(
t
)
d
t
{\displaystyle \textstyle G(x)=\int _{a}^{x}g(t)dt}
[
a
,
+
∞
)
{\displaystyle [a,+\infty )\,}
בתנאים אלו האינטגרל
∫
a
∞
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)g(x)dx}
