אקסיומת המקבילים

אקסיומת המקבילים היא האחרונה מבין 5 ההנחות בספרו של אוקלידס, "יסודות", שבו פיתח את הגאומטריה האוקלידית מעקרונות היסוד שלה. האקסיומה ידועה גם בשם "האקסיומה החמישית של אוקלידס".

אוקלידס ניסח את האקסיומה החמישית כך:

אם שני ישרים ייחתכו על ידי ישר שלישי, באופן שסכום הזוויות הפנימיות שייווצרו באחד הצדדים קטן מסכום שתי זוויות ישרות, אז אם יוארכו הישרים מספיק באותו צד הם ייפגשו.

טענה זו שקולה לניסוח המקובל של האקסיומה, הקובע כי "דרך נקודה מחוץ לישר ניתן להעביר ישר אחד ויחיד שמקביל לישר הנתון".

האקסיומה אצל אוקלידס

ספרו של אוקלידס "יסודות" מתחיל מהגדרת ישויות גאומטריות בסיסיות ולאחריהן מופיעות 5 הנחות על גופים אלו. ארבע הראשונות הן:

דרך כל שתי נקודות אפשר להעביר קטע.
כל קטע אפשר להמשיך ללא גבול כקו ישר.
בהינתן קטע ישר, ניתן להעביר מעגל שמרכזו בנקודת קצהו האחת, ורדיוסו שווה לאורך הקטע הנתון.
כל הזוויות הישרות חופפות זו לזו.

ההנחה החמישית, היא אקסיומת המקבילים, בולטת בין שאר ההנחות של הגאומטריה האוקלידית באורכה ובמורכבותה. רמז לכך שאוקלידס עצמו הסתייג ממנה ניתן למצוא בכך שהוא מוכיח את עשרים ושמונה הטענות הראשונות ב"יסודות" בלי להזדקק לה.

בשנת 1752 ראתה אור מהדורה^[1] שחילקה את האקסיומות באופן מעט שונה, והיא שהייתה בידיהם של מדעני המאה ה-19. לפי מהדורה זו נמנו שלוש הנחות (פוסטולטים) ו-11 אקסיומות. אקסיומת המקבילים מופיעה כאקסיומה ה-11. בשל כך נקראת לעיתים אקסיומת המקבילים בספרות המאה ה-19 "האקסיומה ה-11"^[2]^[3]

המשפט המשלים לאקסיומת המקבילים

אם סכום שתי זוויות פנימיות הוא 180° אזי הישרים מקבילים ולעולם לא ייפגשו

אוקלידס לא ציין את המשפט המשלים לאקסיומת המקבילים, הקובע כי:

אם שני ישרים ייחתכו על ידי ישר שלישי, באופן שסכום הזוויות הפנימיות שייווצרו באחד הצדדים שווה לסכום שתי זוויות ישרות, אזי הישרים מקבילים ולעולם לא ייפגשו.

ב"יסודות" מופיע משפט השקול למשפט זה (ספר I, משפט 17): סכום שתי זוויות במשולש קטן משתי זוויות ישרות. ההוכחה מתבססת על משפט קודם, הקובע: במשולש, זווית חיצונית גדולה מכל אחת מהזוויות הפנימיות שאינה צמודה לה. ההוכחה של משפט זה מבוססת על הנחה סמויה, ששני ישרים נפגשים בנקודה אחת בלבד.

במילים אחרות, המשפט המשלים לאקסיומת המקבילים נובע מארבע האקסיומות הראשונות של אוקלידס, בתוספת אקסיומה הקובעת ששני ישרים שאינם מקבילים נפגשים בנקודה אחת בלבד.

תכונות שקולות

בגאומטריה האוקלידית ידועות תכונות רבות השקולות לאקסיומת המקבילים. אם מניחים את ארבע ההנחות הראשונות, אז כל אחת מתכונות אלה נובעת מאקסיומת המקבילים, וגם גוררת אותה.

בין התכונות השקולות לאקסיומת המקבילים, יש כאלה שבמבט ראשון נראה כי אין להן שום קשר לתכונות של ישרים מקבילים. חלקן נחשבו כל-כך מובנות מאליהן, עד שהתפרסמו הוכחות של אקסיומת המקבילים, שהיו מבוססות בלי משים על תכונות כאלה, אף על פי שכולן כאחת אינן נובעות מארבע ההנחות הראשונות בגאומטריה האוקלידית. להלן כמה דוגמאות:

סכום הזוויות במשולש הוא 180°.
קיים משולש שסכום זוויותיו הוא 180°.
סכום הזוויות זהה בכל המשולשים.
קיים זוג משולשים דומים שאינם משולשים חופפים (Wallis, 1693).
כל משולש ניתן לחסום במעגל (בוליי, 1851).
אם במרובע שלוש זוויות הן זוויות ישרות, אז גם הזווית הרביעית היא זווית ישרה.
קיים מרובע בו כל הזוויות הן זוויות ישרות.
קיים זוג ישרים שנמצאים במרחק קבוע זה מזה.
שני ישרים המקבילים לישר שלישי, מקבילים זה לזה.
בהינתן שני ישרים מקבילים, ישר החותך את אחד מהם בהכרח חותך גם את השני.
במשולש ישר-זווית, ריבוע היתר שווה לסכום ריבועי שתי הצלעות הנותרות (משפט פיתגורס).
אין חסם עליון לשטח של משולש^[4] (גאוס, 1799).

למעשה, גם הניסוח המקובל של האקסיומה כיום הוא תכונה השקולה לניסוח הראשוני של אוקלידס. הניסוח המקובל הופיע לראשונה בפירושו של הפילוסוף והמתמטיקאי פרוקלוס לכתביו של אוקלידס. פרוקלוס, בן המאה החמישית, ניסה אף הוא להוכיח את האקסיומה על בסיס האקסיומות האחרות, וכשל בכך.

ניסיונות להוכחה

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.

במשך אלפיים שנה נעשו ניסיונות לייתר את האקסיומה, כלומר להוכיח שהיא נובעת מההנחות האחרות. ניסיונות אלו הביאו במאה ה-19 לפיתוח גאומטריות לא-אוקלידיות, שבהן האקסיומה אינה נכונה. קיומן של גאומטריות לא-אוקלידיות מוכיח שאקסיומת המקבילים היא אכן אקסיומה הכרחית עבור הגאומטריה האוקלידית - לא ניתן להוכיחה משאר ההנחות של אוקלידס. מאידך, היא אינה הכרחית על מנת ליצור גאומטריה עקבית.

המתמטיקאי הערבי אבן אל-היית'ם (965–1039) ניסה להוכיח את אקסיומת המקבילים באמצעות הוכחה בדרך השלילה, ובעבודותיו נמצאו רעיונות ששימשו גם בניסיונות עתידיים להוכחת האקסיומה - מרובע למברט ואקסיומת פלייפייר.^[5]

המתמטיקאי הפרסי עומר ח'יאם (1048–1131) ניסה אף הוא להוכיח את אקסיומת המקבילים.

המתמטיקאי הפרסי נסיר א-דין א-טוסי פרסם בשנת 1250 ספר העוסק באקסיומת המקבילים, ובו שלל את ניסיונות ההוכחה של עומר ח'יאם במאה הקודמת. הוא ניסה להוכיח את האקסיומה באמצעות הוכחה בדרך השלילה. סאדר א-דין, בנו של נסיר א-דין, כתב בשנת 1298 ספר שהציג מחשבות מאוחרות של האב על אקסיומת המקבילים, ובהן טיעונים ראשונים לגאומטריה לא-אוקלידית. הספר יצא לאור ברומא בשנת 1594, ונלמד על ידי מתמטיקאים אירופיים.

בשנת 1733 יצא לאור ספרו של ג'ובאני סאקרי Euclides ab omni naevo vindicatus ("אוקלידס חופשי מכל פגם"), שבו ניצנים של גאומטריה לא-אוקלידית, אף שמטרתו הייתה לבסס את עבודתו של אוקלידס באמצעות הוכחה בדרך השלילה שכל תחליף הסותר את אקסיומת המקבילים אינו אפשרי. לשם כך הגדיר צורה הקרויה כיום מרובע סאקרי, שבה שתי זוויות ישרות, הניח שאקסיומת המקבילים אינה תקפה וניסה להגיע לסתירה. הספר לא עורר עניין עד לגילויו מחדש באמצע המאה ה-19 בידי אאוג'ניו בלטראמי.

בשנת 1766 כתב יוהאן היינריך למברט את חיבורו Theorie der Parallellinien ("התאוריה של קווים מקבילים"), שבו ניסה להוכיח את אקסיומת המקבילים. לשם כך הגדיר צורה הנקראת כיום מרובע למברט, שבה שלוש זוויות ישרות. הוא הוכיח בקלות שהזווית הרביעית אינה זווית קהה, והוכיח משפטים רבים המתבססים על ההנחה שהזווית הרביעית היא זווית חדה. בניגוד לסאקרי, הוא לא סבר שהגיע לסתירה בעקבות הנחה זו.

פיתוח גאומטריות לא אוקלידיות

ערך מורחב – גאומטריה לא אוקלידית

המאמצים להוכחת האקסיומה עלו בתוהו, עד שבראשית המאה התשע-עשרה הבינו, באופן בלתי תלוי, המתמטיקאים בויאי, לובצ'בסקי וגאוס שנדרש כיוון שונה. כתוצאה מכך פותחו גאומטריות לא אוקלידיות, שבהן אקסיומת המקבילים מוחלפת באקסיומה אחרת: בגאומטריה ההיפרבולית - דרך כל נקודה שמחוץ לישר עוברים אינסוף ישרים מקבילים לישר זה, ובגאומטריה ספירית אין ישרים מקבילים כלל. כעבור שנים לא רבות התברר שהגאומטריות הלא־אוקלידיות אינן רק תרגיל ביסודות האקסיומטיים של הגאומטריה: כשם שהגאומטריה האוקלידית מהווה בסיס למכניקה של אייזק ניוטון, כך מהווה הגאומטריה הלא-אוקלידית המיושמת על יריעה פסאודו-רימנית בסיס לתורת היחסות הכללית.

ראו גם

הבעיה הרביעית של הילברט

לקריאה נוספת

מריו ליביו, שפת הסימטריה - המשוואה שלא נמצא לה פתרון, הוצאת אריה ניר, 2006, עמ' 208–212
בנו ארבל, קיצור תולדות המתמטיקה, הוצאת מכון מופ"ת, 2005, עמ' 121, 170

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא אקסיומת המקבילים בוויקישיתוף

Roberto Bonola (1912) Non-Euclidean Geometry, Open Court, Chicago.
MacTutor Archive article on non-Euclidean geometry
אקסיומת המקבילים, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

^ Euclid's Elements of geometry, the first six, the eleventh and twelfth books; tr from dr. Gregory's ed., with notes and additions. By E. Stone ספר ראשון עמ' 5
^ למשל: An Attempt to Demonstrate the 11th Axiom of Playfair's Euclid, (Warren Holden The American Mathematical Monthly Vol. 2, No. 5 (May, 1895), pp. 146-147)
^ Philosophy of Geometry from Riemann to Poincaré, עמ' 49
^ Euclid's Fifth Postulate, באתר Cut The Knot
^ Smith, John D. (1992), "The Remarkable Ibn al-Haytham", The Mathematical Gazette, 76 (475): 189–198, doi:10.2307/3620392, JSTOR 3620392

[1] Euclid's Elements of geometry, the first six, the eleventh and twelfth books; tr from dr. Gregory's ed., with notes and additions. By E. Stone ספר ראשון עמ' 5

[2] למשל: An Attempt to Demonstrate the 11th Axiom of Playfair's Euclid, (Warren Holden The American Mathematical Monthly Vol. 2, No. 5 (May, 1895), pp. 146-147)

[3] Philosophy of Geometry from Riemann to Poincaré, עמ' 49

[4] Euclid's Fifth Postulate, באתר Cut The Knot

[5] Smith, John D. (1992), "The Remarkable Ibn al-Haytham", The Mathematical Gazette, 76 (475): 189–198, doi:10.2307/3620392, JSTOR 3620392

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]