משתמש:אכן/קבוצה

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

קבוצה היא מושג יסודי במתמטיקה. בגישה הנאיבית לתורת הקבוצות, קבוצה היא אוסף כלשהו של איברים (ללא חשיבות לסדר). האיברים הללו יכולים להיות מכל סוג, אנשים, אותיות וגם עצמים מתמטיים כמו מספרים, נקודות, צורות גאומטריות, איבר יכול להיות גם קבוצה אחרת. שתי קבוצות שוות אחת לשנייה אם יש בהן בדיוק את אותן האיברים, ידוע גם בתור אקסיומת ההיקפיות.

בתורת הקבוצות האקסיומטית מושג הקבוצה אינו מוגדר, ותכונותיו מתקבלות מרשימת האקסיומות.

הגדרה

בתיאור נאיבי קבוצה היא אוסף של עצמים. כל עצם בעולם, או שהוא שייך לקבוצה (ואז הוא נקרא איבר של הקבוצה) או שאינו שייך לה. לא ניתן להיות איבר של קבוצה יותר מפעם אחת. שתי קבוצות הן שוות כאשר יש להן בדיוק אותם האיברים.

כאשר רוצים לבסס את תורת הקבוצות באופן ריגורוזי נחוצה הגדרה קשוחה יותר שאינה מסתמכת על תאורים עמומים. ההגדרה המקובלת ביותר לקבוצה היא באמצעות אקסיומות ZF הכתובות בשפה מסדר ראשון. האקסיומות מגדירות יקום שלאיבריו אנו קוראים קבוצות ומוגדר עליהן יחס של שייכות. ביקום יש רק קבוצות ולכן איבריה של קבוצה הם תמיד קבוצות בעצמם. האקסיומות מטילות מספר מגבלות על מה ראוי להיקרא קבוצה (למשל קבוצה לא יכולה להיות שייכת לעצמה) כדי למנוע סתירות דוגמת הפרדוקס של ראסל.

כמעט כל עצם במתמטיקה ניתן להגדיר כקבוצה, ולכן ניתן לומר שהיקום שנוצר על ידי אקסיומות ZF הוא זירת המשחקים לכמעט כל המתמטיקה.

שייכות

ערך מורחב – איבר (מתמטיקה)

אם $A$ היא קבוצה ו-$x$ איבר שלה, נסמן זאת ב-$x\in A$, ונאמר ש-$x$ שייך ל-$A$ או ש-$A$ כוללת את $x$. אם $A$ היא קבוצה ו-$x$ לא איבר שלה, נסמן זאת ב-$x\notin A$, ונאמר ש-$x$ לא שייך ל-$A$.

לדוגמה, בעבור הקבוצות $A=\{4,6,3,8\}$ וקבוצת המספרים השלמים $\mathbb {Z}$, מתקיים:

• $3\in A$ (3 הוא איבר ב-$A$) ו-$2\in \mathbb {Z}$ (2 הוא איבר ב-$\mathbb {Z}$).
• $5\notin A$ (5 לא איבר של $A$) ו-$\pi \notin \mathbb {Z}$ (פאי הוא לא איבר בקבוצת המספרים השלמים).

קבוצות מיוחדות

הקבוצה הריקה

ערך מורחב – הקבוצה הריקה

הקבוצה הריקה היא קבוצה ללא איברים, והיא מסומנת בסימן $\emptyset$ או ב-$\{\}$.

יחידון

ערך מורחב – יחידון

יחידון (נקרא גם סינגלטון) היא קבוצה המכילה איבר אחד בלבד. לדוגמה, הקבוצה $\left\{0\right\}$ היא יחידון.

קבוצות מספרים מיוחדות

קבוצת המספרים הטבעיים מוכלת בקבוצת השלמים שמוכלת בקבוצת הרציונליים שמוכלת בקבוצת הממשיים שמוכלת בקבוצת המרוכבים

• $\mathbb {N}$ - קבוצת המספרים הטבעיים, $\mathbb {N} =\{1,2,3,\dots \}$ (לעיתים כוללים גם את $0$ כאיבר בקבוצה).
• $\mathbb {Z}$ - קבוצת המספרים השלמים, $\mathbb {Z} =\{\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots \}$.
• $\mathbb {Q}$ - קבוצת המספרים הרציונליים, $\mathbb {Q} =\{a/b\ |\ a,b\in \mathbb {Z} ,b\neq 0\}$.
• $\mathbb {R}$ - קבוצת המספרים הממשיים, מכילה את המספרים הרציונליים ואת המספרים האי-רציונליים.
• $\mathbb {C}$ - קבוצת המספרים המרוכבים, $\mathbb {C} =\{a+bi\ |\ a,b\in \mathbb {R} \}$.

כל הקבוצות האלו הן אינסופיות, וכל קבוצה מכילה ממש את הקבוצות שמעליה (ראו איור משמאל).

דיאגרמות ון

ערך מורחב – דיאגרמת ון

פעולות על קבוצות

איחוד

ערך מורחב – איחוד

איחוד של אוסף קבוצות הוא קבוצה שמכילה את כל האיברים שנמצאים בקבוצות האלו, של $A$ ו-$B$ מסומן ב-$A\cup B$, ואיחוד של אוסף קבוצות $A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}$ מסומן ב-

חיתוך

ערך מורחב – חיתוך

הפרש

ערך מורחב – הפרש

הפרש סימטרי

ערך מורחב – הפרש סימטרי

משלים

ערך מורחב – משלים

מכפלה קרטזית

ערך מורחב – מכפלה קרטזית

חלוקה

ערך מורחב – חלוקה

עוצמה

עקרון החיבור ועקרון ההכלה וההפרדה

ערכים מורחבים – עקרון החיבור, עקרון ההכלה וההפרדה

כללי דה מורגן

ערך מורחב – כללי דה מורגן

ראו גם

• מונחים בתורת הקבוצות

קישורים חיצוניים

• .html אכן/קבוצה, באתר MathWorld (באנגלית)