משתמש:Avneref/מדע/שבתאי אונגורו

שבתאי אונגורו. מבוא לתולדות המתמטיקה. אוניברסיטה משודרת

חלק א'

אונגורו:

• אנכרוניזם ”...בין הניסוח האלגברי - לבין הניסוח הרטורי בלווית ההוכחה הגאומטרית, המופיע אצל אוקלידס, מפרידה תהום עמוקה. (עמ' 20) ...הרבה סופר על הידע המתמטי העמוק הטמון, כביכול, בפירמידות במצרים. רוב הסיפורים, מסתבר, הם סיפורי בדים. ניתן לבנות את פלאי הארכיטקטורה האלה, כך נראה, בלי ידע מתמטי עמוק. לאחר מעשה, המתמטיקאי והמהנדס המודרני מסוגלים בלי קושי לגלות כל מיני יחסים מתמטיים הגלומים, כביכול, בחומר, בצורתו הגאומטרית המדויקת להפליא. ערכן ההיסטורי של הרקונסטרוקציות הללו הוא אפסי. ייחסו כוחות מתמטיים נסתרים לכל תרבות שהיא, שאינם עולים בקנה אחד עם הידוע מן המסמכים הכתובים של אותה תרבות, ולפעמים אף סותרים את היוע, הוא מעשה שלא ייעשה בפירוש היסטורי ראוי לשמו, ויש לפסול אותו על הסף. (עמ' 35)”
• ”...המתמטיקה היא דבר חי, מתפתח, שהתפתחותה אינה רציונלית תמיד, שדרישותיה מעצמה השתנו במקוצת הדורות, שמה שנחשב פעם משכנע וריגורוזי אינו נחשב כך עכשיו, ושהמיתוס על קיומה של אמת אבסולוטית בנימוק מתמטי הוא אכן, רק מיתוס. אמנם ארך זמן רב להבין זאת, אבל במאה שלנו אנו חושבים שאנו יודעים טוב יותר את טבעה האמיתי של החשיבה המתמטית ואת מגבלותיה. נוסף על כך, ההיסטוריה של המתמטיקה היא אחת הדיסציפלינות הנדירות בחינוכו של המתמטיקאי בן-זמננו, שלימודהּ עשוי... להצביע על מהותה המשתנה של המתמטיקה. ידיעה מסוימת בתחום לא תעשה אותו, ככל הנראה, למתמטיקאי טוב יותר, אבל אולי לאדם צנוע יותר ונעים הליכות... הוא ילמד שלמרות היות המתמטיקה התחום הרציונלי המובהק ביותר - לא תמיד היא התפתחה באופן רציונלי לחלוטין...”

מצרים

• תחילת המתמטיקה: שאלה סבוכה. יוון העתיקה מסכימים שהמתמטיקה התחילה במצרים העתיקה; הרודוטוס: הגאומטריה הומצאה כדי למדוד מחדש שדות שהנילוס הציף כל שנה; מהל למדו היוונים.אריסטו: כוהני דת במצרים רצו לפאר את הדת, והיה להם זמן פנוי לחשוב. המצרים פתרו בעיות מעשיות, לא התעניינו בהוכחות ובתאוריה. היוונים - הוכחה, ריגורוזי (מונח שונה בכל תקופה!)
• מספרים בהירוגליףים: השיטה העשרונית, אך לא-פוזיציונאלית; סימנים מיוחדים ל-1, 10, 100 - עד מיליון.
• פפירוס רינד (עפ"י הסופר, אחמס): מספרים בכתב היראטי (שיפור לעומת ההירוגליפים; הפשטה). חשבונות ב"שברים מצריים" - שברי-יחידה.

בבל

• התקופה ה"בבלית": כל התרבות במסופוטמיה מכ-2000 לפה"ס עד 538, אז נכבשה ע"י כורש. המתמטיקה נמשכה גם בתקופה הסלוקית, עד תחילת הספירה הנוצרית.
• כמעט כל הכתבים: מקורות ראשוניים, כי נכתבו על לוחות חימר בכתב יתדות (ולא על פפירוס, שברובו לא השתמר). נמצאו עשרות אלפי לוחות.
• בסיס סקסגסימלי; פוזיציונלית-באופן-עקרוני, כי אין 0 (מופיע מאוחר יותר, ורק כשהוא בקצה המספר), לכן ערך של ספרה תלוי בהקשר; שברים מיוצגים באופן זהה!
• טבלאות חישובים של ערכים שונים; חישוב מקורב מספיק, אין הכרח בדיוק מוחלט. אין שיקולים או הסברים תאורטיים - רק חישובים.
• יותר מתקדמים מהמצרים: חילוק - הכפלה בהופכי, מיוצג כשבר בטבלה.
• גאומטריה: בד"כ פאי נלקח כ-3 (במצרים: 3.16), אבל: בשושן (Susa) התגלתה טבלה שמשתמע ממנה יחס 3.12 . אבל - גאומטריה עדיין התקיימה רק לצרכי חישוב, לא לימוד. כנראה לא ידעו את משפט פיתגורס כמשפט, אבל ידעו את היחס בין צלע ריבוע לאלכסונו (שורש 2).
• ככלל: אין הכללות, נוסחאות, סימבולים, הגדים כלליים; אין הבחנה בין תוצאה מדויקת למקורבת; בין בעיה ניתנת לפתרון לכזו שלא; אין עיסוק במהות של אמת מתמטית, הוכחה. יש סימנים של התחלת התעניינות במתמטיקה לשמה.

יוון העתיקה

• תאלס, האסכולה המילטית ממילטוס: הפילוסוף המוכר הראשון במערב ("הכל מים"), המתמטיקאי הראשון ממש. אין מקורות ראשוניים. ידע (ויכול להוכיח) על זויות במשולשים ובעיגול - ראשית הרצון להבין את חוקיות העולם, "למה" ולא רק "איך".
  • השלמה
• במאה ה-5 לפנה"ס, אחרי נצחונות קרב מרתון, סלמיס, פלתיאה, הגיעה אתונה העתיקה לשיא, תחת פריקלס. היפוקרטס מכיוס, סוחר שהפסיד את כספו, ושמח שהתפנה למדע, הדגים לכך פתרון בעיה תאורטית: לרבע סהרון, ביטוי ליכולת לחשב ולהשוות שטחים של צורות עגולות - כדי לבסוף להבעיות הגאומטריות של ימי קדם#תרבוע העיגול. זה כנראה הכתב העתיק ביותר של המתמטיקה היוונית. גם כתב את ה"יסודות" הראשון, כ-100 שנה לפני אאוקלידס. עסק גם בהכפלת הקובייה.
• פיתגורס מסאמוס (תלמיד של תאלס?). ידוע מעט. ייסד את האסכולה הפיתגוראית - למעשה כת דתית, במאה ה-6 לפנה"ס (בן-זמן של בודהא, קונפוציוס, לאו דזה - אולי לא מקרי שבזמנו התפתחה גם הדת). פעל בקרוטונה באיטליה היום - Magna Hellas; ייתכן שהאסכולה טבעה את פילוסופיה ומתמטיקה; נתק בין צורך מעשי, לבין לימוד טהור - התכלית העליונה (באמצעות: מתמטיקה, מדיטציה, ומוסיקה). מדע ומיסטיקה של מספרים (שלמים בלבד); בחרו 10 כבסיס, לא בגלל 10 אצבעות, אלא בגלל "מושלמות" שלו: tetractys, יסוד היקום, וסכום 4 המספרים הראשונים (כולל 1 - שלא נחשב למספר...). העולם בנוי ממספרים שלמים, הרמוני. כנראה גילו את כל התוכן של 2 הספרים הראשונים ביסודות; גילו את פאון משוכלל. תורת היחסים; 3 הממוצעים. משתמש:Avneref/חינוך/תולדות המתמטיקה#פיתגורס (Πυθαγόρας).
• היפיאס מאליס: רברבן, ידען, זנאי, שטחי; השימוש בקוואדרטריקס - גאוני.
• ארכיטס מטאראס (תלמיד של פילולאוס), "פתר" את הכפלת הקובייה ע"י "עקום ארכיטס" - חיתוך יפה ומתוחכם של חרוט, גליל, טורוס.
• היפאסוס ממטאפונטום - כנראה חשף לעולם שמחוץ לפיתגוראים, שיש אינקומנסורבילים - מבוכה גדולה להם (שהדיחוהו מקרבם; הרגו אותו? [1])
• זנון מאליאה: אין תנועה! (קיבל מרבו, פרמנידס)
• calculi, יוונית: Λογισμός - חלוקי נחל (גוגל תרגם: חצץ...)
• בני זמנם של אפלטון ואריסטו, המאה ה-4:
  • תאודורוס הוכיח שאין מידה-משותפת ליחידה, ולצלעות של ריבועים ששטחיהם: 3, 5, 7, 8, 10, 11, 12, 13, ...
  • תלמידו, תאיטיטוס הוכיח שיש חמישה גופים אפלטוניים
  • אאודוקסוס סיפק הגדרה חדשה לפרופורציה; שקולה לחתכי דדקינד, המאה ה-19.
    • שיטת המיצוי (אקזוסטיבית): מתבססת על אקסיומת ארכימדס (שנוסחה כבר ע"י אאודוקסוס).
  • אוטוליקוס מפיטאנה. ספרו הוא העתיק ביותר ששרד כולו: "על הכדור הנע", הגאומטריה כבר מבוססת על הוכחות.
  • האחים מנכמוס ודינוסטרטוס; נוסדה אלכסנדריה העתיקה; עם מות השליט, אז נחלק העולם בין 3 הגנרלים שלו, תלמי הראשון קיבל את מצרים והפך את העיר לבירת המדע במקום אתונה; הספרייה הגדולה של אלכסנדריה הייתה החשובה בעולם, ובהשפעתה פעלו אאוקלידס, ארכימדס ואפולוניוס.

אוקלידס

כ-300 לפה"ס; בתגובה לבקשת תלמי לקיצור-דרך: "אין דרך מלכותית לגאומטריה"; ובתשובה לתלמיד ששאל מה התועלת והשימוש במדע, פנה לעבדו: "תן לו מטבע, כי הוא מאלה שחייבים להרוויח מהלימוד." כתב הרבה, אך רק 5 שרדו: אופטיקה, פנומנה (גאומטריה כדורית לשימוש אסטרונומים, כמו של אוטוליקוס), על חילוק צורות (רק בתרגום לערבית וללטינית), נתונים (data), ויסודות.

• (Στοιχεῖα, סטויכיאה): מבנה פוסטולט-דדוקטיבי
  • 23 הגדרות (נקודה: אין לו חלק, קו: אורך בלי רוחב, מישור - מגדיר אותם למרות שהם מושגי-יסוד)
  • 5 פוסטולטים (טענת-יסוד שישימה רק לתחום מסוים, לעומת אקסיומה שחלה על הכל), כולל החמישי: אקסיומת המקבילים שמאות שנים ניסו להוכיח בתלות באחרות, רק במאה ה-19 הוכח שהיא עצמאית; ונוצרו גאומטריות אחרות, ישימות במדעים אחרים.
  • 5 אקסיומות: עצמים השווים לעצם שווים; מחברים שווים לשווים; מחסירים; עצמים שמתלכדםי שווים; השלם גדול מחלקו.
  • משפטים: ב-13 ספרים, במלוא הרגורוזיות הקיימת אז. את רוב ההוכחות לא סיפק בעצמו, רק סיכם (וחלקם הוכיח מחדש): הראשונים (הפיתגוראים), ה-5 (הפרופורציות, אאודוקסוס), ה-10 (אריתמטיקה ותורת המספרים, תיאיתיטוס???). היו כבר ספרי אלמנטים (היפוקרטס, ליאון ותיאודיוס), אך אבדו ויש סיבה - מאז ה"יסודות" לא העתיקו אותם עוד, כי כבר לא היה צורך בהם (גם אלמגסט של תלמי עשה כן לקודמיו).
  • לא היה ספר ברמתו שסיכם שיטתית את כל המתמטיקה, עד Grundlagen Der Geometrie של דויד הילברט, 1899 - פורמליזציה, יסוד אקסיומטי של גאומטריה אוקלידית באופן חמור יותר, כי גילה אצלו הנחות סמויות, הגדרות ללא-משמעות, ופגמים לוגיים. סיכומו גאוני (ואינטואיטיבי בכך שסיווג את החמישי כפוסטולט), ספר הלימוד יותר מאלפיים שנה; במשך דורות כינו באנגליה את הגאומטריה Euclid. ניוטון ערך את הפרינקיפיה במתכונותו, וגם גלילאו גליליי, דקארט ושפינוזה (תורת המידות); הודפס מיד עם המצאת הדפוס, 1482 (אינקונבולה), יצא ביותר מ-1000 מהדורות, שני רק לתנ"ך.

ארכימדס

כנראה הגדול ביותר. בז ליישומים. ספריו: על שיווי משקל של המישורים (פיסיקה, שמוכתבת ע"י סימטריה מתמטית); על גופים צפים (פתר בעיה להיירון השני, שבעקבותיה צעק אאורקה!); חשב החול (Ψαμμίτης, Psammites) ; אונגורו: כנראה הדגמה תאורטית למספרים גדולים, ולא לשימוש מעשי. מדידת המעגל. תרבוע הפרבולה. על קונואידים וספרואידים - בעיקר אהב את הכדור והגליל, שצוירו על קברו. ספר הלמהות - תוצאות מרתקות. המתודה, הפלימפססט של ארכימדס.

• אפולוניוס מפרגה: עסק בחיתוכי קווים, במקומות גאומטריים, והיה גם אסטרונום שהמציא את האפיציקל והאקסצנטר. חיבורו קוניקה, חתכי חרוט: פרבולה (אפליקציה, הנחה על-), אליפסה (גרעון), היפרבולה (השלכה מעבר). טעות אנכרוניסטית: לייחס לו בגלל זה גאומטריה אנליטית. משתמש:Avneref/חינוך/תולדות המתמטיקה#אפולוניוס מפרגה (Ἀπολλώνιος), לערוך!!!
• שקיעה, וכיבוש רומי ששם הדגש על טכנולוגיה, לא מדע. ניקומכוס מגארסה ; תלמי - ניצנים של טריגונומטריה כדורית.
• אחרונים: הרון מאלכסנדריה; דיופנטוס (אריתמטיקה - אוסף של חשבונות נומריים ספציפיים, אבל ללא נוטציה, סימנים), משתמש:Avneref/חינוך/תולדות המתמטיקה#דיופנטוס (Διόφαντος)
• פאפוס מאלכסנדריה (סינגוגה - מקור משני חשוב); פרוקלוס [אותו אחד מ-(עבודה זרה מד ב) מנאוקרטיס ??] כתב פירוש ל-I של היסודות.
• היפאטיה: (Ὑπατία) באקדמיה האפלטונית ואסכולה הפיתגוראית קיבלו נשים, אבל רק היא נודעה בשמה. אביה תיאון היה מתמטיקאי ואסטרונום, מנהל מוזיאון הספרייה הגדולה של אלכסנדריה ומורה שהייתה מתלמידיו, ובין הטובים (אחרי מותו ניהלה במקומו). למדה גם פילוסופיה והצטיינה בספורט, וגם יפה (רומן של צ'ארלס קינגסלי). עזרה לאביה לערוך את ספריו - פירושים ל"יסודות" ולכתבי תלמי; כתבה פירושים לחתכי החרוט של אפולוניוס מפרגה, לאריתמטיקה, והטבלאות האסטרונומיות של תלמי. גם מורה נערצת: תלמידהּ סינסיוס (לימים בישוף) פיתח בהדרכתה הידרומטר#היסטוריה ואצטרולב. ידידה של המושל הרומאי, אורסטס.
  המון נוצרי רצח אותה בהסתה של קירילוס האלכסנדרוני (הקדוש), הבישופ של אלכסנדריה, כחלק ממאבק פוליטי ובגלל הפגניות, ומינהּ (מאמר של ג'ון טולנד). עם מותה (ושריפת הספריה בידי הנוצרים והערבים) הסתיימו כאלף שנות מדע יווני, והתחילו כאלף שנות עצירה ופיגור. "חובה עליך לחשוב, כי גם חשיבה שגויה עדיפה על אי-חשיבה."

מוסלמית

בתחילה: פירוש והרחבה

• בית אומיה: העתקה; בית עבאס: מחקר מקורי.
• תרגום בראהמספהוטסידהאנטה ע"י אלפזרי
• מוחמד אבן מוסא אל-ח'ואריזמי. ספרו תורגם ללטינית כ-Algoritmi de numero Indorum כשיבוש של שמו; "אלגברה" נוצר מהשם הערבי של חשבון ההשלמה וההקבלה; 3 סוגי מספרים: עדד, ג'אדר, מאל; כתב טבלאות אסטרונומיות - השפיעו על המערב; גאומטריה: מדידה, ללא הוכחות. תרגום מיוונית, בגישה מעשית.
• עומר כיאם, משתמש:Avneref/חינוך/תולדות המתמטיקה#עומר כיאם (غیاث الدین ابو الفتح عمر بن ابراهیم خیام نیشاپوری); אבן אל-היית'ם.
  • אבו כאמל, אל-קראחי , אל-זרקאלי - טבלאות טלודניות של כוכבי הלכת.
• תקופת השפל: בואתיוס. מחקר מעט המשיך במנזרים, שימר את שנותר מהתרבות העתיקה. בדה ונרביליס, אלקואין, ג'ארבר סילבסטר השני
• פיבונאצ'י; יורדאנוס

חלק ב'

• פרנסואה וייט הנהיג: עיצורים לגדלים ידועים; תנועות - לנעלמים. נחשב למתמטיקאי המודרני הראשון.
• ג'ון נפייר טבע: לוגריתם מ-2 מילים ביוונית: יחס, ומספר.
• לוקה פאצ'ולי, Summa de arithmetica, geometrica, proportioni et proportionalita - "סומה".

Artis Magnæ, Sive de Regulis Algebraicis Liber Unus

• ג'ירולמו קרדאנו: בספרו האומנות הגדולה (Artis Magnæ או Ars Magna) פרסם פתרונות למשוואות קובית וקוורטית. ציין שאת הפתרון לקובית קיבל מניקולו טרטליה ("המגמגם"), עני ואוטודידקט, שגם למד פתרון (חלקי, ללא המעלות הזוגיות) משיפיונה דל פרו, שלא פרסם (אז לא היה נהוג למהר ולפרסם, להיפך - לשמור כ-Job Security); גילה פתרון למעלה 3, התפאר וניצח את אנטוניו פיורה (איט') תלמידו של דל-פרו, בפתרון 30 משוואות (זה לזה), ופיורה לא פתר אף אחת; כי הפתרון שגילה היה כללי. קרדאנו הרופא המצליח, המהמר וה"ממזר" שכנעו לגלות (תמורת הבטחה לא לפרסם) בדרך של פואמה. אחרי שקרדאנו הסקרן גילה שדל-פרו כבר ידע (ואולי טרטליה למד ממנו) - הוא ראה עצמו משוחרר, ופרסם ב-Ars Magna (כולל את פתרון הקוורטית, שמצא משרתו ואח"כ תלמידו, לודוביקו פרארי). אין דאגה - גם טרטליה גנב תרגום לארכימדס של וילם ואן מורבקה, ואת "חוק המישור המשופע" (נמורריוס). הפתרונות - ההשג הגדול ביותר של האלגברה, עד המאה ה-17. כיום ידוע - אין פתרונות מעל מעלה 4, וגם חלק מהפתרונות של מעלה 3, 4 עוברים דרך מספר מרוכבים (גם כשהפתרונות ממשיים).
• פייר דה פרמה, עו"ד ומתמטיקאי חובב ("נסיך החובבים"); תורת המספרים שפיתח נותרה ללא שינוי כ-200 שנה, עד גאוס במאה ה-19. למרות ש(כנראה) לא הוכיח את משפטיו - כולם פרט לאחד התבררו כנכונים. רשם בשולי האריתמטיקה של דיופנטוס על המשפט האחרון של פרמה: cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet; אם כי יש ספק אם הייתה לו הוכחה "נפלאה", כזו שרק קוטן השוליים מנעו את כתיבתה. פרמה ורנה דקארט הסתסכו על קרדיט על גאומטריה אנליטית, ופיצלו את הקהילה בין שניהם. אבל פרמה פרסם ב-1629, דקארט ב-1637; ודקארט אולי הושפע, כנראה לא גנב במודע. הראשונים שבנו קואורדינטות - בתחילה, לא ישרות!
• דקארט הבחין בין עקומות "גאומטריות", שיש להן ביטוי (אנליטי), לבין "מכניות", ש"בונים" עם עזרים; אבל שתיהן "לגיטימיות" - בניגוד ליוונים האידאליסטיים, שדחו את המכניות כ"מעמד נחות". לייבניץ כינה זאת: אלגברית vs טרנסצנדנטלית - לא חייבים לבנות עקומה, מספיק שמתארים במשוואה. (והטרנסצנדנטיות - נדחו?)

ח

• ג'ון ואליס: הראשון שהראה שחתכי חרוט (של אפולוניוס מפרגה) מתוארים ע"י משוואות ממעלה שניה ב-2 נעלמים, שהן הפרבולה וכו'; הראשון להשתמש בקואורדינטות שליליות.
• ג'יימס גרגורי : הוכיח שמשיק ושטח הן פעולות הפוכות (כיום: המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי), אך נשכח; גם פרמה ידע חלקית, ואייזק בארו הציג גאומטרית, בלי להכיר במשמעות.
• אייזק ניוטון ניסה 3 פעמים לתת הגדרה תקינה לגדלים הקטנים לאינסוף: (1) ב-De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (נכתב 1669), מחלק ב-O ("מומנטום של X"; ו-OY הוא "המומנטום של השטח"), ואח"כ מעיף כל מה שמכיל O. ב(2) De Methodus Fluxionum et Serierum infinitorum (נכתב 1671), המשתנה O הוא ה"זמן", ו-${\dot {X}},{\dot {Y}}$ הם ה-fluxions (נגזרות של המשתנים בזמן), והמשתנים "נעים"; גם כאן, מחלקים ב-O ואח"כ מעיפים - לא יותר טוב. (3) ב-Tractatus de quadratura curvarum (נכתב 1676) כביכול נוטש את האינפיניטזימליים, ו"יוצר" קוים ע"י תנועה של נקודות, מחשב את היחס (ה-prime ratio) כך שהתוספת "נעלמת" ונותר רק היחס בין ה-fluxions (ה-ultimate ratio) - הנגזרת.
• אונגורו: הפרינקיפיה (עקרונות מתמטיים של פילוסופיית הטבע) שבה תאר את המתטיקה החדשה -אינו טקסט מתמטי, אלא פילוסופיה של הטבע, כלומר: פיסיקה; אבל - הספר החשוב בתולדות המתמטיקה. כתובה בסגנון גאומטרי (למשל: חישוב שטחים ע"י מלבנים קטנים לאינסוף), אולי כי רצה להיות ברור לבני דורו, והחשיב (בצדק) גאומטריה כיותר ריגורוזית מהאלגברה של זמנו (אהב את הסגנון הגאומטרי של כריסטיאן הויגנס).
• גוטפריד וילהלם לייבניץ (בחר סימון מתמטי בגאונות.) למד באוניברסיטת לייפציג בגיל 15, תאולוגיה, משפטים ופילוסופיה ומעט מתמטיקה; סיים דוקטורט ב-20 אך לא קיבל בגלל גילו, עבר לנירנברג שם הוצע לו להיות פרופסור, אך סרב כדי להיות דיפלומט, וספרן בוולפנביטל . פגש בפריז את הויכנס, בלונדון (בשליחות דיפלומטית ב-1673) קנה ספר של בארו, נפגש עם אולדנברג ונבחר ל"חברה"; בביקור זה אולי ראה עותק של הספר הראשון של ניוטון, De analysi (הודפס רק ב-1711, אבל אז כבר היה בכתב יד), אבל בשלב זה כנראה לא יכול עדיין להבין. עד ביקורו הבא ב-1676 - גיבש את הקלקולוס שלו. דיווח עליו לראשונה ב-1684 ב-Acta Eruditorum, בשם Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus ; עם נוסחאות לדיפרנציאל של סכום, מכפלה, מנה, חזקה; באמצעים גאומטריים: מציאת משיקים, מינימה ומקסימה; dx, dy. כל המאמר: 6 עמודים, מעורפלת; האחים ברנולי: "יותר חידה מהסבר". שנתיים אח"כ: מדגים את ההיפוך בין דיפרנציאציה לבין אינטגרציה. בשנתו האחרונה (1716) איתגר את ניוטון לפתור בעיה קשה; ניוטון (בן 74) הוכיח שכושרו איתו, ופתר תוך שעות, וגם הכליל. לייבניץ שאף ל"אלגברה של הכל", כולל דת ופילוסופיה - אופטימי מדי; אך אלגברה של לוגיקה, לוגיקה סימבולית הופיעה במאה ה-19.
  • האחים ברנולי השלימו; והוא פרגן להם, שתרומתם אינה נופלת.

השוואה
כותרת	ניוטון	לייבניץ
משותף	קלקולוס - מקצוע חדש, והם עשו לו אריתמטיזציה - ייסדו על ייסודות אלגבריים. זיהו שכל הפעולות: מידת השתנות, משיק, אקסטרמום - הם דיפרנציאציה ואינטגרציה. לא הגדירו בקפדנות, רגורוזיות.
גישה	יחס בין גדלים (ה-fuxions, שקטֵנים ב"מהירות", פיסיקלית, לאינסוף) הוא ה-fluent	התוספות עצמן, כשהן כבר קטנות לאינסוף: dx, dy (יותר פילוסופי)
נקודת מוצא	חישוב נגזרת, ע"י הפרשים, וממנה: שטחים ונפחים	סכימה, כפעולה הפוכה לדיפרנציאציה
כלליות	ביטא "פונקציות" כטורים אינסופיים; לא ניסח חוקים או נוסחאות רבות.	נמנע מטורים; ביטא כמערכת שלמה של נוסחאות כלליות.
אופי	מעשי, זהיר	פרוע, ספקולטיבי, מכליל
חידוש	רק הרחיב את הגאומטריה היוונית	הבין שהמקצוע חורג מהגאומטריה היוונית (כי היה אוטודידקט).
תגובה לביקורת	הוטרד, אך השלה עצמו שהוא רק הרחיב את הגאומטריה היוונית, ושלא "בגד" בה.	לא הוטרד מאי-ריגורוזיות, העיקר שזה עובד; דרישה מחמירה מחניקה את היצירתיות. האינפיניטסמיליים קטנים כרצוננו, ולכן גם ה"טעות". "עקרון הרציפות": קובע שגם הערך הסופי "כלול" בצעדים אליו - זה מניח את המבוקש...
		החשיב מאד סימונים, notions, למחשבה בהירה ולהבנה; סימניו בשימוש עד היום.

• אחרי: ב-1695 וואליס סיפר לניוטון, שבהולנד הקלקולוס נחשב של לייבניץ, וזה הרתיחו. ב-1699 הופיע בעיתון החברה המלכותית מאמר שרמז, שלייבניץ העתיק מניוטון; לייבניץ הגיב על העלבון ב-Acta, ב-1704, שהוא פרסם עוד ב-1684. ב-1705 הופיעה ביקורת לא-חתומה על ספרו השלישי של ניוטון. ייתכן שלייבניץ כתב אותה. ב-1726, 10 שנים אחרי מות לייבניץ, ניוטון השמיט כל אזכור שלו מהמהדורה ה-3 של הפרינקיפיה (כמו רוברט הוק!). ועדה של "החברה" לא קבעה חד-משמעית, אך רמזה שניוטון הוא הראשון; הוא היה יו"ר "החברה"...(?) אך בגלל האיבה, שהייתה גם לאומנית - המתמטיקה באנגליה פיגרה אחרי זו של היבשת, כמעט כל המאה ה-18; בין היתר, כי הסימון (הצורה) חשוב להבנה, ולמחקר (לתוכן).
• בלז פסקל (יאנסניזם דתי): חצוי בין הדרישה לריגורוזיות, לבין "תחושת הלב" כמו שהחסד האלוהי גם נחוץ להבנת העולם; "הפרדוקסים הגאומטריים של הקלקולוס, הם כמו האבסורדים של הנצרות, והיחס בין האינדביזיבילי לבין גודל סופי, הוא כיחס בין הצדק האנושי לאלוהי."
• ביקורת, ג'ורג' ברקלי: הכיר בשימושיות הקלקולוס, במסה מ-1734 ב-The Analyst עם שם ארוך: "המופנית למתמטיקאי כופר (אדמונד היילי, שמנע מידיד חולה לקבל עידוד מהכנסיה)..." שיבח את ניוטון על עבודתו, אך תקף בחריפות "את ה'פלקשנס' האלה... רוחות רפאים של גדלים שהסתלקו מן העולם." ההקטנה של O ואח"כ ביטולו - shifted hypothesis, שינוי באמצע ההוכחה! ביובש בריטי: אם היינו טוענים כך בתאולוגיה, הייתם מנפנפים אותנו בלעג!... זהו מפנה: הצביע על הצורך בניתוח פורמלי, אנליטי, לא אינטואיטיבי.
• תגובות: ביבשת, לא התרגשו, והמשיכו לפתח מתוך אמונה שהבסיס התאורטי יימצא. היו גם תגובות שטות, כולל מהגדולים: ברנולי - אקסיומת החיסור של אאוקלידס לא תקפה לדיפרנציאלים... ד'לאמבר דרש הגדרה טובה לגבול. אדריאן-מארי לז'נדר ניסה לספק יסוד אנליטי, בספר (כותרת ארוכה, 1797), שם פיתח פונקציה על פי ברוק טיילור (תלמיד של ניוטון) - ברם היא טובה רק לפולינומים; כדי לפתחה לכל פונקציה, דרוש להניח שקיימות הנגזרות שלה - מעגלי...
• ברנרד בולצאנו סיפק הגדרות לרציפות של פונקציה, ולנגזרתהּ; אוגוסטן לואי קושי - הגדרה לגבול, Cours d'Analyse ב-1821.
• אקדמיות וכתבי-עת: הקידמה במאות 17 ו-18 - למרות האוניברסיטאות, לא בזכותן; בין 1600 ל-1630 לא היו בקיימברידג' מתמטיקאים, וכשהיו - לימדו רק מתמטיקה ישנה, גם נדרשו להיות כמרים (ניוטון קיבל שחרור; מהמלך?); כשניוטון למד שם - לבד. רק ב-1663 נוסדה הקתדרה של לוקאס (בארו, ואחריו ניוטון); וואליס התמנה באוקספורד ב-1649 (נשאר עד 1702). גם בצרפת לא פעלו, עד שנפוליאון תמך בבתי הספר שנוסדו במהפכה. בגרמניה, אוניברסיטת גטינגן צברה יוקרה רק בזמן גאוס. חריגה: ז'נבה ובאזל, שם הייתה משפחת ברנולי, יעקב הרמן . ב-1662: החברה המלכותית; 1665: העיתון העצמאי ה-1, Journal des sçavans; האקדמיה הצרפתית למדעים, 1666
• פוסטולט, אקסיומת המקבילים: ניסו להוכיחו מאות שנים, אפילו אאוקלידס חש שהוא מיוחד, לא הסתמך עליו עד שיוכח - "נשבר" במשפט מס. 29. סאקרי מרוב אהבה לאאוקלידס, היה בטוח שהוכיח; בלי משים, הסתמך על הנחה סמויה: ישר הוא אינסופי (שזה שקול לאקסיומה שרצה להוכיח); מההנחה שאותה רצה לסתור, שיש הרבה ישרים - הוכיח שורה של משפטים, ללא פגם לוגי - שיכלו להיות הבסיס לגאומטריה לא-אוקלידית; כך, דעה קדומה שהאקסיומה ניתנת להוכחה - גרמה לו להתמקד רק במטרה זו, ולהפסיד הזדמנות להיות הראשון...
• במאה ה-19 החלו לפקפק בנכונות הפוסטולט: קארל פרידריך גאוס, גאון שבדוקטורט הוכיח את המשפט היסודי של האלגברה (לכל פולינום יש שורש); מיומנו נותרו רק 19 דפים, עם 146 אמירות קצרות שבהן כמה מהרעיונות הגדולים במתמטיקה המודרנית, רובן לא פורסמו בחייו, עפ"י סיסמתו pauca sed matura (כמו ניוטון); בין היתר החל לחשוב על חלופות לאקסיומה. ב-1829 פרסם ניקולאי לובצ'בסקי מאמר "על עקרונות הגאומטריה", פיתח גאומטריה מנוגדת לפוסטולט (אחרי שהסיק שהוא לא ניתן להוכחה). חסרת סתירה, אך נראית כסותרת "שכל ישר" - כינה אותה "גאומטריה דמיונית". גאוס למד על כך והמליץ עליו לחברה המדעית של גטינגן. יאנוש בויאי הגיעה לאותם רעיונות במקביל: אביו פרקש ניסה להוכיח, והתכתב עם גאוס; כששמע שבנו מנסה, הזהירו שזה ישגע ויהרוס את בריאותו יותר מסקס. מכיוון שהגיע למסקנה זהה, פיתח "המדע האבסולוטי של המרחב", ואביו פרסם בספר ב-1829. ב"צניעותו" גאוס סרב לתת הסכמה ושבח, שמשמעו שהוא משבח את עצמו - כי הוא חשב כך מזמן... כשראה את מאמרו של לובצ'בסקי, יאנוש נואש ולא פרסם יותר, וכך נעלם לו הקרדיט.
• ברנהרד רימן יצר עוד לא-אאוקלידית אחרת, מרחב רימן, שהמרחב האאוקלידי הוא מקרה פרטי שלה; והציגה בהרצאת הפתיחה המפורסמת ביותר ב-1854 בגטינגן, Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen, שעסקה בגאומטריות לא-אאוקלידיות באופן הרבה יותר עמוק מאשר גאוס ושות': קבוצות סדורות של אלמנטים, במקום קוים, מישורים וחללים, והגדירה בכלל מטריקה חדשה. באחת מהגאומטריות הזאת - דרך נקודה מחוץ ל"ישר" נתון אין שום ישר מקביל, סכום הזויות במשולש גדול מ-180 מעלות, כל האנכים לישר נפגשים בנקודה. ויש המחשה פשוטה: על משטח ספירה (כדור), ה"ישרים" הם הקוים הקצרים בין נקודות - כלומר מעגל גדולים. מכך שגאומטריה כזו חסרת סתירות, נובע שהפוסטולט לא תלוי באקסיומות האחרות (אחרת, שלילתו הייתה גורמת לסתירה), כלומר - הוא אקסיומה, לא ניתנת להוכחה מתוך האחרות. גם לגאומטריה של גאוס-לובצ'בסקי-בויאי נמצא מודל, ע"י בלטרמי .
• עמנואל קאנט חשב, שהגאומטריה האאוקלידית היא סינתטית (= מרכיבה, לא מנתחת) אפריורי, כלומר מביעה תכונות "חדשות", שאינן כלולות בהגדרות - אך שניתן להסיקן ללא התבוננות במציאות, הן ודאיות מלכתחילה; בניגוד לתפיסתו, שזו הגאומטריה היחידה האפשרית (ובניגוד לישעיהו ליבוביץ) - הגאומטריות החדשות מראות שלאמונה האישית של המדען יש משקל במדע! מתמטיקאים מושפעים מ"רוח הזמן". גישה יוונית: בגלל שהאקסיומות אמיתיות - גם המסקנות; גישה מודרנית: אם האקסיומות אמיתיות, אז גם המסקנות. אונגורו: המצאת הלא-אאוקלידית יצר המהפכה הגדולה ביותר במתמטיקה: איפשרה להעמיד את הגאומטריה האאוקלידית על יסוד ריגורוזי, פורמלי; יש בחירה בגאומטריה שמתאימה למציאות הפיסיקלית באופן חסכוני ואלגנטי יותר; הוסיפה חופש רב.
• גם באלגברה - מהפכה קונספטואלית במאה ה-19: ג'ון הרשל, צ'ארלס בבג' וג'ורג' פיקוק ייסדו באנגליה את החברה האנליטית , כדי לאמץ את הסימון הגרמני. אח"כ נוצרו אלגברות חדשות (רובם בריטים). דנקן גרגורי זיהה את האקסיומות של האריתמטיקה ה"רגילה", ואחריו ויליאם רואן המילטון יצר אלגברה אלטרנטיבית - הקווטריונים (למשל: לא-חילופית, החוק הקומטטיבי לא תקף), שאח"כ נמצאו להם יישומים בפיסיקה ובמתמטיקה. הוא התחיל בפיתוח אלגברה לינארית אסוציאטיבית, ותורת ההיפר-מספרים, שהמשיך הרמן גראסמן - שהובילה לתורת הטנזורים.
• בצרפת, אווריסט גלואה המציא את חבורהות (groupe). קרא לבד עבודות קיימות, לא התקבל לאקול פוליטכניק והתקבל לאקול נורמל סופרייר הפחות יוקרתי אז, וגם משם העיפו אותו בגלל ויכוח עם המנהל בזמן מהפכת יולי 1830. כתב 4 מאמרים, שלח אחד לקושי (איבד), אחרת לפורייה (לקח לקרוא ונפטר), שלישית - תורת גלואה, לפואסון (לא הבין, והחזיר); בייאושו הצטרף למשמר הלאומי, נעצר כמהפכן, שוחרר ונהרג בדו-קרב על רקע פוליטי, או רומנטי - לא ברור. פליקס קליין יישם ב-1872 את החבורה לגאומטריה - חבורת טרנספורמציות (למשל: חבורת פואנקרה), רעיון שהוביל לטופולוגיה.
• הגדרת הפונקציה: התברר, שהביסוס של קושי לאינפי אינו מספיק אנליטי (למשל: סכום של סדרה מתכנסת של פונקציות רציפות - אינו בהכרח פונקציה רציפה); ז'אן-בטיסט ז'וזף פורייה הוכיח שכל פונקציה (?) ניתנת להצגה כסכום של פונקציות טריגונומטריות - גם זאת בעיה, כי מה עם פונקציה לא רציפה בהרבה רווחים? דירכלה הציע הגדרה אחרת: קשר בין x לבין y (?); ג'ורג' סטוקס, בנפרד: קארל ויירשטראס, קושי וזיידל הגדירו: התכנסות שווה (uniform). רימן הרחיב את הגדרת קושי לאינטגרל - לפונקציות לא-רציפות; ויירשטראס הגדיר רגורוזית את הגבול, עם המינוח של קושי.
• בעיית ההגדרה של מספרים ממשיים: ויירשטראס ניסה ע"י קבוצות אינסופיות; גאורג קנטור - ע"י גבול של סדרה של רציונאליים; ריכרד דדקינד ע"י חתכי דדקינד.