משתמש:Avneref/חינוך/תולדות המתמטיקה

היסטוריה של המתמטיקה, ליאו קורי
סימון מתמטי

הקדמה

פילוסופים של המדע

• אימרה לקטוש
• קרל פופר
• מייקל דאמט: "שני התחומים המופשטים ביותר, פילוסופיה ומתמטיקה, מעוררים אותה תהייה: במה הם עוסקים?"

בעיות מתודולוגיות

אנכרוניזם; היסטוריה-ושירה; הבדל היסטוריה למורשת

מקרי מבחן

מספרים אי רציונליים; חוקי התנועה; אינטגרלים-דיפרנציאלים; משפט אוילר-רנה דקארט

הבעיות הגאומטריות של ימי קדם

אינקומנסורביליות; בנייה בסרגל ומחוגה

1. הכפלה של נפח קוביה פי 2
2. "ריבוע המעגל"
3. שילוש זווית: אפשר (אבל לא-קביל), עם (1) קוואדרטריקס של היפיאס; ספורוס: זה לא פותר הבעיה, רק מעביר אותה למקום אחר, כי לא ניתן לבנות קוואדרטריקס עם סרגל ומחוגה. (2) מחוגה ורצועה (ארכימדס)

תחילת הגאומטריה

פפירוס אחמס

גם פפירוס רינד, על שם מגלהו במאה ה-19 (אם כי קנה אותו ולא הבין את תוכנו; אחרי מותו הועבר להמוזיאון הבריטי). מהווה התקדמות רבה בתחום הסימנים. המצרים העריכו את $\ \pi$ ב: $4\times ({\frac {8}{9}})^{2}\approx 3.16$, כך נראה עפ"י נוסחה לחישוב שטח עיגול בפפירוס; על פי תשובה 48 בפפירוס, נראה שהגיעו למספר ע"י חישוב שטח של מתומן הבנוי בתוך ריבוע $9\times 9$ . מכיל גם סכום סדרה הנדסית קטנה.

הרודוטוס כתב על פרעה רעמסס השני ששלח מודדים לאיכרי מצרים כדי לגבות מסים לפי שטח השדה (במקרה של הצפה ע"י הנילוס, אז הוטל המס על החלק שלא הוצף); לדעתו, זוהי תחילת הגאומטריה במצרים. אפלטון אמר על המצרים שהם "בעיקר עם של חנוונים", ועל כן עסקו רק בחשבונות פרקטיים; אבל גם הוא ייחס להם את ראשית הגאומטריה - בניגוד למתועד בפפירוס אחמס.

פאי#במקורות היהדות

• בתנ"ך: מלכים א' ז כג "עֶשֶׂר בָּאַמָּה מִשְּׂפָתוֹ עַד-שְׂפָתוֹ...(וְקָו) שְׁלֹשִׁים בָּאַמָּה יָסֹב אֹתוֹ סָבִיב."
• במסכת עירובין: בבלי עירובין נ"ו ע"ב (תוספות): "כל שברוחבו טפח - יש בהיקפו ג' טפחים."
• במסכת סוכה: בבלי סוכה ח ע"א: "כּמה (היקף ה)מרובע יותר על (גדול מ-) העיגול (החסום בו)? - רביע."

יוונים

על פי Boyer, המתמטיקה היוונית עסקה בתחילתה רק בקבוע ולא במה שנע או משתנה: במשוואות של דיופנטוס היו רק קבועים (תכונה שעברה לאלגברה ההודית והערבית); רובם האמינו שתנועה היא אשליה (הפרדוקסים של זנון).

תאלס (Θαλής)

המתמטיקאי הראשון שתועד; כנראה הראשון שהציג את מושג ההוכחה; נסע הרבה באסיה הקטנה ובמצרים, וצבר ידע רב. מספרים שהתעשר מרכישה של בית בד, בשנה שבה חזה יבול גדול של זיתים; כנראה אחרי שצבר די ל"פנסיה" החל במחקר מתמטי-מדעי (ולא רק לצורך חישובים מעשיים; אביקם גזית: הראשון ששאל "מדוע" ולא רק "איך"). הרשים את המצרים במדידת גובה פירמידה ע"י השוואת צילהּ עם צל של מוט; ואת מיקומה של ספינה רחוקה מהחוף.

אנכסגורס (Αναξαγόρας)

• מתוך בנו ארבל: פילוסוף וקוסמולוג; גילה את הסיבה לליקוי חמה וירח; טען שהשמש אינה אל, אלא סלע לוהט, ”גדולה אפילו מן הפלופונסוס. אין לירח אור משלו, אלא הוא מקבלו מן השמש” (טבעם של גרמי השמים). נכלא ונידון למוות באשמת כפירה, שוחרר ע"י תלמידו פריקלס, אך אפילו הוא לא יכול היה למנוע את עונש הגלות. בכלא ניסה לפתור את "ריבוע המעגל" (אותה בעיה שנולדה מהמגפה, שהרגה את פריקלס?)

אריסטו (Αριστοτέλης)

משתמש:Avneref/מדע/אריסטו

• אינקומנסורביליות
• סבר שגופים נופלים כי הם "שואפים לחזור הביתה", ושמהירותם מתכונתית למסתם; טעות שתיקן גלילאו גליליי.

אפלטון (Πλάτων‏)

• נולד בשם אריסטוקלס; פלטו: "מצח רחב". בן-מחזור של ארכיטס (ממשיכו של פיתגורס?).
• מנון (Μένων)
• לפי נאום של יוליאנוס הכופר הייתה כתובה מעל שער האקדמיה האפלטונית, שהרתיעה רבים. תוכנה לא הופיעה בנאום, רק בהערת שוליים בכתב יד מהמאה ה-4: "ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω", "בל ייכנס מי שאינו גאומטריקון." - ייתכן שזוהי פרפרזה על "מי שאינו הגון" שהיה כתוב על אתרים ציבוריים חשובים.

פיתגורס (Πυθαγόρας)

משתמש:Avneref/מדע/פיתגורס

• כנראה מיסטיקן יותר מרציונליסט; חי בזמנם של בודהה, קונפוציוס וזרתוסטרה, באי סאמוס (בו נרדף ע"י השליט פוליקרטס), ובקרוטון אצל מילו. ייסד את האסכולה הפיתגוראית: מיסטיקנים שהאמינו בהרמוניה, פשטות, עיון והגות, וצמחונים. לכן גם עסקו במוזיקה, פילוסופיה ובאימון גופני; מייחסים להם את המצאת גביע פיתגורס, שמכריחה לשתות במתינות[1]. שיכללו את פרוצדורת ההוכחה.
• כללו אצילים, גברים ונשים יחד (נדיר). סימלם: כוכב מחומש עם אלכסונים, לא פשוט לבניה - נדרש יחס הזהב. הוא נמצא בדודקהדרון, אחד הפאונים האפלטוניים: פאותיו המחומשות, וגם נפחו ושטח המעטפת.
• האמינו שכל הקיים ניתן לתיאור ע"י מספרים שלמים (סיסמתם: "הכל מספר"); על כן ניסו למדוד כל דבר בשלמים, כולל צלע הריבוע ואלכסונו, ביחד; כשהתגלה שזה בלתי אפשרי (= אינקומנסורביליות), התגלתה העובדה ש-${\sqrt {2}}$ הוא מספר אי-רציונלי - שתי עובדות שקולות. לכן אהבו מוסיקה, כנראה הם שגילו מיתרים שיחס אורכיהם רציונלי, יוצרים הרמוניה.
• האמינו שהאי-זוגיים זכריים ו"טובים", והזוגיים נקביים ורעים.
• (מתוך בנו ארבל): לבסוף נרצח ע"י המון שהובל ע"י סילון, שלא התקבל לאסכולה.

אחרים

• זנון מאליאה (Ζηνων), (מתוך בנו ארבל): אבי הדיאלקטיקה (διαλεκτική - לשוחח) שאפלטון הגדיר: שיטת שיחה כדי לגלות את האמת; תלמידו של פרמנידס (Παραμενίδες, Παρμενίδης?), שטען (גם באזני סוקרטס הצעיר): היקום נצחי, יחיד, רציף, וגם (בעקבות תלמידו זנון): אין בו תנועה!
• היפוקרטס מכיוס (Ἱπποκράτης): מצא דרך ל"רבע" סהרון, צורה הכלואה בין שתי קשתות של מעגל. כתב את הספר השיטתי הראשון הידוע על צורות גאומטריה בסיסיות (נקרא "יסודות", Στοιχεῖα, אבל אבד; ייתכן שעליו התבסס אוקלידס ב"יסודות" שלו) .
• תאודורוס מקירנה (Θεόδωρος)
• תיאתטוס
• ארטוסתנס (Ερατοσθένης) (מודד ההיקף של כדור הארץ; ממציא הנפה של ארטוסתנס; "פנטאתלוס" - אתלט של קרב-5, שלא ניצח אף באחד מהם; התעוור והרעיב עצמו למוות?)
• אריסטרכוס מסאמוס
• היפאטיה (Ὑπατία)

אוקלידס (Εὐκλείδης)

לא ידוע עליו הרבה פרט לכך שפעל בהספרייה הגדולה של אלכסנדריה, שנוסדה בידי תלמי הראשון. כתב את ה"יסודות" - ראשון מסוגו ומשפיע מאד.

יסודות (Στοιχεῖα)

• "ארגז כלים" יסודי לגאומטריה, וכדי לנסות לפתור את הבעיות הגאומטריות של ימי קדם.
• אקסיומה-פוסטולט משתמש:Avneref/מדע/שבתאי אונגורו#אוקלידס: (טענות-יסוד שישימה רק לתחום מסוים; לעומת אקסיומה, שברור בעליל שהיא נכונה לכל וחלה על הכל).
• לא חישב גדלים: אורך, שטח וכו', ולא ביצע פעולות אריתמטיות בין גדלים דומים, בין היתר כי כנראה לא ידע איך לעבד מספרים לא שלמים; רק השווה גדלים דומים, והוכיח שוויון על ידי פירוק לחלקים, וחפיפה .
• לא השתמש בנוסחאות ובאלגברה, רק בתיאור מילולי. אלגברה הומצאה רק בימי הביניים.
• פרשן של אוקלידס, המתרגם (Heath), הסביר שאוקלידס יצר כלים שיכלו לשמש לפתרון משוואה, שהיום פותרים באמצעות אלגברה - כלומר יצר קישור עקיף בין גאומטריה לבין אלגברה; הקישור הישיר נוצר רק במאה ה-17, כשהומצאה גאומטריה אנליטית ע"י רנה דקארט ופייר דה פרמה (להלן) (קורי לא מסכים - פרשנות אנכרוניסטית; ובמיוחד זועם: שבתאי אונגורו).
• ספר I
  • משפט I.47: "משפט פיתגורס"
  • I.11: יחס הזהב ?
• ספר II
  • הספר מכיל נוסחאות גאומטריות של חוקים אלגבריים ("אלגברה גאומטרית"); (van der Waerden (אנכרוניזם? - כמו הית'!) טוען, שהמחשבה האלגברית הייתה קיימת כבר אצל אוקלידס, והיא המשך של האלגברה הבבלית): II.1, II.4, II.5. קורי: לא מסכים.
  • II.12,13: משפט הקוסינוסים
  • הנחות של "אלגברה גאומטרית":
    • אלגברה בבלית הגיעה ליוון
    • משבר האינקומנסורביליות גרם לגאומטריזציה של האריתמטיקה.
    • הטקסט מסתיר רעיון
    • ליוונים הייתה אריתמטיקה מלאה; מושג המספר מופשט אצלם.
    • אין מוטיבציה גאומטרית לתוכן הספר.
    • שקילות מתמטית גוררת שקילות היסטורית. (אנדרה וייל)
• ספר IV: משולשים וריבועים חוסמים מעגל או חסומים במעגל.
• ספר V
  • הגדרה ראשונה של מספר אי-רציונלי: (חתכי) ריכרד דדקינד
  • תכונת ארכימדס (למעשה, הוא ייחס אותה לאאודוקסוס)
• ספר VI
  • דמיון משולשים ודמיון של צורות אחרות; משפט תלס
  • VI.28 (הית'): מקביל לפתרון משוואה ריבועית.
  • העתקה, חוסר ועודף (application, deficient, exeeding): ביוונית (שמות שנתן אפולוניוס): פרבולה, אליפסה, היפרבולה
• ספרים VII-IX: אריתמטיקה, תורת המספרים
  • פרופורציות (בין מספרים טבעיים)
  • מספר ראשוני
  • אין אקסיומות; אקסיומות על מספרים טבעיים: רק במאה ה-19, Peano ודדקינד
  • VII.30: בין היתר, נובע מהמשפט היסודי של האריתמטיקה; למרות שהמשפט אינו ב"יסודות" - ניתן היה להגיע ולהוכיחו על בסיסן; קורי: אוקלידס לא התעניין בפירוק עצמו, אלא רק בעצם קיומו.
  • אותו דבר באשר לאינדוקציה מתמטית: המושג כביכול קיים ברקע, אבל לא מוזכר ממש בעניינו.
  • IX.36: אם סכום (סדרה הנדסית) של כפולות של 2 (שהוא: $\ 2^{n}-1$) הוא מספר ראשוני, אזי הסכום, מוכפל באיבר הקודם ($\ 2^{n-1}(2^{n}-1)$), הוא מספר משוכלל; זה הוביל למספרי מרסן.
  • ספר X: קטעים ללא מידה משותפת
• ספר XII: שיטת המיצוי לחישוב נפחים
• ספר XIII: הגופים האפלטוניים

ארכימדס (Άρχιμήδης)

משתמש:Avneref/מדע/ארכימדס

איקוסהדרון קטום

• הגדול מכל היוונים; הראשון שראה במתמטיקה "השפה של היקום". לא ידוע הרבה על חייו, אבל נותרו מכתבים ומסות בנושאים רבים מאד. למשל: בחיבור "מחשב החול" הראה בהוכחה פשוטה, שמספרי-ענק שנקב בשמם גדולים יותר ממספר גרגרי החול ביקום; וזאת למרות שהיקום כנראה גדול פי כמה (על פי השערת אריסטרכוס מסאמוס) מהידוע עד אז - הארץ והשמש.
• מדידת המעגל, כדור וגליל
  • מדד את $\ \pi$ בדיוק רב - למעשה בכל דיוק רצוי (ע"י צעדים רבים יותר); גם היה הראשון שהעריך את גודלו; החסם העליון שקבע: ${\frac {22}{7}}$ מקובל עד היום.
  • בעיית שילוש זווית - עליה הייתה ביקורת מאוחרת של פאפוס מאלכסנדריה
• פאונים משוכללים
• המתודה, תומך בטענה של ג'ון ואליס: לקדמונים היה דבר דומה לאלגברה, והם הסתירו זאת.
• מכניקה ומתמטיקה - השפעה דו-כיוונית! (למשל: משפט 18; שימוש במנוף בתרבוע הפרבולה). בעזרת המכניקה שלו, הצליח לגלות משפטים - שלב קשה בהרבה מאשר ההוכחה שלהם.
  • במתודה הוא טוען, שניתן להגיע להבנה של בעיות בשיטות מכניות, ורק אח"כ למצוא את ההוכחה.
• קורי: מאוחר יותר יתברר (באמצעות האינפי), שיש קשר הדוק בין משיקים לשטחים; אבל היוונים לא ידעו שזה יקרה. בנוסף, יש קשר הדוק בין חישובים על ספירלות לבין ריבוע המעגל.
• בעיות מחוץ לקורס: "ספירת החול", בעיית העדר"
• כשגילה את היחס בין מקטע של פרבולה למשולש החסום בה (4/3), גילה שיש סכום סופי לטור ההנדסי: $\sum _{n=0}^{\infty }4^{-n}=1+4^{-1}+4^{-2}+4^{-3}+\cdots ={4 \over 3}$. ידע את מושג הגבול??
• מעשית, היה אבי הניסוי מחשבתי (מושג שטבע הנס כריסטיאן ארסטד: Gedankenexperiment), בכך שפרץ את אורח המחשבה המגביל של אוקלידס ואפלטון - כל אמצעי (אינטואיציה, מכניקה, דמיון) טוב ליצירת רעיונות חדשים, ולא רק אקסיומות.
• אנקדוטות:
  • השתתף בהגנה על עירו סירקוזה בסיציליה; ובניגוד להוראות הפיקוד הרומי, חייל הרג אותו בעת שעסק בחישוביו. ייתכן שזו תוצאה של זילזול בענייני צבא וב"צעצועים" שהמציא, אותם ראה רק כשעשועים ולא כעבודה מדעית אמיתית.
  • על פי האגדה, רץ עירום עם מגבת למותניו אחרי שגילה את חוק הציפה של ארכימדס (אאורקה! - Εὕρηκα), לאחר שהתבקש לקבוע אם כמות הזהב בכתר של היירון השני מלך סירקוז, מזויפת.
  • הפלימפססט של ארכימדס: ספרו של רויאל נץ

אפולוניוס מפרגה (Ἀπολλώνιος)

"הגאומטר הגדול"; ידועים מעט פרטים ביוגרפיים - בין אוקלידס (אין) וארכימדס (ידוע)

• שילוב של גישה "טהורה" (אוקלידס) ו"שימושית" (ארכימדס)
• בדומה לפרשנים רדיקליים, הית' פירשן: אם נסמן ב-p את ה-Latus Rectum וב-d את הקוטר, אז היחסים שקבע שקולים למשוואות הקרטזיות: $\ y^{2}=p\cdot x\pm {\frac {p}{d}}x^{2}$

חתכי חרוט (קוניקות) ; בניגוד ל-אוקלידס: מישור החתך לא בהכרח ניצב לקו היוצר; החרוט לא "ישר" (יכול להיות משופע); ולא סופי

נתן שמות לחתכים: פרבולה: παραβολή ("לשים בסמוך", העתקה); אליפסה: έλλειψη (חוסר); היפרבולה: υπερβολή (עודף). המניע לשמות: העקום מוגדר גאומטרית (כמובן לא אלגברית) ע"י חתכי חרוט, כך: לכל נקודה P עליו, ולקודקוד A, הריבוע הבנוי על האנך לציר הראשי: PQ - שווה לשטח מלבן, הבנוי על AQ ועל קטע קבוע AW (שניצב לו ולציר y). אורך AW קובע את סוג החתך: אם AW שווה למיתר ניצב העובר דרך המוקד - העקום "מונח, מועתק" והוא פרבולה. אם AW גדול מהמיתר אז העקום "בעודף" - היפרבולה; אם AW קטן מהמיתר אז "בחוסר" - אליפסה. אחר: פרבולה היא חתך מקביל לאחד הקוים היוצרים של החרוט; אליפסה היא חתך בזוית פנימה לקו היוצר, ולכן המשך החתך פוגש את הקו היוצר (נסגר לאליפסה); היפרבולה היא חתך בזוית החוצה, ולכן המשך החתך לאינסוף לא פוגש את הקו היוצר, וגם לא את השני (נפתח יותר מפרבולה).

באלגברית: אם נגדיר את A כראשית הצירים,

• בפרבולה $y^{2}=2px$ (שוכבת), המוקד: (p/2, 0); המיתר חותך את הפרבולה ב-y=p (החיתוך רחוק p מהמוקד, וגם מהמדריך: p/2*2= p) - אורך המיתר 2p. שטח הריבוע: $[y(P)]^{2}=2p\cdot x(P)$, האורך (AQ=x(P, ו- $AW={\frac {2px}{x}}=2p$ ו- AW שווה למיתר.
• באליפסה, שמשוואתה ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$,אורך המיתר: $l={\frac {2b^{2}}{a}}$,
  

באימפריה הרומית

(עד המאה ה-17 בלבד!)

• הרומים כבשו את יוון העתיקה, ובגלל הגישה הפרקטית שלהם, המחקר לא התקדם אצלם.

מקדימים

• הרון מאלכסנדריה - מכפלות של 4 אורכים
• תלמי (אסטרונום) (Κλαύδιος Πτολεμαῖος) - אלמגסט, טריגונומטריה (בתוך מעגל)

דיופנטוס (Διόφαντος)

• אריתמטיקה (ספר)
  • דמיון לאלגברה: סמלים; משוואות ומניפולציות; נושא החקירה (העברה למשוואה); אלגוריתם
  • ההיסטוריון Nesselmann: 3 שלבים - מילולי; מקוצר (syncopated); סמלי
  • שוני: מוגבלות בסמלים; נעלם אחד; אותיות הן מספרים ולא נעלמים; התמקדות בבעיות ולא במשוואות; לא כל הפתרונות! (I.28); רק רציונליים חיוביים
    • II.28: לחלק מספר ריבועי לשני ריבועיים; פייר דה פרמה קרא ורשם בשולי הספר שלא ניתן מעל לריבועיים, ומצא הוכחה "נפלאה" לכך.

פאפוס מאלכסנדריה (Πάππος ὁ Ἀλεξανδρεύς)

• ספר: האוסף המתמטי
  • ספר III: הנהיג את נוהלי ההוכחות (שהיו "גמישות", תיאוריות יותר), כדרך מחייבת (מה"טהורה" ביותר ועד ה"מעשית, ארצית"): מישוריות (סרגל ומעגל), גופיות (חתכי חרוט), קוויות (צורות מורכבות: ספירלה, קוואדרטריקס, ציסואיד, ועוד) עד שנוצרה תפיסה שגויה, ש"היוונים חייבו להוכיח כך..." בשעה שזה היה רק פאפוס. בכל זאת, אחריו השתרשה התפישה שכל מה שאפשר להוכיח בשיטה "טהורה" יותר - לא ראוי (אסור!) להוכיח אחרת. (קורי: לפעמים מתמטיקאים דווקא משתמשים בשיטה מורכבת יותר, כי יש בה עניין יפה, או שהיא נוחה יותר)
  • ספר IV: הרחבה של משפט פיתגורס, למשולש כלשהו - עם מקבילית במקום ריבועים
  • ספר VII: מקום גאומטרי; חידוש: מקום של יותר משישה ישרים - לא ניתן להמחשה (יותר מ-3 ממדים).
    • משפט 36: מקום של נקודות, שיחס המכפלות של מרחקיהן ("המלבן הבנוי על המרחקים") מ-2 ישרים שווה ליחס מ-2 ישרים אחרים; פרמה הרחיב ל-2n ישרים (?)
• הרכבת יחסים (או: יחס כפול?): מכפלה של יותר מאשר 3 יחסים; ככזאת, אין לה משמעות גאומטרית מוחשית (דרושים יותר מ-3 ממדים), אבל - הוא רומז על התפתחות עתידית: יחס הוא מספר בפני עצמו, ולכן יש לכך משמעות חשבונית.

529: יוסטיניאנוס סגר את האקדמיה האפלטונית באתונה; נוסד מנזר מונטה קאסינו, מעבר הדרגתי של הסמכות המדעית מרומי - למנזרים הקתולים

באסלאם

בעבר רווחה התפיסה, שמתמטיקאים מוסלמים היו רק חוליה מקשרת בין היוונים-רומים למדעני המאה ה-17; היום מסכימים שהייתה להם תרומה מקורית.

766 (762?): הח'ליפה אל-מנצור ייסד את בגדאד

אל חואריזמי (ابوعبدالله محمد بن موسی خوارزمی)

משתמש:Avneref/מדע/אל-ח'ואריזמי מוחמד אבן מוסא אל-ח'ואריזמי; על שמו מושג האלגוריתם

• ספר, 825: חשבון ההשלמה וההקבלה , كتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة; יותר יסודי ושיטתי מדיופנטוס, שאותו כנראה לא הכיר; ללא ספרות וסימונים בכלל, כולל לציון מספרים; משתמע שהוא השתמש בשיטה פוזציונלית (כמו העשרונית); אין שליליים - למרות שידועים אז בהודו ולכן גם בערב (לכן נאלץ לחלק משוואה ריבועית ל-6 סוגים); מוצג כספר שימושי בלבד
• חלק א': מתכונים לפתרון
• חלק ב': הצדקה גאומטרית
• למשל: פתרון משוואה ריבועית ע"י גאומטריה: ריבוע
  • אבו כמאל: פתרון גאומטרי אחר: מבוסס על II.5 של אוקלידס; הראשון שהצביע על צורך למצוא את כל הפתרונות למשוואה, ולא להסתפק באחד (?); שימוש במספר אי-רציונלי‎ באלגברה
• השתמש בטכניקות מאוקלידס, אבל סטה מהן: ?

עומר כיאם (غیاث الدین ابو الفتح عمر بن ابراهیم خیام نیشاپوری)

• גם אם האלגברה פותרת מעלה 4 ויותר - אין לזה משמעות; אם אין תיאור גאומטרי - זה לא קיים.
• ניסיונות לפתרון חזקה שלישית: ע"י היפרבולה (הסתמך על אפולוניוס מפרגה), עיגול, ופרופורציות (איך הצליח?!)
• הקפיד על ההומוגניות של המשוואות (כלומר - האיברים תמיד מייצגים נפחים - גם "האיבר החפשי"; זה נשאר עד דקארט - אז נעשה שינוי משמעותי בהשוואה ל-0 (?)
• פתר משוואות ממעלה 3, והצדיק באופן גאומטרי, ע"י חתכי חרוט (למשל: היפרבולה).
• אביקם גזית: היה אתאיזם.

גאומטריה

• ת'אבת אבן קורה (ثابت بن قرة بن مروان): הכללה של משפט פיתגורס
• אל-חסן אבן אל-היית'ם (الحسن بن الحسن بن الهيثم ابو علي): ניסיון (מעניין, לא מוצלח) להוכיח את הפוסטולט ה-5 של אוקלידס (אקסיומת המקבילים) לרבע את האלכסונים, מתוך "מברק מתמטי"

אחרים

• אבן טורק: משוואות ריבועיות
• אל קוחי: מרכז כובד
• אבל(?) אל-וואפא: טריגונומטריה
• אל קראג'י: אינדוקציה?
• אל בגדאדי: אי-רציונליים
• סמואל אלמוגרבי (שמואל בן-יהודה אבן-אבון): פולינוםים, משפט הבינום
• שרף אל-טוסי
• אבן-מונים: קומבינציות ופרמוטציות
• נסיר א-דין א-טוסי: "דיון המסיר כל ספק באשר למקבילים"; פרץ את הדרך ל-Saccheri ויוהאן היינריך למברט, שהביאו לפיתוח גאומטריה לא-אוקלידית ע"י ניקולאי לובצ'בסקי ויאנוש בויאי.
• אל פאריסי: מספרים ידידותיים, קומבינטוריקה
• אבן אל-באנה: השפעה על מתמטיקאים יהודים; אלגברה במגרב
• אל קאשי
• משתמשת:InbalabnI/מוחמד אל-בטאני אל-בטאני: כוכבים, טריגונומטריה

ימי הביניים

• מעבר הדרגתי של הסמכות המדעית מרומי, דרך המזרח הערבי, אל המנזרים והכנסיה; ליהודים תפקיד חשוב כמתווכים תרבותיים
• התחלת תרגומים של אוקלידס ללטינית; 1270: תרגום ארכימדס; (1348: המגפה השחורה; 1440: מהפכת הדפוס); חלק מיוונית, וחלק דרך הערבית (כי המקור היווני אבד)
• מתמטיקה במקומות אחרים: סין; יפן; הודו; קוריאה; דרום אמריקה

Liber abbaci

• לאונרדו מפיזה פיבונאצ'י: בצד המעשי של ארימתטיקה; "ספר החשבונייה" (Liber abbaci): תחילת מסורת ארוכה של חישובים פרקטיים; מקורות ערביים והודיים; בהיותו באלג'יר של היום, למד על הספרות ההודיות: 0,1,2..9 ; אין חידושים, אבל יש הצגה שיטתית ראשונה של האלגברה הערבית, ושיטת המספור, לכל אירופה. הוא טבע את השם (האיטלקי) zero, בלטינית: zephirum, מערבית: cipher.. סדרת פיבונאצ'י קיימת בטבע!

אברהם בר חייא

• "ראשון המתמטיקאים העבריים"
• בין ספריו: "יסוד התבונה ומגדל האמונה" - מעין אנציקלופדיה מדעית בעברית; "ספר העיבור"; "מגילת המגלה"
• "ספר המשיחה והתשבורת", 1116: חשבון פרקטי; שטחים, שברים, משוואה ריבועית;
• גודלו של $\ \pi$ במקורות היהודיים: ”וַיַּעַשׂ אֶת-הַיָּם, מוּצָק: עֶשֶׂר בָּאַמָּה מִשְּׂפָתוֹ עַד-שְׂפָתוֹ עָגֹל סָבִיב, וְחָמֵשׁ בָּאַמָּה קוֹמָתוֹ, וקוה (וְקָו) שְׁלֹשִׁים בָּאַמָּה, יָסֹב אֹתוֹ סָבִיב” (מלכים א ז' כג); s:בבלי עירובין יד עא: ”סיפא איצטריכא ליה: כל שיש בהיקפו שלשה טפחים - יש בו רחב טפח”; פירוש המשנה לרמב"ם: היחס הוא באמת בקירוב 3 ושביעית, ולא ניתן לחשבו בדיוק, ולכן לכל צורך מעשי מספיק לקחת 3.

אברהם אבן עזרא

• "ספר העולם": קומבינטוריקה של כוכבי לכת (לצורך אסטרולוגיה)

רלב"ג

• "מעשה חושב (ספר)", 1321 (עפ"י s:שמות כו א, וגם מציין את שני ענייני הספר - הפרקטיקה והתאוריה); השתמש בדרך דומה לאינדוקציה מתמטית, אם כי לא באופן עקבי (זו הייתה בשימוש נרחב רק החל מהמאה ה-17; ביסוס לוגי החל מסוף המאה ה-19: ג'וזפה פֶאַנו(ליצור) ודדקינד). למשל: משפטים אחדים, שהיום ידוע שניתן להוכיחם בקלות באינדוקציה - דווקא אותם הוכיח בדרך אחרת.
  • כתוב בעברית של ימי הביניים - שלא התאימה לתוכן המתמטי, והרלב"ג התאים אותה במידה רבה; משתמש באותיות עבריות במקום בלטיניות.
  • הסביר, שהבנה תאורטית היא חשובה גם כבסיס להבנת הנושא, וגם - כדי לדעת לסווג את הבעיות השונות לסוגיהן.
• משפט ה': כמו יסודות II.6 (או II.5?), רק שכאן הוא מנסח באופן אריתמטי בלבד ולא גאומטרי ("מספר" ולא אורך), למרות שהמספרים הם עדיין בשמות של קווים ישרים; אבל ההוכחה היא גאומטרית כמו אצל אוקלידס.
• משפט ט': כלל אסוציאטיבי (לא מופיע ב"יסודות"); משפט י': מעין אינדוקציה על משפט ט'.
• משפט כ"ו: מוכיח במעין אינדוקציה את הנוסחה לסכום של 1 עד n מספרים, כאשר n זוגי. משפט כ"ז: אותו דבר כאשר n אי-זוגי, בהוכחה שונה. נאלץ להפריד לשני מקרים (שתוצאתם זהה), בגלל שלא היו לו כלים אלגבריים (חלוקה ב-2), כמו ליוונים.
• משפט מ"א: "המרובע ההווה מנקבץ הנמשכים, מן האחד עד מספר מונח - שווה למעוקב המספר המונח, ולמרובע נקבץ הנמשכים מן האחד עד המספר הנמשך לפני המספר המונח:

$(1+2+3+\ldots +n)^{2}=n^{3}+(1+2+3+\ldots +(n-1))^{2}$. מכאן נובע ברקורסיה משפט מ"ב: $(1+2+3+\ldots +n)^{2}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots +n^{3}$

• הושפע מפרוש שבתי דונולו לספר יצירה(קישור לנעמה), שם יש עיסוק בקומבינציות של אותיות, מתוך מניע של מציאת שמות קודש.
• לא ידוע על השפעה שלו על אחרים: קומבינטוריקה מופיעה רק כ-200 שנה אח"כ; אינדוקציה: רק אצל בלז פסקל במאה ה-17.

אורם ה-אורס!

Nicole Oresme, כנראה הראשון שהמציא "צירים", והציג גדלים על "גרף" כלשהו (לפי Struik). הגדיר את הגודל של תנועה או זמן כ"אורך" (longitudo), שיוצג ע"י קו לאורך התנועה; ואת המהירות או ה"עצימות" (אנ' intensity) כ"רוחב" (latitudo). כך, הדרך שעובר גוף הומחש ע"י השטח של המלבן (או, במקרה של שינוי קבוע במהירות - מקבילית) שנוצר ע"י הזמן והמהירות.

תרם לחישוב טורים אינסופיים: חישב את סכום הטור ${\frac {1}{2^{1}}}+{\frac {2}{2^{2}}}+{\frac {3}{2^{3}}}+...+{\frac {n}{2^{n}}}+...=2$, והראה שהטור ההרמוני לא מתכנס לסכום סופי (כ-300 שנה לפני יאקוב ברנולי, שהיה מחלוצי הטורים). חישב גם טורים של חזקות עם מעריכים רציונליים (?).

הרנסאנס

• ניקולה שוקה Nicolas Chuquet, כתב ספר לא ממש ידוע אז, אך הראשון שהשתמש בסימנים מוסכמים ל: שורש, חיבור, חזקה, נעלם;
• אדם ריס (ריזה?) Adam Ries: פיתח שיטות לבדיקת מכפלות, כמו שיטת ה-9.

ג'ירולמו קרדאנו

• מהמר כפייתי, הראשון שכתב ספר על תורת ההסתברות; הסתבך בקטטה. היה עני עד שהחליף את אביו בלימוד מתמטיקה במילנו. למד רפואה (בגלל אביו?), ביקורתי מאד, לא התקבל מספר פעמים לאיגוד הרופאים של מילנו, למרות שהתפרסם כרופא מצוין. הלחץ הכריע, וגם מונה לפרופ' לרפואה. לא רצה לצאת מאיטליה, ויצא רק לרפא את הארכיבישוף של סקוטלנד, מאסתמה (1552). ניבא את מותו - והתאבד ב-1576.
• "האומנות הגדולה (Artis Magnæ או Ars Magna):
  • עסק בפתרון כללי למשוואות פולינומיאליות מדרגות: 2,3,4,5; קורי: היה "צומת" באשר ניקז ידע והשפעה של היוונים (בעיקר אוקלידס), ופרץ את הדרך לרעיונות חדשים, שהתפתחו ממנו בכיוונים רבים: מספר פתרונות שונים; שורשים חיוביים ושליליים; שורש של מספר שלילי (קרדאנו עסק בזה וניסה להגדיר מהם, אך עזב); מרוכבים צמודים; פירוק פולינום לגורמים (דקארט); משפט הבינום; אינדוקציה (מאורוליקוס, 1575).
  • קורי: תרם יותר לטכניקה מתמטית, מאשר למתמטיקה "עיונית" - שם הערבים תרמו יותר. בעיקר, פיתח "מתכונים" לפתרונות (למשל: פתרון כללי למשוואה ממעלה שלישית x³+6x=20 הוא: $x={\sqrt[{3}]{{\sqrt {108}}+10}}-{\sqrt[{3}]{{\sqrt {108}}-10}}$ ); הוא ידע שהפתרון הוא $x=20$, אבל לא אומר זאת - הוא מעוניין רק בטכניקה.
  • בינומיום, אפוטומה - שמות שלקח קרדאנו מאוקלידס; קורי: מה שמדגים את שייכותו למסורת הגאומטרית - לא הגיע עדיין להתפתחות האלגברית, למרות שהיה חוליה חשובה בדרך לשם.
  • ניקולו פונטאנה Tartaglia (צרפתית: "המגמגם") - גדל בעיר ברשה במשפחה עניה, כך שגנב את הספר של מורהו; אביו נהרג בפלישת הצרפתים (1512), שהיכוהו על פניו בחרב; אימו הצילה אותו אך נותר מגמגם. למד לבד וכתב על מצבות-קבר, מחוסר נייר. גנב תרגום של וילם מארכימדס; שמע ששיפיונה דל פרו (פרופ' בבולוניה) גילה פתרון למשואות ממעלה 3, אז טרטליה גילה גם הוא והתפאר, וניצח את אנטוניו פיורה (איט'), תלמידו של דל-פרו, בדו-קרב מתמטי. גילה לקרדאנו (תמורת הבטחה לא לפרסם) את פתרון: ax³+bx=c בדרך של פואמה באיטלקית. אחרי שקרדאנו גילה ש"המגמגם" גנב (או למד) את פתרונו משיפיונה - הוא פרסם בשם עצמו.
  • טען שאין טעם בלימוד יותר מ-3 מימדים, למרות שניתן להרחיב. כך גם ג'ון ואליס.

"תחיית" המסורת היוונית

רפאל בומבלי Rafael Bombelli

• פיתח סימנים חדשים, ופיתח חשבון של מספר מרוכב, למרות שהצהיר ש"כל זה סופסיטי" (= סתם פלסף)
• חזר על כל הידע של קרדאנו - מבלי להרחיק מבחינה עיונית.
• "תחיית" המסורת היוונית: בעקבות גילוי פאפוס (ע"י התרגום הראשון של מקור יווני ישירות ללטינית, והראשון ע"י מתמטיקאי - קומנדינו), חשבו שליוונים הייתה שיטה מתוחכמת, נשכחת (ולכן התפתחות המתמטיקה בתקופה זו נבעה מנסיון "לגלות מחדש"), אותה לא גילו מחשש להורדת ערכה (וזה מגונה) - לכן רק הציגו משפטים "עקרים" עם הוכחה דדוקטיבית, אבל ללא הסבר איך הגיעו להן.

פרנסואה וייט

גדול המתמטיקאים הצרפתים במאה ה-17, כמו פרמה, היה עורך דין (לא היו מתמטיקאים מקצועיים אז). עסק בפיענוח קודים בעבור פטרונו, הנרי III (וגם הואשם בפני האפיפיור בכישוף ע"י מלך ספרד, האויב). תרומתו העיקרית היא לאלגברה.

• בספר In Artem Analyticien Isagoge, קבע שיש 3 שלבים באנליזה מתמטית: zetetic- תהליך המוביל מבעיה (מילולית) למשוואה; poristic (שפיתח קרדאנו) - תהליך שבודק נכונות משפט, בסימנים; exegetic או rhetic (ביטויים של ויאט)- דרך פרקטית לפתרון משוואות
• חשב שדרכו תוביל לפתרון שיטתי, כללי (לא רק אוסף פתרונות מסוימים) של כל בעיה: nullum non problema solvere.
• הראשון שסימן משתנים וגם קבועים באותיות (עיצורים ותנועה)
• הקפיד על הומוגניות: משווים רק גדלים מאותו סוג (שטח, נפח)
• לראשונה: מניפולציה אלגברית על משוואה בצורה הכללית; פיתח נוסחאות כלליות של $(a+b)^{n}$, אבל לא ב-n כלשהו, כי החזקה עדיין צוינה במילים.
• מגבלה: אין שליליים

סיימון סטבין Simon Stevin

מהנדס, שהתמקד באריתמטיקה, חישוב; 1585 כתב "אריתמטיקה" - ספר פרקטי מאד, אבל גם חידש מושגים. ביטל (בסוף תהליך הדרגתי של דורות) את ההבחנה בין מספר (שלם) לגודל; גם 1 הוא מספר! וגם - חלקים, גם שורש, ואפילו: זוג אינקומנסורבילי. פיתח שיטה פוזיציונלית לייצוג שברים עשרוניים: $\ \pi =3(0)1(1)4(2)1(3)5(4)9(5)2(6)6(7)$ , והראה שקל יותר לחבר כך. הביא לביטול החלוקה ל-360 מעלות (בשימוש האסטרונומים), ומשם (?) גם מטבעות חולקו לעשרות (השיטה האינצ'ית - רק ב-1980).

ג'ון נפייר

אלגוריתמים; "ממציא הלוגריתמים", והנקודה העשרונית (ביטל הסוגריים). כתב "הלוגריתם המופלא", Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, 1614 . כבר שוקה חשב על כך; הנרי בריגס בחר את הבסיס 10 (Katz).

• מספר אי-רציונלי: פסקל, בארו, ניוטון - זהו גודל גאומטרי, לא מספר; שוקה, סטבין, ואליס - מספר, ואפשר לחשב קירובים.
• שלילי: לא מספר, לא פתרון לגיטימי למשוואה; רק סטבין וג'רארד - מספר לכל דבר, בגלל הפרקטיות.
• מספר מרוכב: קרדאנו הכיר בלית ברירה; דקארט דחה; ג'רארד ו-ואליס - מספר לכל דבר, וניסו לתת לכך פירוש מציאותי.

גאומטריה אנליטית

פייר דה פרמה, רנה דקארט: חידושים, שהם למעשה חזרות משוכללות על רעיונות שאולי היו כבר ליוונים (בדרך ספירלה).

פייר דה פרמה

משפטן ולא מתמטיקאי מקצועי (כמו ויאט). משכיל, בקי בתרבות הקלסית, ובפילוסופיה אקספרימנטלית. הומניזם - מתעניין במסורת הקלסית; רכש כבוד לקדמונים (היוונים), וראה עצמו כממשיך מסורתם ו"מחייה" אותה, ולא מהפכן - אם כי חידש דברים משמעותיים; למשל: Adaequare, "שווה בקירוב", רעיון מדיופנטוס שהוא שכלל, והביא לבסוף לקלקולוס.

לא פרסם, אבל התכתב עם מדענים, כתביו התפרסמו רק ע"י בנו. ספרו: "מבוא למקומות גאומטריים - מישוריים וגופיים" (כ-1637): Ad Locos Planos et Solidos Isagoge - אלה אותם סוגים של בעיות של פאפוס.

• מעבר ממשוואה לפרופורציה - הקשר בין אנליטית לגאומטריה היוונית הקלסית; בהתאם לכך - פרמה יצא מטיעונים גאומטריים לגמרי, והגיע למשוואות אנליטיות.
• משתמש בציר אחד בלבד - הנקודה "נעה" במישור בהתאם לפרופורציה, ולכן "אין צורך" בציר y;
• הזוית עם הישר ש"עולה" לנקודה היא רק בד"כ ישרה - לא בהכרח (באנליטית - רק ישרה).
• הפתרונות רק חיוביים, לכן הציר היחיד של ה"נעלמים" הוא קרן בכיוון החיובי של "ציר x" - וכך גם הקו שמייצג את b*y.

דקארט

בן למשפחה אריסטוקרטית, קיבל חינוך ישועי; בגלל מחלת ילדות, הורשה להשאר במיטה עד מאוחר, וכך הגה שעות רבות והגיע להבנה שבית הספר לא לימד אותו שום דבר ודאי או בעל ערך. כך גדל להיות ספקן, וסיפק את סקרנותו ע"י שיטוט בעיר ובמפגש עם מגוון של אנשים. לחם במלחמת שלושים השנה; עבר להולנד; ב-1629 כתב כללים להכוונת השכל; ייסד פילוסופיה קרטזית, שהתיימרה להחליף את זו של אריסטו: אני חושב, משמע אני קיים; בעיית גוף-נפש - התפשטות החומר; המציא פיסיקה קרטזית ("תורת המערבולות"), ששלטה כ-100 שנה והתחרתה בזו של ניוטון, עד שהובסה. הוזמן ללמד פרטנית את כריסטינה, מלכת שבדיה, סופרת ומלכה נאורה. הוא העריץ מלכים ונענה לה, אך היא דרשה ממנו לקום לשיעורים ב-5 בבוקר. "אפילו המחשבה קפאה לי" כתב. הוא לקה בדלקת ריאות שממנה מת.

• הראשון שהגדיר היטב את הנקודה במישור, פשוט כצמד סדור של מספרים: (x,y) (לאחר שאוקלידס הגדיר: "ישות שאין לה חלקים או גודל").
• חוג המתמטיקאים של פאריס קיבל את ספרו של פרמה דרך הנזיר והכומר המרן מרסן, ממש לפני שדקארט פרסם רעיונות דומים (לפי Katz, בעיקר שימוש בקואורדינטות לחקירת הקשר בין האלגברה לגאומטריה - שניהם השתמשו בציר עיקרי אחד, ובציר שרירותי נוסף למשתנה השני, שלא בהכרח היה מאונך לראשון). ובכל זאת היו הבדלים (Katz):
  • פרמה הראה את הקשר בין האלגברה המתפתחת לבין הגאומטריה העתיקה, דרך המושג של מקומות גאומטריים; דקארט השתמש בגאומטריה כדי להדגים פתרונות למשוואות אלגבריות.
  • פרמה התחיל במשוואות (בשני נעלמים), ואז חקר את העקומים שהן מגדירות; בשביל דקארט, הגאומטריה הייתה הנושא, והעקומים נקודת מוצא, שמהם פיתח את המשוואות המתאימות, ששימשו אותו ככלי בלבד ולא כאמצעי להגדרת העקום. עפ"י Katz, זו הסיבה שדקארט הוכרח לפתח משוואות מסובכות יותר (פרמה יכול היה לבחור את המשוואה שממנה התחיל) - וכך פיתח חשבון מורכב ומשוכלל יותר.
  • פרמה מעולם לא פרסם; דקארט כתב בצרפתית במקום לטינית, באופן מסובך ומלא חורים, כך שמעטים יכלו להבין.
• דקארט רצה לפרסם את "העולם", אבל ויתר כששמע שגלילאו גליליי הורשע ע"י האינקויזיציה.
• אימץ מויאט טכניקות אלגבריות, וגם את הרעיון לציין נעלמים וקבועים באותיות; אבל הנהיג את ציון הנעלמים באותיות האחרונות באלפבית, ואת הקבועים - בראשונות.

מאמר על המתודה

Discours de la Méthode, 1637; כולל נספחים: אופטיקה, מטאורולוגיה, גאומטריה

הגאומטריה

(La Géométrie)‏, נספח לקודם, שכלל 3 ספרים:

1. מעגלים וישרים בלבד; "כנראה" יש פרשנות גאומטרית לפעולות האריתמטיות; פתרון "קווי" לבעיה של פאפוס, עם הנחת היסוד לגאומטריה אנליטית
2. עקומים; מיון של עקומים
3. תורת המשוואות הפולינוםיות

ספר I

המפתח למעבר מהגאומטריה הישנה לחדשה - קביעת קטע באורך אחדה; כך הגדיר כפל, חילוק וממוצע גאומטרי של אורכי קטעים. בניגוד ליוונים, ואפילו לפרמה בן-זמנו - מכפלה של שני ישרים לא הניבה שטח (מלבן או רבוע), אלא, ע"י פרופורציות גאומטריות (או דמיון משולשים) - המכפלה (וגם חילוק, שורש) הניבה אורך! עפ"י הית', זהו הדהוד של משפט I.44 של אוקלידס; קורי: לא נכון, כי קטע באורך אחדה לא קיים שם!

דקארט לא פותר בעיה מסוימת, אלא מלמד דרך שיטתית לפתרון כל בעיה מסוג כזה. אבל בדיאלקטיקה מעניינת, הוא גם אומר ששיטותיו אינן יותר מאשר שימוש בידע היווני הקיים ("החזרת עטרה ליושנה"), אבל גם אומר שהם לא הבחינו באפשרות לפתור בשיטה שהיא גם כללית וגם פשוטה יותר - אחרת לא היו מקדישים ספרים רבים לכל הסוגים האפשריים של הפתרונות.

• בכל זאת - לא טיפל במקרים שהשורשים הם שליליים, כי בשיטה הגאומטרית מוצאים רק אורכים של קטעים, ואלה תמיד חיוביים.
  • גם יאן דה-ויט (Jan de Witt); למרות ששיכלל את המשוואות.
• עדיין, אין מושג הקואורדינטות (שדקארט יציג מאוחר יותר; המושג עצמו הופיע לראשונה אצל לייבניץ).

הדגמות של משפט II.5 ביסודות:

• קלאביוס: בתרגום של הספר, מדגים את המשפט ע"י דוגמה מספרית (ולכן אלגברית), וכביכול מציג את אוקלידס כמי שידע את המשמעות האלגברית של המשפט! ולא היא.
• אייזיק בארו: התייחס ליוונים כסמכות; תיאר המשפט גאומטרית, אבל הוכיח אלגברית (למרות שהתנגד לאיחוד של הגאומטריה והאלגברה - וגם ניוטון תלמידו התנגד ל"גאומטריה האלגברית").
• ג'ון ואליס: להפך, ה"יסודות" הוא באמת אריתמטיקה, אבל - לא מוצלחת!

המאה של המהפכה

המאה ה-17 היא תקופה של הרבה רעיונות סותרים; רק במאה ה-18 התגבשו הרעיונות לכלל מצב מאוזן עם פחות קונפליקטים וויכוחים.

ג'ון ואליס (Wallis): למד באוניברסיטת קיימברידג', שם לא היה פרופסור למתמטיקה אחד, שידריך אותו במקצוע - ולכן למד תאולוגיה והוסמך לכמורה! התמחה בהצפנה, בכך עזר לתומכי הפרלמנט במלחמת האזרחים האנגלית (כנגד המלוכנים! אבל שמר איתם על יחסים טובים), ובתמורה לכך קיבל משרה (יוקרתית) באוניברסיטת אוקספורד - שבה החזיק 50 שנה. למד את: יוהאנס קפלר, אוונג'ליסטה טוריצ'לי, בונאוונטורה קאוואליירי, דקארט ו-ז'יל פרסון דה רוברוואל. עסק במקוריות במושג האינסוף, והנהיג את: $\infty ,\geq$). בגלל נדודי שינה, פיתח טכניקות חישוב בע"פ שאפשרו לו לחשב שורש של מספר בן 53 ספרות, ולזכור התוצאה בבוקר.

• סקוט, ביוגרף שלו, טוען שאליו התכוון ניוטון ב"על כתפי ענקים". סייע לייסד את החברה המלכותית וחבר קבוע; חריף, פולמוסן וקשה, חסם את תומאס הובס מחברות בה (חיכה שייכשל - ואכן, פרסם "פתרון" לריבוע המעגל). התעמת עם דה-פרמה. כנראה ניסה לנכס את הישגי המאה ה-17 לאנגלים (טען שדקארט גנב מהאריוט)
• כחלק מתהליך ארוך - הכיר בפרופורציה כשוויון של 2 מספרים ממש - אך לא הדגיש זאת כחידוש; לא היה עקבי בשימוש במספרים מסוגים שונים. זהו תהליך חשוב מאד, כי הוא מפתח להגדרת מושג המספר.
• נתן הצדקה מעניינת לקיום מספרים דמיוניים - התחיל "בדרך השלילה": אין שורש לשלילי, כי שום מספר שלילי אינו מכפלה של מספר בעצמו; אבל לפי אותו הגיון - אין גם מספר שלילי! כי שום גודל מציאותי לא נמדד ע"י שלילי. במהלך "הפוך-על-הפוך" זה, הציג למעשה טיעון בעד הדמיוניים, כי יש בהם הגיון מתמטי, כמו שיש הגיון למספר שלילי - כמייצג תנועה הפוכה.
• חישב יחסים בין טורים אינסופיים, וגילה שהיחס ${\frac {\sum _{i=0}^{n}{i^{k}}}{n\cdot n^{k}}}$ מתכנס ל-${\frac {1}{1+k}}$ לכל k שלם, גם שלילי (השתמש במילה הזאת), רציונלי ואי-רציונלי.

קלקולוס

פייר דה פרמה

נתן הסבר למציאת פתרון לבעיית מקסימום, עם הגדרת גודל אינפיניטסימלי שמתאפס, ו"שוויון בקירוב"; לא נתן הסבר מדוע זה עובד, אך קפלר הסביר אינטואיטיבית: בקרבת נקודת קיצון, ההפרש בין ערכי ה-$f(e)$ "מתאפס מהר יותר מאשר e". אצל פרמה: e לא בהכרח קטן (הוא אפילו חילק ב-$e^{n}$ לפי הצורך). כלומר - מצא דרך דומה מאד למושג הנגזרת (שיטה דיפרנציאלית - הפרשים קטנים, לבעיה שהפתרון ה"טבעי" לה הוא אינטגרלי - סכומים קטנים!), מבלי שהכיר אותה, ובלי שידע להסביר; אכן, היו רבים שחשבו שמה שעשה לא לגמרי לגיטימי, מתמטית.

פרמה נמשך לאידאליזם היווני, ולא רצה לחרוג; אבל גם רצה להיפטר מהסרבול של ההוכחות הגאומטריות והפרופורציוניות. על כן הציג תפיסות חדשות (למשל: ה-Adaequare), שהראה שהן כאילו קיימות כבר אצל היוונים. הוא מחשב עם השיטות שלהם, עם מעבר לאינסוף - וגם אז מסתמך על הוכחה של אוקלידס! - משפט IX.35 : אם יש סדרה יורדת (היום יודעים - הנדסית): ${\frac {a_{2}}{a_{1}}}={\frac {a_{3}}{a_{2}}}=...={\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ אזי: ${\frac {a_{2}-a_{1}}{a_{1}}}={\frac {a_{n+1}-a_{1}}{a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}}}$. וזה נכון לפי ה-Adaequare של ארכימדס (זה לא שלו...), אם כי לאשש אותה עפ"י ארכימדס דרוש הסבר ארוך מאד. בתחילה - מזל שקווליירי "הלך עד הסוף" בלי להתחשב בבעיית האינסוף; כאן - פרמה פותר אותה, באופן מקורי אבל תוך הסתמכות מסוימת על אוקלידס ועל ארכימדס. זה נכון לכל סוגי ההיפרבולות מדרגה $n>1$; למקרה של 1 (שהאינטגרל הוא $ln()$) - גרגורי מסן-וינסנט הראה את הדרך לחשב, ובעקבותיו de Sarasa (ספרד) הראה חישוב לוגריתמים.

לדעת Boyer:

• פיספס את התואר "ממציא הקלקולוס", כי לא הבין שהמציא תחום חדש?
• עסק באינפיטסימליים, שמהם דקארט התרחק כי העדיף פיתוח אלגברי של רעיונות גאומטריים טהורים; מכאן, לא ראה את המשותף לו ולדקארט, ועל כן שקע בסכסוך איתו על בכורה.

התכתב עם אולדנברג, מזכיר החברה המלכותית, ששימש צומת מידע כמו מרסן בצרפת, לפניו.

ז'יל פרסון דה רוברוואל

חישב משיקים לפרבולה, אליפסה, ציקלואידה - אינטואיטיבית כך ש"כיוון המשיק הוא בכיוון תנועת העקום" (אקסיומה שקבע); התוצאה הייתה: משיק בכיוון "חיבור וקטורי" (כמובן כאינטואיציה, כי לא היו עדיין וקטורים) בין (למשל): קטע המחבר נקודה על הפרבולה למוקדהּ, לבין קטע המרחק לקו המדריך.

יוהאנס קפלר

משתמש:Avneref/מדע/קפלר

• חישוב שטחים ונפחים: קפלר נישא (בפעם השנייה) לבת עשירים שעסקו בייצור יין; עסק בחישוב נפחים של חביות יין, על פי מדידת עומק היין, וכתב ספר. חישב נפח ושטח פנים של 92 גופי סיבוב של חתכי חרוט, סביב צירים שונים: ספרואיד, קונואיד, פרבולואיד, תפוח, אגס, לימון...

בונאוונטורה קאוואליירי

פיתח שיטה של "בלתי-מחולקים" (Indivisible): קוים דקים שכבר "לא ניתן לדקק יותר", לחישוב שטחים; כך הראה שהשטח מתחת לאלכסון, לפרבולה, ולכל עקום מסדר $9\geq n\geq 1$, שווה ל-$1 \over n+1$ של המלבן המכיל. זה אכן מתאים לחישוב האינטגרל של ימינו:

$\ \int _{0}^{a}x^{n}dx=\left[{\frac {x^{n+1}}{n+1}}\right]_{0}^{a}={\frac {a^{n+1}}{n+1}}$; הוא הוכיח עד n=4, והסביר עד n=9 - אבל לא קבע את הנוסחה (המתבקשת) ל-n כללי! כנראה כי לדעתו, נכון רק מה שמוכח גאומטרית - לא התעניין באלגברה.

חישוב הסכום של a²

קווליירי חילק מקבילית ל-2 משולשים ע"י האלכסון, וצייר קוים אופקיים שמכסים כל השטח; לכל קו במשולש יש קו אנלוגי במשולש השני, ולכן סכום כל הקוים במשולש, שווה לחצי מסכומם במקבילית; לכן ל- n=1, שטח המשולש הוא 1/2 - טריויאלי.
ל- n=2, "סכום" ריבועי הקוים במקבילית שווה לפיתוח בינום:   $\sum {(x+y)^{2}}=\sum {x^{2}}+\sum {y^{2}}+2\sum {xy}$,    שם    $x=RT,y=TV$ הם החלקים של הקו האופקי בין R ל-V; אבל כשחוצים את המקבילית באמצע ע"י קו S שמקביל לצלעותיה, כך ש(בחלק העליון):   $x\cdot y=RT\cdot TV=(RS+ST)\cdot (SV-ST)=RS^{2}-ST^{2}=({\frac {a}{2}})^{2}-ST^{2}$ ומכאן:   $x\cdot y={\frac {1}{4}}\sum {a^{2}}-2\sum {y^{2}}$ (כי יש שני משולשים קטנים שבהם מופיע ST); על פי משפט ידוע ??, היחס בין ריבועי ST במשולש הקטן לבין ריבועי RT בכפול ממנו, הוא כיחס קוביות (³) יחסי המשולשים (2) - כלומר 8:1, ולכן: $2\sum {y^{2}}={\frac {1}{4}}\sum {x^{2}}$,    וכן:    $\sum {x^{2}}=\sum {y^{2}}$,    ומתקבל: $\sum {a^{2}}=\sum {(x+y)^{2}}=2\sum {x^{2}}+2({\frac {1}{4}}\sum {a^{2}}-{\frac {1}{4}}\sum {x^{2}})$    ולבסוף מתקבל:    $\sum {a^{2}}=3\sum {x^{2}}$. החישוב המפורט בהרצאה של קורי (10.4)

לכן, אפשר היה לפרש את עבודתו לאור האינפי הידוע היום. אמנם, עדיין לא המציא שיטה; אבל (קורי): זה דומה לקלקולוס, בכך שיש ניסיון לשיטה כללית לפתור בעיות - וזו רוח המתמטיקה במאה ה-17, בעיקר אצל דקארט: השיטה כביטוי לרציונליזם במדע. בשונה מהמתמטיקה הישנה (אוקלידס, שידע את היחס למשולש: 1:2; ארכימדס שגילה את היחס גליל:חרוט: 1:3, שהיה חרוט על קברו עפ"י המיתוס; אבל מאז לא הייתה תוצאה דומה נוספת).

השאלה: איך זה לגיטימי? (דוגמה פשוטה, במכתב לטוריצ'לי, שהשיטה מובילה לאבסורד: "הוכחה" ששטחים של שני משולשים שוני-צלעות ומשותפי-גובה, שווים). בדיאלקטיקה של קווליירי נגד הביקורת - שני המחנות תרמו לפיתוח התורה המשוכללת יותר. קווליירי לא נרתע, התמודד (באופן לא מוצלח): הציע שבצלע של המשולש הגדול יש "יותר נקודות".

אוונג'ליסטה טוריצ'לי

הוא וקווליירי היו תלמידיו של גלילאו גליליי.

• בעקבות רוברוול, חישב נפח ע"י גופים דקים "בלתי-נחלקים". חישב נפח של גופי סיבוב של חתכי חרוט#היפרבולואיד, בתוך ההיפרבולה: $xy=k^{2}$ בין 0 לנקודה a, בכך ש"מילא" את הגוף בגלילים דקים; שטח הפנים של כולם זהה: $\pi ({\sqrt {2}}k)^{2}$ (כי x מצטמצם במשוואת ההיפרבולה), ולכן "סכום השטחים" (= הנפח) שווה לנפח גליל ברדיוס: ${\sqrt {2}}\cdot k$ ובגובה a. ליתר ביטחון, הוכיח זאת גם בשיטת המיצוי.
• שטח ציקלואידה: מרסן (שהיה צומת המידע של החבורה) הכריז: זה מקרה מבחן לשיטות החדשות; רוברוול פתר ע"י בלתי-נחלקים ועוד עקום נלווה; שמר בסוד ופתרונו היה דומה לזה של טוריצ'לי, מה שהביא לריב על הבכורה.

ג'ון ואליס

היה מאלה שטענו שהאריתמטיקה נפרדת מהגאומטריה. בספר: אריתמטיקה של האינסופיים (Arithmetica Infinitorum, 1656), עשה אריתמטיזציה של שיטת קווליירי (בדומה לסטבין ולרוברוול, מבלי לדעת שאחרים העלו את הרעיון באותה עת):

במסגרת עיסוק בטורים (לעיל), גילה שהיחס בין סכום (החזקות הראשונות של) האורכים במשולש, לבין סכום האורכים בריבוע: ${\frac {0+1+2+3}{3+3+3+3}}={\frac {1}{2}},{\frac {0+1+2}{2+2+2}}={\frac {1}{2}};{\frac {0+1}{1+1}}={\frac {1}{2}}$, ובאינדוקציה (modus inductionis): $\!\!\!\!\!{\frac {\sum _{i=0}^{l}i}{(l+1)\cdot l}}={\frac {1}{2}}$

הקשר לקווליירי: הסכום הראשון מתאים לשטח המשולש, והשני מתאים לשטח מלבן או מקבילית שהמשולש חצי ממנה - על כן היחס 1/2.

והיחס בין סכום הריבועים של האורכים במשולש, לבין סכום ריבועי האורכים בריבוע: ${\frac {0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}}{3^{2}+3^{2}+3^{2}+3^{2}}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{18}},{\frac {0^{2}+1^{2}+2^{2}}{2^{2}+2^{2}+2^{2}}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{12}},{\frac {0^{2}+1^{2}}{1^{2}+1^{2}}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}$, ובאינדוקציה: ${\frac {\sum _{i=0}^{l}{i^{2}}}{(l+1)\cdot l^{2}}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6\cdot l}}\rightarrow {\frac {1}{3}}$; הסכום הראשון מתאים לשטח מתחת לפרבולה מסדר 2, שהוא 1/3 משטח מלבן חוסם.

והוא הכליל לחזקות: 3,4,5,6 . לפי Boyer: כך גילה כנראה שטחים ונפחים כגבולות של סדרות אינסופיות, בדומה לדרך של פרמה ע"י סדרות של פרופורציות גאומטריות. ייתכן שהם שהניחו, בנפרד, בסיס לאינטגרל המסוים - אבל חוסר הבהירות מנע מהם קרדיט: פרמה לא הסביר את טבעו של e, ואילו ואליס הציג קווים בעלי "עובי" ו-${\frac {1}{\infty }}$ כ-0.

הראה איך מתקבל שטח המשולש, בכך שקבע ש- ${\frac {1}{\infty }}=0$ (כינה זאת non-quanta): במשולש שבסיסו A וגובהו B, יש אינסוף קוים מקבילים לבסיס, ש"עובי" כל אחד הוא ${\frac {B}{\infty }}$, ואורכם הממוצע הוא: הארוך ביותר ועוד הקצר (אפס) מחולק ב-2; השטח שווה ל"סכומם" הכללי: ה"מספר" כפול ה"עובי" שלהם, כפול אורכם הממוצע: $S=\infty \cdot {\frac {B}{\infty }}\cdot {\frac {A}{2}}={\frac {AB}{2}}$. יישם שיקולים אלה לחישוב שטחים ונפחים של צורות רבות: גליל, חרוט, חתכי חרוט.

באשר לממדים - טען שלא ניתן לדמיין יותר מ-3.

אייזק בארו

• בגיל 19 התמנה למורה בטריניטי קולג' באוניברסיטת קיימברידג', ואח"כ מרצה ליוונית (לא היו אז פרופ' למתמטיקה - הוא היה הראשון להיות Lucasian Professor; אחרי 6 שנים (1669) ויתר עליה לטובת תלמידו, ניוטון. בשנים 1979-2009 היה בתפקיד סטיבן הוקינג).
• הוציא גירסה פשוטה של "האלמנטים", שהייתה ספר לימוד כ-50 שנה.
• היה נגד: אלגברה ושיטות אריתמטיות; מספרים אי-רציונליים (למעט כיחסים גאומטריים)
• בעד: שיטות קינמטיות ליצירת עקומות (טוריצ'לי) - יצא ממושג ה"תנועה של נקודה"; בלתי-נחלקים; גאומטריה קלסית.
• ספר: הרצאות בגאומטריה (Lectiones Geometricae, 1670) תוצאות סינטתיות, שהושגו אולי בדרכים אנליטיות.

משפט 11 בספר (הרצאה X): קשר בין שטח תחת עקום, למשיק! כנראה היה הראשון להבין זאת (או ג'יימס גרגורי ?). וגם הוא נצמד לגמרי לטכניקות יווניות! יש עדות שלייבניץ רכש הספר ב-1673.

• השתמש ב"משולש דיפרנציאלי" או משולש בארו לחישוב משיק - כמו נגזרת של היום.

אייזק ניוטון

משתמש:Avneref/מדע/ניוטון

• כל המתמטיקה השתנתה - אבל זה מיוסד על תהליך ארוך.
• נולד בשנת מות גלילאו, לפי הלוח הגרגוריאני (1642). הקמת החברה המלכותית, 1660. ב-1661 החל ללמוד בקיימברידג' (למד את כל קודמיו); בעקבות ניקולאוס מרקטור (Logarithmotechnica) וג'יימס גרגורי, החל לחקור בעיות באנליזה. ב-1666, המגפה השחורה - חזר לחוות וולסתורפ, אז לטענתו פיתח רעיונות: הבינום, קלקולוס, כבידה, הרכב האור; 1669 - פרופ' הקתדרה ע"ש לוקאס; 1671 - עמית בחברה המלכותית, 1689 חבר הפרלמנט כנציג האוניברסיטה; 1703 נשיא החברה. כבוד רב.
• לא אהב לפרסם, חשש מאד מביקורת ונדחף לפרסם - למשל אדמונד היילי שלחץ ותיווך לפרסם את הפרינקיפיה. הרבה לפני הפרסום, הכתבים הופצו באירופה. עסק רבות בתאולוגיה, אלכימיה ומיסטיקה.

נושאים מרכזיים במתמטיקה שלו:

• פיתוח טורים איסופיים
• טיפול אלגוריתמי בבעיות
• יחס הפוך בין שטח למשיק - אינטגרל לדיפרנציאל
• משתנים גאומטריים כממחישים שינוי בזמן
• תורת "היחסים הראשונים והאחרונים"

בפיסיקה, בנוסף למכניקה ששלטה כ-300 שנה, הוסיף נספח של "שאלות" ("Queries") לספרו "אופטיקה", ובהן: ”?Do not Bodies act upon Light at a distance, and by their act ion bend its Rays”, ו-”?Are not gross Bodies and light convertible into one another”.

"משולש פסקל", המשמש להצגת מקדמי הבינום, בספרו של המתמטיקאי הסיני בן המאה ה-13, יאנג חווי

טורים אינסופיים

הרחיב את ההבינום של ניוטון (שהיה ידוע, גם לסינים -?) - למספרים לא שלמים, רציונליים. למשל (פרבולה על הצד): $(1-x^{2})^{1/2}=1-{\frac {1}{2}}\cdot x^{2}-{\frac {1}{8}}\cdot x^{4}-{\frac {1}{16}}\cdot x^{6}-...$ שאותו בדק ע"י הכפלה בעצמו, וגם ע"י טכניקת הוצאת השורש (שפותחה במאה ה-16, ופעם למדנו בבי"ס);

או: ${\frac {1}{1+x}}=(1+x)^{-1}=1-x+x^{2}-x^{3}...$; שגם אותו בדק, ע"י חילוק ארוך של 1 ב- $1+x$

כיוון שידע, שהשטח-תחת-העקומה (היום: האינטגרל) של ${\frac {1}{1+x}}$ הוא $ln(1+x)$ , וכך חישב את הלוג של מספרים, בדיוק רב (50 מקומות), ע"י חישוב פשוט של "אינטגרל" (הטכניקה הייתה ידועה כבר) של איברי הטור - וזה קיים בכתב ידו.

הגדיר fluent=x, גודל כלשהו ש"תלוי בזמן"; ו-fluxion שהוא ${\dot {x}}$; ומומנט של פלואנט: ערך השינוי ${\dot {x}}o$, בפרק זמן "קטן עד אינסוף" o.

ביצע מה שהיום נקרא נגזרת אימפליציטית: בהינתן היחס בין הפלואנטים (בצורת פונקציה סתומה), דרוש למצוא את היחס בין הפלוקציות; בהינתן הקשר: $f(x,y)=0$, מתקבל: ${\frac {dx}{dt}}:{\frac {dy}{dt}}={\frac {df}{dy}}:{\frac {df}{dx}}$. עשה זאת בדומה ל-Adaequare. למרות שזה לא חישוב של נגזרת, ולמעשה אין ממש פונקציה, כהגדרתה מאוחר יותר. אבל, ניסח ביטוי ל"נגזרת", כיחס בין שינוי הפלוקציה לבין שינוי הפלואנט - במצב של "היחס האחרון שלהם (in their ultimate ratio)", וזאת 100 שנה לפני הגדרה פורמלית של הגבול. הוא קודם חילק ב-o, ואח"כ מחק את הכפולות שנשארו של o (כי הוא קטן עד כדי הזנחה).

כך למשל, הנגזרת של $x^{n}$ מתקבלת מפיתוח של הבינום: $(x+o)^{n}=x^{n}+nox^{n-1}+1/2\cdot (n^{2}-n)o^{2}x^{n-2}+...$

ואחרי סידור: ${\frac {(x+o)^{n}-x^{n}}{o}}=nx^{n-1}+1/2\cdot (n^{2}-n)ox^{n-2}+...$; ומכאן היחס, שהוא "הנגזרת": $nx^{n-1}$.

קורי: הרגע הגדול של תולדות המתמטיקה

• "המשולש האופייני" (או "הדיפרנציאלי" אצל Katz) הופיע כבר בעבודה מעניינת של פסקל; אבל ניוטון הוא זה שקישר משיק-לשטח: $y:t={\dot {y}}:{\dot {x}}={\dot {y}}o:{\dot {x}}o$; כבר טוריצ'לי ורוברוול ראו שהמשיק מציין את כיוון ה"תנועה" של העקום, אבל ניוטון הוא זה שראה את הקשר ליחסים בין הפלואנטים והפלוקציות. התת-משיק t, הקטע שבין חיתוך המשיק עם ציר ה-x לבין ה-x של הנקודה המדוברת - הוא המפתח להבנה זו: $t=y\cdot ({\dot {x}}/{\dot {y}})$. מעניין שאצלו, t ייצג את "הזמן" שזורם (בניגוד לנלמד כיום: x ו-y יכולים, במקרה הכללי, להיות שניהם פונקציה של איזה פרמטר t - אבל אין לו משמעות של "זמן"); אם כי לפעמים התייחס אליו פשוט כשווה ל-x, כלומר שלמעשה: ${\dot {x}}=1$.

כך גילה ניוטון את המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, לא מתוך פיתוח בנפרד של הרעיון, והטכניקה, של הגזירה; והרעיון והטכניקה של האינטגרל, ואז - גילוי (אפשר לומר - מקרי) של הקשר ביניהם; אלא - מתוך פיתוח הקשרים בין הפלואנטים לפלוקציות, הקשר הזה מתבקש וטבעי, ממש על פי ההגדרה: מכיוון שהוא מתייחס גם ל-x וגם לשטח תחת העקום - כפלואנטים, אז: השינוי ב-y ביחס לשינוי x הוא המשיק, וגם השינוי בשטח ביחס לשינוי x הוא - y!

קורי: זה אופייני מאד להיסטוריה של המתמטיקה - אחרי תהליך ארוך וקשה של עליה, הרגע הגדול ביותר - מגיע בשקט, כ"אנטי-קליימקס".

ואז הוא גילה שניתן לחשב שטחים (- אינטגרלים) לא רק ע"י טורים אינסופיים, אלא - גם ע"י נוסחאות סופיות; ואז תרם טבלה (כנראה הראשונה אי פעם - אם כי היה לו ויכוח עם לייבניץ - להלן) של אינטגרלים. הטבלה גדולה ומפורטת - אך אין בה פונקציות sin, cos, ln, e.

הפרינקיפיה

1687: עקרונות מתמטיים של פילוסופיית הטבע, גם אותו נדחף לפרסם ע"י חבריו. אחד הספרים החשובים במדע, נפתח בדומה לספרים הקדומים ולא למתמטיקאים הסמוכים לדורו. מדוע? 1. פחד מביקורת על "שפה חדשה" שפיתח - הלך על בטוח; האם הקלקולוס שלו עזר לו לפתח את הפיסיקה (כמו ארכימדס והמתודה)?

הזכיר את מושג ה"גבול", ללא הגדרה ממש, וטען בזכותו בדרך השלילה - שאם אין כזה, אז גם לא תיתכן תנועה (כמו זנון מאליאה!), ולא תיתכן עצירה של תנועה. יש בו עודף מלל, ש(קורי): מעיד על הבנה לא מושלמת. בכל זאת, למרות שהוא כתוב ונטוע בשפה של המאה ה-17, הוא ספר נפלא, שמסביר את הקשר בין המתמטיקאי לפיסיקאי שבניוטון.

יש תהייה מתמטית על חוקי התנועה של ניוטון: נראה שהחוק הראשון נכלל בשני! וכך זה נראה בניסוח המודרני של החוקים: $(2)f=m\cdot a,(1)f=0\Rightarrow a=0$, אם כי בשפתו (הפרופורציונית) של ניוטון, מבחינה היסטורית, זה לא נראה.

על הקשר גאומטריה-אלגברה

בארו העדיף את הגאומטריה; ניוטון התלהב בתחילה מספרו של דקארט, שבו האלגברה דומיננטית, ואח"כ שככה תמיכתו והפכה ליריבות. הפיסיקה של דקארט (האתר (פיזיקה) וכו') שלטה עד תחילת המאה ה-18, והמכניקה של ניוטון הייתה צריכה להתחרות קשות עד שניצחה. הוא מעדיף את הגאומטריה, כי היא מגלה את ההיררכיה האמיתית של הבעיות: למשל, מעגל פשוט יותר לתיאור (באותה רמה של ישר) מפרבולה - למרות שאלגברית, הפרבולה (כלומר משוואתה) פשוטה יותר. ולמרות שחישובים אלגבריים (חילוק, צמצום, וכולל אלה שהוא פיתח - יחסי פלואנטים ופלוקציות) הם פשוטים יותר - אין להם מקום בגאומטריה! דווקא השיקולים הגאומטריים מפשטים (...) את החישובים האלגבריים המסובכים (אינקומנסורביליות וכו'), ואין לערבב בין השניים!

מושג המספר

ספר מ-1707: אריתמטיקה אוניברסלית, שלא התכוון לפרסם כי לא היה מרוצה מנוסחו; אוסף מאמרים פרקטיים, דוגמאות במקום תאוריה, השפעה עצומה באירופה. מספר הוא, לא "אוסף של יחידות (אוקלידס), אלא: מנה, של שני גדלים מאותו סוג, שהשני הוא אחדה. שלמים: האחדה מודדת אותם במדויק; שברים נמדדים במדויק ע"י חלק מהאחדה; ואי-רציונליים (surds) אין להם מידה משותפת איתה. הופיע כבר אצל ואליס, אבל כאן בפעם הראשונה באופן מתומצת ומסודר, ומכאן ואילך - הניסוח של ניוטון הוא הסטנדרט (כל הגדרה של ניוטון מופיעה מילה במילה בהאנציקלופדיה הגדולה של עידן האורות).

גוטפריד וילהלם לייבניץ

משתמש:Avneref/מדע/לייבניץ

• למד פילוסופיה, משפטים ומעט מתמטיקה. 1661, ד"ר למשפטים. 1672 נסע לפריז ולמד אצל כריסטיאן הויגנס. 1673 התקבל לאקדמיה המלכותית בלונדון, התכתב על המזכיר Oldenburg (שפינוזה!) על קלקולוס. 1675, החל לפתח רעיונות על אינפי. 1677, תחילת הריב עם ניוטון, ייסד את Acta Eruditorum - מגזין הלמדנים. פיתח "אלגברה של הלוגיקה" - הכניס אותה למתמטיקה, ושאף להגיע ל"חישוב" של בעיה לוגית, ופתרון הכרחי, במקום דיון מופשט. פעל להקמת מוסדות מדעיים באירופה כולה. התפרנס מכתיבה של תולדות משפחת הדוכס מהנובר.
• עסק רבות בסכום טורים אינסופיים, ע"י הפעלת סכום של סדרות של הפרשים - רוב האיברים מבטלים זה את זה.

הקשר בין דיפרנציאל לאינטגרל

• אינטואיטיבית:
  • פעולת הגזירה היא חיסור (של שני ערכי-פונקציה g סמוכים, וחלוקה ב-dx ששואף ל-0); וכך מתקבל ש-y הוא קצב השינוי (הבדל, difference), בכל נקודה.
  • האינטגרל הוא חיבור (של מלבנים שמתחת ל-y), וכך, מתוך ידיעת y = קצב השינוי של g, מתקבל שחזור של g (אינטגרציה, איסוף, חיבור); באשר בכל נקודה, הוספה של קצב השינוי (= y), לסכום שכבר הצטבר - משחזרת את g. למשל: אם y=0 בנקודה (g קבועה שם), אז מוסיפים 0, ו-g נשארת שם ללא שינוי; אם y=1 (כלומר g עולה ב-45 מעלות), אז g גדלה ב-1 (לכל תזוזה של x ב-1).
• בניגוד לקווליירי, חישב שטח ע"י חיבור לא של קווים (בעייתי), אלא של מלבנים עם בסיס 1, כשה-1 קטן עד אינסוף.
• הוא קיבל את הקשר הטבעי בין דיפרנציאל לאינטגרל, באופן הבא:

נסמן 3 פונקציות: א. קדומה ביותר:   $g=\int y$ ;    ב.   $y$ ;    ג.   "$\delta$". בהתייחס ל-y כפונקציה ה"מרכזית", הוא חישב את:

• השטח (המקורב) מתחת לעקום של y, הוא:   $S=\sum _{i}y_{i}$   - כי סכום כל ה-y-ים הוא סכום המלבנים עם בסיס 1, שהוא השטח; בגבול - מתאים לשטח המדויק מתחת לעקום y.
• השיפוע בכל נקודה של y, הוא:   $\delta _{i}=y_{i}-y_{i-1}$;   בגבול, מתאים לפונקציה δ, שהיא הנגזרת של y.
• השטח מתחת לכל העקום של δ, בדומה לראשון - סכום ההפרשים:   $\sum _{i}\delta _{i}=y_{n}-y_{0}$;   מתאים לאינטגרל המסוים של δ.
• הפרש הסכומים:   $\{\delta \sum _{i}y_{i}\}_{i}=\{y_{0},y_{1},...y_{n}\}$; בגבול, מתאים לנגזרת של g.

הבדל תפיסתי בין היוונים, קווליירי, ניוטון ולייבניץ:

• היוונים התירו להשוות רק גדלים מאותו סוג, ולכן "סכום" של ישרים לעולם לא יצטרף לשטח.
• קווליירי: ללא הצדקה תאורטית, "סיכם" ישרים בלתי-נחלקים - כדי לקבל שטח.
• ניוטון: העקום נוצר מ"תנועה של נקודה", ולכן הוא "רציף" (מושג בעייתי - עד היום?)
• לייבניץ: שאף להיצמד לתפיסה היוונית, של השוואה רק בין אותו סוג; אבל הגדיר דיפרנציאל (dx) כגודל גאומטרי (כמו x), בהיותו הפרש אינפיניטסימלי בין x נוכחי לבין "x הבא" (בניגוד לרצף של ניוטון). הרעיון נזנח עם ההגדרות של המאה ה-19, אבל הכתיבה: $\int y\cdot dx$, כאינטגרל של מלבנים ברוחב dx - השתלטה ונותרה עד היום.
• כיום: אנליזה לא סטנדרטית, יוזם: אברהם רובינסון (שנות ה-50), חזרה לרעיון הדיפרנציאל כגודל גאומטרי (שנזנח במאה ה-19), עם מספרים היפר-ממשיים - הרחבה של הממשיים.

הרעיון של dx, dy, ds כגדלים גאומטריים שניתן, בהתאם לנוחות, לעשות עליהם פעולות אריתמטיות - איפשר להגיע למשוואות דיפרנציאליות שונות - מאותה הגדרה מתמטית, ע"י בחירות שונות של מי הוא ה-d הקבוע: dx, dy או אחר; ממשיכיו של לייבניץ ניצלו זאת ביעילות לפתרון בעיות קשות.

ממשיכי דרכו: ?

יריבות

ניוטון פיתח את רעיונות הקלקולוס בערך ב-1670, שלח אותם לקולינס מהחבורה, אך פרסם רק ב-1687. לייבניץ פיתח את שלו אחריו, אך פרסם כבר ב-1684. ניוטון, שבתחילה העריך וכיבד את לייבניץ ואף שיתף איתו תוצאות חשובות, שמע שבניגוד לאנגליה - ביבשת מייחסים את רעיונותיו ללייבניץ (שבעצמו לא טען זאת, כנראה). ב-1699 נטען, שב-1671 כשלייבניץ פגש את קולינס, הציץ בניירות של ניוטון, וגנב את רעיונותיו. החברה המלכותית מינתה ועדת חקירה (ניוטון כבר היה הנשיא) - שקבעה שזה נכון. האמת - לייבניץ לא ראה את המכתבים, וזה מקרה של גילוי סימולטני; עובדה, שסגנון הפיתוח וכיוונו שונה ביניהם. בעקבות כך, ניוטון מחק במהדורה ה-3 של הפרינקיפה את השבחים ללייבניץ. הבריטים נצמדו לשיטות ניוטון ל-100 השנה הבאות, ובכך הגבילו ומנעו עצמם ממשוואות חלקיות ומדיפרנציאלים; ביבשת המשיכו בעקבות לייבניץ. עד שבמאה ה-19 לבריטים בבג', הרשל ו-Peacock מקיימברידג' נמאס מהפיגור על רק לאומני, לקחו ספר של Lacroix הצרפתי ותרגמו (פיקוק) לאנגלית. הסכסוך כנראה עיכב את פיתוח הקלקולוס לזמן רב.

נושא במחלוקת עניינית ביניהם היה: הזמן והמרחב. ניוטון טען לזמן ומרחב מוחלטים - לייבניץ סבר שהם קיימים רק באשר מתרחש בהם משהו; זה התאים אצלו למושג הגדלים הקטנים לאינסוף רק בהשוואה לגדלים "רגילים", ולא אינפיניטסימליים באופן מוחלט.

ניוטון זכה לכבוד: 1705 תואר אבירות, סיר. 1727 נקבר במנזר וסטמינסטר בטקס מפואר, בנוכחות אורחים מחו"ל; לייבניץ נקבר לבד, רק מזכירו מלווה. אחרי שנכשל בהרבה תוכניות. אבל דני דידרו כינהו "אבי האופטימיזם" ("הטוב שבכל העולמות האפשריים"); וולטר (שתיעב אותו?) כתב זאת בקנדיד.

ממשיכים

של ניוטון

• ברוק טיילור, פיתח את טור טיילור עוד בזמנו של ניוטון, אבל הרחיק ושכלל את הטכניקה לחישוב ערכים של כל פונקציה רציפה אך לא רציונלית: sin, cos, e, ln.
• קולין מקלורין - כתב "מסה על פלוקציות" שכנגדו יצאו הצעירים הבריטים; דוגמה לספר לימוד, שמצד אחד היבנה וסידר את התאוריה באופן שיטתי ונוח לתלמידים, אבל גם עזר לקבע ל-100 שנה את המושגים הלא-מספיק-מתקדמים.
• אברהם דה מואבר: משפט דה מואבר (בגרסאות שונות - חזקות או אוילר?) חשוב, "מכניס" את הטריגונומטריה לאנליזה מתמטית. היה יו"ר ועדת החקירה המלכותית.

של לייבניץ

• האחים יאקוב ויוהאן ממשפחת ברנולי השוויצרית (שהייתה קהילה יעילה מאד להמשך פיתוח של רעיונותיו); במאמר של יאקוב ב-Acta Eruditorum מ-1690 מופיע לראשונה המושג אינטגרל במשמעותו כיום; הוא נחשב למגלה של e (קבוע מתמטי).
• המרקיז דה לופיטל, החביב על סטודנטים בגלל הכלל (שאותו קנה ממורהו יוהאן, ב-300 פרנק לשנה), ופרסם ספר לימוד ראשון על קלקולוס (בצרפתית - יותר פופולרי מלטינית).

מבקרים

של ניוטון:

• ג'ורג' ברקלי - פילוסוף ולא מתמטיקאי (העיר נקראת על שמו), מבקר חריף של ניוטון: טען שכל הקלקולוס עומד על כרעי תרנגולת, ולכן אינו לגיטימי. נראה שהמוטיבציה שלו (בספרו "האנליסט", 1734) הייתה לערער על תקפות המדע החדש, כתגובת נגד לערעור של המדע על תקפות האמיתות של הדת. Boyer טען להקבלה מעניינת בין תומס הובס האמפיריציסט, שלא הסכים לקבל קוים חסרי עובי, לבין ברקלי שסרב לקבל גדלים שלא ניתנים לתפיסה בהכרה האנושית. באשר לנכונותה הפרקטית, ברקלי טען ל"קיזוז של שגיאות" (Compensation of Errors), כך שבמקרה התקבלה תוצאה נכונה.

של לייבניץ:

• ברנרד ניוונטיט (Bernard Nieuwentijt), מתמטיקאי ותאולוג הולנדי; ביקורת לא ממש עניינית על הלגיטימיות של הדיפרנציאלים. לייבניץ התמודד די בקלות: השיב שאבסורדי להגיד שדיפרנציאל מסדר ראשון הוא גודל, אבל מסדר שני ($ddx$) אינו גודל; שגם שיטת המיצוי של ארכימדס פעלה באופן דומה, ושיטתו רק משכללת ומפשטת אותה; ושהפיתוח שלו שלפיו dxdx ו-dydy מושמטים ביחד ולכן הם שווים ומכאן סתירה - שגוי, מפני שהוא השמיט את שניהם לא בגלל שהם שווים, אלא בגלל ששניהם "קטנים עד כדי אי-השוואה" עם גדלים אחרים במשוואה.
• במכתב ל-Varignon מ-1702 הסביר לייבניץ, שהמבחן של הדיפרנציאל אינו בקיומו האמיתי או המטאפיסי, אלא אם הוא "עובד" ופותר את בעיות השטחים והמשיקים. זאת בדומה למספרים הדמיוניים, שלא ניתן למצוא להם מובן, אך הם "קיימים" במובן הפרקטי והעקביות שלהם כהרחבה של הממשיים. הראה שהרקע הפילוסופי שלו בידל אותו מהצרפתים (גם מתומכיו), בכך שהפורמליזם היה פחות חשוב לו.

בעיות חדשות

• כריסטיאן הויחנס: ב-1690 הציג (ופתר) את בעית האיזוכרונה, בעיה "על קו התפר": פתר ע"י קלקולוס, הוכיח ע"י גאומטריה-קלסית בלבד; אז זה היה חשוב, כי הקלקולוס עדיין לא נחשב מוכח לחלוטין, או - לא מספיק לגיטימי. אח"כ, יאקוב ברנולי הוכיח ע"י קלקולוס (במאמר החשוב ב-Acta). תשובה: ציקלואידה, נקראה "הלנה של (העקומים!) הגאומטריה". הדגמה של פיסיקה מתמטית.
• קטנריה: מהי צורת החוט התלוי בשתי נקודות (גלילאו חשב: פרבולה)
• ואלריה: מהי צורת מפרש משולש, המנופח ע"י הרוח?
• באיזה אופן רוטט מיתר?
• 1695, יוהאן ברנולי: בעיית הברכיסטוכרון; גם זה ציקלואיד! חשוב, כי הפתרון הוביל לפיתוח חשבון וריאציות (תחום בסיסי, ועדיין פתוח) - חיפוש מקסימום או מינימום ע"י שינוי צורה; למשל: מה המרובע בעל היקף נתון, בעל השטח הגדול ביותר - נפתר בקלות ע"י גזירה של פונקציה פשוטה; אבל בבעיות אחרות, הפונקציה לא ידועה בכלל.

ספרים חדשים

משתמש:Avneref/מדע/משפחת ברנולי

• דניאל ברנולי: הידרודינמיקה
• קלרו: "תורת הצורה של כדור הארץ", Théorie de la figure de la terre" 1743" למד באקדמיה מלכותית, בתמיכת המלך ולא הכנסיה (כדי לא להיות תלוי בה) וגם שלח משלחת לחוג הקוטב, כדי למדוד את צורת כדור הארץ.
• פייר לואי מורו דה-מופרטווי: קבע את עקרון הפעולה המינימלית, שכחלק ממכניקה אנליטית ידוע היום כפעולה (פיזיקה), ויש לו ביטויים במכניקה קלסית (חוקי התנועה נגזרים ממנו באופן מתמטי - לגראנז'יאן, שגם פיתח את חשבון וריאציות), אופטיקה (מסלול האור בתווכים שונים), מכניקת הקוונטים (פיינמן, ועוד.
• ז'אן לה-רון ד'אלמבר (בן ממזר שנקרא על שם קדוש-הכנסיה שבפיתחה ננטש ע"י אימו): "מסה על הדינמיקה", Traité de dynamique" 1743". אח"כ היה עורך "האנציקלופדיה". גם קבע בטעות, שההסתברות לקבלת תוצאה בהטלת מטבע תלויה בהטלות קודמות - יורדת ככל שהתוצאה כבר התקבלה; ידוע כ"שיטת ד'אלמבר".
• פייר סימון לפלס: כמו ניוטון בסוף המאה ה-17 - ביצע סינתזה של כל הרעיונות של המאה ה-18, ב"מסה על המכניקה השמימית", 1799 "Traité de méchanique céleste"; פיתח ברמה קוסמית את העיקרון הדטרמיניסטי: בידיעת תנאי ההתחלה, ניתן לדעת את מצב היקום בכל רגע עתידי.

לאונרד אוילר

מייצג את שיא ההתפתחות המתמטית במאה ה-18. הפך את הקלקולוס מגירסת ניוטון ולייבניץ, למה שמוכר כיום. כתב מאות מחקרים. העמיד את רעיון הפונקציה במרכז הקלקולוס, כמושג נפרד מהגאומטריה - בעיניו היא רק "שימוש" של הקלקולוס. עשה דבר דומה לתורת המספרים, אם כי גאוס (1800) הציג אותה לראשונה באופן מקיף.

ספרים:

• "המבוא לאנליזה של האינסופי", 1748 "Introductio in analysin infinitorum"
• "יסודות החשבון הדיפרנציאלי", 1768 "Institutiones calculi differentialis‏"
• "יסודות החשבון האינטגרלי", "Institutiones calculi integralis"
• "מכניקה", 1736 "Mechanica" - ביטוי של המכניקה של ניוטון ע"י הקלקולוס החדש.
• "מבוא כללי לאלגברה", 1771 "Vollständige Anleitung zur Algebra" פעם ראשונה שהאלגברה מוצגת על כל המגוון שלה; גם כאן, ללא חיבור לגאומטריה

ז'וזף לואי לגראנז'

ספרו "תאוריות על פונקציות אנליטיות, 1789 "Théorie des fonctions analytiques" הוא הראשון בו מופיע הגבול בקירבה לצורה של היום, ונפתחה הדרך לקושי, ויירשטראס, דדקינד.

המאה ה-18: סיכום

1. עד 1730 (האחים ברנולי): התקדמות רבה, אך הקלקולוס עדיין נחשב חלק מהגאומטריה.
2. סביב 1750 (אוילר): גישה אלגברית מופיעה במובלע, מושג הפונקציה עובר למרכז.
3. סוף המאה (לגראנז'): ביטול האינפיניטסימל; הנגזרת מוגדרת: המקדם הראשון של טור טיילור - מבלי להבחין שזאת הגדרה מעגלית, כי צריך להראות שהטור מתכנס, ע"י הגדרת גבול.

אז התגבשו הסימונים המקובלים כיום (כולל המושג "נגזרת": Dérivée, והסימון: $f'$) קורי: זה חשוב - כי בד"כ הבנה שלמה של מושג, הפנמה, שימוש נכון, וסימון שלו - מופיעים בערך ביחד.

המאה ה-19

• מתמטיקה ולוגיקה:
  • גוטלוב פרגה
  • ג'וזפה פאנו Giuseppe Peano מערכת פאנו#הגדרת המספרים הטבעיים על-פי האקסיומות של תורת הקבוצות
  • ברטראנד ראסל: כתב עם אלפרד נורת' וייטהד את עקרונות המתמטיקה
  • ג'ורג' בול נחשף ללוגיקה רק כשנודע לו הסכסוך בין דה מורגן לבין ויליאם המילטון. ליביו: ניסח את הסמלים הלוגיים על שנראה לו חשוב, כולל: טיעונים של קלרק ושל שפינוזה על קיום אלוהים; קבע שלא ניתן לקבוע זאת לוגית. לימד את עצמו כל מה שידע. נפטר מדלקת ריאות אחרי שהתעקש להעביר שיעור כשהוא רטוב מגשם, ואשתו שפכה מים קרים על מיטתו (כי האמינה שהתרופה צריכה לחקות את סיבת המחלה).

המאה ה-20

• קורט גדל: היה לחוץ לקראת בחינת האזרחות האמריקאית (בחברת איינשטיין ומורגנשטרן, וכמעט נכשל כי טען שבחוקה יש כשל לוגי שיכול להוביל לדיקטטורה. הבוחן התחשב והעביר.
• משפטי האי-שלמות של גדל גרמו לתפיסה שגויה, כאילו הם מוכיחים שיש אמיתות שלא תיוודענה לעולם, או: שיש מגבלה לשכל האנושי; האמת: מוכיחים מגבלות מובנות בתוך הלוגיקה, ומערכות פורמליות בכלל. מת מתת-תזונה בגלל הפרעה נפשית.

נספחים

• אבן אל-היית'ם: אבי האופטיקה, "תלמי השני", ביטא את עקרון פרמה; עסק גם באסטרונומיה, אנטומיה.
• יאנוש בויאי
• ויליאם רואן המילטון
• המצאת האפס: מהבבלים (מקום ריק?) אל פטולמאיוס קלאודיוס, להודו, שם הומצא למעשה; רק אלף שנה אח"כ, אומץ באירופה. גאוס תהה, איך ארכימדס פספס אותו.
• דיגיטלי: מלטינית digitum (digitus?), אצבע. dico: להגיד, לדבר.

מדע טהור ומדע שימושי

• גודפרי הרולד הארדי: "לשום תגלית שלי לא יהיה שמץ של תועלת לעולם"; טעות: עקרון הארדי-ויינברג. בספר "התנצלותו של מתמטיקאי": "איש לא מצא תכלית צבאית כלשהי שתורת המספרים משרתת"; טעות: קריפטוגרפיה
• מנכמוס (מורהו הפרטי של אלכסנדר) חקר האליפסה כמדע טהור (היוונים היו בטוחים שהכוכבים נעים במעגלים), כ-2000 שנה לפני שקפלר וניוטון גילו את צורת מסלולי הפלנטות.
• ברנהרד רימן יצר בין היתר את מטריקה רימנית, שהפכה בסיס לתורת היחסות (הכללית?)
• אווריסט גלואה פיתח את תורת החבורות במאה ה-19; כיום היא משמשת בפיזיקה, הנדסה, אפילו בלשנות ואנתרופולוגיה לתיאור מבנים סימטריים.
• המספר המופלא שגילה מיץ' פייגנבאום, ...4.669 משמש בתורת הכאוס; כיום ידוע שמים, הליום נוזלי ועוד, מתנהגים עפ"י הפתרון האוניברסלי שגילה.
• תורת הקשרים:
  • בשעתוק (ביולוגיה) DNA ל-RNA, פורמים פלונטר מסובך ע"י התרה וקישור - בדיוק כמו פעולות היפוך והחלקה שהציע ג'ון הורטון קונוויי.
  • תורת המיתרים: אדוארד ויטן, אחד הבולטים בה, מצא זיקה בין פולינום ג'ונס לבין בסיס התורה; מייקל עטיה בנה את מודל ויטן מראשיתו, במתמטיקה טהורה. חוקרי התורה הירוסי אוֹאוֹגוּרי וקומרון ואפה מצאו זיקה לתכונות גאומטריות של הפולינום.
• קשר מוזר בין תנועה בראונית לבין מודל בלק ושולס (עליה זכה שולס בפרס נובל לכלכלה, 1997; בלק נפטר ב-1995)

מתמטיקה - גילוי או המצאה

• גילוי: מרטין גרדנר, אלן קון
• המצאה: מייקל עטיה; ג'ורג' לייקוף, רפאל נונייז; סטיבן וולפרם; קרל סייגן?
• דעתו של ליביו, שילוב: האדם המציא אקסיומות (לא הכרחיות), ומושגים: משולש, מקבילית, אליפסה, יחס הזהב, מספר ראשוני - וגילה את מה שנובע מהן. לפעמים תגליות קדמו בזמן למושגים - אבל המצאתם איפשרה תגליות נוספות. כך, המתמטיקה היא חלק מהתרבות: התפתחה באופן שונה בתרבויות שונות (למשל: בסין, ובהודו, לא הומצא יחס הזהב), וגם: הומצאה במקביל, באופן דומה (המצאת חשבון אינפיניטסימלי - שהוביל לתגליות) במקומות שונים.

אמרות

• דויד הילברט, בעקבות הניסיון לבטל את תורת הקבוצות שפיתח גאורג קנטור, בגלל הפרדוקסים שהתגלו בה: ”איש לא יכול לגרש אותנו מגן-העדן שקנטור יצר בעבורנו”
  • המסורת הכבירה של אוניברסיטת גטינגן במתמטיקה, שכללה את קרל פרידריך גאוס, ברנהרד רימן, פליקס קליין ודויד הילברט (כולם לא יהודים) - נשברה על ידי הנאציזם, שכן רבים מהמרצים בגטינגן היו יהודים או שנישאו ליהודים. מסופר, ששר החינוך והתרבות הנאצי ברנהרד רוסט שאל את הילברט: "מה מצב המתמטיקה בגטינגן כעת, מששחררנו אותה מההשפעה היהודית?" והילברט ענה: "מתמטיקה בגטינגן? היא כבר אינה קיימת".
• איאן סטיוארט: "יש מילה במתמטיקה לתוצאות שהשתנו במשך הזמן - שגיאות."

היסטוריונים

של המתמטיקה היוונית:

קנוניים (מאה 19)

• יוהאן לודוויג הייברג (מגלה הפלימפססט של ארכימדס)
• Tannery
• הירונימוס צוויטן
• תומס ליטל הית'

דור שני

• ארפאד סאבו
• שבתאי אונגורו משתמש:Avneref/מדע/שבתאי אונגורו
• Knorr
• Fowler

כיום

• מריו ליביו נטיה להשתטח על קברי צדיקים: דקארט, אפלטון (עמ' 41), ארכימדס (עמ' 69)

השביט היילי ב-8 במארס 1986, בול חצי שנה לפני שמזי ואני נישאנו.

מיסטיקה בטבע

• מספר היממות בשנה (בערך..): 365 = 10²+11²+12² = 13²+14² ! (ללא משמעות); מספר היממות בחודש (ירחי): המספר מושלם 28 = 1+2+4+7+14 = 1³+3³. וגם: 100 = 1³+2³+3³+4³ ...
• יחס הזהב: האסכולה הפיתגוראית; סדרת פיבונאצ'י - פילוטקסיה
• דה מורגן, כשנשאל בן כמה הוא: "בשנת x הייתי בן x²"; בין שנות חייו, רק 1849 היא ריבוע שלם - של 43.
• במשתמש:Avneref: המתמטיקאי פליקס קליין נולד בתאריך, שכל המספרים בו הם ריבועים של מספרים ראשוניים; אז מה?

לקריאה

• Katz, V.J. A History of Mathematics: An Introduction, f

[2]

• Struik, D (ed.) A source book in mathematics, 1200 – 1800, Harvard University Press, 1969
• Boyer C, The History of the Calculus and its Conceptual Development, Dover, 1941

[3]

• מריו ליביו, "האם אלוהים הוא מתמטיקאי?", הוצאת אריה ניר 2010 פרק א' ynet
• משתמש:Avneref/מדע/שבתאי אונגורו

הגהה

• ליביו, עמ' 72: פרלקסה
• עוד שם: ?

ויכוח לא-ענייני

• המכניקה של ניוטון התחרתה בזו של דקארט (וניצחה) - הייתה גם יריבות אישית.
• ניוטון-לייבניץ, דרך השליח סמואל קלארק
• ממשיכי ניוטון באנגליה, 100 שנה אחריו: ללא דיפרנציאלים; חלל וזמן מוחלטים; לייבניץ חשב על זמן שקיים ו"זורם: רק עם התרחשויות, ולכן יחסי. לויכוח היה רקע תאולוגי ומטאפיזי, אך גם אישי. "הוכרע" רק במאה ה-20.
• דה מורגן ו-המילטון, על הערך של מחקר המתמטיקה

מתמטיקה "לא הגיונית"

שמתארת היטב את הטבע:

• תורת המספרים (טבע את השם: ארנסט צרמלו)
• גאומטריה לא-אוקלידית
  • ניקולאי לובצ'בסקי והקצין יאנוש בויאי עבודת מאסטר; קרל פרידריך גאוס לא פרסם.
  • ברנהרד רימן
• תורת החבורות: מודל החלקיקים
• מספר מרוכבים: חשמל; אווירונאוטיקה: העתקה בילינארית?

הערות שוליים

שגיאות פרמטריות בתבנית:הערות שוליים
פרמטרים [ טורים ] לא מופיעים בהגדרת התבנית