משתמש:נוי/היסטוריה של המתמטיקה- חלוקה חלקית לתקופות

"הספר התמציתי לחישוב על ידי השלמה ואיזון", ספרו של אבו ג'עפר מחמד אל ח'ואריזמי הנחשב לאבן דרך בהתפתחות האלגברה

ראשיתה של המתמטיקה - המחקר השיטתי של כמות, מבנה, מרחב ושינוי - במושג הבסיסי של מספר ושל מנייה. מושגים אלו התפתחו כמעט בכל חברות האדם, וממצאים ארכאולוגיים מעידים כי כבר לפני 50,000 שנים השתמשו בני האדם במנייה. עם השנים התפתחו שיטות ספירה רבות ושונות, אך לא התבצע מחקר מתמטי מעמיק ברוב התרבויות. המקורות הבולטים של מחקר מתמטי, עד לפריחה אליה הגיעה המתמטיקה ביוון העתיקה, היו התרבויות המצרית, הבבלית וההודית, שעסקו בבעיות חשבוניות, אלגבריות וגאומטריות בסיסיות.

בתקופת יוון העתיקה חלה התפתחות כבירה במתמטיקה. עד תקופת יוון העתיקה היה העיסוק במתמטיקה תכליתי בלבד: היא שימשה כאוסף של שיטות לחישוב שטח קרקע, אוכלוסין וכו'. פריצת הדרך של היוונים, פרט לתרומותיהם הגדולות לידע המתמטי, הייתה בלימוד המתמטיקה כשלעצמה, מתוקף ערכה הרוחני. יחסם של חלק מהיוונים הקדמונים למתמטיקה היה דתי - האסכולה הפיתגוראית, למשל, האמינה כי המתמטיקה היא הבסיס לכל הדברים.

היוונים המשיכו לפתח את המתמטיקה במובנה הפילוסופי, ובכך הניחו את היסוד למתמטיקה כפי שהיא נתפסת בעולם המודרני. הם פיתחו את הגאומטריה (מכיוון שהשימוש העיקרי במתמטיקה באותה התקופה היה חישובי קרקע), ולמעשה יצרו את המבנה המתמטי הראשון.

שיאה של התפתחות זו בחיבורו של אוקלידס, "יסודות" שעסק בצורה אקסיומטית בגאומטריה, וכן באלגברה ובתורת המספרים, ובכך נחשב לראשון שקיבץ באופן שיטתי את החוקים המתמטיים הידועים של זמנו. מאוחר יותר חי ארכימדס, גם הוא מגדולי המתמטיקאים בכל הזמנים.

לאחר נפילתה של יוון חלה האטה בהתפתחות המתמטיקה במערב. בימי הביניים שכך המחקר המתמטי באירופה כמעט לחלוטין, ועיקרו התקיים בארצות האסלאם, שפיתחו את האלגברה והטריגונומטריה, ומשם חלחל אט אט לאירופה. הרנסאנס בישר על תחייתה של המתמטיקה האירופית, ומשכילי הרנסאנס השתעשעו בחידות מתמטיות ופיתחו את התורה.

ההפיכה של המתמטיקה לתורה מודרנית, בצורתה המוכרת כיום, מיוחסת לפילוסוף דקארט. הוא שקבע כי אופיה הלוגי הטהור של המתמטיקה הופך אותה לשיטה הטובה ביותר לחקור את המציאות. המדענים המודרניים הלכו בדרכו של דקארט, וקיימו את המתמטיקה כאבן היסוד לחקירותיהם המדעיות.

במאה ה-17 שבה המתמטיקה להתפתח בקצב מהיר, כאשר ההישג הבולט ביותר של אותה מאה היה פיתוחו של החשבון האינפיניטסימלי בידי אייזק ניוטון וגוטפריד וילהלם לייבניץ. במאות שלאחר מכן המשיכה המתמטיקה בהתפתחותה המהירה, ענפיה השונים הלכו והתרבו וכך גם קשריה עם מדעי הטבע. חקר יסודותיה הלוגיים התרחב, ובמאה ה-20 הוליד המחקר המתמטי את מדעי המחשב. גם בימינו נמשכת התפתחותה המהירה של המתמטיקה, ונמצאים פתרונות לבעיות מתמטיות שהיו פתוחות זה מאות שנים.

התקופה הפרהיסטורית

כבר בתקופה הפרהיסטורית החלו להופיע ניצניה של המתמטיקה. לא הייתה זו מתמטיקה כפי שאנו מכירים אותה היום, הכוללת אקסיומות, כללי היסק והוכחות, אלא חישובים פשוטים, ששימשו את האדם למטרותיו היומיומיות. פעולת הכימות של עצמים מוחשיים קדמה בהרבה להתפתחות תפיסתה של המתמטיקה כרעיון מופשט, ויכולת בסיסית להבחין בין כמויות נמצאה אפילו אצל בעלי חיים.

בתקופה זו האדם הנבון החל להבין את הרעיונות האריתמטיים הבסיסיים של מספר וחישוב, כנראה בעקבות הצורך בהגדרת בסיס להכללת עצמים. לדוגמה, אם ברשותו הייתה אבן, והיה לו צורך בעוד אבן, הוא קישר בין האבנים לבין עצם אחר שברשותו, למשל אצבעותיו. הוא הבין שעליו להביא אבנים באותה כמות של אצבעותיו שקישר לאבנים. אם הוא היה צריך לסמן את מספר הבהמות שצד, היה פשוט בהרבה לסמן קווים שמספרם כמספר הבהמות על גזע עץ (בסיס אונרי) מאשר למנותן אחת אחת. נקודת המפנה החשובה ביותר של האדם בתקופה הפרהיסטורית אירעה כאשר החל להבין שהחישובים שלו הם בבחינת "מקרים פרטיים" - חלק מאוסף כללים "אוניברסליים", שחלים על כל פעולה אריתמטית שיבצע, בכל צורה שבה יבצע אותה, ובכך החל האדם לתפוס כיצד לחשב בצורה יעילה יותר. ההבנה שיש מן המשותף בין, נאמר, שני תפוחים ושני תפוזים, נראית כיום טריוויאלית, אך היא היוותה קפיצת דרך ממדרגה ראשונה. בשלב מסוים הוא החל להשתמש בעזרים טכנולוגיים, כמו מקל ספירה.

גם הגאומטריה התפתחה בצורה דומה. נקל לו לאדם להבחין בצורות בטבע, והצעד הלוגי הבא הוא להבחין בדמיון ביניהן - לקשר בין שני עצמים עגולים לתכונה כללית המשותפת להם. בחי, בצומח ובדומם קיימות תכונות גאומטריות בסיסיות, כמו סימטריה וחפיפה. גם כאן, היה על האדם להבין שצורות מסוימות הן מקרים פרטיים של תכונות גאומטריות כלליות, הנבדלים זה מזה בגודל, היקף ותכונות אחרות.

ב1937 גילה הארכאולוג קארל אבסולום ממצא שתוארך לכ-30,000 לפני הספירה - עצם שועל עליה חמישים וחמישה חריצים מסודרים בחמישיות, בה עשרים וחמישה חריצים מופרדים מהשלושים הנותרים על ידי חריץ שאורכו כפול. ייתכן שהחריצים מסמלים איברי קבוצה, ונועדו לשמש כעזר למנייה של האדם. בדיעבד, ניתן לקשר בין עצם השועל למושגים המודרניים התאמה חד חד ערכית ובסיס ספירה (5). ממצא נוסף, שתוארך ל-25,000 לפני הספירה פחות או יותר, היו מערות בצרפת ובספרד שעליהן צורות גאומטריות.

ישנו מספר מוגבל של ממצאים מהתקופה הפרהיסטורית שמראים תפישה ברורה של פעולות החשבון, אך הממצא הברור ביותר מהתקופה הוא עצם האישנגו מאפריקה, שמתוארך לבין השנים 20,000-18,000 לפנה"ס, שעל פי אחת הפרשנויות מראה על היכרות עם פעולות החשבון, הבחנה בין מספרים זוגיים לאי-זוגיים ואף על הבנה בסיסית של מושג המספרים הראשוניים. ככל הנראה, הבנה מעמיקה של הפעולות החשבוניות התקבלה רק כאשר העביר האדם את חישוביו לכתב. בהקשר זה, ניתן לראות אנלוגיה בין ההתפתחות המחשבתית של האדם הקדמון לבין ההתפתחות הקוגניטיבית של הפרט לפי תאוריית ההתפתחות הקוגניטיבית של הפסיכולוג השווייצרי ז'אן פיאז'ה. בתאוריית ההתפתחות בשלבים, ניסח פיאז'ה את שלב האופרציות המוחשיות שבו מבין ילד מושגים ופעולות מתמטיות מופשטות כגון חיבור, חיסור, גודל ויחס, גם ללא הבנה מוקדמת של המושגים, אלא כחלק מההתפתחות המחשבתית, וניתן לחשוב גם על דרך הלימוד של האדם הקדמון כדומה.

העת העתיקה

מצרים העתיקה

במצרים העתיקה חלה התפתחות משמעותית במתמטיקה. אמנם גם אז המתמטיקה נועדה לצרכים מעשיים בלבד, אך הייתה מורכבת יותר מבכל תקופה עד אז. עם זאת, היא לא התפתחה בצורה משמעותית במשך כל השנים שבהם התקיימה התרבות המצרית. לא נראה שהייתה קיימת במצרים מתמטיקה דדוקטיווית של ממש, אלא רק ניסוי וטעייה, שבעזרתם מגיעים לתוצאות קרובות לאמת עד כמה שאפשר.

כבר ב-3000 לפנה"ס לערך, פיתחו המצרים גרסה ראשונית של השיטה העשרונית, כשהיא מעורבבת עם השיטה האונרית. דרכם הייחודית להצגת המספרים הייתה חיבורית, כלומר: כל ספרה ביטאה גודל מסוים, כאשר הגודל "הכללי" של המספר הוא סכום הגדלים של כל אחת מהן בנפרד, בלא תלות במיקום הספרה (בניגוד לשיטה העשרונית בה כל ספרה מתארת גודל כלשהו כך שמיקום הספרה קובע את סדר הגודל).

הסמלים בהם השתמשו המצרים כמספרים:

המספר:	1,000,000	100,000	10,000	1,000	100	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1
הסמל:		או
משמעות הסמל:	אדם ושתי ידיו מורמות	ראשן או צפרדע	אצבע	שושנת מים	סליל חבל	עול של בקר	תשעה קווים	שמונה קווים	שבעה קווים	שישה קווים	חמישה קווים	ארבעה קווים	שלושה קווים	שני קווים	קו בודד

חלק מפפירוס רינד

בתקופה מאוחרת יותר, בעקבות המצאת הפפירוס, עברו המצרים לשיטת-סימון שונה, שקבעה לכל מספר מ-1 עד 9 סמל מיוחד, כמו גם סימון מיוחד לעשרות השונות, למאות, וכו'. כתוצאה מכך, שיטה זו קיצרה את מספר הסימנים בהם הוצגו המספרים. למשל, כדי לכתוב את המספר 5,679 בכתב המצרי עלינו להשתמש רק בארבעה סימנים, במקום 27. אך, גם לשיטה זו היו חסרונות; היא הייתה קשה לזכירה, משום שהיו בה 36 סימנים שונים, לעומת 7 סימנים בסיסיים בכתב הקודם.

המצרים היו הראשונים שהכירו את מושג השבר והשתמשו בו. הייתה להם דרך סימון מיוחדת לשברים, אם כי היא הייתה אונרית: שברים שהמונה שלהם לא היה אחד הוצגו כסכומם של שברים אחרים.

הממצאים העיקריים שיש בידינו כדי לדעת על התפתחותה של המתמטיקה המצרית הם פפירוס מוסקבה (1850 לפנה"ס) ופפירוס רינד, או בשמו השני פפירוס אחמס (1650 לפנה"ס). הם מעידים על ידע בפתרון משוואות לינאריות ומשוואות ריבועיות. הנעלם נקרא אה, כלומר ערמה. הידע מופגן בבעיות יומיומיות, העוסקות בנושאים כמו אפיית לחם או תשלום שכר לפועלים.

הגאומטריה המצרית, שאותה כינו "הרפדונפטה" (מילולית: מותחי חבל), הגיעה גם היא להישגים. המצרים השתמשו בגאומטריה למטרות מעשיות, כמו חפירת תעלות, חלוקת אדמות וכו'. הם הכירו שיטות לחישוב שטחיהם של מלבנים, טרפזים ומשולשים ישרי זווית או שווי שוקיים, ואת נפחיהן של תיבות, אם כי לעתים הם שגו. כמו כן, הם הכירו קירוב לפאי, $\ 4\times {(8/9)}^{2}$ ששווה ל-3.16 לערך (לעומת הערך האמיתי שקרוב יותר ל-3.14), קירוב שנמצא בעקבות מדידות גאומטריות של היחס בין היקף המעגל לקוטרו, וכן שהיחס בין שטח עיגול להיקפו שווה ליחס בין שטח ריבוע החוסם אותו להיקפו. במאה ה-19 לפנה"ס הצליחו המצרים לייצר דוגמה לחישוב שטח פירמידה בעלת בסיס ריבועי. לא התקיימה הפרדה בין אריתמטיקה לגאומטריה במקורות המצריים.

ביוון העתיקה, ערש המתמטיקה הדדוקטיווית, מצרים נחשבה למולדתה של המתמטיקה ובמיוחד הגאומטריה. עדויות לכך ניתן למצוא בכתביהם של אריסטו, אפלטון והרודוטוס.

בבל

הספרות הבבליות – ניתן להבחין בנקל בשיטת הקיבוץ המשנית בה השתמשו הבבלים

בסביבות שנת 3500 לפנה"ס שלטו באזור מסופוטמיה האשורים, שעשו שימוש בכתב יתדות וערכו את חישוביהם בבסיס 60. בין השנים 2300 ל-2100 לפנה"ס שלטו באזור זה האכדים, שהשפיעו על התרבות האשורית. הם הביאו עמם, בין היתר, את הגרסה שלהם לכלי המוכר לנו כיום יותר כחשבונייה. בשנת 1900 לפנה"ס, אחרי שפלשו למסופוטמיה, קבעו הבבלים את בירתם בבבל. סביר להניח כי הבבלים ירשו את שיטת הספירה שלהם מן האשורים והאכדים משום נוחיותה (להשערות בדבר בחירת המספר 60 כבסיס ראו ערך בסיס סקסגסימלי).

שיטת הספירה הבבלית הביאה עמה חידוש משמעותי ביחס לשיטות הקודמות לה: הבבלים קישרו בין מיקומה של הספרה לבין הגודל שהיא מייצגת, בדומה לשיטה העשרונית בימינו כאשר בסיס הספירה הוא, כאמור, 60. כדי למנוע את הצרך ביצירת 60 סימנים מוסכמים שונים, השתמשו הבבלים בספירת משנה קיבוצית (ראו תמונה). למספר 0 לא יוחד סימן משלו עד לתקופה מאוחרת יחסית (300 לפנה"ס לערך), ופעמים רבות ניתן היה להבדיל בין 10X לבין X, למשל, רק בעזרת ההקשר.

בטבלאות אשר נמצאו על הפרת ומתוארכות לשנת 2000 לפנה"ס נמצאו ריבועי המספרים עד 59 וחזקותיהם השלישיות של המספרים עד 32. הבבלים עשו שימוש בזהויות $\ ab={\frac {[(a+b)^{2}-b^{2}-a^{2}]}{2}}$ או $\ ab={\frac {(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{4}}$ ובטבלאות המתוארות לעיל כדי לפשט את חישוביהם. לבבלים לא היה אלגוריתם לחילוק ארוך, לכן השתמשו בעובדה שמתקיים ${\frac {a}{b}}=a\times {\frac {1}{b}}$ ובטבלה של מספרים הופכיים.

פלימפטון 322 הוא לוח חרסית שמקורו בבבל והוא מתוארך בין השנים 1900 לפנה"ס עד 1600 לפנה"ס. הפרשנויות לגבי לוח זה חלוקות. על פי חלק מהפרשנויות, הלוח שימש לייצור שלשות פיתגוריות או לחישוב ערכה של פונקציה טריגונומטרית ובכך הוא מעיד על רמה מתמטית גבוהה של התרבות הבבלית ומתבלט ביחס לשאר הממצאים מסוגו. על פי פרשנות אחרת, הלוח שימש ככלי עזר בהוראת חשבון, ואין בו ייחוד רב ביחס לממצאים הדומים לו. בכל אופן, סביר להניח כי העדויות על פתרון בעיות מתמטיות מורכבות יחסית אינם מעידים על קיומם של אלגוריתמים אלגבריים מגובשים וכי פתרונם של אלה נעשה על ידי התבוננות בטבלאות.

ובכל זאת, יש הרואים בבבל את ראשית האלגברה. אכן, הבבלים הציגו חישובים שדומים לאלגברה המודרנית בחלק מעקרונותיהם. התגלתה, לדוגמה, טבלה המציגה את ערכי $\ n^{3}+n^{2}$ עבור כל n טבעי עד 30. כמו כן נמצאה על אחת מלוחיות החימר מהתקופה הבבלית בעיה שניסוחה הוא "החסרתי את ה[צלע (גאומטריה)|] של הריבוע מהשטח, וזה 870", ופתרונה הוא שצלע הריבוע היא 30, שאפשר לתרגמה בכתיב מודרני ל$\ x^{2}-x=87$. יש ויכוח בקרב החוקרים אם אכן הבבלים חשבו על המספרים בצורה מתמטית מופשטת, או שה"אלגברה" שלהם הייתה מבוססת על הסתכלות בטבלאות ותו לא, ושראייתה כאלגברה היא אנכרוניסטית.

לבבלים היו גם מספר הישגים בגאומטריה. הקירוב לפאי שהוזכר לרוב בכתביהם היה אמנם 3, פחות מדויק מהקירוב המצרי, אך אך הם מצאו קירוב מצוין לשורש ריבועי של 2, שהוא היחס בין צלע לאלכסון במשולש שווה שוקיים:

$.1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}=1.41421{\overline {296}}$, קירוב בדיוק של ארבע ספרות סקסגסימליות שהן כשש ספרות דצימליות (עשרוניות). מכיוון שהשורש הריבועי של 2 מקבל את משמעותו הגאומטרית על פי משפט פיתגורס, ובשל לוח פלימפטון, ייתכן מאוד שהבבלים הכירו את המשפט, אך לא סביר שהם ידעו להוכיחו (או להוכיח כל משפט אחר). הגאומטריה הבבלית הייתה יישומית ולא מופשטת, וודאי שלא דדוקטיווית. בכל אופן, יש ראיות לכך שהם ידעו לחשב את שטחיהם של מצולעים משוכללים בני 7-3 צלעות, וכן להשוות בין שטחם לשטח מרובעים הבנויים על צלעותיהם.

יוון העתיקה

אחת מתרומותיה החשובות לאנושות של יוון העתיקה היא פיתוח המתמטיקה. היוונים נחשבים ליוצרי מושג ההוכחה המתמטית, וכן לראשונים שעסקו במתמטיקה לשם עצמה, כלומר כתחום מחקרי עיוני ומושפט ולא רק כעזר שימושי. עם זאת, לצדה של המתמטיקה הטהורה התפתחה מתמטיקה שימושית, ששימשה לצרכים יומיומיים ולקידום המדע (ובמיוחד האסטרונומיה).

לאורך רובה המוחלט של ההיסטוריה של המתמטיקה ביוון, היוונים נהגו לבטא כמעט את כל המתמטיקה במונחים גאומטריים; לדוגמה, מספרים אי רציונליים (שהיוונים היו הראשונים לעסוק בהם) נקראו "קטעים חסרי מידה משותפת".

המונח מתמטיקה יוונית קלאסית מתייחס למתמטיקה שהייתה קיימת עוד לפני התקופה ההלניסטית, כאשר מתמטיקה נכתבה בשפה היוונית רק בתחומי יוון דאז. מאז תחילת התקופה ההלניסטית, בסוף המאה הרביעית לפני הספירה, התפשטה השפה היוונית, ומלומדים כתבו בשפה זו בכל חלקו המזרחי של אגן הים התיכון. זרימת הרעיונות הביאה לכך שהמתמטיקה היוונית ספגה ובלעה את המתמטיקה המצרית והבבלית; המתמטיקה בת תקופה זו נקראת מתמטיקה הלניסטית.

מרבית הטקסטים המתמטיים שנכתבו ביוונית נמצאו ביוון, מצרים, מסופוטמיה, אסיה הקטנה, סיציליה ודרום איטליה.

שיטת הספירה הראשונה שבה השתמשו היוונים מבוססת על בסיס עשרוני. הסמל של כל מספר היה האות הראשונה של אותו מספר ביוונית, אלא אם כן המספר היה מורכב מיותר מיחידת בסיס אחת (יחידות הבסיס היו המספרים בין 1 ל-9). כך למשל, המספר 5 (ביוונית: Πέντε) סומן באות פאי. שיטה זו נקראה השיטה האטית, על שם האזור ממנו השיטה התפתחה - אטיקה.

האותיות בהם השתמשו היוונים כמספרים בשיטה האטית:

המספר:	50,000	10,000	5,000	1,000	500	100	50	10	5	1
הסימן:	πμ	μ	πχ	χ	πη	η	πδ	δ	π	ι
שמו היווני:	πεντάκις μύριοι	μύριοι	πεντάκις χίλιοι	χίλιοι	πενταόσιοι	έκαου	πέντήκοντα	δέκα	πέντε	εϊξ

האותיות בהן השתמשו היוונים כמספרים בשיטת ה"גרשים":

המספר:	9	8	7	6	5	4	3	2	1
הסימן:	θʹ‎	ηʹ‎	ζʹ‎	στʹ‎	εʹ‎	δʹ‎	γʹ‎	βʹ‎	αʹ‎
המספר:	90	80	70	60	50	40	30	20	10
הסימן:	ϟʹ‎	πʹ‎	οʹ‎	ξʹ‎	νʹ‎	μʹ‎	λʹ‎	κʹ‎	ιʹ‎
המספר:	900	800	700	600	500	400	300	200	100
הסימן:	ϡʹ‎	ωʹ‎	ψʹ‎	χʹ‎	φʹ‎	υʹ‎	τʹ‎	σʹ‎	ρʹ‎

בתקופה מאוחרת יותר, השתמשו היוונים בשיטת סימון מתקדמת יותר, שבה הוצגו המספרים לפי 22 אותיות האלפבית היווני. לסימון המספרים בין 1 ל-9 נקבעו תשע האותיות הראשונות, בתוספת גרש (') בצד ימין של האות, למעלה; תשע האותיות הבאות ייצגו את העשרות מ-10 עד 90, והבאות את המאות. לסימון הספרות בין 1000 ל-900,000, השתמשו היוונים באותן אותיות, אך הוסיפו לאותיות את הגרש דווקא מצד שמאל של האותיות, למטה. ממיליון ומעלה, כנראה השתמשו היוונים בשני תגים במקום אחד.

המתמטיקאי הבולט הראשון ביוון העתיקה, ויש האומרים בתולדות האנושות, הוא תאלס (624 לפנה"ס-546 לפנה"ס בקירוב). לא יהיה זה משולל יסוד להניח שהוא האדם הראשון שהוכיח משפט מתמטי, ולא רק גילה אותו. תאלס הוכיח שישרים מקבילים חותכים מצד אחד של שוקי זווית קטעים בעלי יחסים שווים (משפט תאלס הראשון, שהזווית המונחת על קוטר במעגל היא זווית ישרה (משפט תאלס השני), שהקוטר מחלק את המעגל לשני חלקים שווים ושזוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו. מיוחסות לו גם שיטות למדידת גובהן של הפירמידות בעזרת מדידת הצל שלהן ולקביעת מיקומה של ספינה הנראית מן החוף.

בשנים 582 לפנה"ס עד 496 לפנה"ס, בקירוב, חי מתמטיקאי חשוב במיוחד - פיתגורס. המקורות הראשוניים עליו מועטים, וההיסטוריונים מתקשים להפריד את העובדות משכבת המסתורין והאגדות שנקשרו בו. ידוע שסביבו התקבצה האסכולה הפיתגוראית, מעין כת פסבדו-מתמטית שהאמינה ש"הכל מספר", או ליתר דיוק הכל ניתן לכימות, וייחסה למספרים משמעויות מיסטיות. ככל הנראה הפיתגוראים ידעו לבנות את הגופים האפלטוניים, הכירו את הממוצע האריתמטי, הממוצע הגאומטרי והממוצע ההרמוני והגיעו להישגים חשובים נוספים. ניתן לומר שהפיתגוראים גילו את היותו של השורש הריבועי של 2, שהוא גם האלכסון בריבוע שאורך צלעותיו 1, אי רציונלי, אך תגליתם הייתה למעשה רק שהקטעים "חסרי מידה משותפת", ומושג המספר האי רציונלי מאוחר יותר.

השפעתם של הפיתגוראים ניכרה גם בכתבי הפילוסוף החשוב אפלטון (427-8 לפנה"ס-347 לפנה"ס), שהוקסם מההרמוניה שמצא במתמטיקה וסבר שיש ללמדה הן למען פיתוח החשיבה והבנה מעמיקה יותר של העולם והן לצרכים מעשיים. על שער מדרשו רשם "הא-גאומטרי [חסר הידע בגאומטריה] בל ייכנס לכאן". בדיאלוג "המדינה" כתב:

כי לאיש מלחמה הכרחי הוא לימוד זה [של אריתמטיקה] לשם עריכת המערכות, וכן לפילוסופים לשם השגת הישות, לאחר שהוא מתעלה מעל לתחום ההתהוות..."

הוא לא הגיע להישגים מתמטיים בעצמו, אך עודד מתמטיקאים וכונה "יוצר מתמטיקאים". תלמידו, הפילוסוף הנודע אריסטו, הלך בדרך מורו ורומם את המתמטיקה בכתביו כ"עומדת באמצע הדרך בין פיזיקה למטאפיזיקה", כתב על פילוסופיה של המתמטיקה וכן תרם תרומות למתמטיקה, בין השאר בהבחנה החדה בין אקסיומות לפוסטולטים.

בתקופה שלאחר פיתגורס פעל היפוקרטס מכיוס (בקירוב 470 לפנה"ס עד 410 לפנה"ס), שתרם תרומות חשובות לגאומטריה היוונית, במיוחד בנושאי הצורות החסומות. בתקופתו, פחות או יותר, נהגו הבעיות הגאומטריות של ימי קדם - בניית קובייה שנפחה כפול מזה של קובייה נתונה, שילוש זווית (חלוקת זווית נתונה לשלושה חלקים שווים), תרבוע העיגול (בניית ריבוע השווה בשטחו לעיגול נתון) ובניית מצולע משוכלל בן שבע צלעות, כל זאת באמצעות סרגל ומחוגה בלבד. רק במאה התשע עשרה הוכח בעזרת תורת גלואה שהבעיות הללו בלתי פתירות, אך הנסיונות לפתרן תרמו תרומה עצומה להתפתחות המתמטיקה בכלל והמתמטיקה היוונית בפרט. להיפוקרטס מכיוס היו מספר תובנות חשובות על הבעיות האלו. מעט אחרי היפוקרטס חי אאודוקסוס מקנידוס (ככל הנראה 408 או 410-347 או 355 לפנה"ס), שחקר יחסים בין מספרים ופיתח שיטה למציאת שטחו של עקום.

תרומה יוצאת דופן להתפתחות המתמטיקה תרם אוקלידס מאלכסנדריה, שחי, כמשוער, בין 365 ל-275 לפני הספירה. הוא כתב מספר חיבורים, אך החשוב שבהם הוא ללא ספק הספר "יסודות", מהספרים המתמטיים המשפיעים ביותר בכל הזמנים. הספר, בן שלושה עשר הכרכים, עוסק בגאומטריה ובאריתמטיקה, ותורם תרומות חשובות בשניהם. למעשה הוא בנוי במתכונת של ספר לימוד, וקשה להפריד מה בו מקורי ומה תוצר עבודתם של מתמטיקאים קודמים. בספר בולט במיוחד מספרן הרב של הוכחות בדרך השלילה. בין הגילויים המופיעים בו לראשונה: ההוכחה המפורסמת לקיומם של אינסוף מספרים ראשוניים, ההוכחה לכך שכל מספר מהתבנית $2^{n-1}\left(2^{n}-1\right)$, כאשר $\left(2^{n}-1\right)$ הוא מספר ראשוני הוא משוכלל, ההוכחה לכך שחמשת הגופים האפלטוניים הם הפאונים המשוכללים היחידים שניתן לבנות, ועוד. זהו ספר היסוד של הגאומטריה.

הדגמה לשיטת המיצוי של ארכימדס

בין השנים ‏287‏‏‏-‏‏212 לפנה"ס חי ארכימדס, שנחשב לאחד מגדולי המדענים של העת העתיקה אם לא הגדול שבהם. מלבד הישגים רבים בפיזיקה, ארכימדס תרם רבות גם למתמטיקה. הוא מניח היסודות לחשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, שכן ידע לשב סכום של טור אינסופי. לדוגמה, הוא ידע להוכיח כי $\sum _{n=0}^{\infty }4^{-n}=1+4^{-1}+4^{-2}+4^{-3}+\cdots ={4 \over 3}\;.$. הוא הגה את שיטת המיצוי, שבעזרתה ניתן לחשב היקף של מעגל (ובעקבותיו את פאי, השווה ליחס בין היקף המעגל לקוטרו, ואת שטח העיגול, השווה לפאי כפול ריבוע הקוטר): נחשב את היקפם של מצולע חוסם ומצולע חסום במעגל, ומכיוון שהיקף המעגל קטן מהיקף המצולע החוסם וגדול מהיקף המצולע החסום, אפשר לחשב אותו בכל רמת דיוק שנרצה, בעזרת הגדלת מספר צלעות המצולע. בשיטות המבוססות על העיקרון של שיטת המיצוי הוא חישב שטחים ונפחים של מצולעים ופאונים. הישגים מתמטיים נוספים אליהם הגיע ארכימדס: אומדן מדויק למדי לשורש הריבועי של 3, הוכחה שהיחס בין נפחו ושטח פניו של כדור שווה לשני שליש מהיחס המקביל בגליל החוסם את הכדור, תרבוע העיגול (בשימוש באמצעי שאינו סרגל ומחוגה) ועוד. ההיסטוריון של המתמטיקה אריק טמפל בל מנה אותו כאחד משלושת המתמטיקאים הגדולים בכל הזמנים, ובוודאי הוא שייך לשורה הראשונה של המתמטיקאים בעת העתיקה בפרט ובתולדות המתמטיקה בכלל.

אחד החיבורים המתמטיים החשובים ביותר שנכתבו ביוון העתיקה הוא "הקוניקה" של אפולוניוס מפרגה (משוער בין 262 ל-190 לפנה"ס), חיבור מדורג ודדוקטיבי בסגנון "יסודות" של אוקלידס העוסק בחתכי חרוט, הם המעגל, הפרבולה, ההיפרבולה והאליפסה. הוא מכיל שמונה ספרים, מהם שבעה נשתמרו עד ימינו (ארבעה במקור היווני ושלושה בתרגום). בחיבור זה מראה לראשונה אפולוניוס שחתכי חרוט מתקבלים לא רק מחיתוך בין מישורי אנכי לחרוט חד, ישר או קהה זווית, אלא כולם יכולים להתקבל מחרוט אחד אם נשנה את זווית החיתוך. כנראה בשל איכותו ותרומתו, לא נותר עוד זכר כמעט לחיבורים אחרים על חתכי חרוט מהתקופה שלפני "הקוניקה".

לאחר אפולוניוס חלה האטה מסוימת בפוריות המתמטיקאים היוונים. היפרכוס (מוערך 120-190 לפנה"ס), מנלאוס מאלכסנדריה (מוערך 70-140) ותלמי (85-165 לערך) היו ממפתחי הטריגונומטריה הספירית. פאפוס מאלכסנדריה, מתמטיקאי שפעל בתחילת המאה ה-4 לספירה, כתב את ה"סינגוגה", חיבור אנציקלופדי העוסק בגאומטריה, שבין השאר הוא מקור הידיעה הכמעט בלעדי שלנו על האנליזה היוונית. הפילוסוף הנאופלאטוני פרוקלוס (411- 485) כתב פירוש מפורסם מאוד ל"יסודות" של אוקלידס, שמספק ידע רב מאוד על ההיסטוריה של המתמטיקה ביוון. מעל כולם ישנו דיופנטוס (200-284), וספרו רב ההשפעה "אריתמטיקה", שניתן להקביל אותו ל"יסודות" מבחינת המבנה וההשפעה ("יסודות" בגאומטריה ו"אריתמטיקה" באריתמטיקה). ב"אריתמטיקה" דן דיופנטוס בעיקר במשוואות דיופנטיות, סוג של משוואות שלימים יקרא על שמו, ומפתח שיטת סימון הקרובה יחסית לזו של האלגברה המודרנית.

הודו

פסלו של אריאבהטה בפונה

למתמטיקה בהודו היו מספר פיתוחים חשובים, אך המפורסם והחשוב שבהם הוא השיטה העשרונית הפוזיציונלית (מיקומית) ומושג ה-0. עם זאת, במובן מסוים הייתה המתמטיקה ההודית חזרה אחורה ביחס למתמטיקה היוונית, כיוון שהייתה פחות ריגורוזית ויוחס לה פחות ערך פילוסופי. המתמטיקה ההודית נכתבה ברובה בחרוזים ובסגנון מיסטי.

בין השנים 2500 לפנה"ס ל-1700 לפנה"ס לערך התקיימה בהודו תרבות עמק האינדוס. אנשי תרבות זו אימצו מערכת של מידות ומשקולות המבוססת על חלוקה עשרונית של "מידות טבעיות". בחפירות ארכאולוגיות נמצאו שרידים המראים על שימוש ביחידת מידה של 3.35 ס"מ אשר מהווה באורכה עשירית מיחידת הרגל, וכן ביחידת מידה אחרת שאורכה 0.932 ס"מ ומהווה מאית מיחידת הפסע.

כשירדה קרנם של תושבי עמק האינדוס, תפסו את מקומם ההינדו-אריאנים. ספרי הקודש שלהם, הודה, כללו בין השאר את ה"שולבה סוטרא" - ספר קודש העוסק בבניית מזבחות לשם הקרבת קורבנות. ספר זה הוא דתי בעיקרו, אך מציג מתמטיקה מתקדמת. בין השאר נמצאים בו נוסח של משפט פיתגורס ("האלכסון במלבן יוצר שטח השווה לסכום השטחים ששתי צלעות המלבן יוצרות בנפרד"), בעיית בניית מזבח מרובע ששטחו שווה למעגל נתון (בעיה מקבילה לבעיית "תרבוע העיגול" של היוונים) וקירוב יוצא מן הכלל לשורש הריבועי של 2: ${\sqrt {2}}\approx 1+{\frac {1}{3}}(1+{\frac {1}{4}}(1-{\frac {1}{34}}))={\frac {577}{408}}\approx 1.4142156$, מדויק עד הספרה החמישית אחרי הנקודה. אין זכר להוכחות בטקסט זה.

בסביבות המאה ה-3 לפנה"ס הופיעו הספרות הברהאמיניות. במובן מסוים הן המקור לשיטה העשרונית המודרנית, אך הן אינן מפותחות כמו שיטת הספירה ההודית המאוחרת יותר.

עם ירידת קרנה של הדת ההודית, החלו דתות אחרות לבסס את מעמדן. אחת מהן, הייתה הג'ייניזם שהתפתחה במאה השישית לפני הספירה, על בסיס ההינדואיזם. הקוסמולוגיה הג'יינית והצורך בתחזיות אסטרונומיות (לכתיבת לוחות שנה, למשל) היוו כוח מניע להתפתחויות מתמטיות רבות. עם זאת, המתמטיקה נתפסה עדיין כמדע שימושי או ככלי יישומי. כך, למשל, הביאו סוגיות בקוסמולוגיה פיתוח רעיונות בנושא האינסוף שלא נשקלו בשנית עד לעבודותיו של גיאורג קנטור.

סין

חשבונייה סינית

מסיבות גאוגרפיות (ההרים והים שגרמו לבידוד יחסי) והיסטוריות (כובשי סין העדיפו להתמזג לתרבות המקומית ולא לשנות אותה) התרבות הסינית התפתחה במשך שנים רבות כמעט בלי קשר לתרבויות אחרות. לפיכך, גם המתמטיקה הסינית שונה מהאחרות. במיוחד היא שונה מהמתמטיקה היוונית. בניגוד למתמטיקה היוונית, המתמטיקה הסינית לא בוססה על אקסיומות ולא עמדה בדרישת הריגורוזיות היוונית. היא התבססה רבות על חידות מתמטיות ופתרונן, ולא על משוואות כלליות. יתר על כן, היא הייתה בעיקרה מתמטיקה מעשית, שהונעה בשל נושאים כלוח השנה וגביית מסים. אף על פי כן, היו בה פיתוחים חשובים ורעיונות מתמטיים מתקדמים.

הידע שלנו על המתמטיקה הסינית שלפני המאה ה-1 לספירה מוגבל, בין השאר בשל שריפות הספרים העתיקים והוצאתם להורג של מלומדים בתקופתו של צ'ין שה-חואנג. בשנת 1100 לפנה"ס בקירוב נכתב "צ'ו פאי", חיבור שממנו אפשר ללמוד רבות על הידע המתמטי בזמן זה, למשל מהדיאלוג הבא:

שבור את הקו ועשה את הרוחב 3 ואת האורך 4; המרחק בין שתי הפאות יהא אז 5 [כנראה הכוונה למשולש ישר זווית שצלעותיו, על פי משפט פיתגורס, 3, 4 ו-5]. מה רב כוחו של מדע המספר! צורות הן עגולות או חדות; מספרים הם זוגיים או אי זוגיים.

חיבור מתמטי אחר שידוע לנו הוא ה"ג'וֹאוּבִּי סְוָּאנְגִ'ינְג", או "המדריך של ג'ואו למדידת צללים", המתוארך לתקופה בין 100 לפנה"ס ל-100 לספירה. הוא מכיל ידע מתמטי מורכב לתקופתו, למשל גרסה למשפט פיתגורס.

הסינים החלו להשתמש בשיטה עשרונית בערך במאה הראשונה לספירה. הם השתמשו בקני במבוק אדומים כדי לסמן מספרים חיוביים ובקני במבוק שחורים כדי לסמן מספרים שליליים. ספרות היחידות והמאות הונחו לרוחב, בעוד ספרות המאות והאלפים הונחו לאורך.

הספר החשוב ביותר בהיסטוריה של המתמטיקה הסינית הוא תשעת הפרקים של אמנות המתמטיקה (סינית מסורתית: 九章算術). ספר זה מכיל 216 בעיות מעשיות שדרכן מוצגים הרעיונות המתמטיים. הוא תוצאת התפתחות מתמטית בת מאות שנים, וחיברוהו מלומדים רבים. השפעתו על המתמטיקה של זמנו עצומה, בדומה לזו של "יסודות" במתמטיקה היוונית. בין השאר ניתן למצוא בספר: שיטות למדידת שטחים (בין השאר המשולש, הטרפז והעיגול, פעולות החשבון בשברים, משפט פיתגורס, אלגוריתם למציאת מחלק משותף מקסימלי, פתרון משוואות לינאריות, רעיונות המקדימים את החשבון האינפיניטסימלי, אחוזים ועוד נושאים רבים.

השפעה גדולה מאוד יש גם לפרשנותו של ליו חווי, שחי כנראה במאה השלישית לספירה, ל"תשעת הפרקים". הוא העיד על עצמו שקרא את היצירה בעודו ילד, והתעמק בה בבגרותו. הוא התאמץ יותר מקודמיו להצדיק באופן עקרוני את חישוביו, ובכך התקרב באופן יחסי לתקופתו למתמטיקה הריגורזית והמופשטת המודרנית. בחיבור מאוחר יותר, "המדריך המתמטי של איי הים", שמקור היה תוספת לפרשנות הנ"ל אך הפך לטקסט נפרד ורב השפעה, הוא בין השאר השתמש במשפט פיתגורס כדי לחשב את גובהו ומרחקו מנקודת המבט של עצם שלא ניתן לחשב נתונים אלו עליו ישירות.

התקדמותו של ליו חווי הייתה כה משמעותית, עד שבמשך דורות מעטים היו הגילויים החדשים. בספרו של סון דזה מהמאה השלישית עד החמישית לספירה, "האריתמטיקה הקלאסית של סון דזה", לא נמצאים גילויים רבים שלא נמצאו בספרים קודמים, אך בכל זאת יש לו חשיבות לא מבוטלת. נכלל חומר בנושאי ארבע פעולות החשבון והוצאת שורש ריבועי, ואף ניתן למצוא בו מעט אלגברה (על אף שהיא שונה מהאלגברה המודרנית). בו הופיע לראשונה משפט השאריות הסיני החשוב. ספרו של חסיהוא יאנג, שבו בעיות מסחר וממשל מלוות בפתרונן, בלי כללים ועם הסברים חלקיים, נמצאת שיטת ספירה עשרונית.

דזה צ'ונג'ה (429-501) הוכיח שפאי נמצא בין 3.1415926 ל-3.1415927, ומצא את קירוב פאי 355/113, שנכון עד שש ספרות לאחר הנקודה העשרונית. הוא ובנו, דזה גנג, ניסחו יחד את הנוסחה לחישוב נפח ספירה (גאומטריה), בהתבסס על רעיון מקביל לעקרון קאוואליירי.

ימי הביניים והתקופות המקבילות

הודו

במאות ה-5 עד ה-7 לספירה חיו בהודו שני מתמטיקאים חשובים במיוחד: אריאבהטה ובראהמגופטה.

אריאבהטה (476-550 לספירה) הוא אחד מגדולי המתמטיקאים ההודים. הוא נחשב לאבי השיטה העשרונית. עבודתו ה"אריאבהטיה" שפרסם בגיל 23 רבת השפעה על המתמטיקה ההודית. בין השאר נמצאים בחיבור: אלגוריתם להוצאת שורש ריבועי ושלישי, הנוסחה לאורך צלע משושה משוכלל, רעיון הרדיאן, הוכחה בעזרת דמיון משולשים, משפט פיתגורס, והנוסחאות לחישוב סכום האיברים בסדרה חשבונית או לחילופין מספר האיברים אם ידוע סכום הסדרה והאיבר הראשון. הקירוב המוצג ל-π הוא "חבר ארבע למאה אחת, הכפל בשמונה, והוסף שוב ששים ושניים אלף, התוצאה היא ערכו בקירוב של π כאשר הקוטר הוא עשרים אלף", כלומר בדיוק 3.1416, קירוב בדיוק של אלפית. תוצאות אלו מראות הבנה מתמטית מרשימה לתקופתו. עם זו, במדידת הנפחים נפלו כמה טעויות.

בשנים 598-668 חי המתמטיקאי והאסטרונום החשוב בראהמגופטה. הוא עבד כאסטרונום הראשי של מצפה הכוכבים בעיר אואז'ין. עבודתו החשובה, "פתיחת היקום" (Brahmasphutasiddhanta), עוסקת באסטרונומיה ומתמטיקה. הספר מבוסס על אריאבהטה, ולרוב מגיע להישגים טובים ממנו. מקרה יוצא דופן הוא קירוב פאי, שב"פתיחת היקום" עומד על ${\sqrt {10}}$, קירוב פחות טוב משמעותית מזה שהופיע ב"אריאבהטיה". הוא עסק במשוואות (לדוגמה משוואות פל), בכדוריות, במדידת נפחים (בנושא זה היו לו טעויות לא זניחות) ועוד. ולמרות הגיוון בנושאיו, החידוש הגדול בספר הוא שבו הופיע לראשונה האפס כמספר בפני עצמו, ולא רק כמציין מקום חסר. הוא ניסח את כללי הפעולות עם אפס: "אם מוסיפים או מורידים ממספר אפס הוא נשאר ללא שינוי, אם מכפילים מספר באפס התוצאה היא אפס". כמו כן, בספרו התקיימו המספרים השליליים ("חוב") וההפרדה בינם לבין החיוביים ("הון"), נרשמו כללים לפעולות במספרים חיוביים, שליליים ובאפס המזכירים את אלו המודרניים, והוא אף הכליל פתרונות שליליים כפתרונות קבילים למשוואותיו. רעיונות אלו שוכללו על ידי מתמטיקאים כמהווירה (המאה ה-9) וסרידהרה (המאה ה-11).

במאה ה-12 הייתה התקדמות מה במתמטיקה ההודית, ובעיקר השפיע ספרו של בהסקרה השני "כתר השיטה האסטרונומית".

סין

ואנג שיה-טונג כתב את "האריתמטיקה על בסיס הכללים העתיקים", עבודה בת 20 בעיות בלבד שכולן בעיות מדידה. בעבודה כלולה מתמטיקה מתקדמת למדי ביחס לתקופתה, כולל משוואות ממעלה שלישית , וניתן לראות בה את ראשית האלגברה הסינית.

התקדמות גדולה נעשתה במאות ה-12 וה-13, אז הסינים כבר פתרו משוואות ממעלה שנייה ואף ממעלות גבוהות יותר, וכן ייחדו סימן לאפס (שכנראה הגיע מן המתמטיקה ההודית).

ראו גם

• היסטוריה של האריתמטיקה

לקריאה נוספת

שבתאי אונגורו, ‏מבוא לתולדות המתמטיקה, סדרת אוניברסיטה משודרת, בהוצאת משרד הביטחון – ההוצאה לאור, 1989

• בנו ארבל, קיצור תולדות המתמטיקה, מכון מופ"ת, 2005
• שמעון דגון, תולדות המתמטיקה הקדומה, הוצאת דביר, תשס"ז
• סיימון סינג, המשפט האחרון של פרמה, הוצאת ידיעות אחרונות, 2003
• C. B. Boyer, A History of Mathematics, 2nd ed. rev. by Uta C. Merzbach, 1989

קישורים חיצוניים

• ארכיון ההיסטוריה של המתמטיקה של MacTutor, מקור מידע מקיף על ההיסטוריה של המתמטיקה (באנגלית)

הערות שוליים

* קטגוריה:מתמטיקה קטגוריה:היסטוריה של המדע

היסטוריה של המתמטיקה en:History of mathematics ar:تاريخ الرياضيات bn:গণিতের ইতিহাস ca:Història de les matemàtiques cs:Dějiny matematiky da:Matematikkens historie de:Geschichte der Mathematik eo:Historio de matematiko es:Historia de la matemática fi:Matematiikan historia fr:Histoire des mathématiques hu:A matematika története it:Storia della matematica ja:数学史 ko:수학의 역사 lt:Matematikos istorija nl:Geschiedenis van de wiskunde no:Matematikkens historie pl:Historia matematyki pt:História da matemática ru:История математики sl:Zgodovina matematike sq:Historia e matematikës sr:Историја математике su:Sajarah matematik sv:Matematikens historia uk:Історія математики ur:تاریخ ریاضی vi:Lịch sử toán học zh:数学史